新教材適用2024-2025學年高中數(shù)學第2章導數(shù)及其應用1平均變化率與瞬時變化率1.1平均變化率1.2瞬時變化率素養(yǎng)作業(yè)北師大版選擇性必修第二冊

其次章§11.11.2A組·基礎自測一、選擇題1．函數(shù)y＝2x在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均改變率為(D)A．x0＋Δx B．1＋ΔxC．2＋Δx D．2[解析]由題意，可得平均改變率eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\f(2x0＋Δx－2x0,Δx)＝2，故選D.2．函數(shù)f(x)＝x2－1在區(qū)間[1，m]上的平均改變率為3，則實數(shù)m的值為(B)A．3 B．2C．1 D．4[解析]由已知得：eq\f(m2－1－12－1,m－1)＝3，∵m－1≠0，∴m＋1＝3，∴m＝2.3．某物體做直線運動，其運動規(guī)律是s＝t2＋eq\f(3,t)(t的單位是秒，s的單位是米)，則它在4秒末的瞬時速度為(B)A.eq\f(123,16)米/秒 B．eq\f(125,16)米/秒C．8米/秒 D．eq\f(67,4)米/秒[解析]因為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(4＋Δt2＋\f(3,4＋Δt)－16－\f(3,4),Δt)＝eq\f(Δt2＋8Δt＋\f(－3Δt,44＋Δt),Δt)＝Δt＋8－eq\f(3,16＋4Δt).所以當Δt趨近于0時，eq\f(Δs,Δt)趨近于eq\f(125,16).4．汽車行駛的路程s和時間t之間的函數(shù)圖象如圖，在時間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分別為eq\x\to(v1)，eq\x\to(v2)，eq\x\to(v3)，則三者的大小關系為(B)A.eq\x\to(v1)>eq\x\to(v2)>eq\x\to(v3) B．eq\x\to(v3)>eq\x\to(v2)>eq\x\to(v1)C.eq\x\to(v2)>eq\x\to(v1)>eq\x\to(v3) D．eq\x\to(v2)>eq\x\to(v3)>eq\x\to(v1)[解析]eq\x\to(v1)＝eq\f(st1－st0,t1－t0)＝kOA，eq\x\to(v2)＝eq\f(st2－st1,t2－t1)＝kAB，eq\x\to(v3)＝eq\f(st3－st2,t3－t2)＝kBC，由圖象知kOA<kAB<kBC，選B.5．(多選)已知某物體的運動方程為s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，則(ABD)A．該物體當1≤t≤3時的平均速度是28B．該物體在t＝4時的瞬時速度是56C．該物體位移的最大值為43D．該物體在t＝5時的瞬時速度是70[解析]A項該物體在1≤t≤3時的平均速度是eq\f(s3－s1,3－1)＝eq\f(71－15,2)＝28，A正確；B項，eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s4＋Δt－s4,Δt)＝56＋7Δt，當Δt趨向于0時，eq\f(Δs,Δt)趨向于56，故B正確；C項，當t＝5時，s(t)有最大值，s(t)max＝s(5)＝183，C錯誤；D項，eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(75＋Δt2＋8－7×52－8,Δt)＝7Δt＋70，當Δt趨向于0時，eq\f(Δs,Δt)趨向于70，D正確．二、填空題6．由瞬時改變率的探討方法可求得，函數(shù)f(x)＝x2－2x在x＝1處的瞬時改變率為_0__.[解析]eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1＋Δx2－21＋Δx＋1,Δx)＝Δx，當Δx趨近于0時，瞬時改變率趨近于0.7．設f(x)＝2ax＋4，若f(x)在(1，f(1))處的瞬時改變率為2，則a＝_1__.[解析]eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(2a1＋Δx＋4－2a－4,Δx)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.8．如圖所示，函數(shù)y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]這幾個區(qū)間內，平均改變率最大的一個區(qū)間是_[x3，x4]__.[解析]由平均改變率的定義可知，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均改變率分別為：eq\f(fx2－fx1,x2－x1)，eq\f(fx3－fx2,x3－x2)，eq\f(fx4－fx3,x4－x3)，結合圖象可以發(fā)覺函數(shù)y＝f(x)的平均改變率最大的一個區(qū)間是[x3，x4]．三、解答題9．已知函數(shù)f(x)＝3x2＋2，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均改變率，并求當x0＝2，Δx＝0.1時平均改變率的值．[解析]因為f(x)＝3x2＋2，所以f(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋2，f(x0＋Δx)＝3(x0＋Δx)2＋2＝3xeq\o\al(2,0)＋6x0Δx＋3(Δx)2＋2，則f(x0＋Δx)－f(x0)＝6x0Δx＋3(Δx)2，故f(x)在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均改變率為eq\f(fx0＋Δx－fx0,x0＋Δx－x0)＝eq\f(6x0Δx＋3Δx2,Δx)＝6x0＋3Δx，則當x0＝2，Δx＝0.1時，平均改變率為6×2＋3×0.1＝12.3.10．某廠生產某種產品x件的總成本c(x)＝120＋eq\f(x,10)＋eq\f(x2,100)，總成本的單位是元．(1)當x從200變到220時，總成本c關于產量x的平均改變率是多少？它代表什么實際意義？(2)求x＝200時的瞬時改變率，并說明它代表什么實際意義．[解析](1)當x從200變到220時，總成本c從c(200)＝120＋eq\f(200,10)＋eq\f(2002,100)＝540(元)變到c(220)＝120＋eq\f(220,10)＋eq\f(2202,100)＝626(元)．此時總成本c關于產量x的平均改變率為eq\f(c220－c200,220－200)＝eq\f(86,20)＝4.3(元/件)．它表示產量x從200件變到220件時平均多生產一件產品時，總成本平均增加4.3元．(2)在x＝200處的平均改變率為eq\f(Δc,Δx)＝eq\f(120＋\f(1,10)200＋Δx＋\f(1,100)200＋Δx2－120－\f(1,10)×200－\f(1,100)×2002,Δx)＝4.1＋eq\f(Δx,100)，當Δx趨于0時，eq\f(Δc,Δx)趨于4.1元/件．即x＝200時的瞬時改變率為4.1元/件，它指的是當產量為200件時，每多生產一件產品，成本需增加4.1元．B組·實力提升一、選擇題1．一物體的運動方程是s＝eq\f(1,2)at2(a為常數(shù))，則該物體在t＝t0時的瞬時速度是(A)A．at0 B．－at0C．eq\f(1,2)at0 D．2at0[解析]∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt)＝eq\f(1,2)aΔt＋at0，當Δt趨近于0時，eq\f(Δs,Δt)趨近于at0.故選A.2．一質點按運動方程s(t)＝eq\f(1,t)做直線運動，則其從t1＝1到t2＝2的平均速度為(B)A．－1 B．－eq\f(1,2)C．－2 D．2[解析]eq\x\to(v)＝eq\f(s2－s1,2－1)＝eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,2).3．(多選)函數(shù)f(x)＝x3－1在x1＝1和x2＝m之間的平均改變率為7，則m的值為(AB)A．2 B．－3C．4 D．5[解析]依據題意，函數(shù)f(x)＝x3－1在x1＝1和x2＝m之間的平均改變率為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(m3－1－13－1,m－1)＝m2＋m＋1，則有m2＋m＋1＝7，即m2＋m－6＝0，解得m＝－3或2.二、填空題4．一輛汽車在起步的前10秒內，按s＝3t2＋1做直線運動，則在2≤t≤3這段時間內的平均速度是_15__；在t＝2.5時的瞬時速度是_15__.[解析]在2≤t≤3這段時間內，Δs＝(3×32＋1)－(3×22＋1)＝15.∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(15,3－2)＝15.∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(32.5＋Δt2＋1－3×2.52－1,Δt)＝15＋3Δt，∴當Δt趨于0時，eq\f(Δs,Δt)趨于15.5．若某物體的運動規(guī)律是s＝t3－6t2＋5(t>0)，則在t＝_4__時的瞬時速度為0.[解析]設t＝t0時，瞬時速度為0，eq\f(Δs,Δt)＝eq\f([t0＋Δt3－6t0＋Δt2＋5]－t\o\al(3,0)－6t\o\al(2,0)＋5,Δt)＝eq\f(Δt3＋3t0－6Δt2＋3t\o\al(2,0)－12t0Δt,Δt)＝(Δt)2＋(3t0－6)Δt＋3teq\o\al(2,0)－12t0.當Δt趨近于0時，3teq\o\al(2,0)－12t0＝0，∴t0＝0或t0＝4.又t0>0，∴t0＝4，∴t＝4時的瞬時速度為0.三、解答題6．若一物體運動方程如下：(位移s：m，時間t：s)s＝f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(29＋3t－32，0≤t<3，,3t2＋2，t≥3.))求：(1)物體在t∈[3,5]內的平均速度；(2)物體的初速度v0；(3)物體在t＝1時的瞬時速度．[解析](1)∵物體在t∈[3,5]內的時間改變量為Δt＝5－3＝2，位移改變量為Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物體在t∈[3,5]內的平均速度為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s)．(2)求物體的初速度v0，即求物體在t＝0時的瞬時速度．∵物體在t＝0旁邊位移的平均改變率為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f0＋Δt－f0,Δt)＝eq\f(29＋3[0＋Δt－3]2－29－30－32,Δt)＝3Δt－18，當Δt趨近于0時，eq\f(Δs,Δt)趨近于－18，∴物體在t＝0處位移的瞬時改變率為－18，即物體的初速度v0＝－18m/s.(3)物體在t＝1時的瞬時速度即為物體在t＝1處位移的瞬時改變率．∵物體在t＝1旁邊位移的平均改變率為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f1＋Δt－f1,Δt)＝eq\f(29＋3[1＋Δt－3]2－29－31－32,Δt)＝3Δt－12，當Δt趨近于0時，eq\f(Δs,Δt)趨近于－12，即物體在t＝1時的瞬時速度為－12m/s.C組·創(chuàng)新拓展在氣象學中，通常把某時段內降雨量的平均改變率稱為該時段內的降雨強度，它是反映降雨大小的一個重要指標．如表為一次降雨過程中記錄的降雨量數(shù)據.時間t/min0102030405060降雨量y/mm061418202324則下列四個時段降雨強度最小的是(D)A．0min到10min B．10min到30minC．30min到50min D．50min到60min[解析]0min到10min的降雨強度為