新教材2024年高中數(shù)學(xué)第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)素養(yǎng)作業(yè)新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

第八章8.3A組·素養(yǎng)自測(cè)一、選擇題1．(多選)下列說(shuō)法正確的是(AB)A．事務(wù)A與B獨(dú)立，即兩個(gè)事務(wù)互不影響B(tài)．事務(wù)A與B關(guān)系越親密，則χ2就越大C．χ2的大小是判定事務(wù)A與B是否相關(guān)的唯一依據(jù)D．若判定兩事務(wù)A與B相關(guān)，則A發(fā)生B肯定發(fā)生[解析]由事務(wù)的獨(dú)立性知，A選項(xiàng)正確；由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義知，B選項(xiàng)正確；χ2的大小是判定事務(wù)A與B是否相關(guān)的一種方法，不是唯一依據(jù)，C選項(xiàng)不正確；若事務(wù)A與B相關(guān)，則A發(fā)生B可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，D選項(xiàng)不正確．2．分類(lèi)變量X和Y的列表如下，則下列說(shuō)法推斷正確的是(C)y1y2合計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d合計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋dA．a(chǎn)d－bc越小，說(shuō)明X和Y關(guān)系越弱B．a(chǎn)d－bc越大，說(shuō)明X和Y關(guān)系越強(qiáng)C．(ad－bc)2越大，說(shuō)明X與Y關(guān)系越強(qiáng)D．(ad－bc)2越接近于0，說(shuō)明X與Y關(guān)系越強(qiáng)[解析]列聯(lián)表可以較為精確地推斷兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系程度，由χ2＝eq\f(a＋b＋c＋dad－bc2,a＋ba＋cb＋dc＋d)，當(dāng)(ad－bc)2越大，χ2越大，表明X與Y的關(guān)系越強(qiáng)．(ad－bc)2越接近0，說(shuō)明兩個(gè)分類(lèi)變量X和Y無(wú)關(guān)的可能性越大．3．為考察A，B兩種藥物預(yù)防某疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，分別得到如下等高條形圖：依據(jù)圖中信息，在下列各項(xiàng)中，說(shuō)法最佳的一項(xiàng)是(B)A．藥物B的預(yù)防效果優(yōu)于藥物A的預(yù)防效果B．藥物A的預(yù)防效果優(yōu)于藥物B的預(yù)防效果C．藥物A，B對(duì)該疾病均有顯著的預(yù)防效果D．藥物A，B對(duì)該疾病均沒(méi)有預(yù)防效果[解析]從等高條形圖可以看出，服用藥物A后未患病的比例比服用藥物B后未患病的比例大得多，預(yù)防效果更好．4．為了了解手機(jī)品牌的選擇是否和年齡的大小有關(guān)，隨機(jī)抽取部分A品牌手機(jī)運(yùn)用者和B品牌手機(jī)運(yùn)用者進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：年齡手機(jī)品牌合計(jì)A品牌B品牌30歲以上40206030歲以下(含30歲)152540合計(jì)5545100依據(jù)表格計(jì)算得χ2≈8.249，據(jù)此推斷下列結(jié)論正確的是(C)A．沒(méi)有任何把握認(rèn)為“手機(jī)品牌的選擇與年齡大小有關(guān)”B．可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為“手機(jī)品牌的選擇與年齡大小有關(guān)”C．可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“手機(jī)品牌的選擇與年齡大小有關(guān)”D．可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“手機(jī)品牌的選擇與年齡大小無(wú)關(guān)”[解析]χ2≈8.249>6.635＝x0.01，由小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)知，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“手機(jī)品牌的選擇與年齡大小有關(guān)”．5．利用獨(dú)立性檢驗(yàn)對(duì)事務(wù)A和B是否有關(guān)進(jìn)行探討時(shí)，若有99%的把握認(rèn)為事務(wù)A和B有關(guān)，則計(jì)算出的χ2的取值范圍是(A)P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828A．χ2≥6.635 B．χ2<6.635C．χ2≥3.841 D．χ2<3.841[解析]易知當(dāng)χ2≥6.635時(shí)，有99%的把握認(rèn)為事務(wù)A和B有關(guān)．故選A．二、填空題6．(一題兩空)在一項(xiàng)打鼾與患心臟病的調(diào)查中，共調(diào)查了1671人，經(jīng)過(guò)計(jì)算χ2＝7.63.依據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，有_99%__的把握說(shuō)，打鼾與患心臟病是_有關(guān)__的.(“有關(guān)”或“無(wú)關(guān)”)[解析]∵χ2＝7.63，∴χ2>6.635，因此，有99%的把握說(shuō)，打鼾與患心臟病是有關(guān)的．7．若兩個(gè)分類(lèi)變量x和y的列聯(lián)表為：yxy1y2x1515x24010則x與y之間有關(guān)系的概率約為_(kāi)0.999__.[解析]χ2＝eq\f(5＋15＋40＋105×10－40×152,5＋1540＋105＋4015＋10)≈18.822.∵18.822>10.828，∴x與y之間有關(guān)系的概率約為1－0.001＝0.999.8．假如依據(jù)性別與是否愛(ài)好運(yùn)動(dòng)的列聯(lián)表得到χ2≈3.852＞3.841，則推斷性別與是否愛(ài)好運(yùn)動(dòng)有關(guān)，那么這種推斷犯錯(cuò)誤的可能性不超過(guò)_5%__.[解析]因?yàn)镻(χ2≥3.841)≈0.05.所以推斷性別與是否愛(ài)好運(yùn)動(dòng)有關(guān)，出錯(cuò)的可能性不超過(guò)5%.三、解答題9．(2024·全國(guó)甲卷)甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量狀況統(tǒng)計(jì)如下表：一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[解析](1)依據(jù)題表中數(shù)據(jù)知，甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是eq\f(150,200)＝0.75，乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是eq\f(120,200)＝0.6.(2)依據(jù)題表中的數(shù)據(jù)可得K2＝eq\f(400×150×80－120×502,200×200×270×130)＝eq\f(400,39)≈10.256.因?yàn)?0.256>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異．10．為加強(qiáng)環(huán)境愛(ài)護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門(mén)對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：μg/m3)，得下表：SO2PM2.5[0，50](50，150](150，475][0，35]32184(35，75]6812(75，115]3710(1)估計(jì)事務(wù)“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75，且SO2濃度不超過(guò)150”的概率；(2)依據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表：SO2PM2.5[0，150](150，475][0，75](75，115](3)依據(jù)(2)中的列聯(lián)表，依據(jù)小概率α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度是否有關(guān)？[解析](1)依據(jù)抽查數(shù)據(jù)，該市100天的空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75，且SO2濃度不超過(guò)150的天數(shù)為32＋18＋6＋8＝64，因此，該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75，且SO2濃度不超過(guò)150的概率的估計(jì)值為eq\f(64,100)＝0.64.(2)依據(jù)抽查數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表：SO2PM2.5[0，150](150，475][0，75]6416(75，115]1010(3)零假設(shè)H0：該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度無(wú)關(guān)．依據(jù)(2)的列聯(lián)表得χ2＝eq\f(100×64×10－16×102,80×20×74×26)≈7.484>6.635＝x0.01.依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為H0不成立，即認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01.B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．(2024·北京五中模擬)有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，依據(jù)大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成果，得到如下列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班10b乙班c30總計(jì)105已知在這105人中隨機(jī)抽取1人，成果優(yōu)秀的概率為eq\f(2,7)，χ2≈6.109.則下列說(shuō)法正確的是(C)附：P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50C．依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的牢靠性要求，能認(rèn)為成果與班級(jí)有關(guān)系D．依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的牢靠性要求，不能認(rèn)為成果與班級(jí)有關(guān)系[解析]∵在這105人中隨機(jī)抽取1人，成果優(yōu)秀的概率為eq\f(2,7)，∴成果優(yōu)秀的人數(shù)為105×eq\f(2,7)＝30，非優(yōu)秀的人數(shù)為105－30＝75，∴c＝30－10＝20，b＝75－30＝45，∴χ2＝eq\f(105×10×30－20×452,30×75×50×55)≈6.109>3.841.∴若按95%的牢靠性要求，能認(rèn)為成果與班級(jí)有關(guān)系．故選C．2．(多選)有兩個(gè)分類(lèi)變量X，Y，其列聯(lián)表如下所示，Y1Y2X1a20－aX215－a30＋a其中a，15－a均為大于5的整數(shù)，若在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為X，Y有關(guān)，則a的值為(CD)A．6 B．7C．8 D．9[解析]依據(jù)公式，得χ2＝eq\f(65×[a30＋a－15－a20－a]2,20×45×15×50)＝eq\f(13×13a－602,20×45×3×2)>3.841，依據(jù)a>5且15－a>5，a∈Z，求得當(dāng)a＝8或9時(shí)滿(mǎn)意題意．3．(多選)(2024·江西省模擬)千百年來(lái)，我國(guó)勞動(dòng)人民在生產(chǎn)實(shí)踐中依據(jù)云的形態(tài)、走向、速度、厚度、顏色等的改變，總結(jié)了豐富的“看云識(shí)天氣”的閱歷，并將這些閱歷編成諺語(yǔ)，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗(yàn)證“日落云里走，雨在半夜后”，視察了A地區(qū)的100天日落和夜晚天氣的狀況，得到如下2×2列聯(lián)表：夜晚天氣日落云里走下雨未下雨出現(xiàn)255未出現(xiàn)2545并計(jì)算得到χ2＝19.05，下列小波對(duì)A地區(qū)天氣推斷正確的是(ABC)附：P(χ2≥k)0.10.050.010.001k2.7063.8416.63510.828A．夜晚下雨的概率約為eq\f(1,2)B．在未出現(xiàn)“日落云里走”的條件下，夜晚下雨的概率約為eq\f(5,14)C．有99.99%的把握認(rèn)為“日落云里走”是否出現(xiàn)與當(dāng)晚是否下雨有關(guān)D．出現(xiàn)“日落云里走”，有99.9%的把握認(rèn)為夜晚會(huì)下雨[解析]對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)橐雇硐掠甑奶鞌?shù)一共有25＋25＝50(天)，所以夜晚下雨的概率約為eq\f(50,100)＝eq\f(1,2)，故A正確．對(duì)于選項(xiàng)B，未出現(xiàn)“日落云里走”夜晚下雨的有25天，未出現(xiàn)“日落云里走”的一共有25＋45＝70(天)，所以在未出現(xiàn)“日落云里走”的條件下，夜晚下雨的概率約為eq\f(25,70)＝eq\f(5,14)，故B正確．對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)棣?≈19.05>10.828，所以有99.9%的把握認(rèn)為“日落云里走”是否出現(xiàn)與當(dāng)晚是否下雨有關(guān)，故C正確，D錯(cuò)誤，故選ABC．4．某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和喜愛(ài)某熱門(mén)軟件是否有關(guān)聯(lián)”進(jìn)行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的女生人數(shù)是男生人數(shù)的eq\f(1,2)，男生喜愛(ài)該軟件的人數(shù)占男生人數(shù)的eq\f(1,6)，女生喜愛(ài)該軟件的人數(shù)占女生人數(shù)的eq\f(2,3).若有99%的把握認(rèn)為喜愛(ài)該軟件和性別有關(guān)聯(lián)，則男生至少有(B)參考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828A．12人 B．18人C．24人 D．30人[解析]設(shè)男生人數(shù)為x，女生人數(shù)為eq\f(x,2).作出2×2列聯(lián)表：喜愛(ài)該軟件不喜愛(ài)該軟件合計(jì)男生eq\f(1,6)xeq\f(5,6)xx女生eq\f(1,3)xeq\f(1,6)xeq\f(x,2)合計(jì)eq\f(x,2)xeq\f(3,2)x可得χ2＝eq\f(\f(3x,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,6)·\f(x,6)－\f(x,3)·\f(5x,6)))2,\f(x,2)·x·\f(x,2)·x)＝eq\f(3x,8)>6.635.解得x>17.69，∵x為整數(shù)，所以，若在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為是否喜愛(ài)抖音和性別有關(guān)，則男生至少有18人．故選B．二、填空題5．某校在兩個(gè)班進(jìn)行教學(xué)方式對(duì)比試驗(yàn)，兩個(gè)月后進(jìn)行了一次檢測(cè)，試驗(yàn)班與比照班成果統(tǒng)計(jì)如表所示(單位：人)：80及80分以上80分以下總計(jì)試驗(yàn)班351550比照班20m50總計(jì)5545n(1)m＝_30__，n＝_100__；(2)依據(jù)表中數(shù)據(jù)得到的結(jié)論是_有99%的把握說(shuō)“教學(xué)方式與成果有關(guān)系”__.[解析](1)m＝45－15＝30，n＝50＋50＝100.(2)由表中的數(shù)據(jù)得χ2＝eq\f(100×35×30－15×202,50×50×55×45)≈9.091.因?yàn)?.091>6.635，所以有99%的把握說(shuō)“教學(xué)方式與成果有關(guān)系”．6．某企業(yè)有兩個(gè)分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位：mm)的值落在[29.94，30.06)的零件為優(yōu)質(zhì)品．從兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件中各抽出了500件，量其內(nèi)徑尺寸，得結(jié)果如表：甲廠：分組[29.86，29.90)[29.90，29.94)[29.94，29.98)[29.98，30.02)[30.02，30.06)[30.06，30.10)[30.10，30.14)頻數(shù)12638618292614乙廠：分組[29.86，29.90)[29.90，29.94)[29.94，29.98)[29.98，30.02)[30.02，30.06)[30.06，30.10)[30.10，30.14)頻數(shù)297185159766218(1)兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率分別為_(kāi)72%，64%__；(2)有_99%__的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”．[解析](1)甲廠抽查的產(chǎn)品中有360件優(yōu)質(zhì)品，從而甲廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計(jì)為eq\f(360,500)×100%＝72%；乙廠抽查的產(chǎn)品中有320件優(yōu)質(zhì)品，從而乙廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計(jì)為eq\f(320,500)×100%＝64%.(2)甲廠乙廠總計(jì)優(yōu)質(zhì)品360320680非優(yōu)質(zhì)品140180320總計(jì)5005001000χ2＝eq\f(1000×360×180－320×1402,500×500×680×320)≈7.35>6.635.所以有99%的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”．7．為探討某新藥的療效，給100名患者服用此藥，跟蹤調(diào)查后得下表中的數(shù)據(jù)：?jiǎn)挝唬喝诵詣e療效合計(jì)無(wú)效有效男性患者153550女性患者64450合計(jì)2179100設(shè)H0服用此藥的效果與患者的性別無(wú)關(guān)，則χ2≈_4.882__，從而得出結(jié)論：服用此藥的效果與患者的性別有關(guān)，這種推斷出錯(cuò)的可能性為_(kāi)5%__.[解析]由公式計(jì)算得χ2≈4.882.因?yàn)棣?>3.841，所以我們有95%的把握認(rèn)為服用此藥的效果與患者的性別有關(guān)，從而出錯(cuò)的可能性為5%.三、解答題8．海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如圖．(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事務(wù)“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計(jì)A的概率；(2)填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并依據(jù)列聯(lián)表推斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法附：P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).[解析](1)記B表示事務(wù)“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，C表示事務(wù)“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，∴P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故P(B)的估計(jì)值為0.62，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg的頻率為(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，故P(C)的估計(jì)值為0.66，則事務(wù)A的概率估計(jì)值為P(A)＝P(B)·P(C)＝0.62×0.66＝0.4092，∴A發(fā)生的概率為0.4092.(2)依據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得到列聯(lián)表：箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg總計(jì)舊養(yǎng)殖法6238100新養(yǎng)殖法3466100總計(jì)96104200則χ2＝eq\f(200×62×66－38×342,100×100×96×104)≈15.705，由15.705>6.635.故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)．9．某貧困縣為了響應(yīng)國(guó)家精準(zhǔn)扶貧的號(hào)召，特地承包了一塊土地，已知土地的運(yùn)用面積以及相應(yīng)的管理時(shí)間的關(guān)系如下表所示：土地運(yùn)用面積x(單位：公頃)12345管理時(shí)間y(單位：月)810132524并調(diào)查了某村300名村民參加管理的意愿，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：情愿參加管理不情愿參加管理男性村民15050女性村民50(1)求出相關(guān)系數(shù)r的大小，并推斷管理時(shí)間y與土地運(yùn)用面積x是否線(xiàn)性相關(guān)？(2)依據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為村民參加管理的意愿與性別有關(guān)系？(3)若以該村的村民的性別與參加管理意愿的狀況估計(jì)貧困縣的狀況，從該貧困縣中任取3人，記取到不情愿參加管理的男性村民的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．[解析](1)依題意：eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq\x\to(y)＝eq\f(8＋10＋13＋25＋24,5)＝16，故eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝(－2)×(－8)＋(－1)×(－6)＋1×9＋2×8＝47，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))2＝4＋1＋1＋4＝10，eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\x\to(y))2＝64＋36＋9＋81＋64＝254，則r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,5,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,5,)yi－\x\to(y)2))＝eq\f(47,\r(10)×\r(254))＝eq\f(47,2\r(635))≈0.933，故管理時(shí)間y與土地運(yùn)用面積x線(xiàn)性相關(guān)．(2)依題意，完善表格如下：情愿參加管理不