三年（2022–2024）高考數(shù)學(xué)真題分類匯編（全國）專題09 平面向量（解析版）

專題09平面向量考點三年考情（2022-2024）命題趨勢考點1：平面向量線性運算2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題平面向量數(shù)量積的運算、化簡、證明及數(shù)量積的應(yīng)用問題，如證明垂直、距離等是每年必考的內(nèi)容，單獨命題時，一般以選擇、填空形式出現(xiàn)．交匯命題時，向量一般與解析幾何、三角函數(shù)、平面幾何等相結(jié)合考查，而此時向量作為工具出現(xiàn)．向量的應(yīng)用是跨學(xué)科知識的一個交匯點，務(wù)必引起重視．預(yù)測命題時考查平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標運算，同時與三角函數(shù)及解析幾何相結(jié)合的解答題也是熱點．考點2：數(shù)量積運算2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題2024年北京高考數(shù)學(xué)真題考點3：求模問題2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題2023年北京高考數(shù)學(xué)真題2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題考點4：求夾角問題2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題考點5：平行垂直問題2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題2024年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題考點6：平面向量取值與范圍問題2024年天津高考數(shù)學(xué)真題2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題2023年天津高考數(shù)學(xué)真題

考點1：平面向量線性運算1．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）在中，點D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為點D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．考點2：數(shù)量積運算2．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則．【答案】【解析】設(shè)與的夾角為，因為與的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．故答案為：．3．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【解析】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標原點建立平面直角坐標系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故選：B.4．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】∵，又∵∴9，∴故選：C.5．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)，是向量，則“”是“或”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因為，可得，即，可知等價于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，無法得出或，例如，滿足，但且，可知充分性不成立；綜上所述，“”是“且”的必要不充分條件.故選：B.考點3：求模問題6．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知向量，滿足，，則．【答案】【解析】法一：因為，即，則，整理得，又因為，即，則，所以.法二：設(shè)，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為：.7．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因為，所以，即，又因為，所以，從而.故選：B.8．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【解析】向量滿足，所以.故選：B9．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】因為，所以.故選：D考點4：求夾角問題10．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，則，，所以.故選：B.11．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為,所以,即,即,所以.如圖,設(shè),由題知,是等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,.故選:D.12．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【解析】,,即,解得,故選：C考點5：平行垂直問題13．（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題））已知，且，則的值為．【答案】15【解析】，，解得．故答案為：15．14．（2024年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】因為，所以，所以即，故，故選：D.15．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知向量．若，則．【答案】/【解析】由題意知：，解得.故答案為：.16．（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．17．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)向量，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件【答案】C【解析】對A，當時，則，所以，解得或，即必要性不成立，故A錯誤；對C，當時，，故，所以，即充分性成立，故C正確；對B，當時，則，解得，即必要性不成立，故B錯誤；對D，當時，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.故選：C.考點6：平面向量取值與范圍問題18．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）在邊長為1的正方形中，點為線段的三等分點，，則；為線段上的動點，為中點，則的最小值為．【答案】【解析】解法一：因為，即，則，可得，所以；由題意可知：，因為為線段上的動點，設(shè)，則，又因為為中點，則，可得，又因為，可知：當時，取到最小值；解法二：以B為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示，則，可得，因為，則，所以；因為點在線段上，設(shè)，且為中點，則，可得，則，且，所以當時，取到最小值為；故答案為：；.19．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得當點位于直線異側(cè)時或PB為直徑時，設(shè)，則：，則當時，有最大值.當點位于直線同側(cè)時，設(shè)，則：，，則當時，有最大值.綜上可得，的最大值為.故選：A.20．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因為，所以，即；故選：D21．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）在中，，D是AC中點，，試用表示為，若，則的最大值為【答案】【解析】方法一：，，，當且僅當時取等號，而，所以．故答案為：；．方法二：如圖所示，建立坐標系：，，，所以點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，當且僅當與相切時，最大，此時．故答案為：；．22．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）設(shè)點P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是．【答案】【解析】以圓心為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示：則,，設(shè),于是，因為，所以，故的取值范圍是.故答案為：．23．（2023