第06講 實際問題與一元二次方程-2024年新九年級數(shù)學暑假提升講義（人教版 學習新知）

第06講實際問題與一元二次方程（2個知識點+8個考點+易錯分析）模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1.會分析實際問題中蘊含的數(shù)量關系,找出等量關系,列出一元二次方程解決實際問題,并根據(jù)具體問題的實際意義,取符合實際意義的解作答2.經(jīng)歷分析和解決實際問題的過程,體會一元二次方程的數(shù)學建模作用3.體會數(shù)學來源于實踐,反過來又作用于實踐,增強應用數(shù)學的意識知識點1：列一元二次方程解應用題1.利用方程解決實際問題的關鍵是尋找等量關系.2.解決應用題的一般步驟：審(審題目，分清已知量、未知量、等量關系等)；設(設未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關的量)；列(根據(jù)題目中的等量關系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；驗（檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）答(寫出答案，切忌答非所問).要點詮釋：列方程解實際問題的三個重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問題中的等量關系；三是正確求解方程并檢驗解的合理性.知識點2：常見相關問題的數(shù)量關系及表示方法題型1：增長率問題列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應在原數(shù)的基礎上增長或降低兩次.(1)增長率問題：平均增長率公式為(a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量.)(2)降低率問題：平均降低率公式為(a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)題型2：面積問題此類問題屬于幾何圖形的應用問題，解決問題的關鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關系并列出方程.題型3：數(shù)字問題(1)任何一個多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個位、十位、百位、千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項式的形式表示了一個多位數(shù).如：一個三位數(shù)，個位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.(2)幾個連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個整數(shù)相差1.如：三個連續(xù)整數(shù)，設中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-1，x+1.幾個連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.如：三個連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-2，x+2.題型4：利潤（銷售）問題利潤(銷售)問題利潤(銷售)問題中常用的等量關系：利潤=售價-進價(成本)總利潤=每件的利潤×總件數(shù)題型6：傳播問題比賽問題：解決此類問題的關鍵是分清單循環(huán)和雙循環(huán)

．傳播問題：，a表示傳染前的人數(shù)，x表示每輪每人傳染的人數(shù)，n表示傳染的輪數(shù)或天數(shù)，A表示最終的人數(shù)．考點1：增長率問題【例1】（23-24九年級上·江蘇泰州·期末）我國通過藥品集中采購，大大減輕了群眾的醫(yī)藥負擔．如果某種藥品經(jīng)過兩次降價，藥價從每盒元下調(diào)至元，求平均每次降價的百分率是多少？【變式1-1】（23-24九年級上·陜西西安·期末）為了讓學生養(yǎng)成熱愛讀書的習慣，陜西某學校抽出一部分資金用于購買書籍.已知2021年該學校用于購買圖書的費用為3000元，2023年用于購買圖書的費用是3630元，求該校用于買書的資金的年平均增長率.【變式1-2】（2024·河南南陽·模擬預測）目前以等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展．某市2020年底有用戶2萬戶，計劃到2022年底，全市用戶數(shù)累計達到8.72萬戶．(1)求全市用戶數(shù)的年平均增長率．(2)按照這個增長率，預計2023年底全市用戶數(shù)累計達到多少萬戶？【變式1-3】（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）某種植戶2016年投資20萬元種植中藥材，到2018年3年共累計投資95萬元，若在這兩年內(nèi)每年投資的增長率相同．(1)求該種植戶每年投資的增長率；(2)按這樣的投資增長率，請你預測2019年該種植戶投資多少萬元種植中藥材．考點2：面積問題【例2】如圖所示，要在米寬，米長的矩形耕地上修筑同樣寬的三條小路（兩條縱向，一條橫向，橫向與縱向互相垂直），把耕地分成大小不等的六塊花田，要使花田面積為，則道路應修多寬？【變式2-1】（23-24九年級上·遼寧沈陽·期末）如圖，借助一面墻（最長可利用）圍成一個矩形花園，在墻上要預留寬的入口（如圖中所示），入口不用砌墻，假設有砌長墻的材料且恰好用完，設的長為．(1)填空：砌段墻時，需______長的砌墻材料（用含x的代數(shù)式表示）；(2)當矩形花園的面積為時，墻的長為多少米？【變式2-2】．（23-24九年級上·四川宜賓·期末）近年來，宜賓市聚焦打造鄉(xiāng)村振興，某農(nóng)戶要建一個長方形養(yǎng)雞場，雞場的邊靠墻（墻長度等于），另外三邊用木欄圍成，木欄總長，設雞場邊的長為，雞場面積為．

(1)養(yǎng)雞場面積__________（用含x的代數(shù)式表示）；(2)當雞場面積為時，求邊的長；(3)若農(nóng)戶想圍成的雞場，可以實現(xiàn)嗎？說明理由．【變式2-3】．（23-24九年級上·陜西商洛·期末）勞動是財富的源泉，也是幸福的源泉．某中學對勞動教育進行積極探索和實踐，創(chuàng)建學生勞動教育基地，該中學有面積為的矩形空地，計劃在矩形空地上一邊增加，另一邊增加構成一個正方形區(qū)域．

(1)求正方形區(qū)域的邊長；(2)在實際建造時，從校園美觀和實用的角度考慮，按圖②的方式進行改造，先在正方形區(qū)域一側建成寬的畫廊，再在余下地方建成寬度相等的兩條小道后，其余地方栽種鮮花，如果栽種鮮花區(qū)域的面積，求小道的寬度．考點3：數(shù)字問題【例3】已知兩個數(shù)的和等于12，積等于32，求這兩個數(shù)是多少．【變式3-1】（23-24九年級上·廣西來賓·期末）【閱讀與理解】已知整數(shù)a與b的平方之和可以表示為，現(xiàn)有兩個連續(xù)的正整數(shù)：(1)若這兩個連續(xù)的正整數(shù)中，較小的數(shù)是3，求它們的平方之和是多少？(2)若這兩個連續(xù)正整數(shù)的平方之和是41，求這兩個正整數(shù)分別是多少？【變式3-2】（23-24九年級上·山西臨汾·階段練習）一個兩位數(shù)，個位數(shù)字比十位數(shù)字大4，把這個數(shù)的個位數(shù)字和十位數(shù)字對調(diào)后，得到新的兩位數(shù)，原兩位數(shù)與其十位數(shù)字的乘積加上10正好等于新的兩位數(shù)，求原來的兩位數(shù)．【變式3-3】．（22-23九年級上·廣東佛山·階段練習）年7月1日是建黨周年紀念日，在本月日歷表上可以用一個方框圈出4個數(shù)（如圖所示），若圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為，求這個最小數(shù)（請用方程知識解答）．考點4：利潤（銷售）問題【例4】（23-24九年級上·云南楚雄·期末）網(wǎng)絡銷售已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式，某果園在網(wǎng)絡平臺上直播銷售獼猴桃．已知該獼猴桃的成本為5元/，銷售價格不高于14元/，且每售賣需向網(wǎng)絡平臺支付1元的相關費用．該果園經(jīng)過一段時間的直播銷售發(fā)現(xiàn)，每日銷售量與銷售價格x（元/）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關系．(1)求y與x的函數(shù)解析式．(2)當獼猴桃的銷售價格定為多少元/時，銷售這種獼猴桃的日利潤恰好為900元？【變式4-1】．（23-24九年級上·陜西咸陽·期中）為滿足市場需求，新生活超市在端午節(jié)前夕購進價格為3元/個的某品牌粽子，根據(jù)市場預測，該品牌粽子每個售價4元時，每天能出售500個，并且售價每上漲元，其銷售量將減少10個，為了維護消費者利益，物價部門規(guī)定，該品牌粽子售價不能超過進價的，請你利用所學知識幫助超市給該品牌粽子定價，使超市每天的銷售利潤為800元．【變式4-2】（23-24九年級上·江蘇南京·階段練習）第屆亞運會于月日在杭州盛大開幕，亞運會吉祥物“江南憶”由三只靈動的機器人組成．某電商在對一款成本價為元的亞運會吉祥物進行直播銷售，如果按每件元銷售，每天可賣出件．通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件售價每降低元，日銷售量增加件．如果日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款亞運會吉祥物造型商品，每件售價應定為多少元？【變式4-3】（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）某水果店以每千克2元的價格購進某種水果，然后以每千克4元的價格出售，每天可銷售100千克．經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種水果每千克的售價每降低0.1元，每天可多售出20千克．為了保證每天至少售出260千克該種水果，水果店店主決定降價銷售．(1)若將該種水果每千克的售價降價x元，則每天的銷售量是千克（用含x的代數(shù)式表示）；(2)若銷售這種水果要想每天盈利300元，則應將每千克的售價降低多少元？考點5：傳播問題【例5】（23-24九年級上·天津·階段練習）某校要組織一次足球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都進行一場比賽），共要比賽45場．求有多少個隊參加比賽？【變式5-1】．（23-24九年級上·廣東清遠·期末）某教育局組織教職工男子籃球比賽．(1)本次比賽采用單循環(huán)賽制（參賽的每兩支隊之間要比賽一場），共安排了28場比賽，問：有多少支隊參加比賽?(2)在比賽場地邊，東南西北四個角落分別劃分一個大小一樣的正方形觀眾席，已知觀眾席的總面積是400平方米，求每個正方形的邊長．【變式5-2】．（23-24九年級上·廣東惠州·期末）今年秋冬季是支原體肺炎的感染高發(fā)期，如果外出時能夠戴上口罩、做好防護，可以有效遏制支原體肺炎病毒的傳染，現(xiàn)在，有一個人患了支原體肺炎，經(jīng)過兩輪傳染后共有49人患了支原體肺炎(假設每個人每輪傳染的人數(shù)同樣多)，求每輪傳染巾平均一個人傳染了幾個人？【變式5-3】．（23-24九年級上·安徽阜陽·期末）冬春季是傳染病高發(fā)季節(jié)，據(jù)統(tǒng)計，去年冬春之交，有一人患了流感，在沒有采取醫(yī)療手段的情況下，經(jīng)過兩輪傳染后共有64人患流感．(1)求每輪傳染中平均一個人傳染了多少人？(2)若不及時控制，則第三輪感染后，患流感的共有多少人？考點6：行程問題【例6】（23-24九年級上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿著一條直線且加速度不變的運動，叫做勻變速直線運動．在此運動過程中，每個時間段的平均速度為初速度和末速度的算術平均數(shù)，路程等于時間與平均速度的乘積．若一個小球以5米/秒的速度開始向前滾動，并且均勻減速，4秒后小球停止運動．(1)小球的滾動速度平均每秒減少多少？(2)小球滾動5米用了多少秒？（精確到0.1，，）【變式6-1】.（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）小明在平整的草地上練習帶球跑，他將球沿直線踢出后隨即跟著球的方向跑去，追上球后，又將球踢出……球在草地上滾動時，速度變化情況相同，小明速度達到6m/s后保持勻速運動．下圖記錄了小明的速度以及球的速度隨時間的變化而變化的情況，小明在4s時第一次追上球．（提示：當速度均勻變化時，平均速度，距離）(1)當時，求關于t的函數(shù)關系式；(2)求圖中a的值；(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬間增加6m/s，球運動方向不變，當小明帶球跑完200m，寫出小明踢球次數(shù)共有____次，并簡要說明理由．【變式6-2】（2023·四川成都·成都實外?？家荒＃榍袑嵧七M廣大青少年學生走向操場、走進大自然、走到陽光下，積極參加體育鍛煉，陽光體育長跑是如今學校以及當代年輕人選擇最多的運動．學生堅持長跑，不僅能夠幫助身體健康，還能夠收獲身心的愉悅．周末，小明和小齊相約一起去天府綠道跑步．若兩人同時從地出發(fā)，勻速跑向距離處的地，小明的跑步速度是小齊跑步速度的1.2倍，那么小明比小齊早5分鐘到達地．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)小明每分鐘跑多少米？(2)若從地到達地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進到地（整個過程不休息）．據(jù)了解，從他跑步開始，前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從地到地鍛煉共用多少分鐘．【變式6-3】（2023春·重慶云陽·九年級校聯(lián)考期中）周末，小明和小紅約著一起去公園跑步鍛煉身體若兩人同時從A地出發(fā)，勻速跑向距離處的B地，小明的跑步速度是小紅跑步速度的1.2倍，那么小明比小紅早5分鐘到達B地．(1)求小明、小紅的跑步速度；(2)若從A地到達B地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進到C地（整個過程不休息），據(jù)了解，在他從跑步開始前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從A地到C地鍛煉共用多少分鐘．考點7：動態(tài)幾何問題【例7】（23-24九年級上·山西臨汾·階段練習）如圖，在直角中，，，，現(xiàn)有動點從點出發(fā)，沿射線運動，速度為，動點從點A出發(fā)，沿線段運動，速度為，到點時停止運動，它們同時出發(fā)，設運動時間為秒.

(1)當時，求的面積.(2)多少秒時，的面積為？【變式7-1】（2023·全國·九年級專題練習）如圖所示，在矩形中，，，點P從點A出發(fā)沿以每秒4個單位長度的速度向點B運動，同時點Q從點B出發(fā)沿以每秒2個單位長度的速度向點C運動，點P到達終點后，P、Q兩點同時停止運動．（1）當秒時，線段__．（2）當__秒時，的面積是24．【變式7-2】．（23-24九年級上·貴州貴陽·期末）如圖，在中，，，，動點P從點C出發(fā)，沿方向運動，動點Q同時從點B出發(fā)，沿方向運動，如果點P，Q的運動速度均為．(1)運動幾秒時，點P，Q相距？(2)的面積能等于嗎？為什么？【變式7-3】．（23-24九年級上·吉林·期末）如圖，矩形紙片，，，動點，分別從點同時出發(fā)，均以的速度，點沿方向，到終點停止運動：點沿方向，到終點停止運動，連接，將矩形在左下方的部分紙片沿折疊得到如圖，設點運動的時間為，重疊部分圖形的面積為．(1)當點落到邊上時，求的值；(2)求與的函數(shù)關系式，并寫出的取值范圍；(3)當時，若以為腰的等腰三角形，直接寫出的值．考點8：規(guī)律探究問題【例8】（23-24九年級上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習）如圖是由同樣大小的圓按一定規(guī)律排列所組成的，其中第1個圖形中一共有4個圓，第2個圖形中一共有8個圓，第3個圖形中一共有14個圓，第4個圖形中一共有22個圓．……按此規(guī)律排列下去，現(xiàn)已知第n個圖形中圓的個數(shù)是134個，則(

)．

A．9 B．10 C．11 D．12【變式8-1】．（23-24九年級上·湖南常德·期中）觀察思考結合圖案中“★”和“◎”的排列方式及規(guī)律，則第個圖案中“★”的個數(shù)比“◎”的個數(shù)的3倍少35個．【變式8-2】（23-24九年級上·安徽蕪湖·階段練習）如圖是用棋子擺成的圖案

根據(jù)圖中棋子的排列規(guī)律解決下列問題：(1)第4個圖形中有__________顆棋子，第個圖形中有__________顆棋子；(2)請求出第幾個圖形中棋子是274顆．【變式8-3】（23-24九年級上·遼寧鞍山·階段練習）【問題提出】：某校要舉辦足球賽，若有5支球隊進行單循環(huán)比賽（即全部比賽過程中任何一隊都要分別與其他各隊比賽一場且只比賽一場），則該校一共要安排多少場比賽？【構建模型】：生活中的許多實際問題，往往需要構建相應的數(shù)學模型，利用模型的思想來解決問題．為解決上述問題，我們構建如下數(shù)學模型：如圖①，我們可以在平面內(nèi)畫出5個點（任意3個點都不在同一條直線上），其中每個點各代表一支足球隊，兩支球隊之間比賽一場就用一條線段把他們連接起來，由于每支球隊都要與其他各隊比賽一場，即每個點與另外4個點都可連成一條線段，這樣一共連成條線段，而每兩個點之間的線段都重復計算了一次，實際只有10條線段，所以該校一共要安排10場比賽．(1)若學校有6支足球隊進行單循環(huán)比賽，借助圖②，我們可知該校一共要安排_______場比賽；根據(jù)以上規(guī)律，若學校有n支足球隊進行單循環(huán)比賽，則該校一共要安排_______場比賽；(2)實際應用：往返于青島和濟南的同一輛高速列車，中途經(jīng)青島北站、濰坊、青州、淄博4個車站（每種車票票面都印有上車站名稱與下車站名稱），那么在這段線路上往返行車，要準備車票的種數(shù)為_______種；(3)書本習題變式：一個凸多邊形共有14條對角線，它是幾邊形？是否存在有33條對角線的凸多邊形？如果存在，它是幾邊形？如果不存在，說明得出結論的道理．易錯點1：建立方程模型時，分類討論不全面導致錯誤【例9】.如圖，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從A開始沿AB邊向點B以1厘米/秒的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2厘米/秒的速度移動，當點P到達B點或點Q到達C點時，兩點停止移動，如果P、Q分別是從A、B同時出發(fā)，t秒鐘后．

（1）求出△PBQ的面積；

（2）當△PBQ的面積等于8平方厘米時，求t的值；

（3）是否存在△PBQ的面積等于10平方厘米，若存在，求出t的值，若不存在，說明理由．AABCDPQ易錯點2：忽略所求方程的根是否符合實際問題的要求【例10】如圖，將一塊長50厘米，寬40厘米的鐵皮剪去四個正方形的角，就可以折成一個長方形的無蓋盒子，如果盒子的底面積為600平方厘米，求盒子的高度.一、單選題1．（23-24九年級上·海南省直轄縣級單位·期末）一個兩位數(shù)等于它的個位數(shù)的平方，且個位數(shù)字比十位數(shù)字大，則這個兩位數(shù)為（

）A．25 B．36 C．25或36 D．或2．（23-24九年級上·四川達州·階段練習）如圖，學校課外生物小組的試驗園地的形狀是長35米、寬20米的矩形，為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設小道的寬為米，則根據(jù)題意，列方程為（

）A． B．C． D．3．（23-24九年級上·江蘇無錫·期末）某農(nóng)家前年水蜜桃畝產(chǎn)量為900千克，今年的畝產(chǎn)量為1200千克．設從前年到今年平均增長率都為x，則可列方程（

）A． B．C． D．4．（23-24九年級上·云南昆明·期末）2023年10月8日，杭州亞運會乒乓球比賽全部結束，國乒攬獲除女雙項目外的6塊金牌，展現(xiàn)了我國乒乓球隊員強大的實力，某小組賽采用單循環(huán)制（每兩隊之間都進行一場比賽），比賽總場數(shù)為場．若設參賽隊伍有支，則可列方程為（

）A． B．C． D．5．（23-24九年級上·湖北武漢·期末）某人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有人患了流感．設每一輪傳染中平均每人傳染了人，則正確的方程是（

）A． B． C． D．6．（23-24九年級上·廣西桂林·期末）如圖，在中，，，，點沿邊從點出發(fā)向終點以的速度移動；同時點沿邊從點出發(fā)向終點以的速度移動，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止移動．當?shù)拿娣e為時，點運動的時間是(

)A． B．或 C． D．或二、填空題7．（23-24九年級上·貴州黔東南·階段練習）如圖，利用一面墻（墻長度不超過45m），另三邊用80m長的籬笆圍一個面積為的矩形場地，則矩形的長是，寬是．8．（23-24九年級上·甘肅張掖·階段練習）老舊小區(qū)改造是重要的民生工程，與人民群眾的生活息息相關．甘州區(qū)開展老舊小區(qū)改造，2020年投入此項工程的專項資金為1000萬元，2022年投入資金達到1440萬元．設該區(qū)這兩年投入老舊小區(qū)改適工程專項資金的年平均增長率為x，根據(jù)題意，可列方程．9．（23-24九年級上·江西上饒·期末）《九章算術》中有一題：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同從同一地點出發(fā)，甲的速度為，乙的速度為，乙一直向東走，甲先向南走步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．甲、乙各走了多少步？”若設甲乙兩人相遇的時間為，則可列方程是．三、解答題10．（23-24九年級上·河南鄭州·階段練習）冬季來臨，某超市以每件35元的價格購進某款棉帽，并以每件58的價格出售．經(jīng)統(tǒng)計，10月份的銷售量為256只，12月份的銷售量為400只．(1)求該款棉帽10月份到12月份銷售量的月平均增長率；(2)經(jīng)市場預測，下個月份的銷售量將與12月份持平，現(xiàn)超市為了減少庫存，采用降價促銷方式，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該棉帽每降價1元，月銷售量就會增加20只．當該棉帽售價為多少元時，月銷售利潤達8400元？11．（23-24九年級上·江蘇南京·階段練習）等腰直角中，，動點從點出發(fā)，沿向移動．過點作平行于的直線與分別交于．當?shù)拿娣e等于時，求的長．12．（23-24九年級上·重慶開州·期末）城開高速公路即重慶市城口縣至開州區(qū)的高速公路，是國家高速銀百高速公路（銀川至百色）的一段，線路全長公里，甲、乙兩工程隊共同承建該高速公路某隧道工程，隧道總長2100米，甲、乙分別從隧道兩端向中間施工，計劃每天各施工6米．因地質(zhì)結構不同，兩支隊伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一樣．甲每合格完成1米隧道施工成本為8萬元；乙每合格完成1米隧道施工成本為9萬元．(1)若工程結算時乙總施工成本不低于甲總施工成本的，求甲最多施工多少米？(2)實際施工開始后地質(zhì)情況比預估更復雜，甲乙兩隊每日完成量和成本都發(fā)生變化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m萬元時，則每天可多挖米，乙在施工成本不變的情況下，比計劃每天少挖米，若最終每天實際總成本比計劃多萬元，求的值．

第06講實際問題與一元二次方程（2個知識點+8個考點+易錯分析）模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1.會分析實際問題中蘊含的數(shù)量關系,找出等量關系,列出一元二次方程解決實際問題,并根據(jù)具體問題的實際意義,取符合實際意義的解作答2.經(jīng)歷分析和解決實際問題的過程,體會一元二次方程的數(shù)學建模作用3.體會數(shù)學來源于實踐,反過來又作用于實踐,增強應用數(shù)學的意識知識點1：列一元二次方程解應用題1.利用方程解決實際問題的關鍵是尋找等量關系.2.解決應用題的一般步驟：審(審題目，分清已知量、未知量、等量關系等)；設(設未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關的量)；列(根據(jù)題目中的等量關系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；驗（檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）答(寫出答案，切忌答非所問).要點詮釋：列方程解實際問題的三個重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問題中的等量關系；三是正確求解方程并檢驗解的合理性.知識點2：常見相關問題的數(shù)量關系及表示方法題型1：增長率問題列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應在原數(shù)的基礎上增長或降低兩次.(1)增長率問題：平均增長率公式為(a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量.)(2)降低率問題：平均降低率公式為(a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)題型2：面積問題此類問題屬于幾何圖形的應用問題，解決問題的關鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關系并列出方程.題型3：數(shù)字問題(1)任何一個多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個位、十位、百位、千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項式的形式表示了一個多位數(shù).如：一個三位數(shù)，個位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.(2)幾個連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個整數(shù)相差1.如：三個連續(xù)整數(shù)，設中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-1，x+1.幾個連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.如：三個連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-2，x+2.題型4：利潤（銷售）問題利潤(銷售)問題利潤(銷售)問題中常用的等量關系：利潤=售價-進價(成本)總利潤=每件的利潤×總件數(shù)題型6：傳播問題比賽問題：解決此類問題的關鍵是分清單循環(huán)和雙循環(huán)

．傳播問題：，a表示傳染前的人數(shù)，x表示每輪每人傳染的人數(shù)，n表示傳染的輪數(shù)或天數(shù)，A表示最終的人數(shù)．考點1：增長率問題【例1】（23-24九年級上·江蘇泰州·期末）我國通過藥品集中采購，大大減輕了群眾的醫(yī)藥負擔．如果某種藥品經(jīng)過兩次降價，藥價從每盒元下調(diào)至元，求平均每次降價的百分率是多少？【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的應用，正確理解題中的數(shù)量關系是解答本題的關鍵．設平均每次降價的百分率是，藥價從每盒元下調(diào)經(jīng)過兩次降價后的價格可表示為元，由此可列方程并求解驗證，即得答案．【詳解】解：設平均每次降價的百分率是，則，解得，（舍去），答：平均每次降價的百分率是．【變式1-1】（23-24九年級上·陜西西安·期末）為了讓學生養(yǎng)成熱愛讀書的習慣，陜西某學校抽出一部分資金用于購買書籍.已知2021年該學校用于購買圖書的費用為3000元，2023年用于購買圖書的費用是3630元，求該校用于買書的資金的年平均增長率.【答案】【分析】設年該校用于買書資金的年平均增長率為，根據(jù)年買書資金年買書資金建立方程，解方程即可得．本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確建立方程是解題關鍵．【詳解】解：設年該校用于買書資金的年平均增長率為，由題意得：，解得或（不符合題意，舍去），答：該校用于買書的資金的年平均增長率為．【變式1-2】（2024·河南南陽·模擬預測）目前以等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展．某市2020年底有用戶2萬戶，計劃到2022年底，全市用戶數(shù)累計達到8.72萬戶．(1)求全市用戶數(shù)的年平均增長率．(2)按照這個增長率，預計2023年底全市用戶數(shù)累計達到多少萬戶？【答案】(1)(2)萬戶【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．（1）設全市用戶數(shù)年平均增長率為，根據(jù)該市2020年底用戶的數(shù)量及計劃到2022年底全市用戶數(shù)累計達到8.72萬戶，即可得出關于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）根據(jù)2023年底全市用戶累計數(shù)量年底全市用戶累計數(shù)量加上三年所增長的用戶累，即可求出結論．【詳解】（1）解：設全市用戶數(shù)的年平均增長率為x，根據(jù)題意得，整理得，解得（不合題意，舍去）答：全市用戶數(shù)的年平均增長率為；（2）解：（萬戶）答：預計年底全市用戶數(shù)累計達到萬戶．【變式1-3】（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）某種植戶2016年投資20萬元種植中藥材，到2018年3年共累計投資95萬元，若在這兩年內(nèi)每年投資的增長率相同．(1)求該種植戶每年投資的增長率；(2)按這樣的投資增長率，請你預測2019年該種植戶投資多少萬元種植中藥材．【答案】(1)(2)67.5萬元【分析】主要考查了一元二次方程的實際應用，解題的關鍵是掌握增長率問題中的一般公式為，其中為共增長了幾年，為第一年的原始數(shù)據(jù)，是增長率．（1）設這兩年該種植戶每年投資的年平均增長率為．根據(jù)題意2017年種植投資為萬元，2018年種植投資為萬元．根據(jù)題意得方程求解；（2）用種植戶每年投資的增長率即可預測2019年該種植戶投資額．【詳解】（1）解：設這兩年該種植戶每年投資的年平均增長率為，則2017年種植投資為萬元，2018年種植投資為萬元，根題意得：，解得：（舍去）或．該種植戶每年投資的增長率為；（2）解：2019年該種植戶投資額為：（萬元）．答：預測2019年該種植戶投資67.5萬元種植中藥材．考點2：面積問題【例2】如圖所示，要在米寬，米長的矩形耕地上修筑同樣寬的三條小路（兩條縱向，一條橫向，橫向與縱向互相垂直），把耕地分成大小不等的六塊花田，要使花田面積為，則道路應修多寬？【答案】1米【分析】本題考查了一元二次方程的應用；設道路應修寬，根據(jù)花田面積為，建立方程，解方程結合題意取舍的值，即可求解．【詳解】解：設道路應修寬，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：（不合題意，舍去），答：道路應修寬．【變式2-1】（23-24九年級上·遼寧沈陽·期末）如圖，借助一面墻（最長可利用）圍成一個矩形花園，在墻上要預留寬的入口（如圖中所示），入口不用砌墻，假設有砌長墻的材料且恰好用完，設的長為．(1)填空：砌段墻時，需______長的砌墻材料（用含x的代數(shù)式表示）；(2)當矩形花園的面積為時，墻的長為多少米？【答案】(1)(2)米【分析】本題考查了一元二次方程的應用，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關鍵．（1）根據(jù)題意：砌段墻用料為米．（2）設矩形花園的長為米，則其段墻用料為米，依題意列方程求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意：的長為，因為入口不用砌墻，所以砌段墻用料為米，∴段墻用料為故答案為：．（2）由題意：，，，，∵墻最長可利用，∴，答：面積為時，墻的長為米．【變式2-2】．（23-24九年級上·四川宜賓·期末）近年來，宜賓市聚焦打造鄉(xiāng)村振興，某農(nóng)戶要建一個長方形養(yǎng)雞場，雞場的邊靠墻（墻長度等于），另外三邊用木欄圍成，木欄總長，設雞場邊的長為，雞場面積為．

(1)養(yǎng)雞場面積__________（用含x的代數(shù)式表示）；(2)當雞場面積為時，求邊的長；(3)若農(nóng)戶想圍成的雞場，可以實現(xiàn)嗎？說明理由．【答案】(1)(2)(3)不能實現(xiàn)，理由見解析【分析】本題考查了列代數(shù)式及一元二次方程的應用，正確理解題中的數(shù)量關系是解答本題的關鍵．（1）先求出的長，根據(jù)長方形的面積求解即可；（2）根據(jù)雞場面積為，列一元二次方程并求解，即得答案；（3）根據(jù)雞場面積為，列一元二次方程并求解，即可判斷答案．【詳解】（1），，；故答案為：．（2）由題意得，解得，，又，舍去，邊的長為；（3）不能實現(xiàn)，理由如下：令，化簡得，，該方程無實數(shù)解，不能實現(xiàn)．【變式2-3】．（23-24九年級上·陜西商洛·期末）勞動是財富的源泉，也是幸福的源泉．某中學對勞動教育進行積極探索和實踐，創(chuàng)建學生勞動教育基地，該中學有面積為的矩形空地，計劃在矩形空地上一邊增加，另一邊增加構成一個正方形區(qū)域．

(1)求正方形區(qū)域的邊長；(2)在實際建造時，從校園美觀和實用的角度考慮，按圖②的方式進行改造，先在正方形區(qū)域一側建成寬的畫廊，再在余下地方建成寬度相等的兩條小道后，其余地方栽種鮮花，如果栽種鮮花區(qū)域的面積，求小道的寬度．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了一元二次方程的應用．找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．（1）設正方形區(qū)域的邊長為，則矩形空地長為，寬為，依題意得，，計算求出滿足要求的解即可；（2）設小道的寬度為，則栽種鮮花的區(qū)域可合成長，寬的矩形，依題意得，，計算求出滿足要求的解即可．【詳解】（1）解：設正方形區(qū)域的邊長為，則矩形空地長為，寬為，依題意得，，整理得：，∴，解得：（舍去），∴正方形區(qū)域的邊長為；（2）解：設小道的寬度為，則栽種鮮花的區(qū)域可合成長，寬的矩形，依題意得，，整理得，，∴，解得：（舍去），∴小道的寬度為．考點3：數(shù)字問題【例3】已知兩個數(shù)的和等于12，積等于32，求這兩個數(shù)是多少．【解析】設其中一個數(shù)為x，那么另一個數(shù)可表示為(12-x)，依題意得x(12-x)＝32，整理得x2-12x+32＝0解得x1＝4，x2＝8，當x＝4時12-x＝8；當x＝8時12-x＝4．所以這兩個數(shù)是4和8．【總結升華】數(shù)的和、差、倍、分等關系，如果設一個數(shù)為x，那么另一個數(shù)便可以用x表示出來，然后根據(jù)題目條件建立方程求解．【變式3-1】（23-24九年級上·廣西來賓·期末）【閱讀與理解】已知整數(shù)a與b的平方之和可以表示為，現(xiàn)有兩個連續(xù)的正整數(shù)：(1)若這兩個連續(xù)的正整數(shù)中，較小的數(shù)是3，求它們的平方之和是多少？(2)若這兩個連續(xù)正整數(shù)的平方之和是41，求這兩個正整數(shù)分別是多少？【答案】(1)(2)這兩個正整數(shù)分別是4和5【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．（1）首先求出這兩個連續(xù)的正整數(shù)中較大的數(shù)是4，然后列式求解即可；（2）設較小的整數(shù)是，則較大的整數(shù)是，根據(jù)題意列出方程，然后解方程即可．【詳解】（1）∵這兩個連續(xù)的正整數(shù)中，較小的數(shù)是3，∴較大的數(shù)是4，∴它們的平方之和為；（2）設較小的整數(shù)是，則較大的整數(shù)是，由題可得：，方程可化為：，把方程左邊因式分解，得：，解得：，（舍去），答：這兩個正整數(shù)分別是4和5．【變式3-2】（23-24九年級上·山西臨汾·階段練習）一個兩位數(shù)，個位數(shù)字比十位數(shù)字大4，把這個數(shù)的個位數(shù)字和十位數(shù)字對調(diào)后，得到新的兩位數(shù)，原兩位數(shù)與其十位數(shù)字的乘積加上10正好等于新的兩位數(shù)，求原來的兩位數(shù)．【答案】原來的兩位數(shù)為26．【分析】設原來的兩位數(shù)十位上的數(shù)字為，根據(jù)“原兩位數(shù)與其十位數(shù)字的乘積加上10正好等于新的兩位數(shù)”列出一元二次方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：設原來的兩位數(shù)的十位數(shù)字為，，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去），，答：原來的兩位數(shù)為26．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的實際運用，讀懂題意，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式3-3】．（22-23九年級上·廣東佛山·階段練習）年7月1日是建黨周年紀念日，在本月日歷表上可以用一個方框圈出4個數(shù)（如圖所示），若圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為，求這個最小數(shù)（請用方程知識解答）．【答案】4【分析】設圈出的四個數(shù)中最小數(shù)為x，則最大的數(shù)為，根據(jù)圈出的四個數(shù)中最小數(shù)與最大數(shù)的積為，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出x的值．【詳解】解：設圈出的四個數(shù)中最小數(shù)為x，則最大的數(shù)為，根據(jù)題意得：，得，解得，(不合題意舍去)，故這個最小數(shù)是4．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．考點4：利潤（銷售）問題【例4】（23-24九年級上·云南楚雄·期末）網(wǎng)絡銷售已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式，某果園在網(wǎng)絡平臺上直播銷售獼猴桃．已知該獼猴桃的成本為5元/，銷售價格不高于14元/，且每售賣需向網(wǎng)絡平臺支付1元的相關費用．該果園經(jīng)過一段時間的直播銷售發(fā)現(xiàn)，每日銷售量與銷售價格x（元/）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關系．(1)求y與x的函數(shù)解析式．(2)當獼猴桃的銷售價格定為多少元/時，銷售這種獼猴桃的日利潤恰好為900元？【答案】(1)(2)元/【分析】本題考查了一元二次方程的應用以及一次函數(shù)的應用．（1）設與的函數(shù)解析式為，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法，即可求出與的函數(shù)解析式；（2）利用總利潤每千克的銷售利潤日銷售量，可列出關于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論.【詳解】（1）解：設與的函數(shù)解析式為，將代入得:，解得：，∴與的函數(shù)解析式為；（2）根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，又∵銷售價格不高于元/，∴．答：當銷售單價定為元/時，銷售這種獼猴桃的日利潤恰好為元．【變式4-1】．（23-24九年級上·陜西咸陽·期中）為滿足市場需求，新生活超市在端午節(jié)前夕購進價格為3元/個的某品牌粽子，根據(jù)市場預測，該品牌粽子每個售價4元時，每天能出售500個，并且售價每上漲元，其銷售量將減少10個，為了維護消費者利益，物價部門規(guī)定，該品牌粽子售價不能超過進價的，請你利用所學知識幫助超市給該品牌粽子定價，使超市每天的銷售利潤為800元．【答案】每個粽子的定價為5元時，每天的利潤為800元．【分析】本題考查了一元二次方程在實際問題中的應用，解題的關鍵是理清題中的數(shù)量關系正確列式．設每個粽子的定價為元時，由于每天的利潤為800元，根據(jù)利潤（定價進價）銷售量，列出方程求解即可．【詳解】解：設每個粽子的定價為x元時，每天的利潤為800元．根據(jù)題意，得，解得，，售價不能超過進價的2倍，．即，，答：每個粽子的定價為5元時，每天的利潤為800元．【變式4-2】（23-24九年級上·江蘇南京·階段練習）第屆亞運會于月日在杭州盛大開幕，亞運會吉祥物“江南憶”由三只靈動的機器人組成．某電商在對一款成本價為元的亞運會吉祥物進行直播銷售，如果按每件元銷售，每天可賣出件．通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件售價每降低元，日銷售量增加件．如果日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款亞運會吉祥物造型商品，每件售價應定為多少元？【答案】元．【分析】本題考查了一元二次方程的應用，設每件售價應定為元，根據(jù)題意，可列得方程，解方程即可求解，根據(jù)題意，找到等量關系，列出方程是解題的關鍵．【詳解】解：設每件售價應定為元，根據(jù)題意，得，整理得，，解這個方程，得，，商家想盡快銷售完該款亞運會吉祥物造型商品，不合題意，舍去，∴，答：每件售價應定為元．【變式4-3】（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）某水果店以每千克2元的價格購進某種水果，然后以每千克4元的價格出售，每天可銷售100千克．經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種水果每千克的售價每降低0.1元，每天可多售出20千克．為了保證每天至少售出260千克該種水果，水果店店主決定降價銷售．(1)若將該種水果每千克的售價降價x元，則每天的銷售量是千克（用含x的代數(shù)式表示）；(2)若銷售這種水果要想每天盈利300元，則應將每千克的售價降低多少元？【答案】(1)(2)1元【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．注意：（1）問審題不清，如沒有找到降價的金額和水果銷售量之間的關系，導致出錯；第（2）問忽視題設中每天至少售出260千克這個限制條件，導致出錯．（1）設水果店將每千克的售價降低元，根據(jù)每千克的售價每降低0.1元，每天可多售出20千克，列出代數(shù)式即可；（2）利用總利潤每千克的銷售利潤每天的銷售量，即可得出關于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結合每天至少售出260千克，即可求解．【詳解】（1）解：設水果店將每千克的售價降低元，所以每天可售出(千克)．（2）解：根據(jù)題意，得，整理得：，解得：，，當時，，不符合題意，舍去；當時，，符合題意．答：水果店需將每千克的售價降低1元．考點5：傳播問題【例5】（23-24九年級上·天津·階段練習）某校要組織一次足球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都進行一場比賽），共要比賽45場．求有多少個隊參加比賽？【答案】10個隊【分析】設這次有個隊參加比賽，由于賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），則此次比賽的總場數(shù)為：場．根據(jù)題意可知：此次比賽的總場數(shù)場，依此等量關系列出方程求解即可．【詳解】解：設這次有個隊參加比賽，則此次比賽的總場數(shù)為場，根據(jù)題意列出方程得：，解得：，（不合題意舍去），∴這次有10個隊參加比賽．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，關鍵在于理解清楚題意，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．需注意賽制是“單循環(huán)形式”，需使兩兩之間比賽的總場數(shù)除以2．【變式5-1】．（23-24九年級上·廣東清遠·期末）某教育局組織教職工男子籃球比賽．(1)本次比賽采用單循環(huán)賽制（參賽的每兩支隊之間要比賽一場），共安排了28場比賽，問：有多少支隊參加比賽?(2)在比賽場地邊，東南西北四個角落分別劃分一個大小一樣的正方形觀眾席，已知觀眾席的總面積是400平方米，求每個正方形的邊長．【答案】(1)有8支隊參加比賽(2)每個正方形的邊長為米【分析】本題考查了一元二次方程的應用，算術平方根的意義；（1）設有支隊參加比賽，根據(jù)采用單循環(huán)賽制，共安排了28場比賽列方程求解即可；（2）先求出每個正方形的面積，再根據(jù)算術平方根的意義求出每個正方形的邊長．【詳解】（1）解：設有支隊參加比賽，由題意得：，解得：，（舍去），答：有8支隊參加比賽；（2）每個正方形的面積是平方米，則每個正方形的邊長為米．【變式5-2】．（23-24九年級上·廣東惠州·期末）今年秋冬季是支原體肺炎的感染高發(fā)期，如果外出時能夠戴上口罩、做好防護，可以有效遏制支原體肺炎病毒的傳染，現(xiàn)在，有一個人患了支原體肺炎，經(jīng)過兩輪傳染后共有49人患了支原體肺炎(假設每個人每輪傳染的人數(shù)同樣多)，求每輪傳染巾平均一個人傳染了幾個人？【答案】【分析】本題主要考查一元二次方程，解題的關鍵是找到等量關系，列方程計算．【詳解】解：設每輪傳染巾平均一個人傳染了個人，列方程得：，解得：，（舍去），答：每輪傳染巾平均一個人傳染了個人．【變式5-3】．（23-24九年級上·安徽阜陽·期末）冬春季是傳染病高發(fā)季節(jié)，據(jù)統(tǒng)計，去年冬春之交，有一人患了流感，在沒有采取醫(yī)療手段的情況下，經(jīng)過兩輪傳染后共有64人患流感．(1)求每輪傳染中平均一個人傳染了多少人？(2)若不及時控制，則第三輪感染后，患流感的共有多少人？【答案】(1)7(2)512【分析】本題考查了一元二次方程的應用，先求出每輪傳染中平均每人傳染了多少人數(shù)是解題關鍵．（1）設每輪傳染中平均每人傳染了人，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后共有64人患了流感，可求出；（2）用第二輪每輪傳染中平均每人傳染的人數(shù)，可求出第三輪過后，患流感的人數(shù)．【詳解】（1）設每輪傳染中平均每人傳染了人，或(舍去)．答：每輪傳染中平均一個人傳染了7個人；（2）(人．答：第三輪感染后，患流感的共有512人．考點6：行程問題【例6】（23-24九年級上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿著一條直線且加速度不變的運動，叫做勻變速直線運動．在此運動過程中，每個時間段的平均速度為初速度和末速度的算術平均數(shù)，路程等于時間與平均速度的乘積．若一個小球以5米/秒的速度開始向前滾動，并且均勻減速，4秒后小球停止運動．(1)小球的滾動速度平均每秒減少多少？(2)小球滾動5米用了多少秒？（精確到0.1，，）【答案】(1)小球的滾動速度平均每秒減少(2)小球滾動約用了秒【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．（1）根據(jù)以的速度開始向前滾動，并且均勻減速，后小球停止運動列式計算即可；（2）設小球滾動約用了秒，由時間速度路程，列出一元二次方程，解方程即可．【詳解】（1）解：小球的滾動速度平均每秒減少，答：小球的滾動速度平均每秒減少．（2）解：設小球滾動約用了秒，此時速度為，由題意得：，整理得：，解得：或，當時，，不符題意，舍去，，答：小球滾動約用了秒．【變式6-1】.（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）小明在平整的草地上練習帶球跑，他將球沿直線踢出后隨即跟著球的方向跑去，追上球后，又將球踢出……球在草地上滾動時，速度變化情況相同，小明速度達到6m/s后保持勻速運動．下圖記錄了小明的速度以及球的速度隨時間的變化而變化的情況，小明在4s時第一次追上球．（提示：當速度均勻變化時，平均速度，距離）(1)當時，求關于t的函數(shù)關系式；(2)求圖中a的值；(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬間增加6m/s，球運動方向不變，當小明帶球跑完200m，寫出小明踢球次數(shù)共有____次，并簡要說明理由．【答案】(1)(2)(3)7，理由見解析【分析】（1）設關于t的函數(shù)關系式為，根據(jù)經(jīng)過點利用待定系數(shù)法即可得到答案；（2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度為，利用小明在4s時第一次追上球可得方程，解方程即可得到答案；（3）根據(jù)題意找到速度、時間、路程的變化規(guī)律，即可得到答案．【詳解】（1）解：設關于t的函數(shù)關系式為，把點代入得，，解得，∴關于t的函數(shù)關系式為；（2）解：對于球來說，，小明前a秒的平均速度為，a秒后速度為，由小明在4s時第一次追上球可得，，解得，即圖中a的值為；（3）小明第一次踢球已經(jīng)帶球跑了16米，還需要跑米，由（1）知，，假設每次踢球t從0開始計算，因為球在草地上滾動時，速度變化情況相同，則第二次踢球后變化規(guī)律為，，，則，，第二次踢后，則，（舍去），，此時又經(jīng)過了米，，第三次踢后，變化規(guī)律為，，，則，，第三次追上，則，（舍去），，此時又經(jīng)過了米，，又開始下一個循環(huán)，故第四次踢球所需時間為，經(jīng)過24米，故第五次踢球所需時間為，經(jīng)過48米，故第六次踢球所需時間為，經(jīng)過24米，故第七次踢球所需時間為，經(jīng)過48米，∵，，∴帶球走過200米，在第七次踢球時實現(xiàn)，故小明小明踢球次數(shù)共有七次，故答案為：7【點睛】此題考查了一元二次方程的應用、一次函數(shù)的應用、一元一次方程的應用，讀懂題意，準確計算是解題的關鍵．【變式6-2】（2023·四川成都·成都實外?？家荒＃榍袑嵧七M廣大青少年學生走向操場、走進大自然、走到陽光下，積極參加體育鍛煉，陽光體育長跑是如今學校以及當代年輕人選擇最多的運動．學生堅持長跑，不僅能夠幫助身體健康，還能夠收獲身心的愉悅．周末，小明和小齊相約一起去天府綠道跑步．若兩人同時從地出發(fā)，勻速跑向距離處的地，小明的跑步速度是小齊跑步速度的1.2倍，那么小明比小齊早5分鐘到達地．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)小明每分鐘跑多少米？(2)若從地到達地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進到地（整個過程不休息）．據(jù)了解，從他跑步開始，前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從地到地鍛煉共用多少分鐘．【答案】(1)480米(2)70分鐘【分析】（1）設小齊每分鐘跑米，則小明每分鐘跑米，根據(jù)題意建立分式方程，解方程即可得；（2）設小明從地到地鍛煉共用分鐘，再根據(jù)熱量的消耗規(guī)律建立方程，解方程即可得．【詳解】（1）解：設小齊每分鐘跑米，則小明每分鐘跑米，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，既是所列分式方程的解也符合題意，則，答：小明每分鐘跑480米．（2）解：設小明從地到地鍛煉共用分鐘，由題意得：，解得：，（不符合題意，舍去），答：小明從地到地鍛煉共用70分鐘．【點睛】本題考查了分式方程和一元二次方程的應用，找準等量關系，正確建立方程是解題關鍵．【變式6-3】（2023春·重慶云陽·九年級校聯(lián)考期中）周末，小明和小紅約著一起去公園跑步鍛煉身體若兩人同時從A地出發(fā)，勻速跑向距離處的B地，小明的跑步速度是小紅跑步速度的1.2倍，那么小明比小紅早5分鐘到達B地．(1)求小明、小紅的跑步速度；(2)若從A地到達B地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進到C地（整個過程不休息），據(jù)了解，在他從跑步開始前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從A地到C地鍛煉共用多少分鐘．【答案】(1)；(2)【分析】（1）分別設小紅和小明的速度，根據(jù)等量關系（小明比小紅早5分鐘到達B地）列出等量關系式，按照分式方程即可求解，求解后檢驗所求解是不是方程解．（2）先求出小明前30分鐘中的5分鐘是從B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的熱量列方程，最后求解．【詳解】（1）解：設小紅的速度為，則小明的速度為，依據(jù)題意列方程得，，，，經(jīng)檢驗，是原式方程的解．．小紅的速度為，小明的速度為．故答案為：；．（2）解：小明的速度為，小明從A地道B地需要的時間為：．小明在他從跑步開始前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，．設B地到C地的距離為，依據(jù)題意列方程得，，，，，或（舍去）．A地到C地所需要時間為：．故答案為：．【點睛】本題考查了分式方程的應用和一元二次方程的應用．解題的關鍵在于是否能根據(jù)題意列出等量關系式，解題的重點在于是否能了解小明的前30分鐘內(nèi)的最后5分鐘是屬于B地到C地時間．考點7：動態(tài)幾何問題【例7】（23-24九年級上·山西臨汾·階段練習）如圖，在直角中，，，，現(xiàn)有動點從點出發(fā)，沿射線運動，速度為，動點從點A出發(fā)，沿線段運動，速度為，到點時停止運動，它們同時出發(fā)，設運動時間為秒.

(1)當時，求的面積.(2)多少秒時，的面積為？【答案】(1)(2)或6或7秒時，的面積為【分析】（1）根據(jù)題意表示出、直接求解即可得到答案；（2）分，兩類討論列出方程求解即可得到答案；【詳解】（1）解：由題意可得，，，∴；（2）解：當時，，解得：，，不符合題意，舍去，當時，，解得：，，綜上：或6或7秒時，的面積為；【點睛】本題考查三角形動點問題及一元二次方程的應用，解題的關鍵化動為靜表示出相應的線段結合三角形面積公式求解．【變式7-1】（2023·全國·九年級專題練習）如圖所示，在矩形中，，，點P從點A出發(fā)沿以每秒4個單位長度的速度向點B運動，同時點Q從點B出發(fā)沿以每秒2個單位長度的速度向點C運動，點P到達終點后，P、Q兩點同時停止運動．（1）當秒時，線段__．（2）當__秒時，的面積是24．【答案】202或3/3或2【分析】（1）當秒時，根據(jù)題意可得，，再根據(jù)勾股定理即可求解．（2）設運動時間為秒，則，，根據(jù)的面積是24列出方程，求解即可．【詳解】解：（1）∵當秒時，，根據(jù)勾股定理得．故答案為：20．（2）設運動時間為秒，此時，，，∵的面積是24，∴，整理得，，解得：，∴當秒或3秒時，的面積是24．故答案為：2或3．【點睛】本題主要考查勾股定理、列代數(shù)式、一元二次方程的應用，根據(jù)題意找準數(shù)量關系，列出方程是解題關鍵．【變式7-2】．（23-24九年級上·貴州貴陽·期末）如圖，在中，，，，動點P從點C出發(fā)，沿方向運動，動點Q同時從點B出發(fā)，沿方向運動，如果點P，Q的運動速度均為．(1)運動幾秒時，點P，Q相距？(2)的面積能等于嗎？為什么？【答案】(1)運動秒或秒時，點P，Q相距(2)的面積不能等于．理由見解析【分析】本題主要考查了勾股定理，一元二次方程的應用：（1）設運動時間為，則，則，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；（2）根據(jù)三角形面積公式建立方程，看方程是否有解即可得到結論．【詳解】（1）解：設運動時間為，則，則．∵在中，，，∴，即：．解得：，．∴運動秒或秒時，點P，Q相距．（2）解：的面積不能等于．理由如下：當?shù)拿娣e等于時，則，∴，即：．∵．∴方程無實數(shù)解．∴的面積不能等于．【變式7-3】．（23-24九年級上·吉林·期末）如圖，矩形紙片，，，動點，分別從點同時出發(fā)，均以的速度，點沿方向，到終點停止運動：點沿方向，到終點停止運動，連接，將矩形在左下方的部分紙片沿折疊得到如圖，設點運動的時間為，重疊部分圖形的面積為．(1)當點落到邊上時，求的值；(2)求與的函數(shù)關系式，并寫出的取值范圍；(3)當時，若以為腰的等腰三角形，直接寫出的值．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】（）當點落到邊上時，則點與點重合，從而有，即可求出得值；（）分當時，當時，當時情況討論即可求解；（）當時（）時，（）時（）時，（），討論即可求解；此題考查了矩形的折疊與動點，勾股定理，解一元二次方程，熟練掌握以上知識的應用是解題的關鍵．【詳解】（1）當點落到邊上時，則點與點重合，∴，∴；（2）當時，如圖，，當時，如圖，，當時，如圖，，綜上可知：；（3）如圖，，（）時，即，整理得：，解得：（舍去），，（），即，無解，如圖，當，延長交于點，（）時，即，解得：，，以上解均不符合題意，（），即，整理得：，解得：（舍去），，綜上可知：或．考點8：規(guī)律探究問題【例8】（23-24九年級上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習）如圖是由同樣大小的圓按一定規(guī)律排列所組成的，其中第1個圖形中一共有4個圓，第2個圖形中一共有8個圓，第3個圖形中一共有14個圓，第4個圖形中一共有22個圓．……按此規(guī)律排列下去，現(xiàn)已知第n個圖形中圓的個數(shù)是134個，則(

)．

A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】根據(jù)前幾個圖形圓的個數(shù)，找出一般求出規(guī)律，得出第n個圖形中圓的個數(shù)，然后列出方程，解方程即可．【詳解】解：因為第1個圖形中一共有個圓，第2個圖形中一共有個圓，第3個圖形中一共有個圓，第4個圖形中一共有4×(4+1)+2=22個圓；可得第n個圖形中圓的個數(shù)是；，解得（舍），，故選：C．【點睛】本題主要考查了圖形規(guī)律探索，一元二次方程的應用，解題的關鍵是找出一般規(guī)律，列出方程．【變式8-1】．（23-24九年級上·湖南常德·期中）觀察思考結合圖案中“★”和“◎”的排列方式及規(guī)律，則第個圖案中“★”的個數(shù)比“◎”的個數(shù)的3倍少35個．【答案】7或10【分析】本題考查了規(guī)律探索，一元二次方程的應用，利用枚舉法，確定“★”的規(guī)律；再確定“◎”的規(guī)律，根據(jù)題意，列出方程解答即可．【詳解】根據(jù)題意，得第1個圖案中的個數(shù)為：1；第2個圖案中的個數(shù)為：；第3個圖案中的個數(shù)為：；…，所以第n個圖案中的個數(shù)為：．第1個圖案中的個數(shù)為：；第2個圖案中的個數(shù)為：；第3個圖案中的個數(shù)為：；…，所以第n個圖案中的個數(shù)為：．由題知，，解得或，故答案為：7或10．【變式8-2】（23-24九年級上·安徽蕪湖·階段練習）如圖是用棋子擺成的圖案

根據(jù)圖中棋子的排列規(guī)律解決下列問題：(1)第4個圖形中有__________顆棋子，第個圖形中有__________顆棋子；(2)請求出第幾個圖形中棋子是274顆．【答案】(1)22，(2)第16個圖形中的棋子是274個【分析】（1）觀察圖形發(fā)現(xiàn)圖形規(guī)律，然后利用規(guī)律寫出第4個和第個圖形的棋子數(shù)即可；（2）令，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：觀察圖形可得：第1個圖形有：顆棋子，第2個圖形有：顆棋子，第3個圖形有：顆棋子，第4個圖形有：顆棋子，第個圖形有：顆棋子，故答案為：22，；（2）解：令，解得：或（不符合題意，舍去），第16個圖形中的棋子是274個．【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律探索，一元二次方程的應用，解題的關鍵是觀察圖形得到第個圖形有：顆棋子，理解題意，正確得出一元二次方程．【變式8-3】（23-24九年級上·遼寧鞍山·階段練習）【問題提出】：某校要舉辦足球賽，若有5支球隊進行單循環(huán)比賽（即全部比賽過程中任何一隊都要分別與其他各隊比賽一場且只比賽一場），則該校一共要安排多少場比賽？【構建模型】：生活中的許多實際問題，往往需要構建相應的數(shù)學模型，利用模型的思想來解決問題．為解決上述問題，我們構建如下數(shù)學模型：如圖①，我們可以在平面內(nèi)畫出5個點（任意3個點都不在同一條直線上），其中每個點各代表一支足球隊，兩支球隊之間比賽一場就用一條線段把他們連接起來，由于每支球隊都要與其他各隊比賽一場，即每個點與另外4個點都可連成一條線段，這樣一共連成條線段，而每兩個點之間的線段都重復計算了一次，實際只有10條線段，所以該校一共要安排10場比賽．(1)若學校有6支足球隊進行單循環(huán)比賽，借助圖②，我們可知該校一共要安排_______場比賽；根據(jù)以上規(guī)律，若學校有n支足球隊進行單循環(huán)比賽，則該校一共要安排_______場比賽；(2)實際應用：往返于青島和濟南的同一輛高速列車，中途經(jīng)青島北站、濰坊、青州、淄博4個車站（每種車票票面都印有上車站名稱與下車站名稱），那么在這段線路上往返行車，要準備車票的種數(shù)為_______種；(3)書本習題變式：一個凸多邊形共有14條對角線，它是幾邊形？是否存在有33條對角線的凸多邊形？如果存在，它是幾邊形？如果不存在，說明得出結論的道理．【答案】(1)15，(2)30，(3)七，不存在，見詳解【分析】本題考查了一元二次方程的應用、判別式的意義、多邊形的對角線的條數(shù)：（1）結合圖中的數(shù)學模型，得6支足球隊進行單循環(huán)比賽，即，根據(jù)以上規(guī)律，若學校有n支足球隊進行單循環(huán)比賽，則，即可作答．（2）中途經(jīng)過4個車站，共6個站往返行車，再根據(jù)以上規(guī)律即可得結論．（3）先設一個凸多邊形共有14條對角線，它是邊形，根據(jù)，解出即可作答．再設存在有33條對角線的凸多邊形為邊形，根據(jù)，解出即可作答．【詳解】（1）解：依題意，6支足球隊進行單循環(huán)比賽，即（場），∵學校有n支足球隊進行單循環(huán)比賽，∴（場）則該校一共要安排場比賽；（2）解：中途經(jīng)青島北站、濰坊、青州、淄博4個車站（每種車票票面都印有上車站名稱與下車站名稱），那么在這段線路上往返行車，要準備車票的種數(shù)為：（種）．故答案為：30；（3）解：依題意，設一個凸多邊形共有14條對角線，它是邊形，得∴則（舍去）∴一個凸多邊形共有14條對角線，它是七邊形；不存在有33條對角線的凸多邊形：設存在有33條對角線的凸多邊形為邊形，且為正整數(shù)，得則∵不是整數(shù)，∴不是整數(shù)所以不存在33條對角線的凸多邊形．易錯點1：建立方程模型時，分類討論不全面導致錯誤【例9】.如圖，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從A開始沿AB邊向點B以1厘米/秒的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2厘米/秒的速度移動，當點P到達B點或點Q到達C點時，兩點停止移動，如果P、Q分別是從A、B同時出發(fā)，t秒鐘后．

（1）求出△PBQ的面積；

（2）當△PBQ的面積等于8平方厘米時，求t的值；

（3）是否存在△PBQ的面積等于10平方厘米，若存在，求出t的值，若不存在，說明理由．AABCDPQ【答案】（1）；（2）或；（3）不存在．【解析】（1）根據(jù)題意可得，，則有；令，解得：，；令，方程無解．【總結】考查幾何類問題中的動點問題，根據(jù)題意把圖像中的相應線段長度用字母表示出來根據(jù)題意求解即可．易錯點2：忽略所求方程的根是否符合實際問題的要求【例10】如圖，將一塊長50厘米，寬40厘米的鐵皮剪去四個正方形的角，就可以折成一個長方形的無蓋盒子，如果盒子的底面積為600平方厘米，求盒子的高度.【分析】要求盒子的高度也就是求減去的四個角的邊長.根據(jù)關系式“鐵皮總面積—四個正方形角圍成矩形的面積=盒子的底面積”列方程.【答案】設盒子的高度為.得到方程：解方程組，得（舍去）所以盒子的高度為10厘米.一、單選題1．（23-24九年級上·海南省直轄縣級單位·期末）一個兩位數(shù)等于它的個位數(shù)的平方，且個位數(shù)字比十位數(shù)字大，則這個兩位數(shù)為（

）A．25 B．36 C．25或36 D．或【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的應用，設十位上的數(shù)字為，則個位上的數(shù)字為，根據(jù)“一個兩位數(shù)等于它的個位數(shù)的平方”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解題意，找準等量關系，正確列出方程是解此題的關鍵．【詳解】解：設十位上的數(shù)字為，則個位上的數(shù)字為，由題意得：，整理得：，解得：或，當時，，此時這個兩位數(shù)為，當時，，此時這個兩位數(shù)為，綜上所述，這個兩位數(shù)為25或36，故選：C．2．（23-24九年級上·四川達州·階段練習）如圖，學校課外生物小組的試驗園地的形狀是長35米、寬20米的矩形，為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設小道的寬為米，則根據(jù)題意，列方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．若設小道的寬為x米，則陰影部分可合成長為米，寬為米的矩形，利用矩形的面積公式，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解【詳解】解：依題意，得：．故選：C．3．（23-24九年級上·江蘇無錫·期末）某農(nóng)家前年水蜜桃畝產(chǎn)量為900千克，今年的畝產(chǎn)量為1200千克．設從前年到今年平均增長率都為x，則可列方程（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了從實際問題中抽象出一元二次方程，設從前年到今年平均增長率都為x，則去年的產(chǎn)量為千克，則今年的產(chǎn)量為千克，據(jù)此列出方程即可．【詳解】解：設從前年到今年平均增長率都為x，由題意得，，故選：C．4．（23-24九年級上·云南昆明·期末）2023年10月8日，杭州亞運會乒乓球比賽全部結束，國乒攬獲除女雙項目外的6塊金牌，展現(xiàn)了我國乒乓球隊員強大的實力，某小組賽采用單循環(huán)制（每兩隊之間都進行一場比賽），比賽總場數(shù)為場．若設參賽隊伍有支，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查由實際問題抽象出一元二次方程，由參賽隊伍有支，知每只參賽隊伍參加場比賽，根據(jù)題意可列出方程，解題關鍵是熟練掌握單循環(huán)制的特點：若參賽隊伍有支，則比賽總場數(shù)為場，對于雙循環(huán)制，若參賽隊伍有支，則比賽總場數(shù)為場．【詳解】解：設參賽隊伍有支，則每只隊伍參加場比賽，根據(jù)題意得：，故選：．5．（23-24九年級上·湖北武漢·期末）某人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有人患了流感．設每一輪傳染中平均每人傳染了人，則正確的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由每一輪傳染中平均每人傳染了人，可以得到第一輪傳染中有人被傳染，第二輪傳染中有人被傳染，結合已知的總感染人數(shù)即可列出一元二次方程，本題考查了根據(jù)實際問題列一元二次方程，解題的關鍵是：根據(jù)題意找出等量關系．【詳解】解：有一人患了流感，每一輪傳染中平均每人傳染了人，第一輪傳染中有人被傳