2021年高考文科數(shù)學（全國Ⅰ卷） 含答案

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試題類型:

2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

文科數(shù)學

注意事項：

1.本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分.第I卷1至3頁，第n卷3至5頁.

2.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試題相應的位置.

3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效.

4.考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回.

第?卷

選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

(1)設(shè)集合幺二'二二乃，5={x|2<x<5}則dn&=

(A){1,3}(B){3,5}(C){5,7}(D){1,7}

(2)設(shè)Q+2i)(a+i)的實部與虛部相等，其中。為實數(shù)，則〃=

(A)-3(B)-2(C)2(D)3

(3)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的

2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是

1115

(A)3(B)2(C)3(D)6

,2

qCOSJ4=-

(4)ZVIBC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知”="5,c=2,3,則

b=

(A)/(B)將(C)2(D)3

_1

(5)直線/經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到的/距離為其短軸長的4,則該橢

圓的離心率為

(A)-(B)-(C)-(D)-

3234

n1

(6)若將函數(shù)y=2sin(2x+6)的圖像向右平移4個周期后，所得圖像對應的函數(shù)為

,1

(A)y=2sin(2x+—)(B)y=2sin(2x+—)(C)y=2sin(2x~—)(D)y=2sin(2x--))

(7)如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何

體的體積是竺，則它的表面積是

3

(8)若a>b>0,0<c<l,則

ccb

(A)logGc<logbC(B)logco<logc&(C)a<b(D)c0>c

(9)函數(shù)片2*2一已岡在卜2,2］的圖像大致為

(10)執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的無=°，y=L〃=i,則輸出K,的值滿足

(A)y=2x

(B)y=3x

(oy=4x

(D)y=5x

(11)平面口過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,山7平面平面疑6=E,

an平面加Ml="，貝|jm,"所成角的正弦值為

迫也也1

(A)2(B)2(C)3(D)3

f(x)=x--an2x+asinx

(12)若函數(shù)3在(國i單調(diào)遞增，則a的取值范圍是

(A)T可(B)(D)

第〃卷

本卷包括必考題和選考題兩部分.第(13)~(21)題為必考題，每個試題考生都必須作

答.第(22)~(24)題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分

(13)設(shè)向量a=(x,x+1),b=(l,2),且a-Lb,則x二

x3x

(14)已知)是第四象限角,且sin(0+4)=M,則tan(5-4)=.

(15)設(shè)直線y=x+2a與圓C：x2+y2-2ay-2=0相交于4,8兩點，若U間=26，則圓C的面積

為

(16)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料。生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材

料1.5kg,乙材料1kg,用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個

工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元。該企業(yè)現(xiàn)有甲

材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和

的最大值為元。

三.解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(本題滿分12分)

己知⑷是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列㈤滿足"一守*1*%-*,

(I)求｛，｝的通項公式；

(II)求心」的前n項和.

18.(本題滿分12分)

如圖，己知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6,頂點P在平面48c內(nèi)的正投影為點。,

D在平面PAB內(nèi)的正投影為點E,連接PE并延長交AB于點G.

(I)證明G是AB的中點；

(II)在圖中作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及

理由)，并求四面體PDEF的體積.

(19)(本小題滿分12分)

某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.

機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件

作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現(xiàn)需決策在購買

機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易

損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

記X表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺機器在購買易損零件上所

需的費用(單位：元)，”表示購機的同時購買的易損零件數(shù).

(I)若"=19,求y與x的函數(shù)解析式；

(II)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于””的頻率不小于05,求11的最小值；

(III)假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零

件，分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1

臺機器的同時應購買19個還是20個易損零件？

(20)(本小題滿分12分)

在直角坐標系WX中，直線交軸于點交拋物線/=2p@>0)于點

/:y=t(tH0)yM,C：p,M

關(guān)于點P的對稱點為N,連結(jié)。N并延長交C于點H.

⑴求外

(II)除H以外，直線與C是否有其它公共點？說明理由.

(21)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)./(x)=(x-2)ex+a(x-l)2

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

(II)若/(x)有兩個零點，求”的取值范圍.

請考生在22~24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。

(22)(本小題滿分10分)選修4-1：幾何證明選講

如圖，AOAB是等腰三角形，/AOB=120°.以。為圓心，1OA為半徑作圓.

2

(I)證明：直線AB與。。相切；

(II)點C,D在。。上，且A,B,C,D四點共圓,證明：AB/7CD.

(23)(本小題滿分10分)選修4—4：坐標系與參數(shù)方程

x=tzcos/

在直線坐標系xoy中，曲線G的參數(shù)方程為4(t為參數(shù)，。>0)。在以坐標原點

y=l+asint

為極點，X軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：P=4cos/

(I)說明Q是哪一種曲線，并將G的方程化為極坐標方程；

(II)直線C3的極坐標方程為氏ao,其中ao滿足tana0=2,若曲線G與C2的公共點都在C3上,

求a。

(24)(本小題滿分10分)，選修4一5：不等式選講

已知函數(shù)/(x)=Ix+1|-I2x-3|.

(I)畫出y=/(x)的圖像；

(II)求不等式"(x)I>1的解集。

2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

文科數(shù)學參考答案

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

(1)B(2)A(3)C(4)D(5)B(6)D

(7)A(8)B(9)D(10)C(11)A(12)C

第II卷

二、填空題：本大題共3小題，每小題5分.

24

(13)(14)(15)4兀(16)216000

33

三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

(17)(I)由已知，+b2=4,4=1,仇=；，得a也+么=4,4=1,a=g,得q=2,所以

數(shù)列｛%｝是首項為2,公差為3的等差數(shù)列，通項公式為4=3〃-1.

(II)由(I)和區(qū)也用+〃山=〃〃，得么+|=3，因此｛〃｝是首項為1，公比為:的等

比數(shù)列.記也｝的前〃項和為S,,則

S7“31

"?122x3"--

3

(18)(I)因為尸在平面ABC內(nèi)的正投影為。，所以ABLPD

因為。在平面Q4B內(nèi)的正投影為E,所以ABIDE.

所以AB，平面PED,故A3,PG.

又由已知可得，PA=PB,從而G是A3的中點.

(II)在平面PAB內(nèi)，過點E作PB的平行線交E4于點F,F即為E在平面PAC內(nèi)

的正投影.

理由如下：由已知可得P5J_04,PB,PC,又EF//PB,所以EF±PC,因此EF±

平面P4C,即點尸為E在平面R4C內(nèi)的正投影.

連接CG,因為P在平面48。內(nèi)的正投影為。，所以。是正三角形ABC的中心.

2

由(I)知，G是的中點，所以。在CG上，故CD=—CG.

3

由題設(shè)可得PC_L平面,￡>E_L平面所以DE//PC,因此

21

PE=-PG,DE=-PC.

33

由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且Q4=6,可得DE=2,PE=2立.

在等腰直角三角形EEP中，可得EF=PF=2.

114

所以四面體PDEE的體積V=—x—x2x2x2=—.

323

(19)(I)分xV19及x.19,分別求解析式；(II)通過頻率大小進行比較；(III)分別求出您9,

n=20的所需費用的平均數(shù)來確定。

試題解析：(1)當x<19時，y=3800；當x>19時，

y=3800+500(x—19)=500x-5700,所以y與x的函數(shù)解析式為

'3800,x<19,

y=\(xeN).

-500%-5700,x>19,

(II)由柱狀圖知，需更換的零件數(shù)不大于18的概率為0.46,不大于19的概率為0.7,

故〃的最小值為19.

(III)若每臺機器在購機同時都購買19個易損零件，則這100臺機器中有70臺在購買

易損零件上的費用為3800,20臺的費用為4300,10臺的費用為4800,因此這100臺機

器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為一!一(4000x90+4500x10)=4050.

100

比較兩個平均數(shù)可知，購買1臺機器的同時應購買19個易損零件.

(20)(I)由已知得M(0j),P(—,/).

2P

2

又N為M關(guān)于點P的對稱點，故N(L,r),ON的方程為丁=￡》，代入V=2px整

Pt

2產(chǎn)2產(chǎn)

理得pf—2/尤=0,解得玉=0,%2=—,因此"(」一,2f).

PP

所以N為。”的中點，即空」=2.

\ON\

(II)直線與。除”以外沒有其它公共點.理由如下：

直線的方程為y-f=即x=0(yT).代入丁=2〃彳得/―40+4/=0,

2tp'

解得y=%=2f，即直線"〃與C只有一個公共點，所以除〃以外直線與C沒

有其它公共點.

(21)(I)/(x)=(x-+2Q(X-1)=(x-1乂6、+2Q).

(i)設(shè)a20,則當X￡(-OO,1)時?，尸(x)<0;當X￡(l,y)時，/!(x)>0.

所以在(-8,1)單調(diào)遞減，在(L+8)單調(diào)遞增.

(ii)設(shè)Q<0,由/*(%)=0得x=l或x=ln(-2a).

①若。=弋，則/(x)=(x—1乂e=e),所以/(x)在(YO,+X>)單調(diào)遞增.

②若。>一］,則ln(-2a)<l,故當x€(-oo』n(-2a))U(l,+°°)時，/'(x)>0；

當x?ln(-2a),l)時，/'(x)<0,所以/(x)在(—0111(一20)),(1,+00)單調(diào)遞增，在

(ln(-2a),l)單調(diào)遞減.

③若a<—貝i"〃(—2a)>l,故當xe(F,l)U(ln(—2tz),y)時，f'(x)>0,當

xw(l,In(—2a))時，f(x)<0,所以/(x)在(fo,l),(ln(-2a),+oo)單調(diào)遞增，在

(l/n(—2。))單調(diào)遞減.

(I則設(shè)a>0,則由(I)知，〃x)在(一8,1)單調(diào)遞減，在(l,+o。)單調(diào)遞增.

又f(l)=—e,f(2)=a,取b滿足b<0且g<ln￡,

則一2)+“9-1)2=。僅一義)>0,所以/(x)有兩個零點.

(ii)設(shè)a=0,則f(x)=(x-2)ex所以/(x)有一個零點.

網(wǎng)設(shè)a<0,若則由(I)知，/(x)在(l,+oo)單調(diào)遞增.

又當xWl時，f(x)<0,故〃x)不存在兩個零點；若則由(I)知，“X)在

(l,ln(-2a))單調(diào)遞減，在(ln(-2a),+oo)單調(diào)遞增.又當xWl時/(x)<0,故/(x)不存

在兩個零點.

綜上，a的取值范圍為(0,+8).

(22)(I)設(shè)E是A5的中點，連結(jié)OE,

因為OA=OB,ZAO8=120°,所以ZAOE=60°.

在凡A4OE中，OE=，AO,即。到直線AB的距離等于圓O的半徑，所以直線AB與

2

。。相切.

(II)因為Q4=2OD,所以。不是四點所在圓的圓心，設(shè)0'是

四點所在圓的圓心，作直線0。'.

由己知得。