8.3圓的方程答案

8.3圓的方程課標(biāo)要求精細(xì)考點素養(yǎng)達(dá)成1.回顧確定圓的幾何要素,在平面直角坐標(biāo)系中,探索并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程2.能用圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題求圓的方程通過求圓的方程,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)與圓有關(guān)的軌跡問題通過求軌跡方程,培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)與圓有關(guān)的最值問題通過求與圓有關(guān)的最值問題和實際應(yīng)用,培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)1.(概念辨析)(多選)下列說法正確的是().A.確定圓的幾何要素是圓心與半徑B.方程x2+y2+4mx2y+5m=0表示圓C.若點M(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0外,則x02+y02+Dx0D.圓x2+2x+y2+y=0的圓心是1,答案AC解析由定義可知,A正確;B只有當(dāng)(4m)2+2220m>0,即m<14或m>1時才表示圓;由點與圓的位置關(guān)系可知C正確;D的圓心是-1,-12,2.(對接教材)圓x2+y22x+2y+1=0關(guān)于x軸對稱的圓的方程為.

答案x2+y22x2y+1=0解析關(guān)于x軸對稱,只需以y代原方程中的y即可.3.(對接教材)已知點A(4,0),若P是圓x2+y2=4上的一個動點,點Q(x,y)是線段AP的中點,則點Q的軌跡方程為.

答案(x2)2+y2=1解析因為Q(x,y)是線段AP的中點,所以點P的坐標(biāo)為(2x4,2y).又點P在圓x2+y2=4上,故(2x4)2+(2y)2=4,即(x2)2+y2=1.所以點Q的軌跡方程為(x2)2+y2=1.4.(易錯自糾)若坐標(biāo)原點在圓x2+y2+ax+2ay+2a2+a1=0的外部,則實數(shù)a的取值范圍是.

答案(2,1)∪1解析方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a1=0可化為x+a22+(y+a)2=34a2a+1,因為該方程表示圓,所以34a2a+1>0,即3a2+4a4<0由原點在圓外得2a2+a1>0,所以a<1或a>12.綜上,2<a<1或12<a<5.(真題演練)(2023·新課標(biāo)全國Ⅱ卷)已知直線l:xmy+1=0與圓C:(x1)2+y2=4交于A,B兩點,寫出滿足“△ABC面積為85”的m的一個值為答案22,?2,解析設(shè)點C到直線AB的距離為d,由弦長公式得|AB|=24?d所以S△ABC=12×d×24?d2=85,解得d=4又d=|1+1|1+m2=21+m2,所以21+m2=455或21+求圓的方程典例1(1)已知點A是Rt△ABC的直角頂點,且A(a,2),B(4,a),C(a+1,1),則△ABC的外接圓的方程是.

(2)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上,點M(0,5)在圓C上,且圓心到直線2xy=0的距離為455,則圓C的方程為答案(1)(x+2)2+y2=5(2)(x2)2+y2=9解析(1)kAB=a-2-4-a,kAC=1.因為AB⊥AC,所以kAB·kAC=a-2-4-a·(1)=1,解得a=1,所以△ABC的外接圓是以B(4,1),C(0,1)為直徑的圓,所以所求圓的方程是(x+2)(2)設(shè)C(a,0)(a>0),則|2a|5=455,解得a=2,r=22+5=3,故圓C的方程為(x2求圓的方程的兩種方法幾何法通過研究圓的性質(zhì)求出圓的基本量,進(jìn)而寫出圓的方程.常用到的三個幾何性質(zhì):①圓心在過切點且垂直于切線的直線上;②圓心在任一弦的中垂線上;③相切兩圓的連心線經(jīng)過切點.待定系數(shù)法“選形式、定參數(shù)”是待定系數(shù)法求圓的方程的基本方法.確定圓的方程,不論圓的標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程,都有三個參數(shù),需要三個獨立的條件,因此利用待定系數(shù)法求解時需要建立含三個方程的方程組.①根據(jù)題意,選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程;②根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或D,E,F的方程組;③解出a,b,r或D,E,F,代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.訓(xùn)練1(1)過四點(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方程為.

(2)數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上,后人稱這條直線為歐拉線.已知△ABC的頂點A(2,0),B(2,4),其歐拉線的方程為xy=0,則△ABC外接圓的方程為.

答案(1)x2+y24x6y=0或x2+y24x2y=0或x2+y283x143y=0或x2+y2165x2y165=0(2)(x1)2+(y1)2解析(1)設(shè)過點(0,0),(4,0),(1,1)的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,即F=0,16+4D+F=0,2?D+E+F=0,解得F=0,D=4,E=6,所以過點(0,0),(4,0),(1,同理可得,過點(0,0),(4,0),(4,2)的圓的方程為x2+y24x2y=0.(觀察此三點構(gòu)成直角三角形,所以也可以用直徑式方程;有兩點在x軸上,還可用截距式方程)過點(0,0),(1,1),(4,2)的圓的方程為x2+y283x143y=過點(4,0),(1,1),(4,2)的圓的方程為x2+y2165x2y165=(2)線段AB的中點(0,2),AB的斜率為4?02+2=1,故AB的垂直平分線方程為y2=(x0),即x+y2=0,將AB的垂直平分線方程與歐拉線的方程xy=0聯(lián)立,可得x+可得圓心坐標(biāo)為D(1,1),故半徑|DA|=10.故△ABC外接圓的方程為(x1)2+(y1)2=10.與圓有關(guān)的軌跡問題典例2已知圓x2+y2=4上一定點A(2,0),B(1,1)為圓內(nèi)一點,P,Q為圓上的動點.(1)求線段AP中點的軌跡方程;(2)若∠PBQ=90°,求線段PQ中點的軌跡方程.解析(1)(法一)設(shè)AP的中點為M(x,y),由中點坐標(biāo)公式可知,點P的坐標(biāo)為(2x2,2y).因為點P在圓x2+y2=4上,所以(2x2)2+(2y)2=4.故線段AP中點的軌跡方程為(x1)2+y2=1(x≠2).(法二)設(shè)AP的中點為M,則OM⊥AP,所以點M的軌跡是以O(shè)A為直徑的圓(不含A點),即(x1)2+y2=1(x≠2).(2)設(shè)PQ的中點為N(x,y).在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點,連接ON(圖略),則ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x1)2+(y1)2=4.故線段PQ中點的軌跡方程為x2+y2xy1=0.求與圓有關(guān)的軌跡問題的三種方法(1)直接法:當(dāng)題目條件中含有與該點有關(guān)的等式時,可設(shè)出該點的坐標(biāo),用坐標(biāo)表示等式,直接求解軌跡方程.(2)定義法:當(dāng)題目條件符合圓的定義時,可直接利用定義確定其圓心和半徑,寫出圓的方程.(3)相關(guān)點法:當(dāng)題目條件中已知某動點的軌跡方程,而要求的點與該動點有關(guān)時,常找出要求的點與已知點的關(guān)系,代入已知點滿足的關(guān)系式求軌跡方程.訓(xùn)練2已知P為圓C:(x2)2+y2=10上任意一點,定點M(8,0),點Q滿足PM=3QM,求點Q的軌跡方程.解析設(shè)P(x0,y0),Q(x,y),由PM=3QM,得(8x0,y0)=3(8x,y),所以x0=3x-16,y0=3y,又點P在圓C上,故(x02所以(3x18)2+(3y)2=10,化簡得Q的軌跡方程為(x6)2+y2=109與圓有關(guān)的最值問題典例3(1)已知半徑為1的圓經(jīng)過點(3,4),則其圓心到原點的距離的最小值為().A.4 B.5 C.6 D.7(2)已知點P(x,y)是圓(x+2)2+y2=1上任意一點,則P點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值為;最小值為.

(3)設(shè)點P(x,y)是圓x2+(y3)2=1上的動點,定點A(2,0),B(2,0),則PA·PB的最大值為.

答案(1)A(2)11515(3解析(1)設(shè)圓心C(x,y),則(x-3)2+(y-4)2=1,化簡得(x3)2+所以圓心C的軌跡是以M(3,4)為圓心,1為半徑的圓,所以|OC|+1≥|OM|=32+4所以|OC|≥51=4,當(dāng)且僅當(dāng)C在線段OM上時取得等號.(2)圓心C(2,0)到直線3x+4y+12=0的距離為d=|3×(-2)+4×0+12|32+所以點P到直線3x+4y+12=0的距離的最大值為d+r=65+1=115,最小值為dr=651(3)由題意,知PA=(2x,y),PB=(2x,y),所以PA·PB=x2+y24.由于點P(x,y)是圓上的點,故其坐標(biāo)滿足方程x2+(y3)2=1,故x2=(y3)2+1,所以PA·PB=(y3)2+1+y24=6y12.由圓的方程x2+(y3)2=1,易知2≤y≤4,所以當(dāng)y=4時,PA·PB的值最大,且最大值為6×412=12.研究與圓有關(guān)的最值問題的兩個途徑1.可借助圖形的性質(zhì),利用數(shù)形結(jié)合求解:(1)“動化定”,把到圓上動點的距離轉(zhuǎn)化為到圓心的距離;(2)“曲化直”,即將折線段之和(差)轉(zhuǎn)化為同一條直線上的兩線段和(差).2.將與圓有關(guān)的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值進(jìn)行求解,即根據(jù)題中條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式,再根據(jù)函數(shù)知識或基本不等式求最值.訓(xùn)練3(1)光線從A(1,1)出發(fā),經(jīng)y軸反射到圓C:x2+y210x14y+70=0上的最短路程為.

(2)設(shè)點P(x,y)是圓(x3)2+y2=4上的動點,定點A(0,2),B(0,2),則|PA+PB|的最大值為.

(3)在平面直角坐標(biāo)系中,記d為點P(cosθ,sinθ)到直線xmy2=0的距離,當(dāng)θ,m變化時,d的最大值為.

答案(1)622(2)10(3)3解析(1)圓心坐標(biāo)為C(5,7),半徑為2,A(1,1)關(guān)于y軸的對稱點為A1(1,1),所以最短路程為|A1C|2=622.(2)由題意,知PA=(x,2y),PB=(x,2y),所以PA+PB=(2x,2y).由于點P(x,y)是圓上的點,故其坐標(biāo)滿足方程(x3)2+y2=4,故y2=(x3)2+4,所以|PA+PB|=4x2+4y2=26x-5.由圓的方程(x3)2+y2=4,易知1≤x≤5,所以當(dāng)x=5時,|PA+PB|的值最大(3)(法一)由題意可得d=|cos=|=m=|其中cosφ=mm2+1,sinφ=1因為1≤sin(θφ)≤1,所以|2-m2+1|m2+1≤d≤2+m2所以當(dāng)m=0時,d取得最大值3.(法二)點P為圓x2+y2=1上的動點,直線xmy2=0為經(jīng)過點(2,0)的動直線,所以最大距離為2+1=3.“隱”圓問題“隱”圓問題的含義,即通過已知條件求出動點的軌跡為圓(或為圓的一部分),并用其來解決問題的問題.典例已知點M(x,y)與兩個定點O(0,0),A(3,0)的距離之比為12,則點M的軌跡方程為答案x2+y2+2x3=0解析因為|MO||MA|=12,所以x2+y2(x-3)21.解決“隱”圓問題策略:軌跡意識.2.常見的“隱圓”問題:如果AB為定值2a>0,滿足下列條件的動點P表示的軌跡(存在)都是圓(圓的一部分):(1)阿波羅尼斯圓:|AP|=λ|BP|(λ>0且λ≠1).(2)定邊對定角問題:∠APB=α(0<α<π,α為定值).(3)定中線長問題:|AP+BP|=λ(λ>0).(4)其他:①AP·BP=λ(a2+λ>0);②|AP|2+m|BP|2=λ(m≠1且m≠0且4ma2+(m+1)λ>0).訓(xùn)練在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(1,0),B(2,0),點P滿足|PA|2+|PB|2≤132,則點P的集合形成的圖形的面積為答案π解析設(shè)P(x,y),則|PA|2+|PB|2≤132可化為(x+1)2+y2+(x2)2+y2≤132,整理得x-122+y2≤1,所以點P的集合形成的圖形是以12,0一、單選題1.已知圓的方程為x2+y2+x+2y10=0,則圓心的坐標(biāo)為().A.-12,1 B.-12,-1答案B解析根據(jù)題意,圓的方程為x2+y2+x+2y10=0,其中D=1,E=2,則有D2=12,E2=1,2.點P(5,m)與圓x2+y2=24的位置關(guān)系是().A.點在圓上 B.點在圓內(nèi)C.點在圓外 D.不確定答案C解析因為52+m2=25+m2>24,所以點P在圓外.3.已知圓C的圓心在直線y=2x上,且過點A(2,5)和B(2,1),則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為().A.(x1)2+(y2)2=10 B.(x1)2+(y2)2=10C.(x2)2+(y1)2=16 D.(x2)2+(y1)2=4答案A解析設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為C(a,2a),半徑為r,則圓C的方程為(xa)2+(y2a)2=r2,由點A(2,5)和點B(2,1)在圓C上,可得(2a)2+(52a)2=r2①,(2a)2+(12a)2=r2②,由①②可得a=1,r2=10,故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2+(y2)2=10.4.已知圓C截兩坐標(biāo)軸所得的弦長相等,且圓C過點(1,0)和(2,3),則圓C的半徑為().A.8 B.22 C.5 D.5答案D解析(法一)設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2+(yb)2=r2(r>0).因為圓C經(jīng)過點(1,0)和(2,3),所以(所以a+b2=0,①又因為圓C截兩坐標(biāo)軸所得的弦長相等,所以|a|=|b|,②由①②得a=b=1,所以圓C的半徑r=5.(法二)因為圓C經(jīng)過點M(1,0)和N(2,3),所以圓心C在線段MN的垂直平分線y=x+2上,又圓C截兩坐標(biāo)軸所得的弦長相等,所以圓心C到兩坐標(biāo)軸的距離相等,所以圓心C在直線y=±x上.因為直線y=x和直線y=x+2平行,所以圓心C為直線y=x和直線y=x+2的交點(1,1).所以圓C的半徑為5.二、多選題5.已知|AB|=2,下列點P的軌跡中表示圓的有().A.|AP|=3|BP| B.|AP+BP|=2C.|AP|2+|BP|2=4 D.∠APB=π答案ABC解析分別求軌跡可得,也可由幾何意義可得A,B,C為圓,而D為兩段圓弧.6.設(shè)有一組圓Ck:(xk)2+(yk)2=4(k∈R),則下列命題正確的是().A.不論k如何變化,圓心C始終在一條直線上B.所有圓Ck均不經(jīng)過點(3,0)C.經(jīng)過點(2,2)的圓Ck有且只有一個D.所有圓的面積均為4π答案ABD解析A選項,圓心為(k,k),一定在直線y=x上,A正確;B選項,將點(3,0)的坐標(biāo)代入得2k26k+5=0,其中Δ=4<0,方程無解,即所有圓Ck均不經(jīng)過點(3,0),B正確;C選項,將點(2,2)的坐標(biāo)代入得k24k+2=0,其中Δ=168=8>0,故經(jīng)過點(2,2)的圓Ck有兩個,故C錯誤;D選項,所有圓的半徑都為2,面積為4π,故D正確.三、填空題7.若方程x2+y2+mx4y+5=0表示圓,則實數(shù)m的取值范圍是.

答案(∞,2)∪(2,+∞)解析方程配方得x+m22+(y2)2=m241,方程表示圓,則m241>08.已知點A(0,2)為圓M:x2+y22ax2ay=0(a>0)外一點,圓M上存在點T使得∠MAT=45°,則實數(shù)a的取值范圍是.

答案[31,1)解析由點A(0,2)在圓M:x2+y22ax2ay=0(a>0)外,得44a>0,則a<1.圓M上存在點T使得∠MAT=45°,則|AM|2≤r=2a,即|AM|≤2a,a2+(a2)2≤4a2(解得31≤a.綜上,實數(shù)a的取值范圍是31≤a<1.四、解答題9.已知圓經(jīng)過點(2,1)和(1,0),該圓與兩坐標(biāo)軸的四個截距之和為2,求圓的方程.解析設(shè)圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由圓經(jīng)過點(2,1)和(1,0),代入圓的一般方程,得2D+E設(shè)圓在x軸上的截距為x1,x2,則它們是方程x2+Dx+F=0的兩個根,得x1+x2=D.設(shè)圓在y軸上的截距為y1,y2,則它們是方程y2+Ey+F=0的兩個根,得y1+y2=E.由已知,得D+(E)=2,即D+E2=0.③由(*)③聯(lián)立解得D=3,E=5,F=4.故所求圓的方程為x2+y23x+5y4=0.10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線y=x2+mx2與x軸交于A,B兩點,點C的坐標(biāo)為(0,1).當(dāng)m變化時,解答下列問題:(1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況?請說明理由.(2)證明過A,B,C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值.解析(1)不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況,理由如下:設(shè)A(x1,0),B(x2,0),則由題知x1+x2=m,x1x2=2.若AC⊥BC,則C在以AB為直徑的圓上,此時圓的方程為(xx1)(xx2)+y2=0,即x2+mx2+y2=0