2023-2024學(xué)年福建省福州市八縣（市）協(xié)作校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年福建省福州市八縣（市）協(xié)作校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知z=1?2i，則z?的虛部為(

)A.2i B.?2i C.2 D.?22.在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，則DE=(

)A.AB+12AD B.?AB+3.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=2，b=3，cos(A+B)=13，則c=A.17 B.4 C.15 4.某小組有2名男生和1名女生，從中任選2名學(xué)生參加比賽，事件“至少有1名男生”與事件“至少有1名女生”(

)A.是對立事件B.都是不可能事件C.是互斥事件但不是對立事件D.不是互斥事件5.下列說法中正確的個數(shù)是(

)

(1)若兩個平面都與第三個平面垂直，則這兩個平面平行；

(2)如果平面α外有兩點(diǎn)A，B到平面α的距離相等，則直線AB/?/α；

(3)若兩條直線與一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行；

(4)一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交．A.0個 B.1個 C.2個 D.3個6.已知按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：

甲組：27，30，37，a，40，50；

乙組：24，b，33，44，48，52．

若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)對應(yīng)相等，第50百分位數(shù)也對應(yīng)相等，則a+b=(

)A.60 B.65 C.70 D.757.已知直四棱柱的高為2，其底面四邊形ABCD水平放置時的斜二測直觀圖為矩形A′B′C′D′，如右圖所示．若A′O′=O′B′=B′C′=1，則該直四棱柱的表面積為(

)A.20+42

B.8+2(2+38.一個電路如圖所示，A，B，C，D為4個開關(guān)，其閉合的概率均為23，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率為(

)A.7681

B.7781

C.4081二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若a=(2,0)，b=(1,3A.a?b=2 B.|a+b|=|a?b|10.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列四個命題中正確的命題是(

)A.若acosA=bcosB=ccosC，則△ABC一定是等邊三角形

B.若acosA=bcosB，則△ABC一定是等腰三角形

C.若a2+b11.圓臺的軸截面如圖所示，其上、下底面的半徑分別為r1=1，r2=2，母線AB長為2，點(diǎn)E為母線AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A.圓臺的側(cè)面積為12π

B.AB與BC所成角為120°

C.圓臺外接球的半徑為2

D.在圓臺的側(cè)面上，從點(diǎn)C到點(diǎn)E的最短路徑的長度為5

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.擲兩顆骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為6的概率為

．13.寫出一個同時滿足①②的復(fù)數(shù)z=______．

①z2=z?；14.佩香囊是端午節(jié)傳統(tǒng)習(xí)俗之一，香囊內(nèi)通常填充一些中草藥，有清香、驅(qū)蟲的功效.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)一批香囊中一種草藥甲的含量x(單位：克)與香囊功效y之間滿足y=15x?x2，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了6個香囊，得到香囊中草藥甲的含量的平均數(shù)為6克，香囊功效的平均數(shù)為15，則這6個香囊中草藥甲含量的方差為______克.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z滿足z+z?=2，z?z?=4i．

(1)求|3+z?|；

(2)設(shè)復(fù)數(shù)zz?，z+2z?，16.(本小題15分)

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b2+c2?a2ab=2sinB?sinAsinA．

(1)求C的大小；

(2)17.(本小題15分)

如圖，在幾何體ABCDEF中，底面ABCD為矩形，EF//CD，CD⊥EA，CD=2EF=2，ED=3.M為棱FC上一點(diǎn)，平面ADM與棱FB交于點(diǎn)N．

(Ⅰ)求證：ED⊥CD；

(Ⅱ)求證：AD/?/MN；

(Ⅲ)若AD⊥ED，試問平面BCF是否可能與平面ADMN垂直？若能，求出FMFC18.(本小題17分)

我省實(shí)行“3+1+2”高考模式，為讓學(xué)生適應(yīng)新高考的賦分模式，某校在一次?？贾惺褂觅x分制給高二年級學(xué)生的生物成績進(jìn)行賦分，具體賦分方案如下：先按照考生原始分從高到低按比例劃定A、B、C、D、E共五個等級，然后在相應(yīng)賦分區(qū)間內(nèi)利用轉(zhuǎn)換公式進(jìn)行賦分，A等級排名占比15%，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是86～100；B等級排名占比35%，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是71～85；C等級排名占比35%，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是56～70；D等級排名占比13%，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是41～55；E等級排名占比2%，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是30～40；現(xiàn)從全年級的生物成績中隨機(jī)取100學(xué)生的原始成績(未賦分)進(jìn)行分析，其頻率分布直方圖如圖所示：

(1)求圖中a的值，并求抽取的這100名學(xué)生的原始成績的眾數(shù)和中位數(shù)(結(jié)果為準(zhǔn)確值)；

(2)用樣本估計總體的方法，估計該校本次生物成績原始分不少于多少分才能達(dá)到賦分后的B等級及以上(含B等級)；(結(jié)果保留整數(shù))

(3)若采用分層抽樣的方法，從原始成績在[40,50)和[50,60)內(nèi)的學(xué)生中共抽取5人，查看他們的答題情況來分析知識點(diǎn)上的缺漏，再從中選取2人進(jìn)行調(diào)查分析，求這2人中恰有一人原始成績在[40,50)內(nèi)的概率．19.(本小題17分)

羅星塔，位于福州馬尾，某校開展數(shù)學(xué)建模活動，有學(xué)生選擇測量羅星塔的高度，為此，他們設(shè)計了測量方案，如圖，羅星塔垂直于水平面，他們選擇了與羅星塔底部D在同一水平面上的A，B兩點(diǎn)，測得∠ADB=45°，AB=30米，且在A，B兩點(diǎn)觀察塔頂C點(diǎn)，仰角分別為45°和α，其中cosα=63．

(1)求羅星塔的高CD的長；

(2)在(1)的條件下求多面體A?BCD的表面積；

(3)在(1)的條件下求多面體

答案解析1.C

【解析】解：z=1?2i，

則z?=1+2i，其虛部為2．

故選：C2.C

【解析】解：因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD中，E是BC的中點(diǎn)，

則DE=DC+CB=AB3.A

【解析】解：因?yàn)閍=2，b=3，cos(A+B)=13=cos(π?C)=?cosC，

所以cosC=?13，

4.D

【解析】解：根據(jù)題意，從2名男生和1名女生中任選2名學(xué)生參加比賽，有“2名男生”和“1名男生和1名女生”兩種情況，

易得“至少有1名女生”即“1名男生和1名女生”，是“至少有1名男生”的子事件，

故事件“至少有1名男生”與事件“至少有1名女生”不是互斥事件．

故選：D．

5.A

【解析】解：在(1)中，如果兩個平面都與第三個平面垂直，那么這兩個平面相交或平行，故(1)不正確；

在(2)中，如果平面α外有兩點(diǎn)A，B到平面α的距離相等，如圖所示，

則直線AB和平面α可能平行或可能相交，故(2)錯誤；

若兩條直線與一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行相交或異面，故(3)錯誤；

空間中，如果一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它和另一條可能相交，也可能異面，故(4)錯誤．

故選：A．

6.C

【解析】解：根據(jù)題意，甲、乙兩組數(shù)據(jù)都按從小到大順序排列，

甲乙都有6個數(shù)據(jù)，6×30%=1.8，

則甲組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為30，乙組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為b，則有b=30，

又由6×50%=3，

則甲組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為12(37+a)，乙組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為12(33+44)=772，

則有12(37+a)=772，解可得a=407.C

【解析】解：由直觀圖可得底面四邊形ABCD的平面圖形如下，

由AO′=O′B=BC=1，

則AO=OB=1,CO′=O′B2+B′C2=2，所以O(shè)C=22，

則SABCD=2×22=42,BC=8.A

【解析】解：電路由上到下有2個分支并聯(lián)，

開關(guān)A，B所在的分支不通電的概率為1?23×23=59，

開關(guān)C，D所在的分支不通電的概率為13×9.AD

【解析】解：∵a=(2,0)，b=(1,3)，

∴a?b=2，|a|=2，|b|=1+3=2，

對于A選項(xiàng)，a?b=2，故A選項(xiàng)正確；

對于B選項(xiàng)，a+b=(3,3)，a?b=(1,?3)，

∴|a+b|=10.AD

【解析】解：若acosA=bcosB=ccosC，則sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，即tanA=tanB=tanC，即A=B=C，即△ABC是等邊三角形，故A正確；

若acosA=bcosB，則由正弦定理得sin2A=sin2B，則2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，則△ABC為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；

△ABC中，∵a2+b2?c2>0，∴角11.BCD

【解析】解：圓臺的上、下底面半徑分別為r1=1，r2=2，母線AB長為2，E為母線AB中點(diǎn)，

所以圓臺的側(cè)面積為S側(cè)=π(r1+r2)l=π(1+2)×2=6π，選項(xiàng)A錯誤；

因?yàn)閏os∠ABC=2?12=12，所以∠ABC=60°，所以AB與BC所成角為120°，選項(xiàng)B正確；

根據(jù)題意知，外接球的球心在圓臺的中心連線上，

設(shè)球心到上底面的距離為x，

所以1+x2=22+(3?x)2，解得x=312.536【解析】解：擲兩顆骰子，總共可能出現(xiàn)的結(jié)果有n=6×6=36種，

出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為6包含的可能結(jié)果有5種：

(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，

∴出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為6的概率為p=536．

故答案為：13.z=?12+【解析】解：因?yàn)閦?R，不妨設(shè)z=a+bi(a,b∈R,b≠0)，

由z2=z?得(a+bi)2=a2?b2+2abi=a?bi，

所以a2?14.39

【解析】解：設(shè)抽取的6個香囊中草藥甲的含量分別為xi克，香囊功效分別為yi，i=1，2，…，6，

草藥甲的含量的平均數(shù)為6克，香囊功效的平均數(shù)為15，

即x1+x2+?+x6=36，y1+y2+?+yn=15(x1+x15.解：(1)復(fù)數(shù)z滿足z+z?=2，z?z?=4i．

所以z=1+2i，

所以z?=1?2i，

故|3+z?|=|4?2i|=16+4=25；

(2)由(1)得zz?=(1+2i)(1?2i)=1?4i2=5，

則A(5,0)，

【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)模公式，即可求解；

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾何意義，求出A，B，C，再結(jié)合向量的夾角公式，即可求解．

16.解：(1)利用正弦定理得b2+c2?a2ab=2sinB?sinAsinA=2b?aa，

∴ab=b2+a2?c2，

∴cosC=b2+a2?c22ab=12，

∵C∈(0,π)，

∴C=π3．

【解析】(1)直接利用正弦定理和余弦定理的應(yīng)用求出C的值；

(2)利用正弦定理以及余弦定理求出三角形的周長．

17.解：(Ⅰ)證明：因?yàn)锳BCD為矩形，所以CD⊥AD．

又因?yàn)镃D⊥EA，EA∩AD=A，EA和AD在平面EAD內(nèi)，

所以CD⊥平面EAD.又ED在平面EAD內(nèi)，

所以ED⊥CD；

(Ⅱ)證明：因?yàn)锳BCD為矩形，所以AD//BC，

又因?yàn)锽C在平面FBC內(nèi)，AD不在平面FBC內(nèi)，

所以AD/?/平面FBC．

又因?yàn)槠矫鍭DMN∩平面FBC=MN，

所以AD/?/MN．

(Ⅲ)解：平面ADMN與平面BCF可以垂直．證明如下：

連接DF.因?yàn)锳D⊥ED，AD⊥CD．

ED∩CD=D，ED，CD在平面CDEF內(nèi)，

所以AD⊥平面CDEF.DM在平面CDEF內(nèi)，

所以AD⊥DM．

因?yàn)锳D/?/MN，所以DM⊥MN．

因?yàn)槠矫鍭DMN∩平面FBC=MN，

若使平面ADMN⊥平面BCF，

則DM⊥平面BCF，F(xiàn)C在平面BCF內(nèi)，

所以DM⊥FC．

在梯形CDEF中，因?yàn)镋F//CD，DE⊥CD，

CD=2EF=2，ED=3，

所以DF=DC=2．

所以若使DM⊥FC能成立，則M為FC的中點(diǎn)．

所以FMFC【解析】(Ⅰ)證明：CD⊥平面EAD，即可證明ED⊥CD；

(Ⅱ)證明AD/?/平面FBC，即可證明：AD/?/MN；

(Ⅲ)若使平面ADMN⊥平面BCF，則DM⊥平面BCF，所以DM⊥FC，可得DF=DC=2.若使DM⊥FC能成立，則M為FC的中點(diǎn)．18.解：(1)∵(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1，∴a=0.03，

抽取的這100名學(xué)生的原始成績的眾數(shù)的估計值為70+802=75分；

由頻率直方圖可得前三組的頻率和為(0.010+0.015+0.015)×10=0.4<0.5，

又前四組的頻率和為(0.010+0.015+0.015+0.030)×10=0.7>0.5，

故中位數(shù)落在第四組，設(shè)中位數(shù)為x，則(x?70)×0.030=0.5?0.4，解得x=2203；

(2)由已知等級達(dá)到B及以上所占排名等級占比為0.15+0.35=0.50，

由(1)可得，中位數(shù)x=2203≈73.3，

故原始分不少于74分才能達(dá)到賦分后的B等級及以上；

(3)由題知得分在[40,