新教材適用高中數(shù)學(xué)第2章直線和圓的方程2.5直線與圓圓與圓的位置關(guān)系2.5.1直線與圓的位置關(guān)系第2課時(shí)直線與圓的方程的應(yīng)用課后習(xí)題新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

第2課時(shí)直線與圓的方程的應(yīng)用課后訓(xùn)練鞏固提升A組1.已知直線ax-by+c=0(abc≠0),與圓x2+y2=1相切,則三條邊長(zhǎng)分別為|a|,|b|,|c|的三角形()A.是銳角三角形 B.是直角三角形C.是鈍角三角形 D.不存在解析:直線與圓相切,則圓心到切線的距離d=|c故三角形為直角三角形.答案:B2.已知點(diǎn)P(x,y)在圓x2+y2=1上,則(xA.2 B.22 C.1 D.2+1解析:(x依據(jù)圓的幾何性質(zhì),最大值為點(diǎn)(1,1)到圓心(0,0)的距離與圓的半徑之和,即(1-0答案:D3.若圓(x-3)2+(y+5)2=r2上的點(diǎn)到直線4x-3y-2=0的最近距離為1,則圓的半徑r為()A.4 B.5 C.6 D.9解析:由圓的方程可知圓心為(3,-5),圓心到直線4x-3y-2=0的距離d=|4依題意知,d-r=1,則r=4.答案:A4.一輛貨車寬1.6米,要經(jīng)過一個(gè)半徑為3.6米的半圓形單行隧道,則這輛貨車的平頂車篷的篷頂距離地面高度最高約為()A.2.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2.0米解析:以半圓直徑所在直線為x軸,過圓心且與x軸垂直的直線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.易知半圓所在的圓的方程為x2+y2=3.62,由圖可知,當(dāng)貨車恰好在隧道中間行駛時(shí)車篷最高,則將x=0.8代入x2+y2=3.62,得y≈3.5(負(fù)值舍去).故選B.答案:B5.圓x2+y2=4上與直線l:4x-3y+12=0距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A.85,C.-85解析:圓心坐標(biāo)為(0,0),過圓心與直線4x-3y+12=0垂直的直線方程為3x+4y=0.方程3x+4y=0與x2+y2=4聯(lián)立可得x=±85所以直線3x+4y=0與圓x2+y2=4的交點(diǎn)坐標(biāo)是-8交點(diǎn)-85,答案:C6.設(shè)A為圓C:(x+1)2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn),PA是圓C的切線,且|PA|=1,則點(diǎn)P的軌跡方程是.

解析:由題意知CA⊥PA,在Rt△CAP中,|CP|2=|CA|2+|PA|2.已知|CA|=2,|PA|=1,則|CP|2=5,所以點(diǎn)P的軌跡是以C為圓心,|CP|=5為半徑的圓.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),已知圓心C(-1,0),則點(diǎn)P的軌跡方程為(x+1)2+y2=5.答案:(x+1)2+y2=57.已知圓C的圓心是直線x-y+1=0與x軸的交點(diǎn),且圓C與直線x+y+3=0相切,則圓C的方程為.

解析:直線x-y+1=0與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),即圓心C(-1,0).因?yàn)閳AC與直線x+y+3=0相切,所以圓心到直線x+y+3=0的距離等于半徑,即|-1+0+3答案:(x+1)2+y2=28.圓x2+(y+4)2=4上的點(diǎn)到直線l:x+y=1的距離的最大值為,最小值為.

解析:由圓的方程x2+(y+4)2=4知,圓心C(0,-4),半徑r=2.畫出大致圖象,如下圖所示.圓上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值dmin=|0-4-1|2答案:522+29.已知P(-1,2)為圓x2+y2=8內(nèi)肯定點(diǎn).(1)求過點(diǎn)P,且被圓所截得的弦最短的直線方程;(2)求過點(diǎn)P,且被圓所截得的弦最長(zhǎng)的直線方程.解:由圓的方程,得圓心C(0,0),半徑r=22.(1)當(dāng)弦與PC垂直時(shí),過點(diǎn)P且被圓所截得的弦最短.因?yàn)閗PC=2-1=-2,所以最短弦所在直線的斜率k=所以所求直線的方程為y-2=12(2)當(dāng)弦過圓心C時(shí),過點(diǎn)P且被圓所截得的弦最長(zhǎng).由兩點(diǎn)式,得最長(zhǎng)弦所在的直線方程為y-所以,所求直線的方程為y210.在某海礁A處有一風(fēng)暴中心,距離風(fēng)暴中心A正東方向200km的B處有一艘輪船,正以北偏西α(α為銳角)角的方向航行,速度為40km/h.已知距離風(fēng)暴中心180km以內(nèi)的水域都會(huì)受其影響.(1)若輪船不被風(fēng)暴影響,求角α的正切值的最大值;(2)若輪船的航行方向?yàn)楸逼?5°,求輪船被風(fēng)暴影響持續(xù)多長(zhǎng)時(shí)間.解:(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),正東方向?yàn)閤軸的正方向,正北方向?yàn)閥軸的正方向,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.則受風(fēng)暴影響的區(qū)域邊界的曲線方程為x2+y2=1802,設(shè)過點(diǎn)B(200,0)的直線方程為y=k(x-200),k<0,即kx-y-200k=0,令圓心A(0,0)到直線的距離d=|-200化簡(jiǎn)得19k2=81,得k=-919此時(shí)輪船恰不被風(fēng)暴影響,∴tan(90°+α)=-919,∴-1tanα∴tanα=199,∴若輪船不被風(fēng)暴影響,則角α的正切值的最大值為19(2)若輪船的航行方向?yàn)楸逼?5°,則航行所在直線的方程為x+y=200,則圓心A到該直線的距離d=|200|2圓截直線所得的弦長(zhǎng)為21802-(則輪船被風(fēng)暴影響的時(shí)間為4031B組1.已知點(diǎn)A(-1,1)和圓C:(x-5)2+(y-7)2=4,一束光線從點(diǎn)A經(jīng)x軸反射到圓C上的最短路程是()A.62-2 B.8 C.46 D.10解析:易知點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'(-1,-1),A'與圓心(5,7)的距離為(5+1故所求最短路程為10-2=8.答案:B2.已知圓的方程為x2+y2-6x-8y=0,設(shè)該圓過點(diǎn)(3,5)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為()A.106 B.206 C.306 D.406解析:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(y-4)2=25,則圓心坐標(biāo)是(3,4),半徑是5.由題意得最短弦BD和最長(zhǎng)弦(即圓的直徑)AC垂直.最長(zhǎng)弦長(zhǎng)|AC|=10.圓心(3,4)與點(diǎn)(3,5)的距離為1,故最短弦長(zhǎng)|BD|=252-1所以,四邊形ABCD的面積為12|AC||BD|=12×10×46=20答案:B3.已知圓C:x2+y2-4x-2y-15=0上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到直線l:y=k(x-7)+6的距離等于5,則k的取值范圍是()A.1B.-C.(-∞,-2)∪-12D.-∞,-12解析:圓x2+y2-4x-2y-15=0的圓心為(2,1),半徑為25.∵圓C:x2+y2-4x-2y-15=0上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到直線l:y=k(x-7)+6的距離等于5,∴圓心到直線的距離大于半徑與5的差,小于半徑與5的和.∴5<|-5∴k的取值范圍是(-∞,-2)∪-12答案:C4.若直線y=x+b與曲線y=3-4xA.[1-22,1+22] B.[1-2,3]C.[-1,1+22] D.[1-22,3]解析:數(shù)形結(jié)合,利用圖象進(jìn)行分析.由y=3-4x它表示以(2,3)為圓心,2為半徑的下半圓.直線方程y=x+b,b是直線在y軸上的截距.由圖象知,b的最大值為3;當(dāng)直線與半圓相切時(shí),b取得最小值,且bmin<0,由|2-3+答案:D5.已知圓C:x2+y2+2x+ay-3=0(a為實(shí)數(shù))上隨意一點(diǎn)關(guān)于直線l:x-y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)都在圓C上,則a=.

解析:由題意可知,直線x-y+2=0過圓心-1,-a答案:-26.已知直線x-2y-3=0與圓(x-2)2+(y+3)2=9相交于A,B兩點(diǎn),則△AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為.

解析:圓心坐標(biāo)為(2,-3),半徑r=3.圓心到直線x-2y-3=0的距離d=5,從而弦長(zhǎng)|AB|=2r2原點(diǎn)(0,0)到AB所在直線的距離h=35,所以△AOB的面積S=12×4×答案:67.某公園有A,B兩個(gè)景點(diǎn),位于一條小路(直道)的同側(cè),分別距小路2km和22km,且A,B兩景點(diǎn)間相距2km,今欲在該小路上設(shè)一觀景點(diǎn),使兩景點(diǎn)在同時(shí)進(jìn)入視線時(shí)有最佳欣賞和拍攝效果,則觀景點(diǎn)應(yīng)設(shè)在何處?解:所設(shè)觀景點(diǎn)的位置應(yīng)使對(duì)兩景點(diǎn)的視角最大.由平面幾何學(xué)問知,該點(diǎn)應(yīng)是過A,B兩點(diǎn)的圓與小路所在的直線相切時(shí)的切點(diǎn).以小路所在直線為x軸,點(diǎn)B在y軸的正半軸上建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示.由題意得A(2,2),B(0,2設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=b2,由A,B兩點(diǎn)在圓上,得(解得a=0,b所以圓的方程為x2+(y-2)2=2,切點(diǎn)為(0,0).所以觀景點(diǎn)應(yīng)設(shè)在B景點(diǎn)在小路的射影處.8.已知圓C:(x-2)2+y2=2.(1)求與圓C相切,且在x軸、y軸上截距相等的直線方程;(2)從圓C外一點(diǎn)P引圓C的一條切線,切點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且|PM|=|PO|,求使|PM|最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).解:由圓C的方程,得圓心C的坐標(biāo)為(2,0),半徑為2.(1)若切線過原點(diǎn),則切線的斜率存在,設(shè)切線方程為kx-y=0.由|2所以切線方程為x+y=0或x-y=0.若切線不過原點(diǎn),則設(shè)切線方程為xa+y所以切線方程為x+y-4