新教材適用2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第10章概率10.1隨機事件與概率10.1.4概率的基本性質(zhì)學(xué)案新人教A版必修第二冊

10．1.4概率的基本性質(zhì)課標(biāo)要求通過實例，理解概率的性質(zhì)，駕馭隨機事務(wù)概率的運算法則．素養(yǎng)要求通過詳細(xì)實例，抽象出概率的性質(zhì)，駕馭概率的運算方法，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).學(xué)問點概率的基本性質(zhì)任何事務(wù)的概率都是非負(fù)的；在每次試驗中，必定事務(wù)肯定發(fā)生，不行能事務(wù)肯定不會發(fā)生．一般地，概率有如下性質(zhì)：性質(zhì)1對隨意的事務(wù)A，都有P(A)≥0.性質(zhì)2必定事務(wù)的概率為1，不行能事務(wù)的概率為0.即P(Ω)＝1，P(?)＝0.性質(zhì)3假如事務(wù)A與事務(wù)B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).因為事務(wù)A和事務(wù)B互斥，即A與B不含有相同的樣本點，所以n(A∪B)＝n(A)＋n(B)，這等價于P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，即兩個互斥事務(wù)的和事務(wù)的概率等于這兩個事務(wù)概率之和．推廣：假如事務(wù)A1，A2，…，Am兩兩互斥，那么P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．[提示]對于一個較困難的事務(wù)，一般將其分解成幾個簡潔的事務(wù)，當(dāng)這些事務(wù)彼此互斥時，原事務(wù)的概率等于這些事務(wù)概率的和．并且互斥事務(wù)的概率加法公式可以推廣為：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．其運用的前提仍舊是A1，A2，…，An彼此互斥．故解決此類題目的關(guān)鍵在于分解事務(wù)及確立事務(wù)是否互斥．性質(zhì)4假如事務(wù)A與事務(wù)B互為對立事務(wù)，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．因為事務(wù)A和事務(wù)B互為對立事務(wù)，所以和事務(wù)A∪B為必定事務(wù)，即P(A∪B)＝1.由性質(zhì)3，得1＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．性質(zhì)5假如A?B，那么P(A)≤P(B)．(1)對于事務(wù)A與事務(wù)B，假如A?B，即事務(wù)A發(fā)生，則事務(wù)B肯定發(fā)生，那么事務(wù)A的概率不超過事務(wù)B的概率．(2)由性質(zhì)5可得，對于隨意事務(wù)A，因為??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.性質(zhì)6設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事務(wù)，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．想一想：在同一試驗中，對隨意兩個事務(wù)A，B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)肯定成立嗎？提示：只有A、B互斥才成立．練一練：1．在擲骰子的嬉戲中，向上的數(shù)字是5或6的概率是(B)A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．1[解析]事務(wù)“向上的數(shù)字是5”與事務(wù)“向上的數(shù)字是6”為互斥事務(wù)，且二者發(fā)生的概率都是eq\f(1,6)，所以“向上的數(shù)字是5或6”的概率是eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,3).2．事務(wù)A與B是對立事務(wù)，且P(A)＝0.2，則P(B)＝_0.8__.[解析]因為A與B是對立事務(wù)，所以P(A)＋P(B)＝1，即P(B)＝1－P(A)＝0.8.3．事務(wù)A與B是互斥事務(wù)，P(A)＝0.2，P(B)＝0.5，則P(A∪B)＝_0.7__.[解析]因為A與B互斥，故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.2＋0.5＝0.7.題型探究題型一互斥事務(wù)概率公式的應(yīng)用典例1(1)盒子里裝有6只紅球，4只白球，從中任取3只球．設(shè)事務(wù)A表示“3只球中有1只紅球，2只白球”，事務(wù)B表示“3只球中有2只紅球，1只白球”．已知P(A)＝eq\f(3,10)，P(B)＝eq\f(1,2)，求這3只球中既有紅球又有白球的概率．(2)某商場在元旦實行購物抽獎促銷活動，規(guī)定顧客從裝有編號為0,1,2,3,4的五個相同小球的抽獎箱中一次隨意摸出兩個小球，若取出的兩個小球的編號之和等于7，則中一等獎；等于6或5，則中二等獎；等于4，則中三等獎，其余結(jié)果不中獎．①求中二等獎的概率；②求不中獎的概率．[解析](1)因為A，B是互斥事務(wù)，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(3,10)＋eq\f(1,2)＝eq\f(4,5)，所以這3只球中既有紅球又有白球的概率是eq\f(4,5).(2)①從五個球中隨意摸出兩個小球，共有10種取法，中二等獎包含(2,4)，(2,3)，(1,4)三種狀況，∴P(中二等獎)＝eq\f(3,10).②不中獎的對立事務(wù)為中獎，中獎的兩小球編號之和包括4,5,6,7，共有(1,3)，(0,4)，(2,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)六個結(jié)果．∴P(中獎)＝eq\f(6,10).∴P(不中獎)＝1－eq\f(6,10)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).[歸納提升](1)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只有當(dāng)A、B兩事務(wù)互斥時才能運用，假如A、B不互斥，就不能應(yīng)用這一公式；(2)解決本題的關(guān)鍵是正確理解“A∪B”的意義．對點練習(xí)?(1)若A，B是互斥事務(wù)，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，則P(B)等于(A)A．0.3 B．0.7C．0.1 D．1(2)在一次隨機試驗中，彼此互斥的事務(wù)A，B，C，D的概率分別是0.2,0.2,0.3,0.3，則下列說法正確的(D)A．A＋B與C是互斥事務(wù)，也是對立事務(wù)B．B＋C與D是互斥事務(wù)，也是對立事務(wù)C．A＋C與B＋D是互斥事務(wù)，但不是對立事務(wù)D．A與B＋C＋D是互斥事務(wù)，也是對立事務(wù)[解析](1)∵A，B是互斥事務(wù)，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.故選A.(2)由于A，B，C，D彼此互斥，且由P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，知A＋B＋C＋D是一個必定事務(wù)，故某事務(wù)的關(guān)系如圖所示．由圖可知，任何一個事務(wù)與其余3個事務(wù)的和事務(wù)必定是對立事務(wù)，任何兩個事務(wù)的和事務(wù)與其余兩個事務(wù)的和事務(wù)也是對立事務(wù)，故只有D中的說法正確．題型二概率一般加法公式(性質(zhì)6)的應(yīng)用典例2甲、乙、丙、丁四人參與4×100米接力賽，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率．[解析]設(shè)事務(wù)A為“甲跑第一棒”，事務(wù)B為“乙跑第四棒”，則P(A)＝eq\f(1,4)，P(B)＝eq\f(1,4).記甲跑第x棒，乙跑第y棒，則結(jié)果可記為(x，y)，共有12種等可能結(jié)果：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一種可能．即(1,4)．故P(A∩B)＝eq\f(1,12).所以“甲跑第一棒或乙跑第四棒”的概率P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)－eq\f(1,12)＝eq\f(5,12).[歸納提升](1)概率的一般加法公式及互斥事務(wù)的概率加法公式在限制條件上的區(qū)分：在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)中，事務(wù)A，B是互斥事務(wù)；在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，事務(wù)A，B可以是互斥事務(wù)，也可以不是互斥事務(wù)．可借助圖形理解．(2)利用概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)求解的關(guān)鍵在于理解兩個事務(wù)A，B的交事務(wù)A∩B的含義，精確求出其概率．對點練習(xí)?在對200家公司的最新調(diào)查中發(fā)覺，40%的公司在大力探討廣告效果，50%的公司在進(jìn)行短期銷售預(yù)料，而30%的公司在從事這兩項探討．假設(shè)從這200家公司中任選一家，記事務(wù)A為“該公司在探討廣告效果”，記事務(wù)B為“該公司在進(jìn)行短期銷售預(yù)料”，求P(A)，P(B)，P(A∪B)．[解析]P(A)＝40%＝0.4，P(B)＝50%＝0.5，又已知P(A∩B)＝30%＝0.3，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.4＋0.5－0.3＝0.6.題型三利用互斥與對立的概率公式多角度求解典例3假如從不包括大小王的52張撲克牌中隨機抽取一張，那么抽取到紅心(事務(wù)A)的概率是eq\f(1,4)，取到方塊(事務(wù)B)的概率是eq\f(1,4)，求取到黑色牌(事務(wù)D)的概率．[分析]先確定事務(wù)D的對立事務(wù)C(取到紅色牌)，也就是事務(wù)C就是所求事務(wù)D的對立事務(wù)，而事務(wù)C包含A和B兩個彼此互斥的事務(wù)，故可干脆利用互斥事務(wù)加法公式求解；然后依據(jù)對立事務(wù)概率公式求解．[解析]記“取出的是紅色牌”為事務(wù)C，則C＝A∪B，且A與B不會同時發(fā)生，所以事務(wù)A與事務(wù)B互斥．依據(jù)概率的加法公式得P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2).又因為事務(wù)C與事務(wù)D互斥，且C∪D為必定事務(wù)，因此事務(wù)C與事務(wù)D是對立事務(wù)，所以P(D)＝1－P(C)＝eq\f(1,2).[歸納提升]對于較困難事務(wù)的概率在求解時通常有兩種方法：一是將所求事務(wù)轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事務(wù)的和；二是先求對立事務(wù)的概率，進(jìn)而再求所求事務(wù)的概率．對點練習(xí)?某射擊運動員在一次射擊競賽中，每次射擊競賽成果均計整數(shù)環(huán)且不超過10環(huán)，其中射擊一次命中各環(huán)數(shù)概率如表：命中環(huán)數(shù)6及以下78910概率0.100.120.180.280.32求該射擊運動員射擊一次．(1)命中9環(huán)及10環(huán)的概率；(2)命中不足7環(huán)的概率．[解析]記“射擊一次命中k環(huán)”的事務(wù)為Ak(k∈N，k≤10)，則事務(wù)Ak彼此互斥．(1)記“射擊一次命中9環(huán)或10環(huán)”為事務(wù)A，則當(dāng)A9或A10之一發(fā)生時，事務(wù)A發(fā)生，由互斥事務(wù)的概率公式，得P(A)＝P(A9)＋P(A10)．因此命中9環(huán)或10環(huán)的概率為0.60.(2)解法一：由于事務(wù)“射擊一次命中不足7環(huán)”是“射擊一次至少命中7環(huán)”的對立事務(wù)，故所求的概率為P＝1－(0.12＋0.18＋0.28＋0.32)＝0.10，因此命中不足7環(huán)的概率為0.10.解法二：由題意可知“命中環(huán)數(shù)不足7環(huán)”即“命中環(huán)數(shù)為6環(huán)及以下”，故P＝0.10.易錯警示忽視概率加法公式的應(yīng)用前提典例4投擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子，向上的一面出現(xiàn)1點，2點，3點，4點，5點，6點的概率都是eq\f(1,6)，記事務(wù)A為“出現(xiàn)奇數(shù)點”，事務(wù)B“向上的點數(shù)不超過3”，則P(A∪B)＝eq\f(2,3).[錯解]因為P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1.[錯因分析]造成錯解的緣由在于忽視了“事務(wù)和”概率公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)的運用前提：事務(wù)A，B彼此互斥．此題的兩個事務(wù)A，B不是互斥事務(wù)，如出現(xiàn)的點數(shù)為1或3時，事務(wù)A，B同時發(fā)生，故此題應(yīng)用性質(zhì)6.[正解]因為P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).[誤區(qū)警示]在運用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)時，肯定要留意公式成立的前提，即事務(wù)A與事務(wù)B互斥．若事務(wù)A，B不互斥，則應(yīng)用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)．對點練習(xí)?甲、乙兩人各射擊一次，命中率分別為0.8和0.5，兩人都命中的概率為0.4，求甲、乙兩人至少有一人命中的概率．[解析]至少有一人命中，可看成“甲命中”和“乙命中”這兩個事務(wù)的并事務(wù)．設(shè)事務(wù)A為“甲命中”，事務(wù)B為“乙命中”，則“甲、乙兩人至少有一人命中”為事務(wù)A∪B，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.8＋0.5－0.4＝0.9.1．若事務(wù)A和B是互斥事務(wù)，且P(A)＝0.1，則P(B)的取值范圍是(A)A．[0,0.9] B．[0.1,0.9]C．(0,0.9] D．[0,1][解析]由于事務(wù)A和B是互斥事務(wù)，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A∪B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1，所以0≤P(B)≤0.9.故選A.2．某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙均屬于次品，生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級品的概率為0.03，丙級品的概率為0.01.若從中抽查一件，則恰好得正品的概率為(B)A．0.09 B．0.96C．0.97 D．0.98[解析]記事務(wù)A＝{甲級品}，B＝{乙級品}，C＝{丙級品}，則A與B＋C是對立事務(wù)，所以P(A)＝1－P(B＋C)＝1－0.03－0.01＝0.96.故選B.3．若A與B為互斥事務(wù)，則(D)A．P(A)＋P(B)<1 B．P(A)＋P(B)>1C．P(A)＋P(B)＝1 D．P(A)＋P(B)≤1[解析]若A與B為互斥事務(wù)，則P(A)＋P(B)≤1.故選D.4．如圖所示，靶子由一個中心圓面Ⅰ和兩個同心圓環(huán)Ⅱ，Ⅲ構(gòu)成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別為0.35,0.3，0.25，則未命中靶的概率是_0.1__.[解析]令事務(wù)A＝“命中Ⅰ”，事務(wù)B＝“命中Ⅱ”，事務(wù)C＝“命中Ⅲ”，事務(wù)D＝“未命中靶”，則A，B，C彼此