山東省煙臺市龍口市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期3月份月考數(shù)學(xué)試題

高二數(shù)學(xué)（時間：120分鐘，分值：150分）2023.3一?選擇題：本題共8.小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.假設(shè)，是兩個事件，且，，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件概率的計算公式和事件的獨立性依次討論求解即可.【詳解】解：對于A選項，由，可知，故A選項正確；對于B選項，成立的條件為，是兩個獨立事件，故錯誤；對于C選項，由，故當(dāng)時才有，故錯誤；對于D選項，由題知，故，即，是兩個獨立事件時成立，故錯誤.故選：A2.正八邊形的對角線的條數(shù)是（）A.20 B.28 C.48 D.56【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用多邊形對角線的定義，結(jié)合組合的意義列式作答.【詳解】正八邊形的對角線是連接正八邊形的任意兩個不相鄰頂點的線段，所以正八邊形的對角線的條數(shù)是.故選：A3.展開式的中間一項的二項式系數(shù)為（）A.15 B.20 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的二項式，確定展開式的項數(shù)即可求出中間一項的二項式系數(shù)作答.【詳解】的展開式共7項，中間一項是第4項，其二項式系數(shù)是.故選：B4.公元五世紀(jì)，數(shù)學(xué)家祖沖之估計圓周率的范圍是：，為紀(jì)念祖沖之在圓周率方面的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國數(shù)學(xué)的偉大成就.甲同學(xué)是個數(shù)學(xué)迷，他在設(shè)置的數(shù)字密碼時，打算將圓周率的前6位數(shù)字3，1，4，1，5，9進(jìn)行某種排列得到密碼.如果排列時要求兩個1不相鄰，那么甲同學(xué)可以設(shè)置的不同密碼個數(shù)為（）A.240 B.360 C.480 D.720【答案】A【解析】【分析】直接利用插空法分兩步完成計算得到答案.【詳解】先把數(shù)字3，4，5，9四個數(shù)排列，共有種排列方法，四個數(shù)排列產(chǎn)生5個空，把兩個1插到5個空里，共有種方法，根據(jù)乘法分步原理得共有種.故選：A5.小陳和小李是某公司的兩名員工，在每個工作日小陳和小李加班的概率分別為和，且兩人同時加班的概率為，則某個工作日，在小李加班的條件下，小陳也加班的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合條件概率公式運算求解.【詳解】記“小李加班”為事件A，“小陳加班”為事件B，則，故在小李加班的條件下，小陳也加班的概率為.故選：C.6.設(shè)是一個離散型隨機變量，其分布列為則等于（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分布列的知識列方程來求得.【詳解】依題意，，解得（大于，舍去）或.故選：C7.設(shè)，若，則（）A8 B.9 C.10 D.11【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二項展開式分別求出的表達(dá)式，解方程即可求得結(jié)果.【詳解】由題可知，，所以；同理可得；由可得，即，所以，即，解得.故選：D8.二進(jìn)制數(shù)是用0和1表示的數(shù)，它的基數(shù)為2，進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”，借位規(guī)則是“借一當(dāng)二”，二制數(shù)(）對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)記為，即其中，，則在中恰好有2個0的所有二進(jìn)制數(shù)對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)的總和為（）A.1910 B.1990 C.12252 D.12523【答案】D【解析】分析】利用等比數(shù)列前n項和以及組合數(shù)問題可解【詳解】根據(jù)題意得，因為在中恰好有2個0的有=28種可能，即所有符合條件的二進(jìn)制數(shù)的個數(shù)為28．所以所有二進(jìn)制數(shù)對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)的和中，出現(xiàn)=28次，，…，2，均出現(xiàn)=21次，所以滿足中恰好有2個0的所有二進(jìn)制數(shù)對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)的和為故選：D．二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.隨機變量服從兩點分布，若，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)兩點分布的定義以及期望，方差的性質(zhì)即可解出．【詳解】因為隨機變量服從兩點分布，，所以，故，因此，，，所以正確的是ABD．故選：ABD．10.已知事件滿足，則（）A.若，則B.若與互斥，則C.若，則與相互獨立D.若與相互獨立，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)事件的關(guān)系以及運算，互斥事件的概率加法公式，獨立事件的概率公式，條件概率的概率公式等即可求出．【詳解】對A，因為，所以，錯誤；對B，因為與互斥，所以，正確；對C，因為，所以，而，所以，正確；對D，因為與相互獨立，所以與相互獨立，所以，，錯誤．故選：BC.11.現(xiàn)安排甲?乙?丙?丁?戊5名同學(xué)參加運動會志愿者服務(wù)活動，有翻譯?導(dǎo)游?禮儀?司機四項工作可以安排，則以下說法正確的有（）A.若每人都安排一項工作，則不同的方法數(shù)為B.若每項工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為C.每項工作至少有1人參加，甲?乙不會開車但能從事其他三項工作，丙?丁?戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是D.如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排1人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，分步乘法計數(shù)原理即可判斷.對于B、C，利用排列組合的應(yīng)用，即可判斷.對于D，利用分組分配知識即可判斷.【詳解】對于A，安排5人參加4項工作，若每人都安排一項工作，每人有4種安排方式，則有種安排方法，故選項A正確.對于B，根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將5人分成4組，再將分好的4組全排列，安排4項工作，有種安排方法，故選項B錯誤.對于C，根據(jù)題意，分2種情況需要討論：①從丙?丁?戊中選出2人開車，②從丙?丁?戊中選出1人開車，則有種安排方法，故選項C正確.對于D，分2步進(jìn)行分析：先將5人分成3組，有種分組方法，將分好的三組安排翻譯?導(dǎo)游?禮儀三項工作，有種安排方法，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為，故選項D正確.故選：ACD.12.甲?乙兩人進(jìn)行局羽毛球比賽（無平局），每局甲獲勝的概率均為.規(guī)定：比賽結(jié)束時獲勝局?jǐn)?shù)多的人贏得比賽.記甲贏得比賽的概率為，假設(shè)每局比賽互不影響，則（）A. B.C. D.單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】【分析】要使甲贏得比賽，則甲至少贏局，據(jù)此根據(jù)獨立事件概率計算方法和二項式定理的性質(zhì)可求，由此可判斷ABC，判斷和的大小即可判斷的單調(diào)性，從而判斷D．詳解】由題意知：要使甲贏得比賽，則甲至少贏局，．∵，又，∴，∴，故C正確；∴，故A正確；，故B錯誤；∵，∴，又∵，∴，∴，即P(n)單調(diào)遞增，故D正確．故選：ACD．【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用二項式定理的性質(zhì)以及獨立事件的乘法公式得出，從而由判斷選項.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則______.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)得到方程，解得即可；【詳解】因為所以或,解得或，經(jīng)檢驗成立故答案為：或14.的展開式中含項的系數(shù)為__________.【答案】【解析】【分析】由展開式的通項和展開式的通項確定含項的系數(shù).【詳解】展開式的通項為.令，則，展開式的通項為，令，則的展開式中含項的系數(shù)為.故答案為：15.如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種___________．（以數(shù)字作答）【答案】72【解析】【分析】本題考查分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，按照顏色的種數(shù)進(jìn)行分為3種顏色和四種顏色依次討論即可.【詳解】按照使用顏色的種類分類，第一類：使用了4種顏色，2,4同色，或3,5同色，則共有(種)，第二類：使用了三種顏色，2,4同色且3,5同色，則共有(種)所以共有48+24=72(種)故答案為：7216.甲?乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，現(xiàn)采用三局兩勝的比賽制度，規(guī)定每一局比賽都沒有平局，且每一局比賽甲贏的概率都是，隨機變量表示最終比賽的局?jǐn)?shù)，若，則的最大值為__________.【答案】##【解析】【分析】依題可知，隨機變量的取值可能為，再求出對應(yīng)的概率，即可得到的表達(dá)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解出．【詳解】依題可知，隨機變量的取值可能為，，，所以，而，所以當(dāng)時，的最大值為．故答案為：．四?解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.求解下列問題：（1）若正整數(shù)滿足：，求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題設(shè)可得且，求解集即可得結(jié)果；（2）利用，且，即可得值.【小問1詳解】由，即，可得且，所以，又為正整數(shù)，故.【小問2詳解】由，而，所以18.將4個編號為1、2、3、4的不同小球全部放入4個編號為1、2、3、4的4個不同盒子中.求：（1）每個盒至少一個球，有多少種不同的放法？（2）恰好有一個空盒，有多少種不同的放法？（3）每盒放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，有多少種不同的放法？（4）把已知中4個不同的小球換成四個完全相同的小球（無編號），其余條件不變，恰有一個空盒，有多少種不同的放法？【答案】（1）24（2）144（3）8（4）12【解析】【分析】利用分步乘法計數(shù)原理逐一分析即可求解.【小問1詳解】根據(jù)題意知，每個盒子里有且只有一個小球，所求放法種數(shù)為（種）；【小問2詳解】先將4個小球分為3組，各組的球數(shù)分別為2、1、1，然后分配給4個盒子中的3個盒子，由分步乘法計數(shù)原理可知，所求的放法種數(shù)為（種）；【小問3詳解】考查編號為1的盒子中放入編號為1的小球，則其它3個球均未放入相應(yīng)編號的盒子，那么編號為2、3、4的盒子中放入的小球編號可以依次為3、4、2或4、2、3，因此，所求放法種數(shù)為（種）；【小問4詳解】按兩步進(jìn)行，空盒編號有4種情況，然后將4個完全相同的小球放入其它3個盒子，沒有空盒，則只需在4個完全相同的小球所形成的3個空（不包括兩端）中插入2塊板，由分步乘法計數(shù)原理可知，所求的放法種數(shù)為（種）.19.已知的展開式的所有項的二項式系數(shù)和為512.（1）若，求；（2）求展開式中系數(shù)最大的項.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）由題意，利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求得，再利用賦值法求得要求式子的值.（2）設(shè)第項系數(shù)最大，則，求得的值，可得展開式中系數(shù)最大的項.【小問1詳解】∵的展開式的所有項的二項式系數(shù)和為，∴.∵，∴令，可得，∴再令，可得，即，∴【小問2詳解】設(shè)第項系數(shù)最大，則，求得，∴，故展開式中系數(shù)最大的項為.20.《奪冠》這部影片講述的是中國女排從1981年首奪世界冠軍到2016年里約奧運會生死攸關(guān)的中巴大戰(zhàn)，詮釋了幾代女排人歷經(jīng)浮沉卻始終不屈不撓、不斷拼搏的傳奇經(jīng)歷.現(xiàn)代排球賽為5局3勝制，每局25分，決勝局15分.前4局比賽中，一隊只有贏得至少25分，并領(lǐng)先對方2分時，才勝1局.在第5局比賽中先獲得15分并領(lǐng)先對方2分的一方獲勝.在一個回合中，贏的球隊獲得1分，輸?shù)那蜿牪坏梅?，且下一回合的發(fā)球權(quán)屬于獲勝方.經(jīng)過統(tǒng)計，甲、乙兩支球隊在每一個回合中輸贏的情況如下：當(dāng)甲隊擁有發(fā)球權(quán)時，甲隊獲勝的概率為；當(dāng)乙隊擁有發(fā)球權(quán)時，甲隊獲勝的概率為.（1）假設(shè)在第1局比賽開始之初，甲隊擁有發(fā)球權(quán)，求甲隊在前3個回合中恰好獲得2分的概率；（2）當(dāng)兩支球隊比拼到第5局時，兩支球隊至少要進(jìn)行15個回合，設(shè)甲隊在第i個回合擁有發(fā)球權(quán)的概率為.假設(shè)在第5局由乙隊先開球，求在第15個回合中甲隊開球的概率，并判斷在此回合中甲、乙兩隊開球的概率的大小.【答案】（1）（2），甲隊開球的概率大于乙隊開球的概率【解析】【分析】（1）在前3個回合中甲隊恰好獲得2分對應(yīng)的勝負(fù)情況為：勝勝負(fù)；勝負(fù)勝；負(fù)勝勝共3種情況，求三種情況的概率之和即可.（2）由與的關(guān)系式求得的通項公式，進(jìn)而得，比較與即可.【小問1詳解】在前3個回合中甲隊恰好獲得2分對應(yīng)的勝負(fù)情況為：勝勝負(fù)；勝負(fù)勝；負(fù)勝勝共3種情況，對應(yīng)的概率分別記為：、、，；；，所以甲隊在前3個回合中恰好獲得2分的概率.【小問2詳解】由全概率公式可得，，即.易知，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，故.又因為，所以.而在每一個回合中，甲、乙兩隊開球的概率之和為1，從而可得在此回合中甲隊開球的概率大于乙隊開球的概率.21.本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多．某自行車租車點的收費標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租時間不超過兩小時免費，超過兩個小時的部分每小時收費2元（不足1小時的部分按1小時計算）．有甲、乙兩人獨立來該租車點車租騎游（各租一車一次）．設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為；兩人租車時間都不會超過四小時．（1）求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量，求的分布列．【答案】（1）（2）分布列見解析【解析】【分析】(1)先求出甲，乙在三小時以上且不超過四小時還車的概率分別為,再計算租車費用相同的概率；(2)可能取得值為0，2，4，6，8，分別計算對應(yīng)的概率，再寫出分布列.【小問1詳解】由題意得，甲，乙在三小時以上且不超過四小時還車的概率分別為．記甲、乙兩人所付得租車費用相同為事件，則．所以，甲、乙兩人所付得租車費用相同的概率為．【小問2詳解】設(shè)甲、乙兩個所付的費用之和為，可能取得值為0，2，4，6，8，，，分布列02468P22.