廣東省佛山市順德區(qū)2024屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（二） 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023學(xué)年順德區(qū)普通高中高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（二）數(shù)學(xué)試題2024.2本試卷共6頁，22小題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘，注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅰ卷（非選擇題）兩部分，答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在數(shù)學(xué)答題卡，并用2B鉛筆在答題卡上的相應(yīng)位置填涂考生號(hào)．2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．集合，，則（

）A． B．C． D．2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．14．在中，，若，線段與交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．5．二手汽車價(jià)位受多方因素影響，交易市場(chǎng)常用年限折舊法計(jì)算車價(jià)位，即按照同款新車裸車價(jià)格，第一年汽車貶值30%，從第二年開始每年貶值10%，剛參加工作的小明打算用7萬元入手一輛3～5年的二手車，根據(jù)年限折舊法，設(shè)小明可以考慮的同款新車裸車最高價(jià)位是萬，則（

）A．14 B．15 C．16 D．176．小明爬樓梯每一步走1級(jí)臺(tái)階或2級(jí)臺(tái)階是隨機(jī)的，且走1級(jí)臺(tái)階的概率為，走2級(jí)臺(tái)階的概率為．小明從樓梯底部開始往上爬，在小明爬到第4級(jí)臺(tái)階的條件下，他走了3步的概率是（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)在區(qū)間上的值域均為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上且位于第三象限，滿足的角平分線與相交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．一個(gè)平面截正方體所得的截面圖形可以是（

）A．等腰三角形 B．菱形 C．梯形 D．正五邊形10．若，則（

）A．B．C．D．11．已知圓，橢圓，直線，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，以下的判斷正確的是（

）A．直線與橢圓相交B．當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的最大值為C．D．12．函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且它的最小正周期是，已知，．下列四個(gè)判斷中，正確的有（

）A．當(dāng)時(shí)，的值只有0或B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)既有對(duì)稱軸又有對(duì)稱中心C．對(duì)于給定的正整數(shù)，存在，使得成立D．當(dāng)時(shí)，對(duì)于給定的正整數(shù)，不存在且，使得成立三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．13．已知，則．14．已知正三棱柱的所有棱長均相等，其外接球與棱切球（該球與其所有棱都相切）的表面積分別為，則．15．一次考試后，學(xué)校將全體考生的成績分?jǐn)?shù)繪制成頻率分布直方圖（如下圖），并按照等級(jí)劃分表（如下表）對(duì)考生作出評(píng)價(jià)，若甲考生的等級(jí)為“A”，則估計(jì)甲的分?jǐn)?shù)為．（寫出滿足條件的一個(gè)整數(shù)值即可）等級(jí)劃分范圍（分?jǐn)?shù)由高到低）A+前20%（包括20%）A前20%~35%（包括35%）B+前35%~65%（包括65%）B前65%~85%（包括85%）C+前85%~95%（包括95%）C最后5%16．在如圖所示的長方形臺(tái)球桌面示意圖中，，桌面的六個(gè)網(wǎng)分別位于長方形的四個(gè)頂點(diǎn)及長邊中點(diǎn)上．現(xiàn)有三個(gè)臺(tái)球分別在三點(diǎn)所在的位置上，且三點(diǎn)共線．用球貼著桌面移動(dòng)去擊球（不能碰到球），使得球沿球運(yùn)動(dòng)的方向徑直落入三個(gè)網(wǎng)中之一．若球和網(wǎng)近似地看成點(diǎn)，且臺(tái)球在桌面上為直線運(yùn)動(dòng)，球碰到桌邊緣后反彈符合入射角等于反射角．則球擊中球前，球移動(dòng)的最短路徑的路程為．四、解答題：本大題共6小題，滿分70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：．18．某市隨機(jī)抽取名市民進(jìn)行智能手機(jī)使用情況調(diào)查，使用5G手機(jī)（A類）和使用4G及以下或不使用手機(jī)（B類）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例統(tǒng)計(jì)如下表：A類B類大于或等于60歲小于60歲(1)若用樣本的頻率作為概率的估計(jì)值，在全體市民中任選3人，記為3人中小于60歲的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若以60歲為年齡分界，討論當(dāng)取不同值時(shí)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否判斷使用手機(jī)類型與年齡有關(guān)？附：．0.050.010.0013.8416.63510.82819．在四棱雉中，四邊形為矩形，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．已知點(diǎn)在平面上的射影在四邊形外，且直線與平面所成的角為．(1)設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求證：；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．20．在中，角所對(duì)的邊分別為，其中，．(1)求角的大??；(2)如圖，為外一點(diǎn)，，，求的最大值．21．已知雙曲線中，焦距為，且雙曲線過點(diǎn)．斜率不為零的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)是否存在直線，使得點(diǎn)到直線的距離最大？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．22．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且滿足（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）．（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：．1．A【分析】先根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)化簡集合，再根據(jù)集合交集的概念求解即可.【詳解】由解得，所以，又，所以，故選：A2．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘方以及除法運(yùn)算可得，即可判斷出結(jié)論.【詳解】由可知，因此復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：A3．D【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，令求出即為切線的斜率.【詳解】令，得，得故選：D4．B【分析】根據(jù)中線性質(zhì)得出，再由平面向量線性運(yùn)算即可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：

由可得分別為的中點(diǎn)，由中線性質(zhì)可得，又，所以，因此.故選：B5．B【分析】依據(jù)貶值規(guī)律，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)列不等式即可解得.【詳解】根據(jù)題意可知，列不等式，即，又，可得.故選：B6．D【分析】根據(jù)題意，設(shè)事件A為“小明爬到第4級(jí)臺(tái)階”，事件B為“小明走了3步爬到第4級(jí)臺(tái)階”，求出，，進(jìn)而計(jì)算可得答案【詳解】根據(jù)題意，設(shè)事件A為“小明爬到第4級(jí)臺(tái)階”，事件B為“小明走了3步爬到第4級(jí)臺(tái)階”，事件A包含3中情況，①走了4次1級(jí)臺(tái)階，其概率②走了2次1級(jí)臺(tái)階，1次2級(jí)臺(tái)階，其概率，即,③走了2次2級(jí)臺(tái)階，其概率，故小明爬到第4級(jí)臺(tái)階概率在小明爬到第4級(jí)臺(tái)階的條件下，他走了3步的概率,故選：D7．A【分析】利用正弦型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可得.【詳解】在上，，在上，，由題意，函數(shù)在兩個(gè)區(qū)間上最值相同，且最小值為，即兩區(qū)間左端點(diǎn)函數(shù)值均為最小值，所以兩區(qū)間右端點(diǎn)函數(shù)值不能小于，但兩區(qū)間內(nèi)最大值相同，如圖的部分圖象，數(shù)形結(jié)合得且，即.故選：A8．C【分析】由向量的關(guān)系，可得，再由角平分線的性質(zhì)可得，由，由橢圓的定義可得，的表達(dá)式，再由余弦定理可得，的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率的值．【詳解】因?yàn)椋瑒t，由角平分線的性質(zhì)可得，因?yàn)?，所以，由橢圓的定義可知：，在△，，由余弦定理可得，即，整理可得：,即，可得，因?yàn)?，所以．故選：C．9．ABC【分析】根據(jù)正方體的幾何特征，我們可分別畫出用一個(gè)平面去截正方體得到的幾何體的圖形，然后逐一與四個(gè)答案中的圖形進(jìn)行比照，即可判斷選項(xiàng)．【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)截面為三角形時(shí)，可能出現(xiàn)等腰三角形；如圖：故A正確；當(dāng)B，D分別為正方體棱中點(diǎn)時(shí)，截面可以為菱形，如圖：故B正確;當(dāng)C，D分別為正方體棱的中點(diǎn)，截面圖可以為等腰梯形，如圖：故C正確；當(dāng)截面為五邊形，如圖，不可能是正五邊形：若截面為五邊形，則該面恰與五個(gè)面相交，而其中一定有兩組對(duì)面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，故有兩組平行邊，但正五邊形沒有平行的邊，故截面不可能是正五邊形.故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10．ACD【分析】將，，代入判斷ACD，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式判斷B即可.【詳解】將代入得，解得，A正確；由二項(xiàng)式定理可知展開式的通項(xiàng)為，令得，所以，B錯(cuò)誤；將代入得，即，C正確；將代入得，即①，將代入得，即②，①+②得，所以，①-②得，所以，所以，D正確；故選：ACD11．ABD【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)，可得點(diǎn)在橢圓內(nèi)可判斷A，根據(jù)圓心，可得出點(diǎn)到直線的距離的最大值判斷B，設(shè)出，利用兩點(diǎn)間距離公式并由二次函數(shù)性質(zhì)可求得，進(jìn)而可得C錯(cuò)誤，D正確.【詳解】根據(jù)題意可知圓的圓心為，半徑為，橢圓的長軸為4，短軸為2，直線恒過定點(diǎn)，顯然點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，如下圖所示：顯然，直線與橢圓相交，即A正確；當(dāng)變化時(shí)，易知圓心到直線的距離的最大值為，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為，即B正確；設(shè)點(diǎn)滿足且，可得又易知，顯然，顯然當(dāng)時(shí)，，可得，即可得C錯(cuò)誤，D正確；故選：ABD12．BC【分析】A選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，，求出的值域?yàn)?，進(jìn)而得到，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由于為平移得到，故的最小正周期也為，故只需研究即可，當(dāng)時(shí)，，，推出關(guān)于軸對(duì)稱，結(jié)合為奇函數(shù)，得到關(guān)于對(duì)稱，同理可得也滿足要求，B正確；C選項(xiàng)，推出的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故，分為偶數(shù)和為奇數(shù)兩種情況，得到C正確；D選項(xiàng)，先得到函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，在C選項(xiàng)基礎(chǔ)上，得到時(shí)，，此時(shí)，D錯(cuò)誤.【詳解】選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，的值域?yàn)?，又為奇函?shù)，故當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋?，為平移得到，故的最小正周期也為，故函?shù)的最小正周期為，故函數(shù)值域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由于為平移得到，故的最小正周期也為，故只需研究即可，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故，由于為連續(xù)函數(shù)，故，故的圖象在上關(guān)于直線對(duì)稱，又為奇函數(shù)，最小正周期為，結(jié)合圖象可知，在圖象在R上關(guān)于直線對(duì)稱，所以，令，則，將用替換，有，故，所以關(guān)于軸對(duì)稱，又為奇函數(shù)，故，所以，又，故，故，故關(guān)于對(duì)稱，所以既有對(duì)稱軸，又有對(duì)稱中心，當(dāng)時(shí)，同理可得既有對(duì)稱軸，又有對(duì)稱中心，B正確；C選項(xiàng)，取，則，由于為奇函數(shù)，故，又的最小正周期為，故，即，即，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由B選項(xiàng)知，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，C正確；D選項(xiàng)，由于，所以成立，，故，即，故在上，又的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且最小正周期為，故函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，而成立，所以，故存在成立，D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的對(duì)稱性：若，則函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，13．【分析】利用二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系得到，求出.【詳解】，因?yàn)?，所以，故，解?故答案為：14．【分析】由幾何關(guān)系求出外接球和棱切球半徑，再由球的表面積公式求出表面積，最后求出比值.【詳解】設(shè)正三棱柱的棱長為，因?yàn)檎庵舷碌酌嬷行倪B線的中點(diǎn)為外接球的球心，則外接球的半徑，，所以，因?yàn)椋詾槔馇星虻那蛐?，則棱切球半徑，所以.故答案為：15．100（答案不唯一，任選其一）【分析】根據(jù)頻率分布直方圖可求得，再利用成績劃分等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)分別求出等級(jí)為“A”的分?jǐn)?shù)區(qū)間，即可得出答案.【詳解】利用頻率分布直方圖可得，解得，成績?cè)趨^(qū)間內(nèi)的人數(shù)占，在內(nèi)的人數(shù)占，設(shè)成績排在前位的分?jǐn)?shù)線為，則，解得；設(shè)成績排在前位的分?jǐn)?shù)線為，則，解得；因此考生的等級(jí)為“A”的分?jǐn)?shù)區(qū)間為，又因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)取整數(shù)，所以可得甲的分?jǐn)?shù)所有可能取值為.故答案為：100（答案不唯一）16．##【分析】分三種情況，結(jié)合題意，連接點(diǎn)與網(wǎng)中其中之一，得到直線，根據(jù)反射得到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，得到最小值.【詳解】因?yàn)橛们蛸N著桌面移動(dòng)去擊球（不能碰到球），連接并延長交于點(diǎn)，直線，即，令得，，故，則為的中點(diǎn)，故的反射直線為，則，將代入中，得，故，令得，故，為的中點(diǎn)，直線經(jīng)過反射得到直線，將代入中，得，故，其中滿足上，故球的軌跡為，其中，，，故軌跡長度為，

連接并延長，交于點(diǎn)，直線的方程為，即，令得，故，根據(jù)反射得到反射直線，將代入得，，解得，故直線，令得，解得，故，根據(jù)反射得到直線，將代入得，，解得，故直線，令得，解得，故，根據(jù)反射得到直線，將代入得，，解得，故直線，令得，故，由于，故令中的得，故點(diǎn)A不在直線上，故要想點(diǎn)A在直線上，也要經(jīng)過多次反射，故路徑會(huì)大于，不合要求，舍去；

連接并延長，交于點(diǎn)，則直線的方程為，令得，故，根據(jù)反射得到直線反射直線，將代入上式得，，解得，故直線，令得，解得，故，根據(jù)反射得到反射直線，將代入得，，解得，故，令得，故，根據(jù)反射得到反射直線，將代入得，故，由于，故令中的得，故不在反射直線上，故要想點(diǎn)A在直線上，也要經(jīng)過多次反射，故路徑會(huì)大于，不合要求，舍去；

綜上，球移動(dòng)的最短路徑的路程為.故答案為：【點(diǎn)睛】新定義問題的方法和技巧：（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對(duì)此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.17．(1)(2)證明過程見解析【分析】（1）得到為常數(shù)列，結(jié)合得到，求出通項(xiàng)公式；（2），設(shè)的前項(xiàng)和為，錯(cuò)位相減法求和得到.【詳解】（1），故為常數(shù)列，其中，故，故，即；（2），設(shè)的前項(xiàng)和為，則①，②，兩式①-②得，，故.18．(1)分布列見解析，(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)條件判斷出，然后計(jì)算出在不同取值下的概率，由此可求分布列，根據(jù)分布列可求；（2）由已知表格得到列聯(lián)表，將表中數(shù)據(jù)代入的計(jì)算公式并將計(jì)算結(jié)果，分類討論與比較大小，由此可知結(jié)果【詳解】（1）由表格可知，任取一人小于60歲的概率，由題意可知：，的可能取值為0，1，2，3所以，，，所以的分布列為：所以（或者）.（2）因?yàn)槭褂?G手機(jī)（A類）和使用4G及以下或不使用手機(jī)（B類）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例統(tǒng)計(jì)如下表：A類B類大于或等于60歲小于60歲所以可得列聯(lián)表A類B類總計(jì)大于或等于60歲小于60歲總計(jì)因?yàn)?，，，都是正整?shù)，且：：：=2:3:6:9所以是20的正整數(shù)倍，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)且是20的正整數(shù)倍時(shí)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡旅游與性別有關(guān)；當(dāng)且是20的正整數(shù)倍時(shí)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡旅游與性別有無關(guān).19．(1)詳解見解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出，即得證（2）利用空間向量法可求得平面PAC的法向量和平面ABCD的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式求解即可.【詳解】（1）作平面ABCD，連接OA，OD，OE所以直線與平面所成的角即為，又因?yàn)樵诘妊切蜛PD中，，所以，因?yàn)椋?，故，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以垂直于OF所在直線，OF，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以所以，，所以（2）點(diǎn)，設(shè)平面PAC的法向量為，則有，又，所以，不妨令，則，所以，取平面ABCD的一個(gè)法向量，則20．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理將邊化為角，可得角的方程，化簡計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由正弦定理可得，再由余弦定理分別得到，再由基本不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，由正弦定理，可得，整理可得，又因?yàn)椋喛傻?，而，則，又，則（2）在中，由可得，在中，由可得，所以，設(shè)，由余弦定理，，可得，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即等號(hào)成立，所以的最大值為，此時(shí).21．(1)(2)存在，【分析】（1）待定系數(shù)法求解雙曲線方程；（2）方法一：設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)得到，即或，分兩種情況討論，得到直線過定點(diǎn)，要想到直線的距離最大，則⊥，從而求出直線的方程；方法二：齊次化求解，平移雙曲線得，設(shè)平移后的直線方程為，變形得到，根據(jù)斜率之積為-1得到則直線過定點(diǎn)，從而原直線過定點(diǎn)，要想到直線的距離最大，則⊥，從而求出直線的方程；【詳解】（1）由題意得，且，又，解得，故雙曲線方程為；（2）設(shè)直線，聯(lián)立得，設(shè)，則，由題意得，即，將代入上式，，即，化簡得，變形為，故或，當(dāng)時(shí)，直線，經(jīng)過定點(diǎn)，與重合，不合要求，當(dāng)時(shí)，直線，經(jīng)過定點(diǎn)，要想到直線的距離最大，則⊥，其中故直線的斜率，故直線的方程為，即.經(jīng)檢驗(yàn)，滿足要求.方法二：平移雙曲線得，即，設(shè)平移后的直線方程為，則有，即，兩邊同除以得，由題意得，設(shè)，則，則直線過定點(diǎn)，將向左平移3個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位，則原直線過定點(diǎn)，要想到直線的距離最大，則⊥，其中故直線的斜率，故直線的方程為，即，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足要求.【點(diǎn)睛】處理定點(diǎn)問題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為），（2）利用條件找到與過定點(diǎn)的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式，（3）所謂定點(diǎn)，是指存在一個(gè)特