函數(shù)：函數(shù)圖象變換及其應(yīng)用-【題型分類歸納】2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期同步講與練(人教A版2019必修第一冊)（解析版）

函數(shù)專題：函數(shù)圖象變換及其應(yīng)用

等知識梳理

一、函數(shù)圖象變換

y=/G）的圖象向右平片/（公的兔象向左平

①簡記為

移a（a>0）個單位得、1\U

，左加右減,

到河石）的圖象；'到尸八的圖象;

上加下減”

平移變換

y=/G）的圖象向上平y(tǒng)=/G）的圖象向下平

移b（b>0）個單位得+移6（b>0）個單位得

到匕的圖象;到y(tǒng)=/（工）-6的圖象.

y=/G）的圖象上所有點(diǎn)片/G）的圖象上所有點(diǎn)

的橫坐標(biāo)縮短為原來的《、、的橫坐標(biāo)伸長為原來的

宣（3>1）得到y(tǒng)=/（3x）_￡（0<3<1）倍得到

硒象；y=f（（cx）的圖象；

伸縮變換

y=/G）的圖象上所有點(diǎn)片/G）的圖象上所有點(diǎn)

的縱坐標(biāo)伸長為原來的*的縱坐標(biāo)縮短為原來的

X_（A>D倍得到y(tǒng)=A/U）_4_（0<4<1）得到y(tǒng)=4/（x）

硒象；硼象.

y=/（x）與y--f（x）的<y=/（x）與/=/（-%）的

圖象關(guān)于/軸對稱；"f圖象關(guān)于y軸對稱;

對稱變換

一

片/（%）與y=~f（rx）的圖象關(guān)于儂對稱.

片|/（工）1的圖象:可將y=/（|x|1的圖象：可先

片/⑷的圖象在工軸"-、、、判露曾隼臚專

八V■上—7T翻折變換右邊的圖象，再作，軸

工史的部分關(guān)于X軸翻折受,右邊的圖象關(guān)于y軸

翻折，其余部分不變；對稱的圖象.

二、作函數(shù)圖象的一般方法

1、直接法:當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是基本函數(shù)或函數(shù)圖象是解析幾何中熟悉的曲線（如圓、

橢圓、雙曲線、拋物線的一部分）時，就可根據(jù)這些函數(shù)或曲線的特征直接作出.

2、轉(zhuǎn)化法：含有絕對值符號的函數(shù)，可去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來畫

圖象.

3、圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱變

換得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序.對不能直接找到熟悉的基本

函數(shù)的要先變形，并應(yīng)注意平移變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.

4、如何制定圖象變換的策略

(1)在尋找到聯(lián)系后可根據(jù)函數(shù)的形式了解變換所需要的步驟，其規(guī)律如下：

①若變換發(fā)生在“括號”內(nèi)部，則屬于橫坐標(biāo)的變換；

②若變換發(fā)生在“括號”外部，則屬于縱坐標(biāo)的變換.

例如：y=/(3x+l)：可判斷出屬于橫坐標(biāo)的變換：有放縮與平移兩個步驟.

y=〃f)+2：可判斷出橫縱坐標(biāo)均需變換，其中橫坐標(biāo)的為對稱變換，縱坐標(biāo)

的為平移變換.

(2)多個步驟的順序問題：在判斷了需要幾步變換以及屬于橫坐標(biāo)還是縱坐標(biāo)

的變換后，在安排順序時注意以下原則：

①橫坐標(biāo)的變換與縱坐標(biāo)的變換互不影響，無先后要求；

②橫坐標(biāo)的多次變換中，每次變換只有x發(fā)生相應(yīng)變化.

三、函數(shù)圖象的辨識的方法步驟

圖象辨識題的主要解題思想是“對比選項(xiàng)，找尋差異,排除篩選”

(1)求函數(shù)定義域(若各選項(xiàng)定義域相同，則無需求解)；

(2)判斷奇偶性(若各選項(xiàng)奇偶性相同，則無需判斷)；

(3)找特殊值：①對比各選項(xiàng)，計(jì)算橫縱坐標(biāo)標(biāo)記的數(shù)值；②對比各選項(xiàng)，函

數(shù)值符號的差別，自主取值(必要時可取極限判斷符號)；

(4)判斷單調(diào)性：可取特殊值判斷單調(diào)性.

w____________

r￥?？碱}型

題型精析

題型一函數(shù)圖象變換的判斷

【例1】若想得到函數(shù)尸-3丁+1211的圖象，應(yīng)將函數(shù)y=-3/的圖象（）

A.向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度

B.向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度

C.向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度

D.向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度

【答案】C

【解析】由題意，要得到函數(shù)廣示+⑵-”的圖象，即y=-3（x-2）01的圖象，

只需將函數(shù)），=-3/的圖象向右平移2個單位長度，再向上平移I個單

位長度，

即可得到函數(shù)丫=-3八您-11的圖象.故選：C.

【變式1-1］為了得到函數(shù)了=陶（2》+2）的圖象，只需把函數(shù)〉=1叫》的圖象上

的所有點(diǎn)（）

A.向左平移2個單位長度，再向上平移2個單位長度

B.向右平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度

C.向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度

D.向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度

【答案】C

［解析］因?yàn)閥=log?（2x+2）=log?［2x（x+1）］=log?2+log2（x+1）=log?（x+1）+1,

所以為了得到函數(shù)y=log式2x+2）的圖象，

只需把函數(shù)y=iog2》的圖象上所有的點(diǎn)向左平移1個單位長度，

再向上平移1個單位長度.故選：C.

【變式1-2］要得到函數(shù)y=J的圖象，只需將函數(shù)y二的圖象（）

X-Lx

A.先向右平移1個單位，再向上平移2個單位

B.先向左平移1個單位，再向上平移2個單位

C.先向右平移2個單位，再向上平移1個單位

D,先向左平移2個單位，再向上平移1個單位

【答案】A

【解析】因?yàn)槎?"=2&?+1=2+；,

x-1x-ix-1

所以函數(shù)"一的圖象向右平移1個單位，

再向上平移2個單位即可得到函數(shù)y=的圖象.故選：A

X—I

【變式1-3】將函數(shù)〃x)=lg(2x)的圖像向左、向下各平移1個單位長度得到g(x)

的函數(shù)圖像，則如)=()

A.lg(2x+l)-lB.Igf-C.lg(2x-l)-lD.

【答案】B

【解析】由題意，將函數(shù)〃x)=lg(2x)的圖像向左、向下各平移1個單位長度，

可彳導(dǎo)g(x)=lg[2(x+l)]-l=lg(2x+2)-l=lg^^=lg~y~.故選：B.

【變式1-4]已知函數(shù)/⑶曰嗝工，將函數(shù)y=/(x)的圖像向右平移1個單位長度，

再將所得的函數(shù)圖像上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的3，縱坐標(biāo)不變，然后將所得

的圖像上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長為原來的3倍，橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)"g(x)的圖

像，則函數(shù)g。)的解析式為()

A.g(x)=31og、(；xT)B.g(x)=；k)g3(Jx_g)

C.^(x)=31og,(2x-l)D.g(x)=31og,(2x-2)

【答案】c

【解析】由函數(shù)f(x)=iog+的圖像向右平移1個單位長度得到函數(shù)y=ioge-i)的

圖像，

再將函數(shù)丫=1。83。-1）圖像上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的3,縱坐標(biāo)不

變，

得到函數(shù)y=l啕（2x7）的圖像，

然后將函數(shù)y=1嗚（2》-1）圖像上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長為原來的3倍，橫坐

標(biāo)不變，

得到函數(shù)g（x）=3bg3（2x-l）的圖像.故選：c

題型二利用變換畫函數(shù)圖象

【例2】作出函數(shù)〃力=,—4-5|在區(qū)間［-2,6］上的圖象.

【答案】作圖見解析

【解析】先作出二次函數(shù)y=d-4x7的圖象，

再把圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，保留x軸上及其上方

的部分，

并截取在區(qū)間［-2,6］的部分，即得函數(shù)〃x）=W-?-5］的圖象，如圖所

示.

【變式2-1］畫出函數(shù)=’的圖象并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域.

【答案】作圖見解析；函數(shù)的單增區(qū)間為（口/），單減區(qū)間為。,+?）,

值域是（05.

【解析】函數(shù)y=（￡|"是由函數(shù)y=向右平移一個單位得到的，

顯然，y=Qj是偶函數(shù)，先畫出產(chǎn)6，20的圖像，

再作出其關(guān)于）‘軸對稱的圖象，即可得到y(tǒng)=（；『的圖像，

再向右平移一個單位即得到y(tǒng)=（小的圖像，如下圖所示:

由圖象可知，函數(shù)尸的單增區(qū)間為（-,1）,單減區(qū)間為。,+?）,

值域是（05.

【解析】函數(shù)f（x）=l-匕的圖象，

是將函數(shù)），=--先向左平移1個單位，再向上平移1個單位得到;

又由于函數(shù)y=—-圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，

所以/。）=1-一、圖象關(guān)于（-1』）中心對稱，所以c正確.

X+1

故選：C.

【變式2-3］已知函數(shù)y"(x)的圖象如圖所示，貝！|丫=/(1-司的圖象為()

y\.

__/0x

【解析】將函數(shù)y="力的圖象先作關(guān)于y軸的對稱變換得到函數(shù)尸的圖

象，

再將函數(shù)y=/(r)的圖象向右平移I個單位長度得到y(tǒng)=〃i-x)的圖

象.故選：A.

【變式2-4】已知函數(shù)〃x)=,則下列圖象錯誤的是()

也凡r-1)的圖象沙=1曲小的圖象

yy-x)的圖象

驢弗rl）的圖象

【答案】D

【解析】當(dāng)TWxWO時，〃x）=-2x，表示一條線段，且線段經(jīng)過（T2）和（0,0）兩

點(diǎn).

當(dāng)0<x41時，于g=6,表示一段曲線,函數(shù)的圖象如圖所示.

/（xT）的圖象可由/（"的圖象向右平移一個單位長度得到，故A正確；

/（t）的圖象可由f（x）的圖象關(guān)于）'軸對稱后得到，故B正確；

由于/⑺的值域?yàn)閇。，2],故?。?|〃力|,

故的圖象與〃x）的圖象完全相同，故C正確；

很明顯D中〃同）的圖象不正確.故選：D.

題型三根據(jù)復(fù)雜函數(shù)解析式選擇圖象

【答案】B

【解析】定義域?yàn)?fO)U(OM),

X

又——一(X),故'=千為奇函數(shù)，排除CD；

3,-3

又八3)=,/(D=e+e-',顯然/⑶＞〃1),故A錯誤，B正確.

故選：B

【變式3-1】函數(shù)y=的圖像大致是()

【解析】函數(shù)＞=旨^的定義域?yàn)閧加工±1}

,3Q

當(dāng)x=2時，尸聲1正＞°,可知選項(xiàng)D錯誤；

(-2)3-8

當(dāng)、=-2時，產(chǎn)/=裾＜0，可知選項(xiàng)C錯誤；

.(-2)-155

i12/7

當(dāng)x=5時，丫=京：-=漏<。,可知選項(xiàng)B錯誤，選項(xiàng)A正確.

故選：A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=a^的定義域?yàn)椋?,0）U（0，KO），且

2x

-4x2+1

故/（xX*1是偶函數(shù)，排除選項(xiàng)B,C；

2x

當(dāng)x=2時，"2）=?<0,對應(yīng)點(diǎn)在第四象限，故排除A,故選：D.

【變式3-3］函數(shù)/（xQdlogs尸的大致圖象是（）

2.—X

【解析】函數(shù)/（幻=/3『定義域?yàn)椋ā?）,/（-x）=（-x）2log--=-/?,

2-x2+x3

則有函數(shù)/（X）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，選項(xiàng)B,C不滿足；

24~Y2+Y

當(dāng)xe（O⑵時，彳」>1,即1咆3產(chǎn),

L—XL-X

因此/3>0,選項(xiàng)A不滿足，D符合條件.故選：D

9V_O-x

【變式3-4】函數(shù)），=與一的部分圖象大致為（)

【解析】因?yàn)椤?〃》）=得二定義域?yàn)镽,

又=半公-與：）=_〃x）,

>_0~x

所以y=〃x）=q^為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除B；

當(dāng)x<0時0<2*<1,2,>1,2H>1,

所以2，_2-<0,所以/（可<0,故排除D；

因?yàn)椤?lt;*1,所以。<1-*1，即。</（x）<l,故排除C；故選：A

題型四根據(jù)函數(shù)圖象選擇解析式

【例4】已知函數(shù)?。┑牟糠謭D像如圖所示，則函數(shù)/（X）的解析式可能為（

D.f(x)=x\nx+x-\

【答案】C

【解析】當(dāng)x=2時,殍-2+l=ln夜-1<(),

號+2-l=ln&+l>l,21n2+2-l>l,故排除ABD.故選：C.

【變式4-1］已知函數(shù)/“）圖象如圖所示，那么該函數(shù)可能為（）

,-^U>0）fx-\f、川

A?”x）=MB./"）=/x）C-/（'）=e'

3l^（x<0）［（x+l）e'（x<0）

lr

D./（》）=叫叫

X

【答案】D

【解析】由圖象可知，函數(shù)定義域?yàn)椋?,0）UQ+8）,

圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，函數(shù)是奇函數(shù)，X>1時fM>0,

InX

據(jù)此，f（x）=二定義域不符合，排除A；

lax/八、

—>0）

若/(x)=:,則x>l時，/（x）<0,不符合圖象，故排除B；

-Mu<o）

X-］0

A>

若〃力=<h,則當(dāng)X趨向于?！瘯r，/。）=個趨向于-1,

（x+l）e，（x<0）

當(dāng)X趨向于0時，/（x）=（x+l）e、趨向于1,不符合圖象,故排除c：

故選：D

【變式4-2］已知函數(shù)“X）的圖象如圖所示，則的解析式可能是（）

（e-2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)）

A./（x）=e'（2x：l）B.=

X-1x+1

c.=D,=

【答案】A

【解析】由圖知，,可排除BC；

又由圖可知/（。）>。,因?yàn)檫x項(xiàng)D中函數(shù)/（］）=.07）,

X—1

則〃O）=e°（?：+l）=_|<o,故D錯誤.故選：A

【變式4-3］函數(shù)/（x）的圖像如圖所示，則其解析式可能是（）

5

X——

B?〃x)=4

(e-2)(x-l)

5

c/W=x——

-7(^T)D-/(x)=4

Ml)

【答案】A

【解析】由給定圖像知，函數(shù)析力的定義域?yàn)閧xeRIxxO且xxl},

對于B,x#ln2且XHI,B不是；

對于C,,C不是；

由圖像知，當(dāng)x＜0時,F(x)vT恒成立,

_5_5

44

對于D,當(dāng)x=-(時，/(-1)=-55-=,D不是，A滿足條

一4(一4一"

件.

故選：A

題型五多個函數(shù)在同一坐標(biāo)系問題

【例5】當(dāng)()＜。＜1時，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=d)'與y=bg.x的大致圖像只

可能是()

劭

A.B.C.

【答案】C

【解析】當(dāng)。＜。＜1時，,＞1,函數(shù)尸在其定義域上是增函數(shù)，

故圖象從左向右看是上升的；

y=log〃在其定義域上單調(diào)遞減，故圖象從左向右看是下降的.故選:

C.

【變式5-1］在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)/(x)=x"與8(力=尸在［。，”)上的圖

【答案】A

【解析】=為幕函數(shù)，g(x)=L=d)'為指數(shù)函數(shù)

a

A.g(x)=a-，=(》，過定點(diǎn)(0,1),可知0＜卜1,

.?/＞1,/(x)=E的圖象符合，故可能.

B.g(x)=a-*=(3'過定點(diǎn)(01)，可知0＜工＜1,

aa

.”＞1,/(x)=x〃的圖象不符合，故不可能.

C.8(同=4=(%過定點(diǎn)(0,1)，可知L〉1,

aa

.-.0<?<l,/(%)=X"的圖象不符合，故不可能.

D.圖象中無幕函數(shù)圖象，故不可能.故選：A

【變式5-2］函數(shù)/(x)=1+log2(-x)與g(x)=2一在同一直角坐標(biāo)系中的圖像大

【解析】?."(x)=l+log2(f)為減函數(shù)；g(x)=21為減函數(shù);

可知圖像中只有A滿足兩函數(shù)均為減函數(shù).故選：A.

【變式5-3】函數(shù)y=￡,y=優(yōu)，)>=log0》,其中a〉0,“1存在某個實(shí)數(shù)。，使得以

上三個函數(shù)圖像在同一平面直角坐標(biāo)系宜打中，則其圖像只可能是()

【答案】C

【解析】A：假設(shè)指數(shù)函數(shù)，=優(yōu)的圖象是正確的，所以有”>1,

這時對數(shù)函數(shù)y=log"是單調(diào)遞增的，但是選項(xiàng)中的圖象是單調(diào)遞

減的，

所以假設(shè)不成立，故本選項(xiàng)不正確；

B:假設(shè)指數(shù)函數(shù)y="的圖象是正確的，所以有0<a<l,

這時對數(shù)函數(shù)J=10g“X是單調(diào)遞減的，但是選項(xiàng)中的圖象是單調(diào)遞

增的，

所以假設(shè)不成立，故本選項(xiàng)不正確；

C:假設(shè)指數(shù)函數(shù)了=優(yōu)的圖象是正確的，所以有,

這時對數(shù)函數(shù)J=log.X是單調(diào)遞減的，選項(xiàng)中的圖象是單調(diào)遞減的，

假設(shè)不成立，

這時幕函數(shù)圖象有可能正確，也有可能錯誤，

故存在某個實(shí)數(shù)“，使得這三個圖象是正確的，故本選項(xiàng)正確；

D:假設(shè)指數(shù)函數(shù)＞=優(yōu)的圖象是正確的，所以有,

這時對數(shù)函數(shù)y=是單調(diào)遞增的,選項(xiàng)中的圖象是單調(diào)遞增的,

所以假設(shè)成立，這時幕函數(shù)y=￡的圖象是不正確的，

因?yàn)檫@時的器函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)集，故本選項(xiàng)不正確.故選：

C

題型六圖象在實(shí)際問題中的應(yīng)用

【例6】小明去上學(xué)，先步行，后跑步，如果y表示小明離學(xué)校的距離，X表示

【答案】B

【解析】由題意可知：》=0時所走的路程為0，離單位的距離為最大值，排除A、

C,

隨著時間的增加，先步行，開始時）'隨X的變化慢，后跑步，則）'隨X的

變化快，

所以適合的圖象為B.故選：B

【變式6-1】“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，

驕傲起來，睡了一覺.當(dāng)