2022-2023學(xué)年人教版九年級(jí)下第二十七章相似三角形習(xí)題（含解析）

2022-2023學(xué)年人教版九年級(jí)下第二十七章相似三角形

課時(shí)1平行線分線段成比例練習(xí)題

學(xué)校:_______姓__名_：___________班級(jí)：___________

一、單選題

1.如圖，在Y/WC3中，/W=1O,AO=6,七是AO的中點(diǎn)，在CD上取一點(diǎn)尸，使VCB尸

S^ABE,則OF的長(zhǎng)是（）

DFC

「/1

AB

A.8.2B.6.4C.5D.1.8

An5

2.如圖，在,.4%1中，DE//BC,—=p記，力然的面積為S/,四邊形如制的面積為

S2,畛的值是（）

A

BC

A.士B.”c24n25

C.—D.—

7492524

3.如圖，△四C與位似，點(diǎn)。是它們的位似中心，其中0220A,的周長(zhǎng)為

10,則/〃仔1的周長(zhǎng)是（）

LF

A.20B.30C.40D.90

4.如圖，在"C中，D、￡分別是邊力從“'上的點(diǎn)，且DE〃BC,連接應(yīng)，過(guò)點(diǎn)“

作.EF"CD,交4?于點(diǎn)￡則下列比例式不成立的是（）

A

AFADAFEF

~FD~~BDD.~FD~~BC

5.如圖，直線4〃/2〃4,直線a，與4,4,4分別交于點(diǎn)4B,C和點(diǎn)〃E,F.若

AB:BC=2:3,DF=10,則原的長(zhǎng)是（

C.4D.6

6.如圖，助是△力回的邊4。上的中線，點(diǎn)月是力。的中點(diǎn)，連接旗并延長(zhǎng)交檢于點(diǎn)

F,則力凡FC=()

C.1：4D.2：5

7.如圖，兩條直線被第三條平行所截，AB=4,BC=6,DF=9,貝IJOE的長(zhǎng)為（）

C.4D.3.6

8.如圖，四邊形ABC。中，尸為對(duì)角線8。上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作尸石〃A8,交于點(diǎn)E,

過(guò)點(diǎn)、P作PF//CD,交BC于點(diǎn)、F,則下列所給的結(jié)論中，不一定正確的是().

ABCDDECFBCAD

9.如圖，在菱形力靦中，點(diǎn)、E,尸分別在46,CD上,旦BE=2AE,DF=2CF,點(diǎn)G,//

分別是4c的三等分點(diǎn)，則^曬;+S蒯的值為（）

10.如圖，己知AB"CD"ERAD：/六3：5,BC=6,則"的長(zhǎng)為.

11.已知_A8CS..A，8'C',AB=4cm,AB'=3cm,AD,A'。分別為..ABC與A'B'C'

的中線，下列結(jié)論中：

①AD:A￡>'=4:3；

②△MDs△A?。；

③△ABOS_4，B'C；

④..ABC與.A'QC'對(duì)應(yīng)邊上的高之比為4:3.其中結(jié)論正確的序號(hào)是.

12.如圖，△49C中，DE//BC,G為a'上一點(diǎn)，連結(jié)AG交DE于-氨F,若AF=2,AG

=6,EC=5,貝Ij/A.

c

三、解答題

14.如圖在a'中，〃為4?邊上一點(diǎn)，豆叢CBM4ACD.

⑴求/4加度數(shù)；

⑵如果4c=4,劭=6,求必的長(zhǎng).

15.如圖，在△4?。中，點(diǎn)〃，F(xiàn),/分別在四，BC,然邊上，DF//AC,EF//AB.

(1)求證：ABDFs叢FEC.

⑵設(shè)學(xué)4

EC2

①若8c=15,求線段"的長(zhǎng);

②若△在。的面積是16,求的面積.

16.

點(diǎn)C重合，折痕為血M則4"與5"的數(shù)量關(guān)系為；

(2)［思維提高］如圖②，在三角形紙片46c中，AC=BC=6,AB=10，將一ABC折疊，

使點(diǎn)6與點(diǎn)C重合，折痕為求咎的值；

BM

⑶［拓展延伸］如圖③，在三角形紙片中，AB=9,BC=6,NAC8=2NA,將一ABC

沿過(guò)頂點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)6落在邊4C上的點(diǎn)3'處，折痕為C隊(duì)求線段4c的長(zhǎng)；

參考答案：

1.A

【分析】E是A3的中點(diǎn)可求得AE,根據(jù)三角形相似的性質(zhì)可得工=會(huì)，可得CF的

AEBA

長(zhǎng)即可求解.

【詳解】解：：E是AO的中點(diǎn)，AD=6,

：.AE=-AD=3,

2

又，：VCBFs

CFBC刖CF6

——=——，BP—,

AEBA310

解得CF=1.8,

.-.DF=Z)C-CF=10-1.8=8.2,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的性質(zhì)，掌握三角形相似的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊的比相等是解題

的關(guān)鍵.

2.D

【分析】根據(jù)AADESAABC,通過(guò)相似三角形的面積等于相似比的平方，求出AABC與

AWE的面積比，再根據(jù)5=SABC-5得到)的值.

【詳解】解：???然〃8G

：.WDE^WBC,

ADY_25

~AB)~49f

°AABC

_49

SMRC=石E，

,**s2=sABC-S1,

竺

邑-

25

E25

r-一

24

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的面積等于相似比

的平方.

3.A

【分析】利用位似的性質(zhì)得△/as△戚0F20A,,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解決

問(wèn)題.

試卷第6頁(yè)，共13頁(yè)

【詳解】解：,??△48C與△龍7^位似，點(diǎn)。為位似中心.

△胸s△戚，0I)=20A,,

...△/力與△叱的周長(zhǎng)比是：1：2.

.?.△47C的周長(zhǎng)為10,則與戚的周長(zhǎng)是20

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

4.D

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例和相似三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】解：：龍〃鑿EF〃CD,

.AF_AEAD_AEAF_AEAD_AE

"AD-AC''75-￡C'~BD~~EC'

XADEsXABC,/XAFE^/XADC,

.AF_ADEF_DEAFAD

??茄一瓦’~CD~^C'75一說(shuō)’

...成立的是ABC,不成立的是D,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用相似三

角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

5.C

【分析】根據(jù)平行線分線段定理得到=設(shè)DE=2x,根據(jù)OF=1(),

列方程求解即可.

【詳解】解：???//""A，

AB:BC=DE:EF=2.3,

設(shè)￡>E=2x,則EF=3x,

OF=10,

2x+3x=10,解得x=2,

DE=4,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段定理，熟練掌握平行線分線段定理是解答本題的

關(guān)鍵.

6.A

【分析】作加〃〃'交跖于"如圖，先證明△以質(zhì)得到力/=/尸，然后判斷〃〃

為△冊(cè)的中位線，從而得到CF=2DH.

試卷第7頁(yè)，共13頁(yè)

【詳解】解：忤DH//AC交BF于H,如圖,

■:DH//AF,

：.ZED//=ZEAF,ZE//D=ZEFA,

?：DE=AE,

，△應(yīng)儂△口少（A4S）,

:.DH=AF,

??,點(diǎn)〃為歐的中點(diǎn)，DH//CF,

???加為△龍^的中位線，

:.CF=2DH=2AF,

：.AF：FC=\：2,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，三角形的中位線定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)

添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

7.D

ARDf7

【分析1根據(jù)平行線分線段成比例得到黑二株，將數(shù)據(jù)代入即可求出答案.

ACDF

【詳解】解：AD//BE//CF,

.ABDE

,?就一而‘

AB=4,BC=6,DF=9,

AC=AB+BC=4+6=10,

4DE

二.—=——,

109

?.DE=3.6.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，掌握平行線分線段所得線段對(duì)應(yīng)成比例是解

題的關(guān)鍵.

8.A

【分析】根據(jù)尸可證△"9s△4S9,/\BFP^/\BCD,即可判斷A：由尸E//AB,

試卷第8頁(yè)，共13頁(yè)

r/門AEBP"=生可判斷B；由PE//AB,PF//CD,可得絲=空

PFUCD可得一=—,

EDPDFCPDADBD

每器，可判斷a

由PE!!AB,可證△“叨s/MM△BF*ABCD,可判定〃.

【詳解】解：A.YPEHAB,

:./DE+/A,/DPP/DBA,

：./\EPD^/\ABD,

.EPDP

**~AB~~DB9

PF//CD,

:./BP產(chǎn)/BDC,/BFF^/C,

:.△BF2/\BCD,

.PFBP

**~CD~~DBy

..-D-P-￥-B--P

DBDB'

,.-P--E-*--P--F--

-ABCD'

故選項(xiàng)A不正確；

B.PE//AB,PF//CD,

.AEBPBFBP

^~ED~~PD9~FC~~PD

.AEBF

**DE-CF*

故選項(xiàng)B正確；

C.?:PEHAB,PF//CD,

.AEBPFCPD

??茄一茄，就一茄’

.AEFCBPPDi

??------1------=-------1------=1,

ADBCBDBD

故選項(xiàng)C正確，

CFAE

~BC+^D=1,

D.?/PE//AB,

C.ADEP-ZA,4DP44DBA,

:ZPD^XABD,

.EPDP

■:PF//CD,

：.^BPF=ABDC,4BFP=4C,

試卷第9頁(yè)，共13頁(yè)

.PFBP

“CD-DB，

.EPPFDPPBDP+PBi

ABCDDBBDBD

故選項(xiàng)D正確.

故選擇A.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線截線段比例，和三角形相似判定與性質(zhì)，掌握平行線截線段長(zhǎng)

比例，和三角形相似判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

9.A

【分析】由題意可證式〃比；EG=2,HF//AD,HF=2,可得四邊形為平行四邊形，

即可求解.

【詳解】解：：BE=2AE,DF=2FC,

.AE1CF1

??=，=一

BC2DF2

???G、〃分別是力。的三等分點(diǎn)，

?_1CH1

^~GC~2f~AH~2f

.AEAG

"BE-GC?

：.EG//BC

.EGAEI

??==1，

BCAB3

HF1

同理可得3〃絲，——=-,

AD3

.S四邊形MFG_1v1_1

S菱形BACD339

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，由題意可證比〃比；/肥〃曲是本題的關(guān)鍵.

10.4

【分析】由回〃CD〃跳推出竿=熬，推出±=占，可得結(jié)論.

AFBE5BE

【詳解】?：AB//CD//EF,

.ADBC

??壽一正’

-2__L

^5~BE'

???夠10,

???C&B&BgQ—6二%

試卷第10頁(yè)，共13頁(yè)

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成

比例定理.

11.①②④

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得到答案.

【詳解】解：：.TlBCsABC,AD,AO分別為ABC與一A'B'C'的中線，

BD2BCBCAB

?U=ZB'，T7^7="i=~R77r'=^R；'

DU1§tc*tAD

2

：.4甌s,故②正確；

.ABC與A'3'C對(duì)應(yīng)邊上的高之比為4:3,故④正確；

而△4?。與aA'3'C不相似，故③錯(cuò)誤；

...正確的結(jié)論有：①②④；

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形對(duì)應(yīng)中線,

對(duì)應(yīng)邊上的高的比等于相似比.

12.7.5

ATAf7

【分析】由DE"BC,得代入已知量即可求得答案.

ACJAC

【詳解】解?.、：DE〃BC,

.AFAE

??茄一就‘

^：AE=AC-EC=AC-^,AF=2fAG=&9

.2AC-5

6AC

解得AC=7.5

故答案為：7.5

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線分線段成比例定理，利用平行線分線段成比例列出比例

式是解題的關(guān)鍵.

13.7.5

【分析】直接根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得出結(jié)論.

【詳解】解：?.?直線四〃⑺〃0；AC^2,CE=5,劭=3,

試卷第11頁(yè)，共13頁(yè)

,即2=3,解得分三7.5.

CEDF5DF

故答案為：7.5.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，熟知三條平行線截兩條直線，所得的

對(duì)應(yīng)線段成比例是解答此題的關(guān)鍵.

14.(1)ZADC=9Qa

⑵CD=2+

【分析】(1))由相似三角形的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角可進(jìn)行求解；

4rAD

(2)先證明△{3ZU比；然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得去=罷，然后代入數(shù)

ABAC

值問(wèn)題可求解.

(1)

解：Y△CBD^XACD,

：.ACDB=AADQ

?：/CDB+/ADC=18O°,

AZADC=9Q°；

(2)

如圖，

'/\CBD^/\ACD,

?4ACD=NB,

?N4=N4

△ACEAXABC,

ACADACAD

?——=——,nBrlJ-----------=——,

ABACAD+BDAC

4_AD

?AD+6一丁'

?AD=2（負(fù)根已經(jīng)舍棄），

*.CD=y/AC2-AD2=\l42-22=2百.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的

試卷第12頁(yè)，共13頁(yè)

關(guān)鍵.

15.(1)證明見(jiàn)詳解

9

(2)①分'=5；②Sl\ABC=16X—=36

4

【分析】(1)由平行線的性質(zhì)得出NB=NEFC,即可得出結(jié)論；

RFAF1

(2)①由平行線的性質(zhì)得出三=等==,即可得出結(jié)果；

FCEC2

FC2

②先求出”=不易證△攵—△力比；由相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得

出結(jié)果.

(1)

證明：'：DF//AQ

：.4BFD=4C,

、：EF"AB,

：.ZB=ZEFC,

?：4BFD=/C,4B=4EFC,

:?△BDFSAFEC；

(2)

解：QYEF〃AB,

.BFAE\

*%~FC~~EC~^

?BF1

**BC-BF~2

?：BC=15,

.BF1

??=，

15-BF2

:.BF=5、

②：空」，

EC2

：.EC=2AE

.ECEC2AE2

**AC-AE+￡C-AE+2AE-3*

?:EF//AB,

:?/CEF=/B,

*：4C=4C.ZCEF=^B

:.XEFCSRABC,

試卷第13頁(yè)，共13頁(yè)

△血?=16,

9

...5△4%=-X16=36.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握相似三

角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.(D4Q5I/

⑵當(dāng)

⑶AC4

【分析】(1)利用平行線分線段成比例定理解決問(wèn)題即可;

(2)利用相似三角形的性質(zhì)求出BM,4"即可;

⑶證明△閡—推出器=第=卷，由此即可解決問(wèn)題.

(1)

解：如圖①中,

???△4比折疊，使點(diǎn)方與點(diǎn)C重合，折痕為物V,

?二眥垂直平分線段BC,

:?CN=BN,

?：2MNB=4ACB=9Q0,

：.MN//AQ

CN=BN,

：.AM=BM.

故答案為AM=BM.

(2)

試卷第14頁(yè)，共13頁(yè)

如圖②中,

圖②

°：CA=CB=6,

，/A=NB,

由題意版V垂直平分線段BC,

：.BM=CM,

4B=AMCB,

：2BCM=/A,

■:乙B=4B,

.BCBM

??=------,

BABC

.6BM

??—--------,

106

a??BM=—18,

441832

BM=1in0------=—

55

A3-2

516

面=

7,

185

(3)

如圖③中，

試卷第15頁(yè)，共13頁(yè)

A

圖③-1

由折疊的性質(zhì)可知，CB=CB,=6,/BCM=NACM,

?：4ACB=24A,

:./BCM=/A,

?：4B=/B,

??.△頌s△為口

.BCBMCM

^~AB~~BC~~AC

.6BM

??=,

96

:.BM=4,

.'.AI/=Gtf=5,

AC，

AC=—.

2

【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性

質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，屬

于中考?jí)狠S題.

2022-2023學(xué)年人教版九年級(jí)下第二十七章相似三角形

課時(shí)2利用平行線判定三角形相似練習(xí)題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：

一、單選題

1.如圖，矩形/靦中，四=8cm,AD=6cm,項(xiàng)是對(duì)角線初的垂直平分線，則加■的

長(zhǎng)為（）

試卷第16頁(yè)，共13頁(yè)

DE

A.—cmB.—cmC.—cmD.8cm

432

2.下面說(shuō)法：（1）相似圖形一定是位似圖形（2）位似圖形一定是相似的圖形（3）同

一底片時(shí)，底片上的圖形和銀幕上的圖形是位似圖形，（4）軸對(duì)稱圖形一定是全等形，

其中正確的說(shuō)法有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)。（3,3）,A（0,1）,B（4,1）,射線為，PB

二、填空題

4.如圖，平行四邊形力版的8c邊過(guò)原點(diǎn)0,頂點(diǎn)〃在x軸上，反比例函數(shù)y=

DF1

的圖象過(guò)4〃邊上的4,￡兩點(diǎn)，已知平行四邊形4靦的面積為8,蕓=：，則女的值

EA2

三、解答題

2

5.已知直線人y=1X+2與y軸交于點(diǎn)4

試卷第17頁(yè)，共13頁(yè)

4

(2)直線乙和/2：y=交于點(diǎn)反若以。、4B、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求

點(diǎn)、。的坐標(biāo).

6.如圖，已知正方形被力中，點(diǎn)￡是邊回延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接加；過(guò)點(diǎn)、B作即上庇,

垂足為點(diǎn)EBF與CD交于點(diǎn)、G.

⑵若跖=4五，DG=242,求選的長(zhǎng).

試卷第18頁(yè)，共13頁(yè)

參考答案

1.C

FOAn

【分析】首先證明△以姓△〃/得出OE=OF,再證明△故7s△血〃得出=

BOAB

然后再根據(jù)勾股定理，得出切的長(zhǎng)，進(jìn)而得出死的長(zhǎng)，再結(jié)合相似比，算出功的長(zhǎng)，

即可得出)的長(zhǎng)，從而得出選項(xiàng).

【詳解】解：??,必是劭的垂直平分線，

：.OB=OD,

*：』OBF=/ODE,/BOF=/DOE,

:■△BOF^XDOE(4%),

：?OE=OF,

/OBF=/ABD,

:ZOFSMBAD,

?FO_AD

??麗―U'

,:BD=yjAD2+AB2=10cm,

.'.B0=5cm,

:.Fg5乂—=—cm,

84

J.EF—2F0^—cm.

2

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等

三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，根據(jù)勾股定理求劭的長(zhǎng)是解本題的關(guān)鍵.

2.C

【解析】略

3.A

【分析】連接4氏利用4、8坐標(biāo)求出4?=4,AB〃CD,從而證得△處8s△/＞微利用相

似三角形性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：連接四，

?.3(0,1),8(4,1),

試卷第19頁(yè)，共8頁(yè)

."廬4,JiAB//CD,

：./\PAB<^/\PCD,相似比等于48和5邊上的高的比，即2：3.

：.ABx必=2：3,

；止4,

:.C26.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，證△用如△O辦是解題

的關(guān)鍵.

4.2

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，利用平行線分線段成比例，及三角形的面積

列出方程求解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)《作軸于點(diǎn)H,

則AFHEH,

r\i_jnF1

則：-=—="，XDEHSXDAF,

FHAE2

?EH1

?.=—,

AF3

設(shè)4(x,y),則￡(3x,gy),

則〃'=%OF=x,0H=3x,EH=；y,

:.FH=2x,DH=x,0D=4x,

??,平行四邊形四面的面積為8m,則如的面積是4,

4

則△。應(yīng)1的面積是

114

?,.7X-yX4^y,

.".xy—2,

k=xy=2.

試卷第20頁(yè)，共8頁(yè)

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查看反比例函數(shù)的4的意義，結(jié)合平行線分線段成比例列方程是解題的

關(guān)鍵.

5.⑴（0,2）

⑵（3,2）或（3,6）或（-3,-2）

2

【分析】（1）y=]X+2,令X=o,則y=2,即可求解；

（2）分A。是平行四邊形的一條邊、A。是平行四邊形的對(duì)角線，兩種情況分別求解即

可.

（1）

2

解：y=-x+2,令x=O,則y=2,

則點(diǎn)A（0,2）,

故答案為:（0,2）；

（2）

2

y=—x+2

解：聯(lián)立直線4和4的表達(dá)式；，

y=-x

[3

fr=3

解得：,，

[y=4

故點(diǎn)B（3,4）,

①當(dāng)AO是平行四邊形的一條邊時(shí)，BC//OA,BC=OA,

將點(diǎn)6向上平移2個(gè)單位或向下平移2個(gè)單位即可得到點(diǎn)C,

則點(diǎn)2）或（3,6）；

②當(dāng)AO是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（烏b），點(diǎn)8（3,4）,

BC的中點(diǎn)和AO的中點(diǎn)坐標(biāo)，

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式：。+3=0,6+4=2,

解得：a=-3,b=-2,

故點(diǎn)3,—2）；

試卷第21頁(yè)，共8頁(yè)

故點(diǎn)，坐標(biāo)為:(3,2)或(3,6)或(-3,-2).

【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到平行四邊形的性質(zhì)，其中(2),要分

類求解，避免遺漏.

6.(1)見(jiàn)解析

⑵2石

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)及分工應(yīng)，可證且(ASA),進(jìn)而即可證明；

(2)由(1)可得夕=圓再由跖=冊(cè)"=4五，DG=CD-CG=20,利用勾股定理

即可求解；

(1)

)證明：???四邊形切是正方形，

:"BCG=2DCE=9Q°,BC=CD,

,：BFA.DE,

：.NDFG=NBCG=9Q°,

'：ABGC=ADGF,

：.ZCBG=ZCDE.

在△8。；和△頗■中，

2CBG=NCDE

-BC=CD,

NBCG=NDCE

:ZCG^XDCE(ASA),

：.CG=CE-,

(2)

解：由(1)△BCgXDCE得CG=CE,

又VBE=BOCE=4?,DG=CD-CG=2叵,

BC—3\[Q.,CG—5/2,

在Rt△仇中，BG=yjBC2+CG2=亞j+(可=2石.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、三角形的全等、勾股定理，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活

應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

2022-2023學(xué)年人教版九年級(jí)下第二十七章相似三角形

試卷第22頁(yè)，共8頁(yè)

課時(shí)3利用三邊判定三角形相似練習(xí)題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：

一、單選題

1.下列命題是假命題的是（）

A.兩點(diǎn)之間，線段最短

B.有一個(gè)角為120。的兩個(gè)等腰三角形相似

C.對(duì)頂角相等

D.若a+b>0則a>0,6>0

2.如圖，是小孔成像原理的示意圖，根據(jù)圖中標(biāo)注的尺寸，如果物體46的高度為36cm,

那么它在暗盒中所成的像如的高度應(yīng)為（）

D.4cm

3.如圖，在下列方格紙中的四個(gè)三角形，是相似三角形的是（)

A.①和②B.①和③C.②和③D.②和④

4.已知一的一邊BC=5,另兩邊長(zhǎng)分別是3,4,若尸是一AfiC邊上異于8,C

的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作直線截ABC,截得的三角形與原二ABC相似，滿足這樣條件的直線

有（）條

A.4B.3C.2D.1

二、填空題

試卷第23頁(yè)，共8頁(yè)

5.如圖，在△相，中，〃是四邊上的一點(diǎn)，若N/1ON84介2,除3,則的長(zhǎng)為.

6.如圖，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為3：5,且三角板

的一邊長(zhǎng)為9cm,則投影中對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)為cm.

三、解答題

9.相似三角形的判定方法有那些？

試卷第24頁(yè)，共8頁(yè)

10.思維啟迪:

小明遇到一個(gè)問(wèn)題：在AABC中，AB,BC,AC三邊的長(zhǎng)分別為百、曬、萬(wàn)，

求AABC的面積.

小明是這樣解決問(wèn)題的：如圖1,先畫(huà)一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）,再

在網(wǎng)格中畫(huà)出格點(diǎn)AABC（即A43C三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），從而借助網(wǎng)格

計(jì)算出MBC的面積他把這種解決問(wèn)題的方法稱為構(gòu)圖法.

圖3

思維探索：

參考小明解決問(wèn)題的方法，完成下列問(wèn)題：

（1）如圖2,是一個(gè)6x6的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）.利用構(gòu)圖法在圖2

的正方形網(wǎng)格中畫(huà)出三邊長(zhǎng)分別為26，J溝的格點(diǎn)ADEF,并直接寫(xiě)出ADEF

的面積；

（2）如圖3,已知APQR,以PQ,依為邊向外作正方形尸。4尸，正方形P/iDE,連接

EF.若PQ=M，PR=A，QR=3,直接寫(xiě)出六邊形AQRQEF的面積.

11.定理：兩角分別相等的兩三角形相似.

己知：如圖，在△48C和B'C中，ZJ=//,.求證：XABCs

△/'B'C.

12.如圖，在一ABC中，點(diǎn)。、點(diǎn)E分別在AC、AB上，點(diǎn)尸是8。上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)￡P(guān)

并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F,且ZA=NEPB=NECB.

試卷第25頁(yè)，共8頁(yè)

⑴求證：BEBA=BPBD；

(2)若NAC3=90。，求證：CPVBD.

13.如圖，點(diǎn)4〃在//0Y的邊以上，點(diǎn)8,￡在。匕邊上，射線"在乙助7內(nèi)，且點(diǎn)

⑴試說(shuō)明△49C與△戚是位似圖形;

(2)求與△頌的位似比.

試卷第26頁(yè)，共8頁(yè)

參考答案：

1.D

【分析】由兩點(diǎn)之間的距離判斷A,

由兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似判斷B,

由對(duì)頂角的性質(zhì)判斷C,

由兩個(gè)有理數(shù)的和的符號(hào)為正，判斷D

【詳解】解：4兩點(diǎn)之間，線段最短，正確；

B、兩三角形的頂角均為120°,底角為30°,兩角對(duì)應(yīng)相等，那么兩三角形相似，正

確；

C,對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等，正確；

久若a,6兩數(shù)異號(hào)，正數(shù)的絕對(duì)值大，和的結(jié)果也可能是正，不一定正確；

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是命題的真假判斷，考查了兩點(diǎn)間的距離，對(duì)頂角的性質(zhì)，三角形

相似的判定，有理數(shù)的加法，掌握命題真假的判斷方法是解題的關(guān)鍵.

2.A

【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)計(jì)算求值即可；

【詳解】解：*勿徼

:.△ABMXCDO,

45

和△野0的局之比為與，

.AB_45

,*CD-20'

又'.38=36cm

CX?=16cm,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或其他

兩邊的延長(zhǎng)線）所構(gòu)成的三角形和原三角形相似；相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)

應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

3.A

【分析】分別算出四個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)相似三角形的判定定理判斷即可.

【詳解】解：①三角形的三邊的長(zhǎng)度為：2,20,2石；

②三角形的三邊的長(zhǎng)度為：血，2,M；

③三角形的三邊的長(zhǎng)度為：血，3,J萬(wàn)；

試卷第27頁(yè)，共11頁(yè)

④三角形的三邊的長(zhǎng)度為：血，亞,3；

..凡2=呵

?2一2萬(wàn)―2石’

相似三角形的是①和②，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定定理是

解題的關(guān)鍵.

4.B

【分析】由BC=5,另兩邊長(zhǎng)分別是3,4,可知△/以是直角三角形，過(guò)點(diǎn)?作直線與

另一邊相交，使所得的三角形與原三角形有一個(gè)公共角，只要再作一個(gè)直角就可以.

【詳解】解:如圖，

B

VBC=5,另兩邊長(zhǎng)分別是3,4,

又：32+42=52,

.\ZA=90o,即是直角三角形，

?.?過(guò)戶點(diǎn)作直線截△/比；則截得的三角形與△49C有一公共角，

...只要再作一個(gè)直角即可使截得的三角形與應(yīng)△/回相似，

...過(guò)點(diǎn)尸可作"的垂線、4C的垂線、回的垂線，共3條直線.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的逆定理、三角形相似判定定理及其運(yùn)用，解題時(shí)運(yùn)用

了兩角法（有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）來(lái)判定兩個(gè)三角形相似.

5.屈

【分析】證明△/必/△口；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可.

【詳解】解：介2,劭=3,

心力次盼2+3=5,

試卷第28頁(yè)，共11頁(yè)

*：NAC廬/B,N4=N4,

:.XACDsXABC,

.ADAC2AC

??-----=-----f即----=----，

ACABAC5

解得，A（=y/io,

故答案為：-s/To.

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定

理是解題的關(guān)鍵.

6.15

【分析】根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比列式進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【詳解】解：設(shè)投影三角尺的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)為xcm,

?.?三角尺與投影三角尺相似，

/.9：A=3：5,

解得A=15.

故答案是：15.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用.利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重

要內(nèi)容.解決此問(wèn)題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化

為數(shù)學(xué)問(wèn)題.

7.回巫

2

【分析】先根據(jù)勾股定理求出A3,再求出A4BC的面積即可.

【詳解】解：由勾股定理得：43=戶手=加，

S3%=—x3cx3=—xABxCD,

22

.-.5X3=V10XCD,

CD=->/io.

2

故答案為：1M.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用兩種方法來(lái)表示三角形的

面積，屬于基礎(chǔ)題.

8.（4,2^）

【分析】作。U月8于月根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得到8%比；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求

出OA、AB,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案.

試卷第29頁(yè)，共11頁(yè)

【詳解】解：作CFLAB于F,

；等邊△46。與等邊△叱是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，

：.BC//DE,

:.△OBCs/\ODE,

.BCOB

??瓦一歷’

：△?!比與△臃的相似比為g,等邊△應(yīng)應(yīng)邊長(zhǎng)為12,

.BC08=1

解得，除4,0B=6,

：.0A=2,4廬陷4,

,/CA=CB,"AB,

.?.仍2,

由勾股定理得，CF=ylAC2-AF2=2y/3,

：.冰=力+/片2+2=4,

.,.點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4,2萬(wàn)）

故答案為：（4,2石）.

【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、掌握位似變換的概

念、相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.①兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.

②兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.

③三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.

【解析】略

10.思維啟迪：3.5；思維探索：（1）圖如圖所示，8；（2）32.

【分析】思維啟迪：把三角形面積看成矩形面積減去周圍三個(gè)三角形面積即可.

思維探索：（1）在網(wǎng)格圖2中，構(gòu)造ADE尸，利用分割法求解.

試卷第30頁(yè)，共11頁(yè)

(2)把六邊形面積看成矩形面積減去周圍的三角形和正方形面積即可.

1113

【詳解】解：思維啟迪：=3x3——xlx2——xlx3——x2x3=9—1———3=3.5.

思維探索：(1)如圖2所示，AD石廠即為所

求ZX.tzCr=4x5-—2x2x5-—2x2x3-—2x2x4=8.

(2)六邊形AQRDEF的面積

=5x9-—xlx3——x2x3--x2x3——xlx6-lxlx3=32.

22222

【點(diǎn)睛】本題考查利用勾股定理，在網(wǎng)格中作三角形，利用網(wǎng)格求圖形面積，熟練掌握

利用割補(bǔ)法求圖形面積是解題的關(guān)鍵.

11.證明見(jiàn)解析

【詳解】證明：在△/仇？的邊48(或它的延長(zhǎng)線)上截取4gA'B',

這點(diǎn)、D作DE//BC,交AC于點(diǎn)、E.

AnAP

則ZAED=ZC,——-—.

ABAC

AnCF

過(guò)點(diǎn)〃作加〃4C,交.BC于一點(diǎn)、F,則二^=不；.

ADCD

.AE_CF

'*AC-CB'

又，：DE//BC,DF//AC,

四邊形加CE是平行四邊形.DE=CF.

AEDEAD_AEDE

"*AB-ACCB'

■:NADE=NB,4AED=4C,ADAE^ABAC,

:.XADESMABC.

=N4',4ADE=NB=N6',AD=A'B.

：./\ADE^/\A'B'C(ASA).：./\ABC^AA'B'C.

12.(1)見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

試卷第31頁(yè)，共11頁(yè)

【分析】(1)證明△P5E和△A5O相似，即可證明.

(2)先證明MCSACBE,再證明,PBCs^CB。，得到N3PC=/BCE>=90。，即

可證明.

(1)

證明：ZA=ZEPB,NPBE=ZABD,

；.&PBESAABD,

,BEBP

"BD~BA

:.BEBA=BPBD.

(2)

證明：ZA=NECB,ZABC=NCBE,

；._ABCsACBE,

BCBA

BEBA=BC2,

又；BEBA=BPBD,

：.BC2=BPBD,

BCBP

----=-----,

BDBC

/PBC=NCBD,

:APBCsACBD,

ZACB=90°,

:“PC=/BCD=90。,

:.CP±BD.

【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成

比例列出相應(yīng)的比例式，再經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃问顾玫谋壤椒稀皟蛇叧杀壤見(jiàn)A角相

等”的形式.

13.(1)證明見(jiàn)詳解

嗚

【分析】(1)根據(jù)兩直線平行同位角相等得到NMH//CO,/OFE=NOCB,再根據(jù)兩

條直線被一組平行線(不少于3條)所截，截得的對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例，最終得到4

ACBs4DFE；

(2)根據(jù)三角形的相似比等于相應(yīng)邊長(zhǎng)的比即可得到答案.

試卷第32頁(yè)，共11頁(yè)

(1)

,:AC〃DF,BC〃EF,

OAPCACPCBC

：

.ADFO=^ACO,40FE=40CB,~OD~~OF~~DF"~OF~~EF

ACBC

:"DFE=/ACB,~DF~EF

:.IXACBS^DFE,

因?yàn)閮蓚€(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在直線交于點(diǎn)0,且對(duì)應(yīng)邊平行,

???△/比與△妍是位似圖形;

(2)

Ar5

?.?△小與△戚是位似圖形，器=],

與△，斯的位似比為：

【點(diǎn)睛】本題考查平行線和相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判

斷方法及性質(zhì).

2022-2023學(xué)年人教版九年級(jí)下第二十七章相似三角形

課時(shí)4利用兩邊和夾角判定三角形相似練習(xí)題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：

一、單選題

1.如圖，在三角形紙片中，N4=8O。，AB=6,AC=8.將沿圖示中的虛線剪

開(kāi)，剪下的陰影三角形與原三角形相似的有（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①?③④

2.如圖，在正方形4%/中，點(diǎn)2為4。邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)4,〃不重合），AEBM

試卷第33頁(yè)，共11頁(yè)

=45°,應(yīng)交對(duì)角線于點(diǎn)凡5"交對(duì)角線IC于點(diǎn)G,交切于點(diǎn)也下列結(jié)論中錯(cuò)

誤的是（）

A.XAEFs叢CBFB./\CMG^/\BFGC./XABF^^CBGD.XBDE》/\BCG

3.在..ABC與一A，8'C'中，有下列條件，如果從中任取兩個(gè)條件組成一組，那么能

判斷一ABCJTBC的共有（）組.

ABBC?BCAC……

①亞飛；②片而；③ZAi④NC=NC.

A.1B.2C.3D.4

4.如圖，切是口△?!回斜邊"上的中線，過(guò)點(diǎn)C作⑦交四的延長(zhǎng)線于點(diǎn)瓦添

加下列條件仍不能判斷△頌與△〃〃相似的是（）

A.4CBA=24AB.點(diǎn)夕是應(yīng)的中點(diǎn)

cCEBE

C.CE*CD=CA?CBD.—=—

CAAD

5.在平面直角坐標(biāo)系中，矩形28c的點(diǎn)/在函數(shù)y=jx>0）的圖象上，點(diǎn)C在

47

函數(shù)y=-：（x<0）的圖象上，若點(diǎn)6的橫坐標(biāo)為則點(diǎn)4的