新教材2024年高中數(shù)學(xué)第5章計(jì)數(shù)原理2排列第2課時(shí)排列數(shù)的應(yīng)用素養(yǎng)作業(yè)北師大版選擇性必修第一冊(cè)

第五章§2第2課時(shí)A組·素養(yǎng)自測(cè)一、選擇題1．用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為(D)A．24 B．48C．60 D．72[解析]由題意，可知個(gè)位可以從1,3,5中任選一個(gè)，有Aeq\o\al(1,3)種方法，其他數(shù)位上的數(shù)可以從剩下的4個(gè)數(shù)字中任選，進(jìn)行全排列，有Aeq\o\al(4,4)種方法，所以奇數(shù)的個(gè)數(shù)為Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(4,4)＝3×4×3×2×1＝72.2．從2,3,4,5,6,7,8,9這8個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)不同的數(shù)字分別作為一個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則可以組成不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為(D)A．56 B．54C．53 D．52[解析]在8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)可以組成Aeq\o\al(2,8)＝56(個(gè))對(duì)數(shù)值．但在這56個(gè)對(duì)數(shù)值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即滿意條件的對(duì)數(shù)值共有56－4＝52(個(gè))．3．從8人中選3人排成一隊(duì)，其中甲、乙同時(shí)參與排隊(duì)或同時(shí)不參與排隊(duì)，若參與排隊(duì)，就肯定相鄰，則不同的排法共有(C)A．252種 B．278種C．144種 D．362種[解析]若甲、乙都不參與排隊(duì)，則不同的排法有Aeq\o\al(3,6)＝120(種)；若甲、乙都參與排隊(duì)，則不同的排法有Aeq\o\al(1,6)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝24(種)，所以不同的排法共有120＋24＝144(種)．故選C．4．我國(guó)第一艘航母“遼寧號(hào)”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有5架“殲－15”飛機(jī)打算著艦，假如甲機(jī)不能最先著艦，而乙機(jī)必需在丙機(jī)之前著艦(不肯定相鄰)，那么不同的著艦方法有(D)A．12種 B．24種C．36種 D．48種[解析]甲機(jī)的著艦方法有Aeq\o\al(1,4)種，其余飛機(jī)的著艦方法有Aeq\o\al(4,4)種，而乙機(jī)與丙機(jī)的相對(duì)依次關(guān)系有Aeq\o\al(2,2)種，故不同的著艦方法有eq\f(A\o\al(1,4)·A\o\al(4,4),A\o\al(2,2))＝48種．5．把語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理、歷史、外語(yǔ)這五門課程支配在一天的五節(jié)課里，假如數(shù)學(xué)必需比歷史先上，那么不同的排法有(C)A．48種 B．24種C．60種 D．120種[解析]五門課程隨意支配有Aeq\o\al(5,5)種排法，數(shù)學(xué)課在歷史課前和歷史課在數(shù)學(xué)課前各占總排法數(shù)的一半，所以數(shù)學(xué)課排在歷史課前的排法有eq\f(1,2)Aeq\o\al(5,5)＝60(種)．6．(多選)停車站劃出一排12個(gè)停車位置，今有8輛不同的車須要停放，若要求剩余的4個(gè)空車位連在一起，則不同的停車方法有(AD)A．Aeq\o\al(9,9)種 B．Aeq\o\al(9,9)Aeq\o\al(4,4)種C．8Aeq\o\al(8,8)種 D．9Aeq\o\al(8,8)種[解析]將4個(gè)空車位視為一個(gè)元素，與8輛車共9個(gè)元素進(jìn)行全排列，共有Aeq\o\al(9,9)＝9Aeq\o\al(8,8)種．二、填空題7．用1,2,3,4,5,6組成六位數(shù)(沒有重復(fù)數(shù)字)，要求任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同，且1,2相鄰，這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是_40__.[解析]可分為三步來(lái)完成這件事：第一步：先將3,5進(jìn)行排列，共有Aeq\o\al(2,2)種排法；其次步：再將4,6插空排列，共有2Aeq\o\al(2,2)種排法；第三步：將1,2放入3,5,4,6形成的空中，共有Aeq\o\al(1,5)種排法；由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有2Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,5)＝40種不同的排法．8．將序號(hào)分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，假如分給同一人的2張參觀券連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是_96__.[解析]先分組后用安排法求解，5張參觀券分為4組，其中2個(gè)連號(hào)的有4種分法，每一種分法中的排列方法有Aeq\o\al(4,4)種，因此共有不同的分法4Aeq\o\al(4,4)＝4×24＝96(種)．9．2024年某地實(shí)行博物展，某單位將展出5件藝術(shù)作品，其中不同書法作品2件、不同繪畫作品2件、標(biāo)記性建筑設(shè)計(jì)1件，在展臺(tái)上將這5件作品排成一排，要求2件書法作品必需相鄰，2件繪畫作品不能相鄰，則該單位展出這5件作品不同的方案有_24__種．(用數(shù)字作答)[解析]將2件書法作品排列，方法數(shù)為2種，然后將其作為1件作品與標(biāo)記性建筑設(shè)計(jì)作品共同排列有2種排法，對(duì)于其每一種排法，在其形成的3個(gè)空位中選2個(gè)插入2件繪畫作品，故共有不同展出方案：2×2×Aeq\o\al(2,3)＝24種．三、解答題10．一場(chǎng)晚會(huì)有5個(gè)演唱節(jié)目和3個(gè)舞蹈節(jié)目，要求排出一個(gè)節(jié)目單．(1)3個(gè)舞蹈節(jié)目不排在起先和結(jié)尾，有多少種排法？(2)前四個(gè)節(jié)目要有舞蹈節(jié)目，有多少種排法？[解析](1)先從5個(gè)演唱節(jié)目中選兩個(gè)排在首尾兩個(gè)位置有Aeq\o\al(2,5)種排法，再將剩余的3個(gè)演唱節(jié)目，3個(gè)舞蹈節(jié)目排在中間6個(gè)位置上有Aeq\o\al(6,6)種排法，故共有不同排法Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(6,6)＝14400種．(2)先不考慮排列要求，有Aeq\o\al(8,8)種排列，其中前四個(gè)節(jié)目沒有舞蹈節(jié)目的狀況，可先從5個(gè)演唱節(jié)目中選4個(gè)節(jié)目排在前四個(gè)位置，然后將剩余四個(gè)節(jié)目排列在后四個(gè)位置，有Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)種排法，所以前四個(gè)節(jié)目要有舞蹈節(jié)目的排法有(Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4))＝37440種．11．從數(shù)字0,1,3,5,7中取出不同的三個(gè)數(shù)作系數(shù)，可以組成多少個(gè)不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有實(shí)根的方程有多少個(gè)？[解析]先考慮組成一元二次方程的問題．首先確定a，只能從1,3,5,7中選一個(gè)，有Aeq\o\al(1,4)種，然后從余下的四個(gè)數(shù)中任選兩個(gè)作b，c，有Aeq\o\al(2,4)種，又0,1,3,5,7并無(wú)公因數(shù)，故由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，組成的一元二次方程共Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)＝48(個(gè))．方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)要有實(shí)根，必需滿意Δ＝b2－4ac≥0.分類探討如下：當(dāng)c＝0時(shí)，a，b可以從1,3,5,7中任取兩個(gè)，一元二次方程有Aeq\o\al(2,4)個(gè)；當(dāng)c≠0時(shí)，分析判別式知b只能取5,7中的一個(gè)．當(dāng)b取5時(shí)，a，c只能取1,3這兩個(gè)數(shù)，一元二次方程有Aeq\o\al(2,2)個(gè)；當(dāng)b取7時(shí)，a，c可取1,3或1,5這兩組數(shù)，一元二次方程有2Aeq\o\al(2,2)個(gè)．此時(shí)共有(Aeq\o\al(2,2)＋2Aeq\o\al(2,2))個(gè)一元二次方程．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，有實(shí)根的一元二次方程共有Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,2)＋2Aeq\o\al(2,2)＝18(個(gè))．B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．某地為了迎接2024年運(yùn)動(dòng)會(huì)，某大樓安裝了5個(gè)彩燈，它們閃亮的依次不固定．每個(gè)彩燈只能閃亮紅、橙、黃、綠、藍(lán)中的一種顏色，且這5個(gè)彩燈所閃亮的顏色各不相同，記這5個(gè)彩燈有序地各閃亮一次為一個(gè)閃耀．在每個(gè)閃耀中，每秒鐘有且僅有一個(gè)彩燈閃亮，而相鄰兩個(gè)閃耀的時(shí)間間隔均為5秒．假如要實(shí)現(xiàn)全部不同的閃耀，那么須要的時(shí)間至少是(C)A．1205秒 B．1200秒C．1195秒 D．1190秒[解析]由題意每次閃耀共5秒，全部不同的閃耀為Aeq\o\al(5,5)個(gè)，相鄰兩個(gè)閃耀的時(shí)間間隔為5秒，因此須要的時(shí)間至少是5Aeq\o\al(5,5)＋(Aeq\o\al(5,5)－1)×5＝1195秒．2．有4本不同的書A、B、C、D，要分給三個(gè)同學(xué)，每個(gè)同學(xué)至少分一本，書A、B不能分給同一人，則這樣的分法共有(C)A．18種 B．24種C．30種 D．36種[解析]4本不同的書分給三個(gè)同學(xué)，共有6Aeq\o\al(3,3)＝36，書A、B分給同一人有Aeq\o\al(3,3)＝6，所以共有36－6＝30種，故選C．3．把5件不同產(chǎn)品擺成一排．若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有(B)A．48 B．36C．30 D．24[解析]將A，B捆綁在一起，有Aeq\o\al(2,2)種擺法，再將它們與其他3件產(chǎn)品全排列，有Aeq\o\al(4,4)種擺法，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)種擺法，而A，B，C3件產(chǎn)品在一起，且A，B相鄰，A，C相鄰時(shí)有2種狀況，將這3件產(chǎn)品與剩下2件產(chǎn)品全排列，有2Aeq\o\al(3,3)種擺法．故A，B相鄰，A，C不相鄰的擺法有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)－2Aeq\o\al(3,3)＝36(種)．4．用0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的6位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的六位數(shù)共有(A)A．300個(gè) B．464個(gè)C．600個(gè) D．720個(gè)[解析]方法1：確定最高位有Aeq\o\al(1,5)種不同方法．確定萬(wàn)位、千位、百位，從剩下的5個(gè)數(shù)字中取3個(gè)排列，共有Aeq\o\al(3,5)種不同的方法，剩下兩個(gè)數(shù)字，把大的排在十位上即可，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(3,5)＝300(個(gè))．方法2：由于個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的應(yīng)各占一半，故有eq\f(1,2)Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5)＝300(個(gè))．二、填空題5．6人站成一排，甲、乙、丙3個(gè)人不能都站在一起的排法種數(shù)為_576__.[解析]“不能都站在一起”與“都站在一起”是對(duì)立事務(wù)，由間接法可得Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)＝576.6．如圖是一個(gè)正方體紙盒的綻開圖，若把1,2,3,4,5,6分別填入小正方形后，按虛線折成正方體，則所得到的正方體相對(duì)面上的兩個(gè)數(shù)的和都相等的概率是_eq\f(1,15)__.[解析]6個(gè)數(shù)隨意填入6個(gè)小正方形中有Aeq\o\al(6,6)＝720種方法；將6個(gè)數(shù)分三組(1,6)，(2,5)，(3,4)，每組中的兩個(gè)數(shù)填入一對(duì)面中，共有不同填法Aeq\o\al(3,3)×2×2×2＝48種，故所求概率P＝eq\f(48,720)＝eq\f(1,15).三、解答題7．用0、1、2、3、4五個(gè)數(shù)字：(1)可組成多少個(gè)五位數(shù)；(2)可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)；(3)可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的且是3的倍數(shù)的三位數(shù)；(4)可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)．[解析](1)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字允許重復(fù)，故由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有4×5×5×5×5＝2500(個(gè))．(2)方法1：先排萬(wàn)位，從1,2,3,4中任取一個(gè)有Aeq\o\al(1,4)種填法，其余四個(gè)位置四個(gè)數(shù)字共有Aeq\o\al(4,4)種，故共有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝96(個(gè))．方法2：先排0，從個(gè)、十、百、千位中任選一個(gè)位置將0填入有Aeq\o\al(1,4)種方法，其余四個(gè)數(shù)字全排有Aeq\o\al(4,4)種方法，故共有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝96(個(gè))．(3)構(gòu)成3的倍數(shù)的三位數(shù)，各個(gè)位上數(shù)字之和是3的倍數(shù)，按取0和不取0分類：①取0，從1和4中取一個(gè)數(shù)，再取2進(jìn)行排，先填百位Aeq\o\al(1,2)，其余任排有Aeq\o\al(2,2)，故有2Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)種．②不取0，則只能取3，從1或4中再任取一個(gè)，再取2然后進(jìn)行全排為2Aeq\o\al(3,3)，所以共有2Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋2Aeq\o\al(3,3)＝8＋12＝20(個(gè))．(4)考慮特別位置個(gè)位和萬(wàn)位，先填個(gè)位，從1、3中選一個(gè)填入個(gè)位有Aeq\o\al(1,2)種填法，然后從剩余3個(gè)非0數(shù)中選一個(gè)填入萬(wàn)位，有Aeq\o\al(1,3)種填法，包含0在內(nèi)還有3個(gè)數(shù)在中間三位置上全排列，排列數(shù)為Aeq\o\al(3,3)，故共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36(個(gè))．8．4名男同學(xué)和3名女同學(xué)站成一排．(1)7名同學(xué)中，甲、乙、丙排序肯定(只考慮位置的前后依次)，有多少種不同的排法？(2)甲不在最左端，乙不在最右端，有多少種不同的排法？(3)7名同學(xué)中，甲乙兩名同學(xué)之間必需恰有3名同學(xué)，有多少種不同的排法？(4)7名同學(xué)中，甲、乙兩名同學(xué)相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？(5)女同學(xué)從左到右按從高到矮的依次排，有多少種不同的排法？(3名女生身高互不相等)[解析](1)7名同學(xué)的全部排法有Aeq\o\al(7,7)種，其中甲、乙、丙的排序有Aeq\o\al(3,3)種，所以甲、乙、丙排序肯定的排法有eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(3,3))＝840(種)．(2)方法1：甲不在最左端，按甲的排法分類：若甲在最右端，則有Aeq\o\al(6,6)種排法；若甲不在最右端，則甲有Aeq\o\al(1,5)種排法，乙有Aeq\o\al(1,5)種排法，其余同學(xué)有Aeq\o\al(5,5)種排法．綜上，不同的排法共有Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)＝＝3720(種)．方法2：在排列時(shí)，先不考慮甲、乙站位的要求，有Aeq\o\al(7,7)種站