第03講 多邊形及其內(nèi)角和（2大知識點+14大典例+變式訓練+隨堂檢測）人教版2024年暑假七升八《數(shù)學》銜接講義（解析版）

第第頁第03講多邊形及其內(nèi)角和（2大知識點+14大典例+變式訓練+隨堂檢測）題型一多邊形的概念與分類題型二多邊形的周長題型三網(wǎng)格中多邊形面積比較題型四多邊形對角線的條數(shù)問題題型五對角線分成的三角形個數(shù)問題題型六多邊形內(nèi)角和問題題型七正多邊形的內(nèi)角問題題型八多（少）算一個角問題題型九多邊形截角后的內(nèi)角和問題題型十復雜圖形的內(nèi)角和題型十一正多邊形的外角問題題型十二多邊形外角和的實際應用題型十三多邊形內(nèi)角和與外角和綜合題型十四平面鑲嵌知識點01：多邊形（1）多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．（2）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．（3）正多邊形的概念：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．（4）多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可用兩種方法：①畫多邊形任何一邊所在的直線整個多邊形都在此直線的同一側(cè)．②每個內(nèi)角的度數(shù)均小于180°，通常所說的多邊形指凸多邊形．知識點02：多邊形內(nèi)角與外角（1）多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)）此公式推導的基本方法是從n邊形的一個頂點出發(fā)引出（n﹣3）條對角線，將n邊形分割為（n﹣2）個三角形，這（n﹣2）個三角形的所有內(nèi)角之和正好是n邊形的內(nèi)角和．除此方法之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的．即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也是研究多邊形問題常用的方法．（2）多邊形的外角和等于360°．①多邊形的外角和指每個頂點處取一個外角，則n邊形取n個外角，無論邊數(shù)是幾，其外角和永遠為360°．②借助內(nèi)角和和鄰補角概念共同推出以下結(jié)論：外角和＝180°n﹣（n﹣2）?180°＝360°．【典型例題一多邊形的概念與分類】1．（2023八年級上·全國·專題練習）下列圖形中，屬于多邊形的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)多邊形的定義，即可求解．【詳解】解：A、不屬于多邊形，故本選項不符合題意；B、不屬于多邊形，故本選項不符合題意；C、屬于多邊形，故本選項符合題意；D、不屬于多邊形，故本選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了多邊形，熟練掌握由條線段首尾順次連接而成的封閉圖形是多邊形是解題的關(guān)鍵．2．（23-24七年級上·湖北武漢·開學考試）用下面的圖表示圖形之間的關(guān)系，不正確的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)三角形的分類，四邊形的分類，進行判定作答即可．【詳解】解：由題意知，三角形包括等腰三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形，A正確，故不符合要求；四邊形包括平行四邊形、梯形，B正確，故不符合要求；三角形按照角度分類包括銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形，C正確，故不符合要求；平行四邊形包括長方形，正方形是特殊的長方形，D錯誤，故符合要求；故選：D．【點睛】本題考查了三角形的分類，四邊形的分類．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．3．（22-23七年級上·江蘇無錫·期中）個六邊形、個五邊形共有條邊．【答案】【分析】由六邊形有六條邊，五邊形有五條邊，即可計算．【詳解】解：∵個六邊形有條邊，個五邊形有條邊，∴個六邊形、個五邊形共有條邊，故答案為：.【點睛】本題考查多邊形的概念，關(guān)鍵是掌握n邊形有n條邊．4．（2023九年級·廣東·專題練習）定義：在平面內(nèi)，由若干條不在同一直線上的線段相連組成的圖形叫做多邊形，各邊相等也相等的多邊形叫做正多邊形．【答案】首尾順次封閉各內(nèi)角【分析】根據(jù)多邊形及正多邊形的定義進行解答即可．【詳解】解：在一個平面內(nèi)，由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉圖形叫做多邊形．如果多邊形的各邊都相等，各內(nèi)角也相等，那么就稱它為正多邊形．故答案為∶首尾順次，封閉，各內(nèi)角．【點睛】此題考查了多邊形和正多邊形的定義，解題的關(guān)鍵是熟知它們的定義．5．（22-23七年級下·廣東梅州·開學考試）仔細數(shù)一數(shù)圖中有幾個直角三角形，幾個正方形，幾個長方形．【答案】32個直角三角形，7個正方形，4個長方形【分析】應按照一定規(guī)律來找：先找單個的，再找兩兩組合的，四個組合的．【詳解】解：根據(jù)圖示圖中共有：32個直角三角形，7個正方形，4個長方形．【點睛】本題考查了幾何圖形，需注意正方形指的是四條邊相等，四個角是直角的四邊形，長方形指長與寬不相等的長方形．6．（22-23七年級上·全國·課后作業(yè)）三角形有幾個頂點，幾條邊，幾個內(nèi)角？四邊形有幾個頂點，幾條邊，幾個內(nèi)角？……n邊形呢？【答案】見解析【分析】根據(jù)圖形的特征作答即可．【詳解】解：如圖所示，三角形有3個頂點，3條邊，3個內(nèi)角；四邊形有4個頂點，4條邊，4個內(nèi)角；五邊形有5個頂點，5條邊，5個內(nèi)角；……可發(fā)現(xiàn)，多邊形的頂點個數(shù)和內(nèi)角個數(shù)與邊數(shù)相同；n邊形有n個頂點，n條邊，n個內(nèi)角．【點睛】本題考查了多邊形的有關(guān)概念，解題關(guān)鍵是準確識別多邊形，明確多邊形的頂點和內(nèi)角概念．【典型例題二多邊形的周長】1．（22-23七年級上·四川眉山·期末）若長方形的一邊長為，另一邊長為，則該長方形的周長為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)長方形周長的計算公式求解．【詳解】解：∵2（2m+3n）=4m+6n，故選C．【點睛】本題考查長方形的應用，熟練掌握長方形周長的意義和計算公式是解題關(guān)鍵．2．（22-23七年級下·湖北孝感·期中）如圖是一塊電腦主板的示意圖，每一轉(zhuǎn)角處都是直角，數(shù)據(jù)如圖所示（單位：mm），則該主板的周長是（）A．88mm B．96mm C．80mm D．84mm【答案】B【分析】根據(jù)題意，電腦主板是一個多邊形，由周長的定義可知，周長是求圍成圖形一周的長度之和，計算周長只需要把橫著的和豎著的所有線段加起來即可．【詳解】由圖形可得出：該主板的周長是：24+24+16+16+4×4＝96（mm），故該主板的周長是96mm，故選：B．【點睛】本題考查了不規(guī)則多邊形周長的求解方法，理解周長的定義是求解的關(guān)鍵．3．（22-23七年級下·黑龍江哈爾濱·期中）已知正六邊形的周長是，則這個多邊形的邊長等于．【答案】5【分析】由正六邊形的周長和性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵一個正六邊形的周長是30cm，∴正六邊形的邊長=30÷6=5（cm）；故答案為：5．【點睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、正六邊形的周長；熟練掌握正六邊形的邊長相等是解題的關(guān)鍵．4．（22-23八年級下·福建泉州·期末）如圖，直線DE將△ABC分成等周長的兩部分，若AD+AE＝2，則△ABC的周長為．【答案】4【分析】根據(jù)直線DE將△ABC分成等周長的兩部分得AD+AE＝BD+CE+BC=2，進而可求解．【詳解】解：由題意得：AD+AE＝BD+CE+BC．∵AD+AE＝2，∴BD+CE+BC＝2．∴C△ABC＝AB+AC+BC＝（AD+BD）+（AE+CE）+BC＝（AD+AE）+（BD+CD+BC）＝2+2＝4．故答案為：4．【點睛】本題考查了三角形的周長，解題的關(guān)鍵是正確理解題干中直線DE將△ABC分成等周長的兩部分．5．（22-23七年級上·江蘇無錫·期中）如圖，有3張卡片，用它們拼成各種形狀不同的多邊形（相同長度的邊拼靠在一起，卡片不重疊）．(1)這些拼成的多邊形的周長有哪幾種不同的結(jié)果？(2)這些結(jié)果中，最長的周長和最短的周長分別是多少？請說明理由．【答案】(1)，，(2)周長最大，最短，理由見解析【分析】（1）畫出圖形可得結(jié)論；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論結(jié)合，再判斷即可．【詳解】（1）解：如圖，圖形有四種情形，周長為：或或.（2）周長的最大值為，最小值為.理由：由題意可得：，因為，所以，因為，所以，∴，周長的最大值為，最小值為.【點睛】本題考查圖形的拼剪，不等式的性質(zhì)，長方形的性質(zhì)，多邊形的周長等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出圖形．6．（22-23八年級上·湖北·課后作業(yè)）已知正n邊形的周長為60，邊長為a（1）當n=3時，請直接寫出a的值；（2）把正n邊形的周長與邊數(shù)同時增加7后，假設(shè)得到的仍是正多邊形，它的邊數(shù)為n+7，周長為67，邊長為b．有人分別取n等于3，20，120，再求出相應的a與b，然后斷言：“無論n取任何大于2的正整數(shù)，a與b一定不相等．”你認為這種說法對嗎？若不對，請求出不符合這一說法的n的值．【答案】（1）20（2）不正確【詳解】試題分析：分析：（1）根據(jù)正多邊形的每條邊相等，可知邊長=周長÷邊數(shù)；（2）分別表示出a和b的代數(shù)式，讓其相等，看是否有相應的值.試題解析：（1）a=60÷3=20；（2）此說法不正確．理由如下：盡管當n=3、20、120時，a＞b或a＜b，但可令a=b，得，∴60n+420=67n，解得n=60，經(jīng)檢驗n=60是方程的根．∴當n=60時，a=b，即不符合這一說法的n的值為60．點睛：本題考查分式方程的應用，關(guān)鍵是以邊長作為等量關(guān)系列方程求解，也考查了正多邊形的知識點.【典型例題三網(wǎng)格中多邊形面積比較】1．（22-23九年級上·重慶沙坪壩·期中）如圖為一張方格紙，紙上有一灰色三角形，其頂點均位于某兩網(wǎng)格線的交點上，若每一小正方形的邊長均為1，則灰色三角形的面積為（

）

A．7 B．7.5 C．8 D．8.5【答案】A【分析】利用正方形的面積減去三個直角三角形的面積即可求得．【詳解】解：灰色三角形的面積為：4×4-×3×2-×1×4-×2×4=7，故選：A．【點睛】本題考查識圖能力，關(guān)鍵看到灰色三角形的面積等于正方形方格紙的面積減去周圍三個三角形的面積得解．2．（22-23七年級下·廣西河池·期中）如圖，網(wǎng)格圖中每個小正方形的邊長均為1，以為半徑的扇形經(jīng)過平移到達扇形的位置，那么圖中陰影部分的面積是（）．

A．8 B．6 C．6.5 D．7.5【答案】B【分析】如圖：連接和，可以發(fā)現(xiàn)，然后求得平行四邊形的面積即可解答．【詳解】解：連接和，則．

故選：B．【點睛】本題主要考查了求陰影部分的面積，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)換成求平行四邊形的面積是解答本題的關(guān)鍵．3．（22-23七年級下·浙江·期中）如圖為邊長為1的網(wǎng)格，線段為兩個格點的連線，找一個格點C，使得的面積為2，則該圖中點C有個【答案】6【分析】A，B兩點的垂直距離為2，那么，只要保證水平距離為2即可使△ABC的面積為2個平方單位；A，B兩點的水平距離為1，那么，只要保證垂直距離為4即可使△ABC的面積為2個平方單位．【詳解】解：符合條件的點C如圖，可知共有6個，故答案為：6．【點睛】本題考查三角形面積的求法，注意分水平距離和垂直距離兩種情況．4．（22-23八年級上·河南洛陽·期末）如圖，小個方格都是邊長為1的正方形，圖中四邊形的面積為．【答案】【分析】利用大正方形的面積減去四邊形周圍的小三角形面積即可．【詳解】解：四邊形ABCD的面積為：=，故答案為：．【點睛】此題主要考查了四邊形面積求法，掌握割補法是解題的關(guān)鍵．5．（22-23七年級下·江蘇南京·期末）如圖，在網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長為1．平移，使點A與點D重合．

(1)畫出平移后的三角形；(2)在（1）的條件下，線段掃過的區(qū)域的面積是________．【答案】(1)見解析(2)28【分析】（1）根據(jù)點A和點D的位置，得出平移的方式，再畫出點B和點C平移后的對應點，依次連接即可；（2）用割補法求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)點A和點D的位置可得，向右平移6個單位長度，向下平移2個單位長度，如圖所示，即為所求，

（2）解：線段掃過的區(qū)域面積為四邊形的面積，線段掃過的區(qū)域面積=四邊形的面積．故答案為：28．

【點睛】本題主要考查了平行的作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移的作圖方法和步驟．6．（22-23七年級上·重慶江北·期末）在正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點稱為“格點”，每個小正方形的邊長均為1，的三個頂點均在“格點”處．(1)在給定方格紙中，點B與點對應，請畫出平移后的；(2)線段與線段的關(guān)系是______________；(3)求平移過程中，線段掃過的面積．【答案】(1)見解析(2)平行且相等(3)15【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，C的對應點，，再連接即可；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)回答即可；（3）根據(jù)圖形得到掃過部分的圖形，再根據(jù)面積公式計算．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）由平移可知：線段與線段的關(guān)系是平行且相等；（3）由圖可知：線段掃過的部分為平行四邊形，∴面積為．【點睛】本題考查作圖-平移變換，平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移的性質(zhì)，多結(jié)合圖形解決問題．【典型例題四多邊形對角線的條數(shù)問題】1．（23-24六年級下·山東威?！て谥校氖呅蔚囊粋€頂點出發(fā)可以畫出的對角線有（）A．7條 B．4條 C．6條 D．2條【答案】A【分析】本題考查多邊形的對角線條數(shù)的問題，解答此類題目可以直接記憶：一個n邊形一個頂點出發(fā)，可以連的對角線的條數(shù)是．據(jù)此解答即可．【詳解】解：十邊形的一個頂點出發(fā)可以畫出對角線的數(shù)量（條），故選：A．2．（22-23六年級下·山東濟南·期中）從十二邊形的一個頂點出發(fā)可引出（）條對角線，把十二邊形分割成（）個三角形．A．9，9 B．9，10 C．10，9 D．10，11【答案】B【分析】本題考查了多邊形的對角線的條數(shù)以及三角形的個數(shù)，根據(jù)n邊形的對角線條數(shù)為條，把n形分割成的三角形的個數(shù)為條，據(jù)此即可作答．【詳解】解：從十二邊形的一個頂點出發(fā)可引出的對角線條數(shù)為（條），它們把十二邊形分割成的三角形的個數(shù)為（個），故選：B．3．（2024·陜西西安·模擬預測）過正八邊形的一個頂點有條對角線．【答案】5【分析】本題考查多邊形的對角線問題，根據(jù)從邊形的一個頂點出發(fā)，可以引出條對角線，進行求解即可．【詳解】解：過正八邊形的一個頂點有條對角線；故答案為：5．4．（23-24八年級上·廣東肇慶·階段練習）如圖是一個五邊形木框，要固定它的形狀，至少要釘根木條．【答案】2【分析】本題考查了三角形具有穩(wěn)定性，以及多邊形從一個頂點可畫對角線的條數(shù)，根據(jù)n邊形從一個頂點可畫條對角線，即可解答．【詳解】解：由題意得要使五邊形木框不變形，至少還要釘根木條，故答案為：2．5．（23-24八年級上·河南周口·階段練習）畫出下面各圖中多邊形的所有對角線．

【答案】見解析【分析】將與每個頂點不相鄰的頂點連起來即可.【詳解】解：分別將三個圖形中的與每個頂點不相鄰的頂點連接起來，如圖所示，即為所求：

【點睛】本題主要考查了多邊形對角線的概念，熟記概念和嫻熟的作圖能力是解答本題的關(guān)鍵.6．（23-24七年級下·陜西西安·期中）真正的學習是自主學習，主動探究，小蘭同學在自主探究多邊形的邊數(shù)n與多邊形的對角線的條數(shù)y的關(guān)系的過程中，記錄了數(shù)據(jù)如下：多邊形的邊數(shù)n3456…對角線的條數(shù)y0259…(1)直接寫出過n邊形的每一個頂點有幾條對角線（用含n的式子表示）；(2)多邊形的對角線的條數(shù)y隨著多邊形的邊數(shù)n（，n為正整數(shù)）的變化而變化，請你用含n的式子表示y．(3)求一個十邊形的對角線的條數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了對角線的條數(shù)與多邊形的邊數(shù)的關(guān)系，理解題意、得出對角線的條數(shù)與多邊形的邊數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“一個頂點可向除自己和相鄰兩頂點外的其它頂點連線，得到對角線”，得出答案即可；（2）根據(jù)“n邊形有n個頂點，所以所有對角線有條．但每條對角線重復一次”，得出答案即可；（3）把代入，計算得出答案即可．【詳解】（1）解：∵一個頂點可向除自己和相鄰兩頂點外的其它頂點連線，得到對角線，∴過n邊形的每一個頂點的對角線條數(shù)為，故答案為：；（2）解：∵n邊形有n個頂點，所以所有對角線有條．但每條對角線重復一次，∴n邊形所有對角線的條數(shù)為；（3）解：把代入，得，∴一個十邊形的對角線的條數(shù)為．【典型例題五對角線分成的三角形個數(shù)問題】1．（23-24六年級下·山東煙臺·期中）過多邊形一個頂點的所有對角線將這個多邊形分成3個三角形，這個多邊形是（

）A．五邊形 B．六邊形 C．七邊形 D．八邊形【答案】A【分析】本題考查了多邊形的對角線數(shù)量問題，根據(jù)邊形從一個頂點出發(fā)可引出條對角線，可組成個三角形，依此可求出的值，得到答案．【詳解】解：設(shè)這個多邊形是邊形，由題意得：，解得：，即這個多邊形是五邊形，故選：A．2．（23-24七年級下·江蘇泰州·期中）“轉(zhuǎn)化”是數(shù)學中的一種重要思想方法，同學們在研究多邊形（邊數(shù)大于3）的內(nèi)角和度數(shù)時，通常是將多邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和來解決，從而化陌生的問題為熟悉的情境來解決問題．現(xiàn)從某邊形一邊上的一點（不包含端點）出發(fā)，依次連接多邊形的各個頂點，分割得到的所有三角形的內(nèi)角和是，則該邊形是（

）邊形．A．五 B．六 C．七 D．八【答案】D【分析】本題主要考查了多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉從邊形的一個頂點出發(fā)，分別連接這個點與其余各頂點，形成的三角形個數(shù)為的規(guī)律；根據(jù)從一個n邊形的某個頂點出發(fā)，把n邊形分為個三角形，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和公式列方程即可得出答案．【詳解】解：由題意得：，解得：故選：D．3．（23-24七年級下·山東泰安·期中）從十一邊形的一個頂點出發(fā)，分別連接這個頂點與其余各頂點，可以把這個十一邊形分成三角形的個數(shù)是．【答案】9【分析】本題考查多邊形的對角線，從邊形的一個頂點出發(fā)，有條對角線，把多邊形分成個三角形，這是解題的關(guān)鍵．根據(jù)多邊形的對角線規(guī)律求解即可．【詳解】從十一邊形的一個頂點出發(fā)，分別連接這個頂點與其余各頂點，可以把這個十一邊形分成三角形的個數(shù)是：．故答案為：9．4．（23-24七年級上·山東濟南·期末）從七邊形的一個頂點處引對角線，把七邊形分成了個三角形，則的值為．【答案】5【分析】本題考查了多邊形的對角線，多邊形有條邊，則經(jīng)過多邊形的一個頂點的所有對角線有條，經(jīng)過多邊形的一個頂點的所有對角線把多邊形分成個三角形，掌握多邊形的對角線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：從邊形的一個頂點作對角線，把這個邊形分成三角形的個數(shù)是，從七邊形的一個頂點作對角線，把這個七邊形分成三角形的個數(shù)是：（個，故答案為：5．5．（23-24七年級上·陜西咸陽·階段練習）已知從一個七邊形的某一個頂點出發(fā)的所有對角線將這個七邊形分成了x個三角形，且這些對角線的條數(shù)是y，求的值．【答案】【分析】本題考查了多邊形的對角線，若多邊形為邊形，根據(jù)從多邊形一個頂點出發(fā)的所有對角線將多邊形分成個三角形，這些對角線有條，據(jù)此解答即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知，這個七邊形從一個頂點出發(fā)的對角線有4條，這些對角線將這個七邊形分成了5個三角形，所以，，所以6．（23-24八年級上·河南周口·階段練習）如圖，在五邊形的邊上，連接，可以得到幾個三角形？它與邊數(shù)有何關(guān)系？【答案】可以得到4個三角形，三角形的個數(shù)等于邊數(shù)減1【分析】根據(jù)圖形找出三角形的個數(shù)，再分析出三角形個數(shù)與邊數(shù)的關(guān)系即可．【詳解】解：根據(jù)圖形可知，圖中共有4個三角形，三角形的個數(shù)等于邊數(shù)減1．【點睛】本題主要考查了多邊形的知識，正確找出三角形的個數(shù)是解題關(guān)鍵．【典型例題六多邊形內(nèi)角和問題】1．（23-24八年級下·安徽六安·階段練習）在六邊形中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和為即可解題．【詳解】解∶∵六邊形的內(nèi)角和為，∴．故選：A．2．（2024·山西朔州·模擬預測）如圖，將一張六邊形紙片沿直線剪開，如果剪開后的兩個圖形的內(nèi)角和相等，下列四種剪法中，符合要求的是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】D【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理可知邊數(shù)相等的兩個多邊形內(nèi)角和相等，再逐個判斷得出答案．【詳解】①剪出一個三角形，一個七邊形，內(nèi)角和不相等，所以不符合題意；②剪出兩個五邊形，內(nèi)角和相等，所以符合題意；③剪出一個三角形，一個五邊形，所以不符合題意；④剪出兩個四邊形，所以符合題意．可知符合要求的有②④．故選：D．3．（23-24八年級下·浙江杭州·期中）八邊形內(nèi)角和度數(shù)為．【答案】/度【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：．故答案為：．4．（23-24八年級下·浙江溫州·期中）一個多邊形的內(nèi)角和為，則這個多邊形是邊形．【答案】十【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，熟記公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式列式求解即可．【詳解】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是，則，解得．即：這個多邊形是十邊形，故答案為：十．5．（22-23八年級下·廣西桂林·期末）已知某n邊形內(nèi)角和是，求n的值．【答案】8【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和定理的應用，根據(jù)，解答即可．【詳解】根據(jù)題意，得，，解得．故n的值為8．6．（2024七年級下·全國·專題練習）如圖，在中，分別是邊上的高，是的交點，試猜想和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】，見解析【分析】根據(jù)分別是邊上的高，可得，根據(jù)四邊形內(nèi)角和，即可求解，本題考查了四邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握四邊形內(nèi)角和．【詳解】解：∵分別是邊上的高，∴，是的外角，，故答案為：．【典型例題七正多邊形的內(nèi)角問題】1．（23-24七年級下·吉林長春·期中）下列四組多邊形中，能密鋪地面的是(

)①正六邊形與正三角形；②正十二邊形與正三角形；③正八邊形與正方形；④正三角形與正方形．A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】本題考查能鋪滿地面的圖形組合，掌握正多邊形的內(nèi)角和公式，會求正多邊形的每個內(nèi)角，抓住圍繞一點的各個角的和為是解題關(guān)鍵．根據(jù)圍繞一點的各個角的和為進行一一判斷即可．【詳解】解∶①正六邊形與正三角形，正六邊形每個內(nèi)角，正三角形每個內(nèi)角，，能鋪滿地面；②正十二邊形與正三角形，正十二邊形每個內(nèi)角，正三角形每個內(nèi)角，，能鋪滿地面；③正八邊形與正方形，正八邊角形每個內(nèi)角，正方形每個內(nèi)角，，能鋪滿地面，④正三角形與正方形，正三角形每個內(nèi)角，正方形每個內(nèi)角，，能鋪滿地面；其中能鋪滿地面的是①②③④．故選：A．2．（2024·山東濟寧·二模）如圖，若干全等正五邊形排成形狀，圖中所示的是前3個正五邊形，則要完成這一圓環(huán)還需這樣的正五邊形（

）A．10個 B．9個 C．7個 D．6個【答案】C【分析】本題考查了正多邊形內(nèi)角和定理等知識，先求出正五邊形的內(nèi)角的多少，求出每個正五邊形被圓截的弧對的圓心角，即可得出答案．【詳解】解：如圖，∵多邊形是正五邊形，∴內(nèi)角是，，，即10個正五邊形能圍城這一個圓環(huán)，所以要完成這一圓環(huán)還需7個正五邊形故選：C3．（2024·江蘇宿遷·模擬預測）邊數(shù)為7邊形的正7邊形內(nèi)角和為．【答案】/900度【分析】本題考查多邊形的內(nèi)角和，掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，即正七邊形內(nèi)角和為，故答案為：．4．（23-24八年級上·廣西柳州·期中）正n邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為，則n的值是．【答案】6【分析】本題主要考查多邊形外角和定理，多邊形的外角和是360度，先求出每個外角的度數(shù)，根據(jù)外角和360度求解即可．【詳解】根據(jù)題意有每個外角的度數(shù)為：，，故答案為：6．5．（22-23七年級下·全國·單元測試）小明想:2015年世博會將在意大利米蘭舉行，設(shè)計一個內(nèi)角和是2015°的多邊形圖案多有意義啊!你同意小明的想法嗎?為什么?【答案】不同意，小明的想法無法實現(xiàn).理由見解析.【詳解】試題分析：n邊形的內(nèi)角和為（n-2）×180°，即多邊形的內(nèi)角和為180°的整數(shù)倍，用2015°除以180°，看結(jié)果是否能整除．試題解析：不同意，小明的想法無法實現(xiàn).因為多邊形的內(nèi)角和公式為,其一定是180°的整數(shù)倍，而2015°不能被180°整除，所以不可能有內(nèi)角和為2015°的多邊形.6．（22-23八年級上·陜西延安·階段練習）如圖，若一個正方形和一個正六邊形有一邊重合．求的度數(shù)．【答案】【分析】先算出正方形和正六邊形每個內(nèi)角的度數(shù)，分別求出它們一個外角的度數(shù)，相加即可．【詳解】解：正方形的一個內(nèi)角的度數(shù)為：，正六邊形一個內(nèi)角的度數(shù)為：，則：．【點睛】本題考查正多邊形的每個內(nèi)角度數(shù)，以及正多邊形的一個外角的度數(shù)．熟練掌握相關(guān)計算公式是解題的關(guān)鍵．【典型例題八多（少）算一個角問題】1．（22-23八年級下·湖南永州·期中）小紅：我計算出一個多邊形的內(nèi)角和為；老師：不對呀，你可能少加了一個角！則小紅少加的這個角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】邊形的內(nèi)角和是，少計算了一個內(nèi)角，結(jié)果得．則內(nèi)角和是與的差一定小于180度，并且大于0度．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為，小紅少加的這個角的度數(shù)是，則有，則，因為，所以，故選：C．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式．解答此題的關(guān)鍵是把所求的角正確的分解為與一個正整數(shù)的積再減去一個小于的角的形式，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可求解．2．（23-24七年級下·江蘇鹽城·階段練習）一個多邊形除去一個內(nèi)角后，其余各內(nèi)角的和為，則這個內(nèi)角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查多邊形內(nèi)角和公式的靈活運用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式建立邊數(shù)與內(nèi)角度數(shù)的等式．設(shè)這個內(nèi)角度數(shù)為，邊數(shù)為，根據(jù)多邊形內(nèi)角和的公式建立等式，再根據(jù)多邊形的一個內(nèi)角一定大于，并且小于計算出邊數(shù)，最后再根據(jù)邊數(shù)和內(nèi)角和計算出所求內(nèi)角的值．【詳解】解：設(shè)這個內(nèi)角度數(shù)為，邊數(shù)為，則，，∵為正整數(shù)，，∴，∴這個內(nèi)角度數(shù)為．故選：C．3．（22-23八年級上·江西贛州·階段練習）一個多邊形除一個內(nèi)角外，其余各內(nèi)角之和是2570°，則這個內(nèi)角是度．【答案】130【分析】設(shè)出相應的邊數(shù)和未知的那個內(nèi)角度數(shù)，利用內(nèi)角和公式列出相應等式，根據(jù)邊數(shù)為整數(shù)求解即可．【詳解】解：設(shè)這個內(nèi)角度數(shù)為x°，邊數(shù)為n，則（n﹣2）×180﹣x＝2570，180?n＝2930+x，∴n＝，∵n為正整數(shù)，0°＜x＜180°，∴n＝17，∴這個內(nèi)角度數(shù)為180°×（17﹣2）﹣2570°＝130°．故答案為：130．【點睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角和公式的靈活運用，解題的關(guān)鍵是找到相應度數(shù)的等量關(guān)系．注意多邊形的一個內(nèi)角一定大于0°，并且小于180°．4．（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）小明同學在計算一個多邊形的內(nèi)角和時，由于粗心少算一個內(nèi)角，結(jié)果得到的結(jié)果是，則少算的這個內(nèi)角的度數(shù)為．【答案】/度【分析】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，解不等式，設(shè)多邊形的邊數(shù)是n（，且n為整數(shù)），根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理列出不等式，進而求出，再計算出該多邊形內(nèi)角和即可得到答案．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是n（，且n為整數(shù)），依題意得，解得．∵少算一個內(nèi)角，且該內(nèi)角小于，∴．∴多邊形的內(nèi)角和是，∴少算的這個內(nèi)角的度數(shù)為，故答案為：．5．（23-24八年級上·福建龍巖·階段練習）一個n邊形去掉一個角后，內(nèi)角和為，求這個多邊形去掉的內(nèi)角度數(shù)及n的值．【答案】，【分析】先計算得到商和余數(shù)，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和的特點可得多邊形的邊數(shù)與去掉的那個內(nèi)角的大?。驹斀狻拷猓涸O(shè)多邊形的邊數(shù)是，而，∴，解得：，∴這個多邊形去掉的內(nèi)角度數(shù)為．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，難點在于理解多邊形的內(nèi)角和的特點．6．（22-23八年級上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）小紅在求一個凸n邊形的內(nèi)角和時，多算了一個角，求得的內(nèi)角和為1920°(1)多算進去的那個內(nèi)角為多少度？(2)求這個多邊形的邊數(shù)？【答案】(1)120度(2)12邊【分析】（1）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和應為180的整數(shù)倍即可求解；（2）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可進行求解．【詳解】（1）解：∵，∴多算進去的內(nèi)角度數(shù)：；（2）右（1）可知，多算進去的內(nèi)角為，∴這個多邊形的內(nèi)角和為：，，解得：，∴這個多邊形邊數(shù)為12．【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和為180的整數(shù)倍以及多邊形的內(nèi)角和公式．【典型例題九多邊形截角后的內(nèi)角和問題】1．（22-23八年級上·湖北武漢·期中）一個多邊形切去一個角后共有5條對角線，原多邊形不可能是（

）A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形【答案】D【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，解題時注意：一個多邊形截去一個角后它的邊數(shù)可能增加1，可能減少1，或不變．首先求得共有5條對角線的多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)截去一個角后邊數(shù)增加1，不變，減少1，即可確定原多邊形的邊數(shù)．【詳解】解：設(shè)共有5條對角線的多邊形的邊數(shù)是n，則，解得：（負值已舍去）．∵截去一個角后邊數(shù)可能增加1，不變或減少1，∴原多邊形的邊數(shù)為4或5或6．原多邊形不可能是七邊形故選：D．2．（23-24八年級上·山東淄博·階段練習）將一個四邊形截去一個角后，所形成的一個新的多邊形的內(nèi)角和是（

）A．14 B．23 C．或 D．或或【答案】D【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，能夠得出一個四邊形截一刀后得到的圖形有三種情形，是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)一個四邊形截一刀后得到的多邊形的邊數(shù)即可得出結(jié)果．【詳解】如圖所示：多邊形截去一個角有三種情況．一種是從兩個角的頂點截取，這樣就少了一條邊，即原四邊形變?yōu)槿切?；另一種就是從一個邊的任意位置和一個角頂點截，那樣原多邊形邊數(shù)不變，還是四邊形；還有一種是從兩個邊的任意位置截，那樣就多了一條邊，即原四邊形為五邊形；新的多邊形的內(nèi)角和可能是，或，或．故選：D．3．（23-24八年級上·遼寧營口·期中）如果把一個多邊形剪去一個內(nèi)角，剩余部分的內(nèi)角和為，那么原多邊形有條邊．【答案】或或9【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和度數(shù)，熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．【詳解】解：以五邊形為例，如圖所示：

剪去一個內(nèi)角后，多邊形的邊數(shù)可能加，可能不變，也可能減設(shè)新多邊形的邊數(shù)為，則，解得：∴原多邊形可能有或或9條邊．故答案為：或或9．4．（23-24八年級上·北京朝陽·期末）在一張凸n邊形紙片上剪去一個三角形紙片，得到一個內(nèi)角和為的凸多邊形紙片，則n的值為．【答案】5或6或7【分析】本題考查多邊形內(nèi)角和定理、剪紙問題，掌握多邊形的內(nèi)角和定理及分類討論問題是解題的關(guān)鍵．設(shè)剪去一個角后的多邊形邊數(shù)為n，利用多邊形內(nèi)角和公式則有，解出方程就可以得到新多邊形的邊數(shù)；然后通過分析當沿的是對角線和沿的不是對角線這兩種方式剪角，就可以求出原來多邊形的邊數(shù)．【詳解】解：設(shè)內(nèi)角和為的多邊形的邊數(shù)為n，則，解得，即得到的多邊形是6邊形，當沿的是一條對角線剪去一個角，則原來的是7邊形，當沿的直線并不是對角線時，分為兩種情況：①過多邊形的一個頂點，則原來的是6邊形；②不過多邊形的頂點，則原來的是5邊形，綜上所述，原多邊形的邊數(shù)為5或6或7，故答案為：5或6或7．5．（23-24八年級下·湖北武漢·開學考試）一個多邊形截去一個角后，形成新多邊形的內(nèi)角和為，求原多邊形邊數(shù)．【答案】原多邊形的邊數(shù)可能是15或16或17【分析】此題考查了多邊形的內(nèi)角和公式．設(shè)新的多邊形的邊數(shù)為n，由多邊形內(nèi)角和公式，可得方程，即可求得新的多邊形的邊數(shù)，繼而求得答案．【詳解】解：設(shè)新的多邊形的邊數(shù)為n，∵新的多邊形的內(nèi)角和是，∴，解得：，∵一個多邊形從某一個頂點出發(fā)截去一個角后所形成的新的多邊形是十六邊形，∴原多邊形的邊數(shù)可能是15或16或17．6．（23-24八年級上·陜西安康·期中）小創(chuàng)做了一個數(shù)學實驗，他先剪出一個長方形紙片，記為四邊形，然后再剪去一個角，則剩下的多邊形的內(nèi)角和是多少度？

【答案】剩下的多邊形的內(nèi)角和是或或．【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，分四邊形剪去一個角，邊數(shù)減少1，不變，增加1，三種情況討論求出所得多邊形的內(nèi)角和，即可得解．【詳解】解：剪去一個角，若邊數(shù)減少1，為三角形，則內(nèi)角和為；若邊數(shù)不變，還是四邊形，則內(nèi)角和為；若邊數(shù)增加1，為五角形，則內(nèi)角和，綜上，剩下的多邊形的內(nèi)角和是或或．【典型例題十復雜圖形的內(nèi)角和】1．（22-23八年級上·遼寧撫順·階段練習）如圖，等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)四邊形內(nèi)角和可得，再由“8”字三角形可得，進而可得答案．【詳解】解：連接，如圖，∵，，∴，故選C．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，以及“8”字三角形的特點，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·遼寧葫蘆島·三模）如圖，多邊形ABCDEFG中，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接CD，設(shè)AD與BC交于點O，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可求出∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD，根據(jù)各角的關(guān)系即可求出∠ODC＋∠OCD，然后根據(jù)對頂角的相等和三角形的內(nèi)角和定義即可求出結(jié)論．【詳解】解：連接CD，設(shè)AD與BC交于點O∵∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD=180°×（5－2）=540°，，，∴108°＋108°＋108°＋72°＋∠ODC＋72°＋∠OCD=540°∴∠ODC＋∠OCD=72°∵∠AOB=∠COD∴∠A＋∠B=180°－∠AOB=180°－∠COD=∠ODC＋∠OCD=72°故選B．【點睛】此題考查的是多邊形的內(nèi)角和公式和對頂角的性質(zhì)，掌握多邊形的內(nèi)角和公式和對頂角相等是解決此題的關(guān)鍵．3．（2023九年級·全國·專題練習）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝．【答案】900°【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和，可得答案．【詳解】解：連EF，GI，如圖，∵6邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（6－2）×180°＝720°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，故答案為：900°．【點睛】本題考查了n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為（n－2）×180°（n≥3的整數(shù)）．4．（22-23七年級下·江蘇揚州·期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝．【答案】540°【分析】連接ED，由三角形內(nèi)角和可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE，再由五邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論．【詳解】連接ED，∵∠A+∠B=180°-∠AOB，∠BED+∠ADE=180°-∠DOE，∠AOB=∠DOE，∴∠A+∠B=∠BED+∠ADE，∵∠CDE+∠DEF+∠C+∠F+∠G=(5-2)×180°=540°，即∠CDO+∠ADE+BED+∠BEF+∠C+∠F+∠G=540°，∴∠A+∠B+∠C+∠CDO+∠BEF+∠F+∠G=540°．故答案為：540°．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和公式，以及多邊形的內(nèi)角和公式，熟記多邊形的內(nèi)角和公式為(n-2)×180°是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023九年級·全國·專題練習）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度數(shù)．【答案】540°【分析】如圖所示，由三角形外角的性質(zhì)可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多邊形的內(nèi)角和公式可求得答案．【詳解】解：如圖所示：由三角形的外角的性質(zhì)可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．【點睛】本題主要考查的是三角形外角的性質(zhì)和多邊形的內(nèi)角和公式的應用，利用三角形外角和的性質(zhì)將所求各角的和轉(zhuǎn)化為五邊形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵6．（2023九年級·全國·專題練習）（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)；（3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°【分析】（1）連接AD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，進而將問題轉(zhuǎn)化為求四邊形ADEF的內(nèi)角和，（2）與（1）方法相同轉(zhuǎn)化為求六邊形ABCDEF的內(nèi)角和，（3）使用上述方法，轉(zhuǎn)化為求五邊形ABCDE的內(nèi)角和．【詳解】解：（1）如圖①，連接AD，由三角形的內(nèi)角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F即四邊形ADEF的內(nèi)角和，四邊形的內(nèi)角和為360°，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，（2）如圖②，由（1）方法可得：∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度數(shù)等于六邊形ABCDEF的內(nèi)角和，∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，（3）如圖③，根據(jù)（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度數(shù)等于五邊形ABCDE的內(nèi)角和，∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，【點睛】本題考查三角形的內(nèi)角和、多邊形的內(nèi)角和的計算方法，適當?shù)霓D(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵．【典型例題十一正多邊形的外角問題】1．（2024·江蘇無錫·三模）正十二邊形的外角和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查多邊形的外角和問題，多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和都等于．【詳解】解：因為多邊形的外角和為，所以正十二邊形的外角和為．故選：C．2．（2024·山東·中考真題）如圖，已知，，是正邊形的三條邊，在同一平面內(nèi)，以為邊在該正邊形的外部作正方形．若，則的值為（

）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】A【分析】本題考查的是正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的外角和，先求解正多邊形的1個內(nèi)角度數(shù)，得到正多邊形的1個外角度數(shù)，再結(jié)合外角和可得答案.【詳解】解：∵正方形，∴，∵，∴，∴正邊形的一個外角為，∴的值為；故選A3．（2024·廣東東莞·一模）如果一個正多邊形的一個外角是，則這個正多邊形是邊形．【答案】八【分析】本題主要考查正多邊形的外角和問題，熟練掌握正多邊形的定義及多邊形外角和是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：正多邊形的每個外角相等，且其和為，∴這個正多邊形的邊數(shù)為．故答案為：八．4．（23-24八年級下·湖南益陽·階段練習）寧夏川民俗園為國家AAAA級旅游景區(qū)和紅色旅游經(jīng)典景區(qū)，小林去民俗園參加實踐活動時發(fā)現(xiàn)，“金色禮儀大殿”內(nèi)有正八邊形圖案，如圖所示，則的大小為度．【答案】45【分析】本題考查正多邊形的外角性質(zhì)．根據(jù)多邊形的外角和是以及正八邊形的性質(zhì)進行計算即可．【詳解】解：∵是正八邊形的一個外角，而正八邊形的每個外角都相等，∴，故答案為：45．5．（23-24八年級上·陜西商洛·期中）已知一個n邊形的每一個內(nèi)角都等于150°，求n的值．【答案】12【分析】本題考查正多邊形的外角問題．根據(jù)題意，得到n邊形的每一個外角都等于30°，再根據(jù)外角和為360度，求解即可．掌握正多邊形的每一個外角都相等，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵一個n邊形的每一個內(nèi)角都等于150°，∴n邊形的每一個外角都等于30°，∴．6．（22-23八年級上·湖南長沙·階段練習）已知一個多邊形的邊數(shù)，它的每一個內(nèi)角都等于，求：（1）邊數(shù)；

（2）這個邊形的內(nèi)角和；【答案】(1)12;(2)1800o【分析】(1)先求出這個多邊形的每一個外角的度數(shù)，再用360°除以一個外角的度數(shù)即可得到邊數(shù);(2)根據(jù)內(nèi)角和公式求解.【詳解】(1)∵它的每一個內(nèi)角都等于150o,∴每個外角都等于30o,∴n=;(2)內(nèi)角和為：【點睛】考查了多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系，求出每一個外角的度數(shù)是關(guān)鍵．【典型例題十二多邊形外角和的實際應用】1．（23-24八年級下·湖南懷化·期中）若一個多邊形每一個外角都相等，且一個內(nèi)角的度數(shù)是，則這個多邊形是（

）A．正八邊形 B．正九邊形 C．正十邊形 D．正十一邊形【答案】B【分析】本題考查了正多邊形的外角與外角和的關(guān)系，需要熟練掌握并靈活運用．先根據(jù)平角的定義求出每一個外角的度數(shù)，再根據(jù)邊數(shù)外角度數(shù)計算即可．【詳解】解：，，這個多邊形是正九邊形．故選：B．2．（2024·江蘇無錫·二模）如圖，小強站在五邊形健身步道的起點P處，沿著P，B，C，D，E，A，P的方向行走，最終回到了P處．在這過程中，小強轉(zhuǎn)過的角度說明了（）A．五邊形的內(nèi)角和是 B．五邊形的外角和是C．五邊形的內(nèi)角和是 D．五邊形的外角和是【答案】B【分析】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和外角．根據(jù)題意可知小強轉(zhuǎn)過的角度之和正好是五邊形的外角和，再根據(jù)多邊形的外角和性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：小強轉(zhuǎn)過的角度之和正好是五邊形的外角和，小強轉(zhuǎn)過的角度之和為．故選：B．3．（2024·福建廈門·二模）五邊形的外角和為．【答案】/360度【分析】本題考查了多邊形的外角和，熟記多邊形的外角和等于是解題關(guān)鍵．根據(jù)多邊形的外角和等于即可得．【詳解】解：因為多邊形的外角和等于，所以五邊形的外角和為，故答案為：．4．（23-24九年級下·重慶·期中）如圖，已知，那么．【答案】【分析】本題考查了多邊形的外角和，熟練掌握基本知識是解決本題的關(guān)鍵．由多邊形的外角和等于得，代入即可求解度數(shù)．【詳解】解：由多邊形的外角和等于得：，而，∴，故答案為：80．5．（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題主要考查了多邊形外角和三角形的外角性質(zhì)，把所求的幾個角轉(zhuǎn)化為一個四邊形的外角和即可求解．【詳解】解：如下圖，6．（23-24八年級上·河南新鄉(xiāng)·期中）如圖，小明從點A出發(fā)，前進10m后向右轉(zhuǎn)30°，再前進10m后又向右轉(zhuǎn)30°，……，如此反復下去，直到她第一次回到出發(fā)點A，他所走的路徑構(gòu)成了一個正多邊形．(1)求小明一共走了多少米；(2)求這個正多邊形的內(nèi)角和．【答案】(1)小明一共走了120米(2)這個多邊形的內(nèi)角和是．【分析】本題考查了正多邊形的外角的計算以及多邊形的內(nèi)角和．（1）第一次回到出發(fā)點A時，所經(jīng)過的路線正好構(gòu)成一個外角是30度的正多邊形，求得邊數(shù)，即可求解；（2）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵所經(jīng)過的路線正好構(gòu)成一個外角是30度的正多邊形，∴，（米）；答：小明一共走了120米；（2）解：根據(jù)題意得：，答：這個多邊形的內(nèi)角和是．【典型例題十三多邊形內(nèi)角和與外角和綜合】1．（2024·湖北宜昌·模擬預測）已知一個正多邊形的一個內(nèi)角是一個外角的兩倍，則這個正多邊形是（

）A．正六邊形 B．正七邊形 C．正八邊形 D．正九邊形【答案】A【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和的問題，設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是，根據(jù)一個內(nèi)角是一個外角的兩倍，可得該正多邊形內(nèi)角和是其外角和的倍，列出方程求解即可，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式、熟記多邊形外角和為是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)是，∵一個內(nèi)角是一個外角的兩倍，∴該正多邊形內(nèi)角和是其外角和的倍，∴，解得：，∴這個正多邊形是正六邊形．故選：A．2．（2024八年級下·上?！ｎ}練習）一多邊形的每一個內(nèi)角都等于它相鄰外角的4倍，則該多邊形的邊數(shù)是（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】本題考查了多邊形的外角和定理，掌握多邊形的外角和為是解答本題的關(guān)鍵．設(shè)出外角的度數(shù)，表示出內(nèi)角的度數(shù)，根據(jù)一個內(nèi)角與它相鄰的外角互補列出方程，解方程得到答案．【詳解】解：設(shè)外角為，則相鄰的內(nèi)角為，由題意得，，解得：，多邊形的外角和為，，這個多邊形的邊數(shù)為10．故選：C．3．（23-24七年級下·江蘇徐州·期中）若一個多邊形的每一個內(nèi)角都是150°，則它是邊形．【答案】12【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角綜合．一個多邊形的每一個內(nèi)角都是，即每個外角是．正多邊形的外角和是，這個正多邊形的每個外角相等，因而用除以外角的個數(shù)，就得到外角和中外角的個數(shù)，外角的個數(shù)就是多邊形的邊數(shù)．【詳解】解：一個多邊形的每一個內(nèi)角都是，即每個外角是．，則它是12邊形．故答案為：12．4．（2024·重慶·二模）一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的差為，則它的邊數(shù)為．【答案】5【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和及外角和，掌握邊形的內(nèi)角和公式及外角和為是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為，由題意得，解得：，故答案：5．5．（23-24七年級下·福建泉州·期中）已知一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的差剛好等于一個十邊形的內(nèi)角和，求這個多邊形的邊數(shù)．【答案】這個多邊形的邊數(shù)為12．【分析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意得出方程，求出方程的解即可．【詳解】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意得：，解得：．答：這個多邊形的邊數(shù)為12．6．（23-24八年級下·湖南永州·期中）一個正多邊形的內(nèi)角和是外角和的倍，求這個正多邊形一個內(nèi)角的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和，設(shè)此多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)題意得出，求出的值即可．【詳解】解：∵該正多邊形的內(nèi)角和等于外角和的倍，設(shè)此多邊形的邊數(shù)為，則有：，解得：，內(nèi)角的度數(shù)為．【典型例題十四平面鑲嵌】1．（23-24七年級下·山東聊城·階段練習）只用下列一種正多邊形不能密鋪成平面圖案的是（

）A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形【答案】C【分析】考查了平面鑲嵌(密鋪)，用一種正多邊形鑲嵌，只有正三角形，正四邊形，正六邊形三種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖案．平面圖形?嵌的條件：判斷一種圖形是否能夠鑲嵌，只要看一看拼在同一頂點處的幾個角能否構(gòu)成周角．若能構(gòu)成，則說明能夠進行平面鑲嵌；反之則不能．【詳解】解：∵用一種正多邊形鑲嵌，只有正三角形，正四邊形，正六邊形三種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖案，∴只用上面正多邊形，不能進行平面鑲嵌的是正五邊形．故選：C．2．（23-24七年級下·吉林長春·期中）如圖，有四種瓷磚圖案，用同一種瓷磚能鋪滿地面的是（

）

（1）

（2）

（3）

（4）

A．（1）（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）【答案】A【分析】本題考查幾何圖形平面鑲嵌(密鋪)的基本性質(zhì)，能夠鋪滿地面的圖形是看一看拼在同一頂點處的幾個角能否構(gòu)成周角．【詳解】解：（1）正三角形的每個內(nèi)角是，能整除，能密鋪，故符合題意；（2）正方形的每個內(nèi)角是，能整除，能密鋪，故符合題意；（3）正五邊形的每個內(nèi)角是，不能整除，不能密鋪，故不符合題意；（4）正六邊形的每個內(nèi)角是，能整除，能密鋪，故符合題意；∴符合題意有（1）（2）（4），故選：A．3．（22-23七年級下·重慶萬州·期末）用正六邊形的瓷磚鋪滿地面，圍繞一點拼在一起的正六邊形瓷磚的塊數(shù)是塊．【答案】3【分析】證據(jù)正多邊形的性質(zhì)求出正六邊形的內(nèi)角，即可求值．【詳解】解：∵正六邊形一個內(nèi)角的度數(shù)為：，∴圍繞一點拼在一起的正六邊形瓷磚的塊數(shù)是：塊，故答案為：3．【點睛】幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點拼在一起的多邊形的內(nèi)角和加在一起恰好組成一個周角．4．（22-23八年級上·天津?qū)氎妗て谥校┌堰呴L為a的正三角形和正方形組合鑲嵌，若用2個正方形，則還需個正三角形才可以鑲嵌．【答案】3【分析】由鑲嵌的條件知，在一個頂點處各個內(nèi)角和為360°，進而得出正三角形的個數(shù)即可．【詳解】解：∵正三角形的每個內(nèi)角是60°，正方形的每個內(nèi)角是90°，又∵3×60°+2×90°＝360°，∴用2個正方形，則還需3個正三角形才可以鑲嵌．故答案為3．【點睛】此題主要考查了平面鑲嵌，幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角．5．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）某裝飾材料加工廠有一批從生產(chǎn)線上下來的正六邊形原材料（如圖①），現(xiàn)從一個正六邊形中剪去一個與其邊長相等的等邊三角形，將其移到如圖②所示的位置．為了不浪費材料，你能利用它們鋪滿地面嗎？若不能，請說明理由；若能，請你給出自己的一種設(shè)計．

【答案】能，見解析【分析】本題考查了作圖—應用與設(shè)計；根據(jù)正六邊形可以進行平面鑲嵌，類似的將等邊三角形填充到剪去的位置即可．【詳解】解：能．設(shè)計方案圖所示．

6．（22-23七年級下·山西晉城·期末）數(shù)學上可以說明有些正多邊形（一種或多種）組合可以鋪滿地面，有些則不行．以下精美圖案隱含著豐富的數(shù)學藝術(shù)之美，請你仿照這些圖案在網(wǎng)格中利用至少兩種正多邊形進行鋪滿地面的圖案設(shè)計．【答案】見解析【分析】判斷幾種圖形是否能夠鑲嵌，只要看一看拼在同一頂點處的幾個角能否構(gòu)成．【詳解】∵正方形每個內(nèi)角是，正三角形的每個內(nèi)角是，，∴圍繞每個頂點處用2個正方形，3個正三角形形可以鋪滿底面．如圖：【點睛】此題考查了平面鑲嵌（密鋪），幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角．【變式訓練1多邊形的概念與分類】1．（23-24七年級上·廣東佛山·階段練習）在如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】本題考查多邊形定義，根據(jù)多邊形定義，逐個驗證即可得到答案．【詳解】解：所示的圖形中，第一個是三角形、第二個是四邊形、第三個是圓、第四個是正六邊形、第五個是正方體，是多邊形的有第一個、第二個、第四個，共有3個，故選：C．2．（23-24八年級上·廣東汕頭·階段練習）下列說法正確的是（

）A．由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形B．多邊形的兩邊所在直線組成的角是這個多邊形的內(nèi)角或外角C．各個角都相等，各條邊都相等的多邊形是正多邊形D．連接多邊形的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線【答案】C【分析】根據(jù)多邊形的概念，逐項判斷即可求解．【詳解】解：A、在平面內(nèi)，由三條或三條以上的線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形，故本選項錯誤，不符合題意；B、多邊形的一邊與另一邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角，多邊形的一邊與另一邊的延長線所組成的角叫做多邊形的外角，故本選項錯誤，不符合題意；C、各個角都相等，各條邊都相等的多邊形是正多邊形，故本選項正確，符合題意；D、連接多邊形兩個頂點的線段，分為兩種類型是連接相鄰兩個頂點的線段是多邊形的邊，連接不相鄰的頂點的線段叫做多邊形的對角線，故本選項錯誤，不符合題意；故選：C【點睛】本題主要考查了多邊形的概念；多邊形內(nèi)角、外角的概念；對角線的概念，熟練掌握由三條或三條以上的線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形是解題的關(guān)鍵．3．（22-23八年級上·全國·課后作業(yè)）在平面內(nèi)，由一些線段相接組成的圖形叫做多邊形．【答案】首尾順次【詳解】在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．故答案為首尾順次.4．（22-23七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖所示的圖案是由、、構(gòu)成的(填基本圖形名稱)．【答案】（1）三角形；（2）四邊形；（3）十邊形.【詳解】分析：觀察所給圖案，找出構(gòu)成圖案的基本圖形即可.詳解：觀察所給圖案可知：組成該圖案的基本圖形有：（1）三角形；（2）四邊形；（3）十邊形.故答案為：（1）三角形；（2）四邊形；（3）十邊形.點睛：認真觀察所給圖案，熟悉常見的幾何圖形是解答本題的關(guān)鍵.5．（22-23八年級上·全國·課后作業(yè)）圖中的各個圖形，是否是多邊形？如果是，說出是幾邊形．【答案】圖①②④是多邊形，圖③不是多邊形．其中圖①是四邊形，圖②是五邊形，圖④是五邊形．【分析】根據(jù)多邊形的概念進行判斷．【詳解】①是多邊形，是四邊形；②是多邊形，是五邊形；③不是多邊形；④是多邊形，是五邊形．【點睛】本題考查的是多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線段首位順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．6．（2023·湖南湘潭·中考真題）比較正五邊形與正六邊形，可以發(fā)現(xiàn)它們的相同點和不同點．例如：它們的一個相同點：正五邊形的各邊相等，正六邊形的各邊也相等．它們的一個不同點：正五邊形不是中心對稱圖形，正六邊形是中心對稱圖形．請你再寫出它們的兩個相同點和不同點：相同點：①；②．不同點：①；②．【答案】解：相同點：①正五邊形的和正六邊形都是軸對稱圖形．②正五邊形的和正六邊形內(nèi)角都相等．不同點：①正五邊形的對角線都相等；正六邊形對角線不全等．②正五邊形的對角線不交于同一點；正六邊形對角線過中心的三條交于同一點．【詳解】相同點：①正五邊形的和正六邊形都是軸對稱圖形．②正五邊形的和正六邊形內(nèi)角都相等．不同點：①正五邊形的對角線都相等；正六邊形對角線不全等．②正五邊形的對角線不交于同一點；正六邊形對角線過中心的三條交于同一點．【變式訓練2網(wǎng)格中多邊形面積比較】1．（2023·遼寧葫蘆島·一模）如圖是邊長為1的正方形網(wǎng)格，A、B、C、D均為格點，則四邊形的面積為()A．7 B．10 C． D．8【答案】A【分析】利用分割法即可解決問題.【詳解】解：S四邊形ABCD＝3×4﹣×2×1×2﹣×1×3×2＝12﹣5＝7，故選A．【點睛】本題考查了四邊形的面積和網(wǎng)格問題，利用圖形得出各邊長度是解題關(guān)鍵．2．（23-24八年級·江蘇·假期作業(yè)）如圖所示的方格（每個小方格面積為1）中陰影部分為兩個軸對稱型的漢字，圖①中漢字面積為，圖②中漢字的面積為，則的值為（）A．1 B．2 C．3 D．【答案】D【分析】利用割補法分別求出和的面積，再作差即可．【詳解】解：如圖，，，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查不規(guī)則圖形的面積，掌握割補法求不規(guī)則圖形的面積是解題關(guān)鍵．3．（23-24九年級下·吉林長春·階段練習）如圖，在正六邊形中，的面積為3，則四邊形的面積為【答案】9【分析】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解．【詳解】解：如下圖，作，六邊形是正六邊形，，，的面積為3，，四邊形的面積為，故答案為：9．4．（2023·北京昌平·二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點A，B，C，D是網(wǎng)格線交點，則的面積與的面積大小關(guān)系為：（填“＞”“＝”或“＜”），【答案】=【分析】分別求出△ABC的面積和△ABD的面積，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：=．【點睛】本題考查了三角形的面積，掌握三角形的面積公式是本題的關(guān)鍵．5．（22-23七年級下·安徽合肥·期末）如圖，在每個小正方形的邊長為1個單位的網(wǎng)格中，的頂點均在格點（網(wǎng)格線的交點）上，按要求進行下列作圖．(1)將先向右平移4個單位，再向上平移2個單位，請畫出經(jīng)兩次平移后得到的（其中點與點對應，點與點對應，點與點對應）；(2)連接和，則四邊形的面積為．【答案】(1)見解析(2)16【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)即可將△ABC先向右平移4個單位，再向上平移2個單位，畫出經(jīng)兩次平移后得到的△A1B1C1；（2）根據(jù)網(wǎng)格即可求出四邊形ACC1A1的面積．【詳解】（1）解：如圖，△A1B1C1即為所求；（2）解：∵AC＝CC1＝C1A1＝A1A，∴四邊形ACC1A1是菱形，∴四邊形ACC1A1的面積＝4×8＝16．故答案為：16．【點睛】本題考查了作圖﹣平移變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握平移的性質(zhì)．6．（22-23七年級下·江西贛州·期末）如圖，在7×12的方格紙中，每個小正方形的邊長為一個長度單位，點A、B、C都在格點上．(1)將線段BC向上平移2個單位得到線段DE，在方格紙中畫出線段DE，連接AD，AE；(2)三角形ADE的面積＝．【答案】(1)見解析(2)11【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作圖即可；（2）用△ADE所在長方形的面積減去周圍三個直角三角形的面積即可．【詳解】（1）解：如圖，線段即為所求；（2）△ADE的面積＝，故答案為：11．【點睛】本題考查了作圖—平移，割補法求三角形面積，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓練3多邊形對角線的條數(shù)問題】1．（23-24七年級下·山東淄博·期中）從某多邊形一個頂點出發(fā)連接其余各頂點得7條對角線，則這個多邊形的邊數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】本題考查了一個頂點出發(fā)的對角線條數(shù)，牢記公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)從多邊形的一個頂點可以作對角線的條數(shù)公式求出邊數(shù)即可得解．【詳解】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為，多邊形從一個頂點出發(fā)可引出7條對角線，，解得．故選：D．2．（23-24七年級上·甘肅白銀·階段練習）過七邊形一個頂點可以引出的對角線的條數(shù)為________，這些對角線將多邊形分成了________個三角形，這個多邊形共有________條對角線（

）A．4，5，21 B．4，5，14 C．5，4，28 D．5，4，21【答案】B【分析】本題主要考查了多邊形的對角線問題，熟練掌握過n邊形的一個頂點，可以引出條對角線，這些對角線把該多邊形分成個三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：從一個七邊形的一個頂點可引出條對角線，這些對角線把這個七邊形分成個三角形，七邊形共有對角線條數(shù)為：（條）．故選：B．3．（22-23八年級上·湖北武漢·期末）n邊形（）同一頂點處可引條對角線．【答案】/【分析】本題考查多邊形的對角線，根據(jù)從n邊形（）同一個頂點處可引條對角線作答即可．【詳解】解：n邊形（）同一個頂點處可引條對角線；故答案為：．4．（23-24六年級下·山東淄博·期中）過四邊形的一個頂點作對角線，可將四邊形分成個三角形．【答案】2/兩/二【分析】本題考查了多邊形的對角線，牢記n邊形從一個頂點出發(fā)可引出條對角線，把n邊形分成個三角形，再進一步解答即可．【詳解】解：過四邊形的一個頂點出發(fā)可以引1條對角線，把四邊形分割成2個三角形，故答案為2．5．（22-23八年級下·全國·課后作業(yè)）畫出圖中多邊形的所有對角線．【答案】【分析】將與每個頂點不相鄰的頂點連起來即可.【詳解】解：分別將兩個圖形中的與每個頂點不相鄰的頂點連接起來，如圖：【點睛】本題主要考查了多邊形對角線的概念，熟記概念和嫻熟的作圖能力是解答本題的關(guān)鍵.6．（22-23七年級上·全國·課后作業(yè)）從四邊形的一個頂點出發(fā)，可以畫出幾條對角線？從五邊形的一個頂點出發(fā)，可以畫出幾條對角線？六邊形……n邊形呢？和同伴交流你的想法．【答案】見解析【分析】根據(jù)圖形，得出從多邊形一個頂點可以畫出多少條對角線即可．【詳解】解：由圖形可知，從四邊形的一個頂點出發(fā)，可以畫出1條對角線；從五邊形的一個頂點出發(fā)，可以畫出2條對角線；從六邊形的一個頂點出發(fā)，可以畫出3條對角線；從七邊形的一個頂點出發(fā)，可以畫出4條對角線；可以發(fā)現(xiàn)，從多邊形的一個頂點出發(fā)，可以畫出的對角線條數(shù)比邊數(shù)少3；從n邊形的一個頂點出發(fā)，可以畫出（n-3）條對角線；因為從一個頂點出發(fā)，有它本身這個頂點和左右相鄰的各一個頂點不能連出對角線，故從多邊形的一個頂點出發(fā)，可以畫出的對角線條數(shù)比邊數(shù)少3；【點睛】本題考查了多邊形對角線的條數(shù)問題，解題關(guān)鍵是準確識圖，通過計算發(fā)現(xiàn)規(guī)律．【變式訓練4對角線分成的三角形個數(shù)問題】1．（2024八年級下·全國·專題練習）從五邊形一個頂點引出的對角線把該五邊形分成n個三角形，則n是（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】此題主要考查了多邊形的對角線，理解從邊形的一個頂點引出的對角線把邊形分成個三角形是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)從邊形的一個頂點引出的對角線把邊形分成個三角形可得出答案．【詳解】解：從五邊形一個頂點引出的對角線把該五邊形分成個三角形．，故選：C2．（23-24七年級上·貴州貴陽·期末）在學習完多邊形后，小華同學將一個五邊形沿如圖所示的直線剪掉一個角后，得到一個多邊形，下列說法正確的是（

）A．這個多邊形是一個五邊形B．從這個多邊形的頂點出發(fā)，最多可以畫4條對角線C．從頂點出發(fā)的所有對角線將這個多邊形分成了4個三角形D．以上說法都不正確【答案】C【分析】本題考查了多邊形的對角線個數(shù)問題及被對角線分割成的三角形數(shù)目問題，解題關(guān)鍵是找出其中的規(guī)律．根據(jù)選項一一對照判斷即可．【詳解】解：A、這個多邊形是一個六邊形，故錯誤，不符合題意．B、從這個多邊形的頂點出發(fā)，最多可以畫3條對角線，故錯誤，不符合題意，C、從頂點出發(fā)的所有對角線將這個多邊形分成了4個三角形，正確，符合題意，D、以上說法C正確．故選∶C．3．（23-24七年級上·陜西漢中·期末）過五邊形一個頂點的所有對角線，將這個五邊形分成個三角形，則的值為．【答案】3【分析】本題考查多邊形的對角線，根據(jù)多邊形的對角線性質(zhì)，過n邊形一個頂點可將其分成個三角形．即可求得答案．【詳解】解：過五邊形一個頂點的所有對角線，把這個多邊形分成三角形的個數(shù)是（個），故答案為：3．4．（22-23七年級下·四川成都·開學考試）過某個多邊形的一個頂點的所有對角線，將這個多邊形分成2023個三角形，則這個多邊形的邊數(shù)為．【答案】2025【分析】根據(jù)多邊形的邊數(shù)=三角形的個數(shù)+2，即可求解．【詳解】解：∵過某個多邊形的一個頂點的所有對角線，將這個多邊形分成2023個三角形，∴這個多邊形的邊數(shù)為，故答案為：2025．【點睛】本題主要考查多邊形的邊數(shù)，理解多邊形和三角形之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．過n邊形的一個頂點的所有對角線，將這個多邊形分成個三角形．5．（23-24八年級上·全國·課后作業(yè)）連接多邊形的一個頂點與其他頂點的線段把這個多邊形分成了6個三角形，求多邊形的邊數(shù)．【答案】8【分析】根據(jù)過邊形的一個頂點可以引條對角線，將邊形分成個三角形即可得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為，依題意得，解得．∴多邊形的邊數(shù)為8．【點睛】本題考查了多邊形對角線的相關(guān)知識，掌握過邊形的一個頂點可以引條對角線，將邊形分成個三角形是本題的關(guān)鍵．6．（23-24八年級上·全國·課堂例題）（1）如圖①，O為四邊形內(nèi)一點，連接，可以得到幾個三角形？它與邊數(shù)有何關(guān)系？

（2）如圖②，點O在五邊形的邊上（不與端點重合），連接，可以得到幾個三角形？它與邊數(shù)有何關(guān)系？（3）如圖③，過點A作六邊形的對角線，可以得到幾個三角形？它與邊數(shù)有何關(guān)系？（4）若是任意一個n（，且n為整數(shù)）邊形，上述三種情況分別可以將n邊形分割成多少個三角形？【答案】（1）4個，它與邊數(shù)相等．（2）4個，它等于邊數(shù)減1．（3）4個，它等于邊數(shù)減2．（4）若點在n邊形內(nèi)部，則可以將n邊形分割成n個三角形；若點在n邊形的邊上（不與端點重合），則可以將邊形分割成個三角形；若點為邊形的頂點，則可以將邊形分割成個三角形．【分析】（1）根據(jù)圖形，求解即可；（2）依據(jù)題中的圖形，求解即可；（3）依據(jù)題中的圖形，求解即可；（4）根據(jù)前面三種情況求解即可．【詳解】解：（1）由圖形可得，可以得到4個三角形，它與邊數(shù)相等；（2）可以得到4個三角形，它等于邊數(shù)減1；（3）可以得到4個三角形，它等于邊數(shù)減2；（4）由前面的性質(zhì)可得，若點在n邊形內(nèi)部，則可以將n邊形分割成n個三角形；若點在n邊形的邊上（不與端點重合），則可以將邊形分割成個三角形；若點為邊形的頂點，則可以將邊形分割成個三角形．【點睛】此題考查了多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握多邊形的有關(guān)性質(zhì)．【變式訓練5多邊形內(nèi)角和問題】1．（23-24八年級下·安徽阜陽·階段練習）一個正多邊形的內(nèi)角和為．則這個正多邊形的邊數(shù)為（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】B【分析】本題多邊形內(nèi)角和公式，解題關(guān)鍵是理解并熟記多邊形內(nèi)角和公式．根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理：可得方程，再解方程即可．【詳解】解：設(shè)多邊形邊數(shù)有x條，由題意得：解得：故選B2．（23-24八年級下·浙江杭州·期中）如圖，多邊形，是延長線上的一點，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角與外角，掌握多邊形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)鄰補角求出，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理求出五邊形的內(nèi)角和，即可求解．【詳解】解：，，五邊形的內(nèi)角和是，，故選：C．3．（2024·四川自貢·中考真題）凸七邊形的內(nèi)角和是度．【答案】9