2023-2024學(xué)年安徽省馬鞍山市高二年級第二學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年安徽省馬鞍山市高二年級第二學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)y=cosx的圖象在點(diǎn)(π3A.?32 B.?12 2.六一兒童節(jié)，西湖小學(xué)舉辦歡樂童年聯(lián)歡會(huì)，原定的7個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個(gè)新節(jié)目，如果將這3個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為(

)A.180種 B.336種 C.720種 D.1440種3.在(x2?y)5的展開式中，A.10 B.?10 C.20 D.?204.已知函數(shù)y=f(x)，y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖，那么y=f(x)，y=g(x)的圖象可能是(

)

A. B.

C. D.5.假設(shè)A，B是兩個(gè)事件，且P(A)>0，P(B)>0，則下列結(jié)論一定正確的是(

)A.P(A|B)P(B)=P(AB) B.P(A|B)=P(B|A)

C.P(A|B)≤P(B) D.P(A|B)≤P(A)6.小明用摸球的方式?jīng)Q定周末去A或B地游玩.規(guī)則如下：箱子里裝有質(zhì)地和大小完全相同的4個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中任取4個(gè)小球，若取出的紅球個(gè)數(shù)不少于白球個(gè)數(shù)，則去A地，否則去B地，則小明去A地游玩的概率為(

)A.1235 B.1335 C.577.隨機(jī)變量X的分布列如下，則方差D(bX)的最大值為(

)X123Pa2baA.127 B.227 C.198.已知a，b滿足aea=blnb?b=eA.ea+1<b B.ab<e3 C.二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)r越接近于1

B.用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù),則殘差平方和越大的模型擬合的效果越好

C.隨機(jī)變量ξ~N(2,σ2),P(ξ<4)=0.8,則P(2<ξ<4)=0.3

D.隨機(jī)變量X~B(10,0.7),則當(dāng)k=7時(shí),P(X=k)10.甲乙兩人進(jìn)行投籃比賽，共比賽2n(n∈N?)局，且每局甲獲勝的概率和乙獲勝的概率均為12.如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽.記甲贏得比賽的概率為A.P(2)=516 B.P(3)=1116

C.P(n)的最大值為1211.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為g(x)，f(x+2)和g(2x+1)都是奇函數(shù)，f(1)=1，則下列說法正確的是(

)A.g(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱 B.f(x)+f(?x)=0

C.g(2025)=1 D.k=0三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若(x?3)10=a0+13.如果一個(gè)四位數(shù)各個(gè)位數(shù)上的數(shù)字之和為8，則稱這個(gè)四位數(shù)為“幸運(yùn)數(shù)”，那么總共有

個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”．14.如圖，一點(diǎn)從正方形的頂點(diǎn)A處出發(fā)在各頂點(diǎn)間移動(dòng)，每次移動(dòng)要么以13的概率沿平行于BC方向(正、反方向均可)移動(dòng)一步;要么以23的概率沿平行于AB方向(正、反方向均可)移動(dòng)一步.設(shè)移動(dòng)2n(n∈N?)步后回到點(diǎn)A的概率為An，到達(dá)點(diǎn)C的概率為Cn，則A1=四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=x3+3ax2(1)求實(shí)數(shù)a，b的值;(2)求f(x)在區(qū)間[?3,3]上的最值．16.(本小題12分)某企業(yè)為了打開產(chǎn)品銷路，斥資攝制了一部廣告宣傳片，于2024年1月1日開始在各電視媒體投放.統(tǒng)計(jì)該企業(yè)2024年前5個(gè)月的銷售收入，獲得數(shù)據(jù)如下：月份x12345銷售收入y/萬元380460580670860(1)已知x與y呈線性相關(guān)關(guān)系，求經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+a，并據(jù)此預(yù)測該企業(yè)2024(2)為了解此次廣告投放的效果，該企業(yè)隨機(jī)抽取60名消費(fèi)者進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下不完整的列聯(lián)表：觀看廣告未觀看廣告總計(jì)購買3045未購買10總計(jì)請將上表補(bǔ)充完整，并依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為購買產(chǎn)品與觀看廣告有關(guān)聯(lián)?參考數(shù)據(jù)：i=15參考公式：最小二乘法估計(jì)b=i=1nχ2=n(ad?bcα0.100.050.010.005x2.7063.8416.6357.87917.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=1+2(1)證明：f(x)≤1;(2)設(shè)x1，x2為方程f(x)?m=0的兩個(gè)根，且x1≠18.(本小題12分)2024年5月18日世界博物館日中國主會(huì)場活動(dòng)在陜西歷史博物館舉辦，同時(shí)“秦漢文明”系列展覽開幕.某校組織學(xué)生參加志愿者服務(wù)，志愿活動(dòng)共有特展講解、秩序維持、少兒手繪培訓(xùn)三項(xiàng).志愿者參加特展講解可獲得3個(gè)志愿積分，參加秩序維持、少兒手繪培訓(xùn)可獲得2個(gè)志愿積分，憑積分可在博物館領(lǐng)取相應(yīng)的紀(jì)念品.某班有6名學(xué)生(男生2人，女生4人)參加志愿活動(dòng)，每個(gè)人的選擇互不影響．(1)若每個(gè)人等可能的選擇一項(xiàng)活動(dòng)參加，求在男生甲選擇了秩序維持的條件下，男生乙也選擇秩序維持的概率;(2)若兩個(gè)男生都只參加秩序維持，每個(gè)女生從特展講解、少兒手繪培訓(xùn)中選擇一項(xiàng)或兩項(xiàng)參加，且選擇一項(xiàng)參加和選擇兩項(xiàng)參加的概率都為12.現(xiàn)從6人中隨機(jī)選取兩人，記兩人積分之和為X，求X的分布列和期望E(X)19.(本小題12分)定義一：整數(shù)1，2，3，?，n(n∈N?)的排列稱為n級排列，例如：2431定義二：在一個(gè)n級排列j1j2j3?jn中，如果一對數(shù)的前后位置與大小順序相反，那么它們就稱為一個(gè)逆序.一個(gè)排列中逆序的總數(shù)就稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為F(j1j2j3?(1)求6級排列215643的逆序數(shù)F(215643);(2)稱逆序數(shù)是偶數(shù)的排列為偶排列，逆序數(shù)是奇數(shù)的排列為奇排列．(ⅰ)判定n級排列n(n?1)(n?2)?21，n∈N?(ⅱ)現(xiàn)將一個(gè)n級排列T:x1x2x3?xn?1xn答案簡析1.A

【簡析】解：∵f(x)=cos?x，∴f′(x)=?sin?x，

∴函數(shù)f(x)=cos?x的圖象在點(diǎn)(π32.C

【簡析】解：

∵由題意知將這3個(gè)節(jié)目插入節(jié)目單中，原來的節(jié)目順序不變，

∴三個(gè)新節(jié)目一個(gè)一個(gè)插入節(jié)目單中，

原來的7個(gè)節(jié)目連同兩端形成8個(gè)空，在這8個(gè)位置上插入第一個(gè)節(jié)目，共有8種結(jié)果，

原來的7個(gè)和剛插入的一個(gè)，形成9個(gè)空，有9種結(jié)果，同理最后一個(gè)節(jié)目有10種結(jié)果，

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到共有插法種數(shù)為8×9×10=720，

故選C．3.B

【簡析】解：

(x2?y)5的展開式的通項(xiàng)公式為：

Tr+1=C5r·(x2)5?r4.A

【簡析】解：從導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：

g′x?0恒成立，所以函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，排除BC；

設(shè)f′x的圖象與x軸交于點(diǎn)A(t,0)，

則f′x?0時(shí)，x?t；f′x>0時(shí)，x>t；

所以函數(shù)f(x)5.A

【簡析】解：對于A，由題知

P(A|B)=P(AB)P(B)，P(AB)=P(B)P(A|B)，故A正確；

對于B，由

P(B|A)=P(AB)P(A)，P(A|B)=P(AB)P(B)，故當(dāng)

P(A)=P(B)時(shí)才有

P(B|A)=P(A|B)，故B錯(cuò)誤；

對于C，由P(A|B)=P(AB)P(B)，P(AB)≤P(A)，無法判斷P(A|B)≤P(B)，故C錯(cuò)誤；

對于D，由

P(A|B)=P(AB)P(B)故選A．6.D

【簡析】解：記事件A：任取4個(gè)小球，取出的紅球個(gè)數(shù)不少于白球個(gè)數(shù)，即紅球個(gè)數(shù)大于等于2，

分為紅球個(gè)數(shù)X為2，3，4三種情況：

PX=2=C42C32C7.A

【簡析】解：由題可知2a+2b=1，即a+b=12，b∈0,12，

E(X)=a+4b+3a=4(a+b)=2，

D(X)=a(1?2)2+(3?2)2a=2a．

D(bX)=b2D(X)=2ab2=?2b3+b2，

令f(b)=?2b3+b2，b∈0,12，

則8.D

【簡析】解：由aea=e3得a>0，且a+lna?3=0，

由bln?b?b=e3得b>0，且lnb?1+lnlnb?1?2=0，

對A選項(xiàng)，令函數(shù)fx=x+lnx，函數(shù)fx是單調(diào)增函數(shù)，

所以f(a)=3，f(lnb?1)=2，

故a>lnb?1，所以ea+1>elnb=b，故A錯(cuò)誤；

對B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)，a>lnb?1，b>0，所以ab>blnb?b=e3，故B錯(cuò)誤．

對C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)，因?yàn)?22?9.CD

【簡析】解：對于A，兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于1，故A錯(cuò)誤；

對于B，用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好，故B錯(cuò)誤；

對于C，隨機(jī)變量ξ~N(2,σ2),P(ξ<4)=0.8,

則P(2<ξ<4)=P(ξ<4)-P(ξ≤2)=0.8-0.5=0.3，故C正確；

對于D，隨機(jī)變量X~B(10,0.7),

則P（X=k）=C10k0.7k·0.310?k，

設(shè)k=7時(shí)，P(X=k)最大，

則P(X=k)>P(X=k+1)P(X=k)>P(X=k?1),

C10k0.7k·0.310?k>C10k+10.7k+1·0.10.AD

【簡析】解：由題意知：要使甲贏得比賽，則甲至少贏n+1局，P(n)=(12)2n(C2nn+1+C2nA：P(2)=12?C4225=又4C2nn故當(dāng)n=1時(shí)，P(n)的最小值為14故選：AD．11.ABD

【簡析】解：由

g(2x+1)

為奇函數(shù)知g(?2x+1)

=?g(2x+1)，

g(?x+1)=?g(x+1)，g(?x+1)+g(x+1)=0，

gx

關(guān)于1,0

對稱，g(1)=0

，A正確；

所以函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=1對稱，

f(x)=f(?x+2)，f(?x)=f(x+2)

因?yàn)閒(x+2)為奇函數(shù)，所以f(?x+2)+f(x+2)=0，

f(x)+f(?x)=0，B正確；

由f(?x+2)+f(x+2)=0得f(x)+f(4?x)=0

得f′(x)?f′(4?x)=

0，

即

g(x)=g(4?x)

，

所以g(x)關(guān)于直線x=2對稱，

結(jié)合g(x)=f′(x)，根據(jù)g(x)關(guān)于直線x=2對稱可知f(x)關(guān)于點(diǎn)(2,t)對稱，

將x=2代入f(x)+f(4?x)=0中可得f(2)=0，

所以f(x)關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱，

綜上可得，函數(shù)f(x)與g(x)均是周期為4的周期函數(shù)，

g(2025)=g(1)=0，C不正確；

根據(jù)函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=1對稱，關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱，

結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)易知f(1)=?f(3)=1，f(2)=f(4)=0，f(0)=0，

f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=[f(1)+f(3)]+[f(2)+f(4)]=0，

12.?1023

【簡析】解：令x=1，則

a0=1024，

令x=2，則

a0+

a1+

a2+

?+

a10=?1，

故

a113.120

【簡析】解：

若后三位中有三個(gè)0，故只有8000，這樣的四位數(shù)有1個(gè)；

若后三位中有兩個(gè)0，這樣的四位數(shù)有7C32=7×3=21個(gè)；

若后三位中有一個(gè)0，這樣的四位數(shù)有3×3+2A33C綜上所述，符合題意的四位數(shù)有1+21+63+35=120個(gè)14.59【簡析】解：已知沿平行于AB方向走得概率為23，沿平行BC方向走得概率為13．

A1即移動(dòng)兩次后回到A點(diǎn)的概率，有兩種可能：沿平行BC方向移動(dòng)或者沿平行AB方向移動(dòng).故

A1=13×13+23×23=59．

同理，擲兩次后停在C點(diǎn)概率為49，記作C1，

設(shè)擲2n(n∈N?15.解：(1)∵f(x)=x3+3ax2+bx+a2，

∴f?′(x)=3x2+6ax+b，

∵f(x)在x=?1時(shí)有極值0，

∴f(?1)=?1+3a?b+a2=0f′(?1)=3?6a+b=0,

∴a=1b=3或a=2b=9,

當(dāng)a=1b=3時(shí)，f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0，

所以f(x)在定義域上單調(diào)遞增，無極值，故舍去；

所以a=2，b=9，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．

(2)

由【簡析】(1)已知函數(shù)f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=?1處有極值0，即f(?1)=0，f′(?1)=0，通過求導(dǎo)函數(shù)，再代入列方程組，即可解得a、b16.解：(1)因?yàn)閤=3，y=590，i=15(xi?x)2=10，i=15(xi?x)(yi?y)=1170，

b=i=15(觀看廣告未觀看廣告總計(jì)購買301545未購買51015總計(jì)352560

零假設(shè)H0:購買產(chǎn)品與觀看廣告無關(guān)，

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到K2=60×(30×10?15×5)235×25×45×15【簡析】

(1)根據(jù)公式得出b和a，可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程，代入x=7可得預(yù)測值；

(2)先得出列聯(lián)表，由公式得出K217.證明：(1)由已知f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，f′(x)=2x?x2?2x(1+lnx)x4=?4lnxx3，

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)>0，即f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f′(x)<0，即f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減;

所以f(x)≤f(1)=1．

(2)由(1)知f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;在(1,+∞)上單調(diào)遞減，

且當(dāng)x→0時(shí)，f(x)→?∞時(shí)，當(dāng)x→+∞，f(x)→0，則0<m<1，lnm<0，

又x1，x2(x1≠x2)為方程f(x)?m=0的兩個(gè)根，

則1+2lnx1x12?m=0，1+2lnx2x22?m=0，且x1x2>0，

所以mx12【簡析】

(1)利用研究單調(diào)性，即可得證；

(2)由x1，x2(x1≠x2)為方程f(x)?m=018.解：(1)P=1×3435=13；

(2)若2男生，積分和為4分;

1男1女，積分和的可能取值為4，5，7分．

若2女生，積分和的可能取值為4，5，6，7，8，10分