2020高中數(shù)學(xué) 第六章 平面向量初步 .1-已識(shí)別

6.1.1向量的概念

國國困瑁

考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

理解向量的有關(guān)概念及向量

向量的概念數(shù)學(xué)抽象

的幾何表示

共線向量、相等理解共線向量、相等向量的概

數(shù)學(xué)抽象

向量念

向量與幾何的關(guān)正確區(qū)分向量平行與直線平

直觀想象

系行

預(yù)習(xí)宗，?②

◎問題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材P133-P136的內(nèi)容，思考以下問題：

1.向量是如何定義的?怎樣表示向量？

2.向量的相關(guān)概念有哪些？

3.兩個(gè)向量能比較大小嗎？

Q湎知初豆）

1.位移與向量

（1）向量的概念

一般地，像位移這樣既有大小又有方向的量稱為向量（也稱為

矢量）.

向量的大小也稱為向量的慢(或長度)；只有大小的量稱為標(biāo)量,

長度、面積等都是標(biāo)量.

(2)向量的表示方法

①始點(diǎn)為A終點(diǎn)為B的有向線段表示的向量，可以用符號(hào)簡記

為錯(cuò)誤！,此時(shí)向量錯(cuò)誤!的模用|錯(cuò)誤!I表示.除了用始點(diǎn)和終點(diǎn)的兩個(gè)大

寫字母來表示向量外，還可用一個(gè)小寫字母來表示向量：在印刷時(shí),

通常用加粗的斜體小寫字母如N,6,c等來表示向量；在書寫時(shí)，

用帶箭頭的小寫字母如錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!等來表示向量.

②始點(diǎn)和終點(diǎn)相同的向量稱為零向量.零向量的模為0.零向

量的方向是不確定.模不為0的向量通常稱為非零向量.模等于1

的向量稱為單位向量.e是單位向量的充要條件是|e|二l.

■名師點(diǎn)撥

向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段.向量是規(guī)定

了大小和方向的量，有向線段是規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn)的線段.

2.向量的相等與平行

一般地，把大小相等、方向桓j可的向量稱為相等的向量.

如果兩個(gè)非零向量的方向相同或相反,則稱這兩個(gè)向量平行.因

為零向量的方向不確定，因此通常規(guī)定零向量與任意向量平行.兩

個(gè)向量z和6平行，記作a.//b.兩個(gè)向量平行也稱為兩個(gè)向量共線.

■名師點(diǎn)撥

共線向量僅僅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方

向均相同.

n判斷正誤（正確的打“，”，錯(cuò)誤的打“X”）

（1）零向量沒有方向.（）

（2）向量錯(cuò)誤!的長度和向量錯(cuò)誤!的模相等.（）

（3）單位向量都平行.（）

（4）零向量與任意向量都平行.（）

答案：（1）X（2）V（3）X（4），

@在下列物理量：①質(zhì)量；②溫度；③角度；④彈力;⑤風(fēng)速.其

中可以看成是向量的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

解析：選B.①②③不可以看成向量，④⑤可以看成向量.

?關(guān)于零向量，下列說法中錯(cuò)誤的是（）

A.零向量是沒有方向的

B.零向量的長度為0

C.零向量只與零向量相等

D.零向量的方向是任意的

答案：A

包如圖，四邊形/8CD是平行四邊形，則圖中相等的

向量是_________(填序號(hào)).

①錯(cuò)誤！與錯(cuò)誤?。虎阱e(cuò)誤！與錯(cuò)誤!;

③錯(cuò)誤！與錯(cuò)誤?。虎苠e(cuò)誤！與錯(cuò)誤！。

答案：①④

探究宗，?號(hào)每⑥解惑?探究?突破?

探究點(diǎn)豆L

向量的有關(guān)概念

m判斷下列命題是否正確,請(qǐng)說明理由:

⑴若向量N與6同向，且INI〉IZ>I,貝1]2〉6;

(2)若向量|0=|b\,則a與6的長度相等且方向相同或相反;

(3)對(duì)于任意向量|0=|6|,若a與6的方向相同，則a=b;

(4)向量a與向量6平行，則向量a與6方向相同或相反.

【解】(1)不正確.因?yàn)橄蛄坑蓛蓚€(gè)因素來確定，即大小和

方向，所以兩個(gè)向量不能比較大小.

(2)不正確.由|a|二|b|只能判斷兩向量的長度相等，不能

確定它們的方向關(guān)系.

(3)正確.因?yàn)閨z|=|6],且a與b同向，由兩向量相等的條

件，可得2=b。

(4)不正確.因?yàn)橄蛄縩與向量6若有一個(gè)是零向量，則其方向

不定.

錯(cuò)誤！

(1)理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問題

①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等.

②單位向量不一定相等，易忽略向量的方向.

(2)共線向量與平行向量

①平行向量也稱為共線向量，兩個(gè)概念沒有區(qū)別.

②共線向量所在直線可以平行，與平面幾何中的共線不同.

③平行向量可以共線，與平面幾何中的直線平行不同.

跟蹤訓(xùn)練;給出下列命題:

①若aIIb,bIIQ則a.//c;

②若單位向量的起點(diǎn)相同,則終點(diǎn)相同；

③起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量；

④向量錯(cuò)誤!與錯(cuò)誤!是共線向量，則/,B,C,。四點(diǎn)必在同一直

線上.

其中正確命題的序號(hào)是_________.

解析：①錯(cuò)誤.若6=0,則①不成立.

②錯(cuò)誤.起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)未必相同.

③正確.對(duì)于一個(gè)向量只要不改變其大小和方向，是可以任意

移動(dòng)的.

④錯(cuò)誤.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可.并

不要求兩個(gè)向量錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!必須在同一直線上.

答案：③

探究點(diǎn)互__________________________

向量的表示及應(yīng)用

m⑴如圖，B,e是線段力。的三等分點(diǎn)，分別以圖中各點(diǎn)為

起點(diǎn)和終點(diǎn)，可以寫出個(gè)向量.

ARCD

(2)在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長為1),用直尺

和圓規(guī)畫出下列向量：

①錯(cuò)誤!，使|錯(cuò)誤！1=4錯(cuò)誤!，點(diǎn)/在點(diǎn)。北偏東45°處;

②NX使|錯(cuò)誤!I=4,點(diǎn)8在點(diǎn)/正東處；

③錯(cuò)誤!，使|錯(cuò)誤！|=6,點(diǎn)C在點(diǎn)8北偏東30°處.

【解】(1)可以寫出12個(gè)向量，分別是：錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!,

錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤!，故填12。

(2)①由于點(diǎn)/在點(diǎn)O北偏東45°處，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)/距

點(diǎn)。的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等.又I錯(cuò)誤!1=4錯(cuò)誤!，小方

格邊長為1,所以點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4,

于是點(diǎn)/位置可以確定，畫出向量如圖所示.

C

/

/

/

A/

/

/

/

O東

②由于點(diǎn)8在點(diǎn)/正東處，且|錯(cuò)誤！|=4,所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)8

距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4,縱向小方格數(shù)為0,于是點(diǎn)方位置可

以確定，畫出向量錯(cuò)誤!如圖所示.

③由于點(diǎn)C在點(diǎn)8北偏東30°處，且|錯(cuò)誤！|=6,依據(jù)勾股定理

可得，在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)8的橫向小方格數(shù)為3,縱向小方格數(shù)

為3yl=5。2,于是點(diǎn)C位置可以確定，畫出向量錯(cuò)誤!如圖所示.

錯(cuò)誤!

(1)向量的兩種表示方法

①幾何表示法：先確定向量的起點(diǎn),再確定向量的方向，最后根

據(jù)向量的長度確定向量的終點(diǎn).

②字母表示法：為了便于運(yùn)算可用字母處6,C表示，為了聯(lián)

系平面幾何中的圖形性質(zhì)，可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)

表示向量，或口錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！等.

(2)兩種向量表示方法的作用

①用幾何表示法表示向量，便于用幾何方法研究向量運(yùn)算，為用

向量處理幾何問題打下了基礎(chǔ).

②用字母表示法表示向量，便于向量的運(yùn)算.

跟蹤訓(xùn)練;某人從/點(diǎn)出發(fā)向東走了5米到達(dá)8點(diǎn),然后改變方向

按東北方向走了io錯(cuò)誤!米到達(dá)e點(diǎn)，到達(dá)e點(diǎn)后又改變方向向西走

了10米到達(dá)。點(diǎn).

⑴作出向量錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!；

(2)求錯(cuò)誤!的模.

解:⑴作出向量錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!,如圖所示：

(2)由題意得，ABCD是直角三角形，其中

￡BDC=90°,8c=10中米，8=10米，所以BD

=10米.△48。是直角三角形，其中//即=90°,/8=5米，BD

=10米，所以/。=<5^4^(10)^=5錯(cuò)誤!(米)，所以|錯(cuò)誤！|=5錯(cuò)誤!米.

探究點(diǎn)印____________________________

相等向量和共線向量

他阿如圖所示，。是正六邊形/8。石尸的中心，且錯(cuò)誤!=2,錯(cuò)誤!

=b>錯(cuò)誤！=c。

(1)與a的長度相等、方向相反的向量有哪些？

(2)與z共線的向量有哪些？

(3)請(qǐng)一一列出與冬仇c相等的向量.

【解】(1)與N的長度相等、方向相反的向量有錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，

錯(cuò)誤!.

(2)與2共線的向量有錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！,

錯(cuò)誤!.

(3)與2相等的向量有錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!；與6相等的向量有錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!,

錯(cuò)誤?。慌cC相等的向量有錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!.

互動(dòng)探究

1.［變問法］本例條件不變，試寫出與向量錯(cuò)誤!相等的向量.

解:與向量錯(cuò)誤!相等的向量有錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!。

2.［變條件，變問法］在本例中，若|0=1,求正六邊形的邊長.

解：由正六邊形性質(zhì)知，△尸O/為等邊三角形，所以邊長/尸

=|N|=1。

錯(cuò)誤！

相等向量與共線向量的探求方法

(1)尋找相等向量:先找與表示已知向量的有向線段長度相等的

向量，再確定哪些是同向共線.

(2)尋找共線向量:先找與表示已知向量的有向線段平行或共線

的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量

的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.

跟蹤訓(xùn)練;如圖所示，四邊形與4BDE是平行四邊形.

AB

⑴找出與向量錯(cuò)誤!共線的向量;

(2)找出與向量錯(cuò)誤!相等的向量.

解：(1)依據(jù)圖形可次口錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤!與錯(cuò)誤!方向相同，錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤！，

錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!與錯(cuò)誤!方向相反，所以與向量錯(cuò)誤!共線的向量為錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!,

ED,錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!.

(2)由四邊形/反力與/AD石是平行四邊形，知錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!與錯(cuò)誤!

長度相等且方向相同，所以與向量錯(cuò)誤!相等的向量為錯(cuò)誤!和錯(cuò)誤!。

測(cè)評(píng)案，爭偈回國

1.下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

①溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量;

②向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)；

③向量z與6不共線，則a與6都是非零向量;

④若|幻〉|6I,則a>b.

A.0B.1

C.2D.3

解析：選B.①錯(cuò)誤.溫度是數(shù)量不是向量；②錯(cuò)誤.零向量的

模為③正確.因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量共線;④錯(cuò)誤.向量不能比

0o

較大小.

2.設(shè)。是正方形/方。的中心，則向量錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!是

（）

A.相等的向量B.平行的向量

C.有相同起點(diǎn)的向量D.模相等的向量

解析：選D。由正方形的性質(zhì)知|錯(cuò)誤!|=|錯(cuò)誤！|=|錯(cuò)誤!|=|錯(cuò)誤!

3.在下列判斷中，正確的是（

①長度為0的向量都是零向量；

②零向量的方向都是相同的；

③單位向量的長度都相等；

④單位向量都是同方向向量；

⑤任意向量與零向量都共線.

A.①②③B.②③④

C.①②⑤D.①③⑤

解析:選D。由定義知①正確，②由于零向量的方向是任意的，故

兩個(gè)零向量的方向是否相同不確定，故不正確.顯然③⑤正確，④

不正確，故選D。

4.在下列命題中：

①平行向量一定相等；②不相等的向量一■定不平行；③共線向

量一定相等；④相等向量一定共線；⑤長度相等的向量是相等向量;

⑥平行于同一個(gè)非零向量的兩個(gè)向量是共線向量.

正確命題的序號(hào)是_________

解析：由向量的相關(guān)概念可知④⑥正確.

答案:④⑥

強(qiáng)化?培優(yōu)?通關(guān)[A基礎(chǔ)

達(dá)標(biāo)]

1.下面幾個(gè)命題：

(1)若N=6,則|a|=16];

(2)若|n|=0,貝|N=0；

(3)若|=16],則a=b；

(4)若向量a,6滿足錯(cuò)誤!則a=6。

其中正確命題的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1

C.2D.3

解析:選B.(1)正確.(2)錯(cuò)誤.|a.|=0,則a=0.(3)錯(cuò)誤.a.

與6的方向不一定相同.(4)錯(cuò)誤.a與6的方向有可能相反.

2.在同一平面內(nèi)，把所有長度為1的向量的始點(diǎn)固定在同一點(diǎn)，

這些向量的終點(diǎn)形成的軌跡是()

A.單位圓B.一^殳弧

C.線段D.直線

解析:選A.平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是圓.

3.如圖，在。。中，向量錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!是()

A.有相同起點(diǎn)的向量[]

AC

B.共線向量

C.模相等的向量

D.相等的向量

解析：選C。由圓的性質(zhì)可知I錯(cuò)誤!|=|錯(cuò)誤!|=|錯(cuò)誤!|.

4.以下命題：①|(zhì)a|與|6|是否相等與a,b的方向無關(guān)；②

兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；③兩個(gè)向量不能比較

大小，但它們的模能比較大小.其中，正確命題的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1

C.2D.3

解析:選C.①正確；②錯(cuò)誤；終點(diǎn)相同方向不一定相同或相反；

③正確.

5O如圖所示，在正三角形/灰7中，P、Q、H分別A

是BC、/C的中點(diǎn)，則與向量PQ,—相等的向量是

BQC

()

A.錯(cuò)誤！與錯(cuò)誤！

B.錯(cuò)誤！與錯(cuò)誤！

Co錯(cuò)誤！上7錯(cuò)誤！

Do錯(cuò)誤！與錯(cuò)誤!

解析：選B。向量相等要求模相等，方向相同，因此錯(cuò)誤!與錯(cuò)誤!都

是和錯(cuò)誤!相等的向量.

6.下列命題正確的是（）

A.共線向量一定在同一條直線上

B.所有零向量都相等

C.向量a與6共線，6與c共線，則a與c共線

D.平行四邊形兩對(duì)邊所表示的向量一定是相等向量

解析：選B。A錯(cuò)誤，兩個(gè)向量的方向相同或相反都是共線向

量，而兩個(gè)向量所在直線平行時(shí)也稱它們?yōu)楣簿€向量，即共線向量不

一定在同一條直線上，也可能在兩條平行直線上.B顯然正確.C

錯(cuò)誤，注意到零向量與任意向量共線，若6=0,此結(jié)論不成立；若

b大0,此結(jié)論成立.。錯(cuò)誤，平行四邊形兩對(duì)邊所表示的向量可能方

向相反.

7.若a為任一非零向量，6為模為1的向量，下列各式：

①|(zhì)z|>|6|；②allb，?③\a|>0;④|6|=±1.其中正確的是

（填序號(hào)）.

解析：①錯(cuò)誤.|a\=錯(cuò)誤!時(shí),|m<|b\;②錯(cuò)誤.n與6的方向

關(guān)系無法確定；③正確，④錯(cuò)誤.|6|=1.

答案：③

8.在口ABCD中。是兩對(duì)角線/C,瓦？的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)集S={A,B,

C,D,O},向量集合了={錯(cuò)誤!IMNSS},且MN不重合，則集

合了中元素的個(gè)數(shù)為

解析：S={A,B,GD,O},S中任意兩點(diǎn)連成的有向線段

有：錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤！；錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！；錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤??；

錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！；錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤！。由平行四邊形的，性質(zhì)可次口

(以口圖所示)，共有8對(duì)向量相等，即錯(cuò)誤!二錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤!二錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤！，

錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！,又集合中元

素具有互異性，所以集合了中的元素共有12個(gè).

答案：12

9。O是正方形ABCD^角線的交點(diǎn)，四邊形OAED,

OBB都是正方形，在如圖所示的向量中：

⑴分別找出與錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!相等的向量;

(2)找出與錯(cuò)誤!共線的向量；

(3)找出與錯(cuò)誤!模相等的向量；

(4)向量錯(cuò)誤!與錯(cuò)誤!是否相等？

解：(1)錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!.

(2)與錯(cuò)誤!共線的向量有：錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!.

(3)與/。,一模相等的向量有：錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤!,

錯(cuò)誤！。

(4)向量錯(cuò)誤!與錯(cuò)誤!不相等，因?yàn)樗鼈兊姆较虿幌嗤?

iOo如圖的方格紙由若干個(gè)邊長為1的小正方形并一m+T-十屋

I—i■—1T

----4--------1------，-------1------4-------I--------

；??411???

在一起組成，方格紙中有兩個(gè)定點(diǎn)/,Bo點(diǎn)C為小正士二±1才1

方形的頂點(diǎn)，且I錯(cuò)誤！I=錯(cuò)誤!。

⑴畫出所有的向量錯(cuò)誤!；

(2)求|錯(cuò)誤!I的最大值與最小值.

解：⑴畫出所有的向量錯(cuò)誤!，如圖所示.

(2)由(1)所畫的圖知，

①當(dāng)點(diǎn)e位于點(diǎn)G或G時(shí),

I錯(cuò)誤！|取得最4、值錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤??；

②當(dāng)點(diǎn)e位于點(diǎn)G或G時(shí),

I錯(cuò)誤!I取得最大值錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!。

所以|錯(cuò)誤!|的最大值為錯(cuò)誤!，最小值為錯(cuò)誤!.

[B能力提升]

llo四邊形CEFG,都是全等的菱/

形，HE與CG相交于點(diǎn)”則下列關(guān)系不一定成立的

AR

是()

A.I錯(cuò)誤！I=I錯(cuò)誤！I

Bo錯(cuò)誤!與錯(cuò)誤!共線

C.M與切共線

D.錯(cuò)誤!與錯(cuò)誤!共線

解析:選C.因?yàn)槿齻€(gè)四邊形都是全等的菱形，所以|錯(cuò)誤！|=|錯(cuò)誤!

|/4//8//可故錯(cuò)誤!與錯(cuò)誤!共線.又三點(diǎn)。，O,石共線，所以錯(cuò)誤!與

錯(cuò)誤!共線，故A,B,D都正確.故選C。

12.若I錯(cuò)誤！|二I錯(cuò)誤！I且錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!，貝】J四邊形/反力的形狀為

()

A.平行四邊形B.矩形

C.菱形