2024年中考數(shù)學復習講義第32講銳角三角函數(shù)及其應用

第32講銳角三角函數(shù)及其應用目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構考點一銳角三角函數(shù)題型01理解正弦、余弦、正切的概念題型02求角的正弦值題型03求角的余弦值題型04求角的正切值題型05已知正弦值求邊長題型06已知余弦值求邊長題型07已知正切值求邊長題型08含特殊角的三角函數(shù)值的混合運算題型09求特殊角的三角函數(shù)值題型10由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀題型11用計算器求銳角三角函數(shù)值題型12已知角度比較三角函數(shù)值大小題型13根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍題型14利用同角三角函數(shù)關系求解題型15求證同角三角函數(shù)關系式題型16互余兩角三角函數(shù)關系考點二解直角三角形題型01構造直角三角形解直角三角形題型02網(wǎng)格中解直角三角形題型03在坐標系中解直角三角形題型04解直角三角形的相關計算題型05構造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積考點三解直角三角形的應用題型01仰角、俯角問題類型一利用水平距離測量物體高度類型二測量底部可以到達的物體高度類型三測量底部不可到達的物體的高度題型02方位角問題題型03坡度坡比問題題型04坡度坡比與仰角俯角問題綜合考點要求新課標要求命題預測銳角三角函數(shù)利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數(shù)(sinA，cosA，tanA).知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值.會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對應銳角.銳角三角函數(shù)及其應用是數(shù)學中考中比較重要的考點,其考察內(nèi)容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定義，②特殊角的三角函數(shù)值，③解直角三角形與其應用等.出題時除了會單獨出題以外，還常和四邊形、圓、網(wǎng)格圖形等結(jié)合考察，是近幾年中考填空壓軸題?？碱}型.預計2024年各地中考還將以選題和綜合題的形式出現(xiàn)，在牢固掌握定義的同時，一定要理解基本的方法，利用輔助線構造直角三角形，是得分的關鍵.解直角三角形能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際問題.解直角三角形的應用考點一銳角三角函數(shù)1.銳角三角函數(shù)的概念：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．（其中：0＜∠A＜90°）2.正弦、余弦、正切的概念定義表達式圖形正弦sinsin余弦coscos正切tantan3.銳角三角函數(shù)的關系：在Rt△ABC中，若∠C為直角，則∠A與∠B互余時，有以下兩種關系：1）同角三角函數(shù)的關系：tanA=sinA2)互余兩角的三角函數(shù)關系：sinA=cosB,sinB=cosA,tan4.特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)30°45°60°2332313【補充】表中是特殊角的三角函數(shù)值.反過來，若已知一個特殊角的三角函數(shù)值，則可求出相應的銳角.5.銳角三角函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)前提：0°＜∠A＜90°sinA隨∠A的增大而增大cosA隨∠A的增大而減小tanA隨∠A的增大而增大11.若銳角是用一個大寫英文字母或一個小寫希臘字母表示的，則表示它的正弦、余弦及正切時習慣省略角的符號“∠”,如tanA.sinA.cosA.若銳角是用三個大寫英文字母或一個數(shù)字表示的,則表示它的正弦、余弦及正切時,不能省略角的符號“∠”,如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1.2.tanA乘方時,一般寫成tannA,它與3.銳角三角函數(shù)是針對直角三角形中的銳角而言的.而且由銳角三角函數(shù)的定義可知,其本質(zhì)特征是兩條線段長的比.因此,銳角三角函數(shù)只有數(shù)值,沒有單位，它的大小只與角的大小有關，而與它所在的三角形的邊長無關.4.根據(jù)定義求三角函數(shù)值時，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴格按照三角函數(shù)的定義求解，有時需要通過輔助線來構造直角三角形.題型01理解正弦、余弦、正切的概念【例1】（2022·湖北·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，BD是斜邊AC上的高，AB≠BC，則下列比值中等于sinA的是（A．ADAB B．BDAD C．BDBC 【答案】D【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義判斷即可；【詳解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC，A．ADAB=cosAB．BDAD=tanAC．BDBC=cos∠DBC=cosAD．DCBC=sin∠DBC=sinA故選：D．【點撥】本題考查了三角函數(shù)的概念，掌握直角三角形中銳角的正弦為對邊比斜邊是解題關鍵．【變式1-1】（2021·浙江杭州·統(tǒng)考一模）在△ABC中，∠C＝90°，BCABA．cosA＝35 B．sinB＝35 C．tanA＝43 D．tan【答案】D【分析】設AB=5a，BC=3a，則AC=4a，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義逐項排查即可．【詳解】解：設AB=5a，BC=3a，則AC=4a，則cosA＝ACAB＝4a5a=sinB＝BCAB＝4a5a=tanA＝BCAC=3atanB＝ACBC=4k3k＝故選：D．【點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和勾股定理，掌握并靈活運用三角函數(shù)的定義成為解答本題的關鍵．【變式1-2】（2023·福建泉州·統(tǒng)考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，則A．35 B．34 C．45 【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BCAB=35，設BC=3k，AB=5k，利用勾股定理得到【詳解】解：如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，sin∴BC設BC=3k，AB=5k，由勾股定理得：AC=A∴cos故選：C．【點撥】本題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題關鍵．【變式1-3】（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖，梯子（長度不變）跟地面所成的銳角為∠α，敘述正確的是（）

A．sinαB．cosαC．tanαD．陡緩程度與∠α的函數(shù)值無關【答案】A【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律，正弦值和正切值隨著角的增大而增大，余弦值隨著角增大而減小，逐一判斷即可．【詳解】解：根據(jù)銳角三角函數(shù)的變化規(guī)律，知sinα的值越大，梯子越陡，故Acosα的值越小，梯子越陡，故Btanα的值越大，梯子越陡，故C陡緩程度與∠α的函數(shù)值有關，故D不符合題意；故選：A．【點撥】本題考查解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律是解題的關鍵．【變式1-4】（2021·浙江杭州·統(tǒng)考三模）在△ABC中，∠C＝90°，∠A.∠B.∠C的對邊分別是A.B.c，下列結(jié)論正確的是（）A．b＝a?sinA B．b＝a?tanA C．c＝a?sinA D．a(chǎn)＝c?cosB【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義：（1）正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．（3）正切：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．分別進行分析即可．【詳解】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，則sinA＝ac，則a=c·sinA，故AtanA＝ab，則b＝atanAcosB＝ac，則a＝ccosB，故D故選：D．【點撥】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，關鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義．【變式1-5】（2019·湖南邵陽·校聯(lián)考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，各邊都擴大5倍，則tanA的值（

）A．不變 B．擴大5倍 C．縮小5倍 D．不能確定【答案】A【分析】利用∠A的大小沒有變進行判斷．【詳解】解：∵∠C＝90°，各邊都擴大5倍所得的三角形與原三角形相似，∴∠A的大小沒有變，∴tanA的值不變．故選：A．【點撥】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：在Rt△ABC中，∠C＝90°．把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．【變式1-6】（2021·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，設∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，則（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a(chǎn)＝btanB D．b＝ctanB【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義進行判斷，即可解決問題．【詳解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為A.B.c∴sinB=bc，即b=csinBtanB=ba，即b=atanB故選：B．【點撥】本題考查了三角函數(shù)的定義，熟記定義是解題關鍵．題型02求角的正弦值【例2】（2022·江西·模擬預測）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，連接PO并延長與⊙O交于點C、D，若CD=12，PA=8，則sin∠ADB的值為（

A．45 B．35 C．34 【答案】A【分析】連接OA，根據(jù)切線長的性質(zhì)得出PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，再證△APD≌△BPD（SAS），然后證明∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，利用勾股定理求出OP=OA【詳解】解：連接OA∵PA、PB分別與⊙O相切于點A.B，∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，∴∠APD=∠BPD，在△APD和△BPD中，AP=BP∠APD=∠BPD∴△APD≌△BPD（SAS）∴∠ADP=∠BDP，∵OA=OD=6，∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，在Rt△AOP中，OP=OA∴sin∠ADB=APOP故選A．【點撥】本題考查圓的切線性質(zhì)，三角形全等判斷與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，掌握圓的切線性質(zhì)，三角形全等判斷與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)是解題關鍵．【變式2-1】（2020·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，由邊長為1的小正方形構成的網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點C.D，則sin∠ADC的值為（

A．21313 B．31313 C．2【答案】A【分析】首先根據(jù)圓周角定理可知，∠ABC＝∠ADC，在Rt△ACB中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出∠ABC的正弦值．【詳解】∵∠ADC和∠ABC所對的弧長都是AC，∴根據(jù)圓周角定理知，∠ABC＝∠ADC，∴在Rt△ACB中，AB=A根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義知，sin∠ABC＝ACAB∴sin∠ADC=2故選A．【點撥】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義和圓周角的知識點，解答本題的關鍵是利用圓周角定理把求∠ADC的正弦值轉(zhuǎn)化成求∠ABC的正弦值，本題是一道比較不錯的習題．【變式2-2】（2020·山東聊城·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點都在這些小正方形的頂點上，那么sin∠ACB的值為（

A．355 B．175 C．35【答案】D【分析】過點A作AD⊥BC于點D，在Rt△ACD中，利用勾股定理求得線段AC【詳解】解：如圖，過點A作AD⊥BC于點D，則∠ADC=90°，∴AC=A∴sin∠ACB=故選：D．【點撥】本題考查了勾股定理的運用以及銳角三角函數(shù)，正確作出輔助線是解題的關鍵．題型03求角的余弦值【例3】（2023·湖北省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在4×4網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若△ABC的頂點均是格點，則cos∠BAC的值是（

A．55 B．105 C．255【答案】C【分析】過點C作AB的垂線，構造直角三角形，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：過點C作AB的垂線交AB于一點D，如圖所示，∵每個小正方形的邊長為1，∴AC=5設AD=x，則BD=5-x，在Rt△ACD中，DC在Rt△BCD中，DC∴10-(5-x)解得x=2，∴cos∠BAC=故選：C．【點撥】本題考查了解直角三角形，勾股定理等知識，解題的關鍵是能構造出直角三角形．【變式3-1】（2022·吉林長春·?？寄M預測）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，CD是⊙O的直徑．若CD=10，弦AC=6，則cos∠ABC的值為（

A．45 B．35 C．43 【答案】A【分析】連接AD，根據(jù)直徑所對的圓周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的長，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，從而可以得到cos∠ABC的值．【詳解】解：連接AD，如右圖所示，∵CD是⊙O的直徑，CD=10，弦AC=6，∴∠DAC=90°，∴AD=CD2∴cos∠ADC=ADCD=8∵∠ABC=∠ADC，∴cos∠ABC的值為45故選：A．【點撥】本題考查三角形的外接圓與外心、圓周角、銳角三角函數(shù)、勾股定理，解答本題的關鍵是求出cos∠ADC的值，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式3-2】（2023·內(nèi)蒙古烏蘭察布·?？寄M預測）如圖，△ABC的三個頂點分別在邊長為1的正方形網(wǎng)格上，則cos∠BAC【答案】2【分析】根據(jù)AC2=12+32=10，BC2【詳解】如圖，∵AC2=12∴AC∴△ABC是直角三角形，∠∴cos故答案為：2【點撥】本題主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角函數(shù)等．解決問題的關鍵是熟練掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判斷直角三角形，銳角三角函數(shù)定義．【變式3-3】（2022·廣東中山·統(tǒng)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在直徑AB上（點C與A，B兩點不重合），OC＝3，點D在⊙O上且滿足AC＝AD，連接DC并延長到E點，使BE＝BD．(1)求證：BE是⊙O的切線；(2)若BE＝6，試求cos∠CDA的值．【答案】(1)證明見解析(2)10【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ADB＝90°，從而可得∠BDE+∠ADC＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及對頂角相等可得∠ECB＝∠ADC，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠E＝∠BDE，從而可得∠E+∠BCE＝90°，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得∠EBC＝90°，即可解答；（2）設⊙O的半徑為r，則AC＝AD＝3+r，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出r＝5，從而求出BC＝2，然后在Rt△EBC中，根據(jù)勾股定理可求出EC的長，從而利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答．【詳解】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠BDE+∠ADC＝90°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠ACD＝∠ECB，∴∠ECB＝∠ADC，∵EB＝DB，∴∠E＝∠BDE，∴∠E+∠BCE＝90°，∴∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°，∵OB是⊙O的半徑，∴BE是⊙O的切線；（2）解：設⊙O的半徑為r，∵OC＝3，∴AC＝AD＝AO+OC＝3+r，∵BE＝6，∴BD＝BE＝6，在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，∴36+（r+3）2＝（2r）2，∴r1＝5，r2＝﹣3（舍去），∴BC＝OB﹣OC＝5﹣3＝2，在Rt△EBC中，EC＝EB2+BC2＝6∴cos∠ECB＝BCEC＝2210∴cos∠CDA＝cos∠ECB＝1010∴cos∠CDA的值為1010【點撥】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．題型04求角的正切值【例4】（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）北京冬奧會開幕式的巨型雪花狀主火炬塔的設計，體現(xiàn)了環(huán)保低碳理念．如圖所示，它的主體形狀呈正六邊形．若點A，F(xiàn)，B，D，C，E是正六邊形的六個頂點，則tan∠ABE＝．【答案】3【分析】由正六邊形的性質(zhì)得AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，再由等邊三角形的性質(zhì)得∠ABC＝60°，則∠ABE＝12∠ABC＝30°【詳解】連接BC.AC，∵點A，F(xiàn)，B，D，C，E是正六邊形的六個頂點，∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵BE⊥AC，∴∠ABE＝12∠ABC＝30°∴tan∠ABE＝tan30°＝33故答案為：33【點撥】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及特殊角的銳角三角函數(shù)，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)是本題的關鍵．【變式4-1】（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D，AB為⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，點D是⊙O外一點，∠BCD=∠BAC，連接OD交BC于點E．(1)求證：CD是⊙O的切線．(2)若CE=OA,sin∠BAC=4【答案】(1)見解析；(2)3【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)OA=OC推出∠BCD=∠ACO，即可得到∠BCD+∠OCB=90°，由此得到結(jié)論；（2）過點O作OF⊥BC于F，設BC=4x，則AB=5x，OA=CE=2.5x，BE=1.5x，勾股定理求出AC，根據(jù)OF∥AC，得到BFCF=OBOA=1，證得OF為△ABC的中位線，求出OF【詳解】（1）證明：連接OC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO,∵∠BCD=∠BAC，∴∠BCD=∠ACO，∴∠BCD+∠OCB=90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線．（2）解：過點O作OF⊥BC于F，∵CE=OA,sin∴設BC=4x，則AB=5x，OA=CE=2.5x，∴BE=BC-CE=1.5x，∵∠C=90°，∴AC=AB∵OA=OB，OF∥AC，∴BFCF∴CF=BF=2x，EF=CE-CF=0.5x，∴OF為△ABC的中位線，∴OF=12∴tan∠CEO=OF【點撥】此題考查了圓周角定理，證明直線是圓的切線，銳角三角函數(shù)，三角形中位線的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，正確引出輔助線是解題的關鍵．【變式4-2】（2022·浙江紹興·一模）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=1，CE=3，連接AF交CG于點K，H是AF的中點，連接CH．(1)求tan∠GFK的值；(2)求CH的長．【答案】(1)1(2)CH【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，AD∥BC,GF∥BE，∠G（2）由正方形的性質(zhì)求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延長AD交EF于M，連接AC.CF，求出AM=4，F(xiàn)M=2，∠AMF=90°，根據(jù)正方形性質(zhì)求出∠ACF=90°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出CH=12【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，∴AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，AD∥BC,GF∥∴DG=CG-CD=2，AD∥∴△ADK∴DK：GK=AD：GF=1：3，∴GK=∴tan∠（2）解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延長AD交EF于M，連接AC.CF，如圖所示：則AM=BC+CE=1+3=4，F(xiàn)M=EF-AB=3-1=2，∠AMF=90°，∵四邊形ABCD和四邊形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H為AF的中點，∴CH=在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=∴CH=【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理，正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；本題有一定難度，特別是（2）中，需要通過作出輔助線運用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)才能得出結(jié)果．題型05已知正弦值求邊長【例5】（2022·云南昆明·官渡六中?？家荒＃┰凇鰽BC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA=35，則A．5003 B．5035 C．60 D【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A=BCAC=35，AC∴BC=100×3÷5=60，∴AB=AC2故選D．【點撥】本題主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函數(shù)的定義是解題的關鍵．【變式5-1】（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預測）如圖，一輛自行車豎直擺放在水平地面上，右邊是它的部分示意圖，現(xiàn)測得∠A=88°，∠C=42°，AB=60，則點A到BC的距離為（

）A．60sin50° B．60sin50° C．60【答案】A【分析】先求出∠B=180°-88°-42°=50°，再用三角函數(shù)定義，求出AD=AB×sin【詳解】解：過點A作AD⊥BC于點D，如圖所示：∵∠A=88°，∠C=42°，∴∠B=180°-88°-42°=50°，在Rt△ABD中，AD=AB×∴點A到BC的距離為60sin50°，故故選：A．【點撥】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的應用，三角函數(shù)的應用，點到直線的距離，解題的關鍵是熟練掌握三角函數(shù)的定義．【變式5-2】（2020·河北·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的邊OA在x軸上，點A(10,0)，sin∠COA=45．若反比例函數(shù)y=kx(k>0,x>0)經(jīng)過點A．10 B．24 C．48 D．50【答案】C【分析】由菱形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可求點C(6,8)，將點C坐標代入解析式可求k的值．【詳解】解：如圖，過點C作CE⊥OA于點E，∵菱形OABC的邊OA在x軸上，點A(10,0)，∴OC=OA=10，∵sin∠COA=∴CE=8，∴OE=∴點C坐標(6,8)∵若反比例函數(shù)y=kx(k>0,x>0)∴k=6×8=48故選C．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，關鍵是求出點C坐標．題型06已知余弦值求邊長【例6】（2022·廣西南寧·南寧二中?？既＃┤鐖D，在△ABC中，∠C=90°,cosA=32,AC=4A．4 B．8 C．83 D．【答案】B【分析】根據(jù)余弦的定義即可求解．【詳解】解：∵∠C=90°,cos∴AB=AC故選B．【點撥】本題考查了已知余弦求邊長，掌握余弦的定義是解題的關鍵．【變式6-1】（2016·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點D是邊BC上一動點（不與B.C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點E，且cosα＝45，則線段CE的最大值為【答案】6.4【分析】作AG⊥BC于G，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BG＝CG，再利用余弦的定義計算出BG＝8，則BC＝2BG＝16，設BD＝x，則CD＝16﹣x，證明△ABD∽△DCE，利用相似比可表示出CE＝﹣110x2+85x，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求CE【詳解】解：作AG⊥BC于G，如圖，∵AB＝AC，∴BG＝CG，∵∠ADE＝∠B＝α，∴cosB＝cosα＝BGAB＝45∴BG＝45×10＝8∴BC＝2BG＝16，設BD＝x，則CD＝16﹣x，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，即α+∠CDE＝∠B+∠BAD，∴∠CDE＝∠BAD，而∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE，∴ABCD=BDCE∴CE＝﹣110x2+8＝﹣110（x﹣8）2+6.4當x＝8時，CE最大，最大值為6.4.故答案為：6.4.

【點撥】此題考查了等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定及性質(zhì)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值問題，正確掌握各知識并綜合運用解題是關鍵.【變式6-2】（2020·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖所示，ABCD為平行四邊形，AD=13，AB=25，∠DAB=α，且cosα=513，點E為直線CD上一動點，將線段EA繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段EF（1）求平行四邊形ABCD的面積；（2）當點C，B，F(xiàn)三點共線時，設EF與AB相交于點G，求線段BG的長；（3）求線段CF的長度的最小值．【答案】（1）300；（2）11722；（3）【分析】（1）如圖所示，過點A作AK⊥CD交CD的延長線于點K，先根據(jù)現(xiàn)有條件求出AK，然后即可求出平行四邊形ABCD的面積；（2）如圖所示，延長CD到P使得AP=AD，先證明ΔPEA?ΔCFE得出CE=AP=13，PE=CF，DE=12，再證明ΔGBF~ΔECF，得出BFCF=BG（3）如圖所示，作點A關于直線CD的對稱點A'，連接EA'、AA'、A'F，以E為圓心，EA為半徑作圓，根據(jù)已知推出點F在與直線AA'夾角為α2且經(jīng)過點A'的直線上運動，設直線A'F與CD交于點Q，直線AA'與直線CD交于點M，直線A'F與直線CB交于點R，過點C作CQ=22，CM=30，MQ=8，A'Q=413，根據(jù)RtΔ【詳解】（1）如圖所示，過點A作AK⊥CD交CD的延長線于點K，∵AB//CD，∴∠ADK=∠DAB，∵cos∠DAB=5∴DK=AD?cos∴AK=A∴平行四邊形ABCD的面積為AB×AK=25×12=300；（2）如圖所示，延長CD到P使得AP=AD，∴∠ADP=∠P，∵∠DAB=α，DC//AB，∴∠ADP=∠DAB=α，∴∠P=α，又∠AEF=∠C=α，EA=EF，由∠PEA+∠CEF=180°-α，∠EFC+∠CEF=180°-α，∴∠PEA=∠EFC，∴ΔPEA?ΔCFE，∴CE=AP=13，PE=CF，∴DE=CD-CE=25-13=12，由（1）得AK=12，∴在RtΔAKD中，KD=5，∴PD=10，∴PE=PD+DE=10+12=22=CF，∴BF=CF-CB=22-13=9，∵BG//CE，∴ΔGBF~ΔECF，∴BF∴9∴BG=117（3）如圖所示，作點A關于直線CD的對稱點A'，連接EA'、AA'、A∵EA=EA∴點A'、F在⊙E∵∠AEF=α，∴∠AA∴點F在與直線AA'夾角為α2設直線A'F與CD交于點Q，直線AA'與直線CD交于點M，直線A'F與直線CB交于點R，過點當點F與H重合時，CF取得最小值，易得RtΔA∴∠QCH=∠MA又∠DCB=α，∴∠BCH=α∴ΔQCR為等腰三角形，∴CQ=CR，由（2）得CR=22，MD=5，∴CQ=22，又CM=CD+DM=25+5=30，∴MQ=CM-CQ=30-22=8，∴在RtΔA'MQ由RtΔA∴A∴4∴CH=66即CF的長度的最小值是6613【點撥】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識，正確作出輔助線，熟練運用幾何圖形的性質(zhì)是解題的關鍵．題型07已知正切值求邊長【例7】（2021·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝12，AD＝2，BD＝4，連接CD，則CD長的最大值是（

A．25+34 B．25+1 C．25【答案】B【分析】過點A作∠DAP=∠BAC，過點D作AD⊥DP交AP于點P，分別求出PD，PC，在△PDC中，利用三角形的三邊關系即可求出CD長的最大值．【詳解】解：如圖，過點A作∠DAP=∠BAC，過點D作AD⊥DP交AP于點P，∵∠ABC=90°，tan∠BAC=∴tan∠DAP=∴DPAD∵AD=2，∴DP=1，∵∠DAP=∠BAC，∠ADP=∠ABC，∴△ADP∽△ABC，∴APAC∵∠DAB=∠DAP+∠PAB，∠PAC=∠PAB+∠BAC，∠DAP=∠BAC，∴∠DAB=∠PAC，APAC∴△ADB∽△APC，∴ADAP∵AP=A∴PC=AP?DB∴PD+PC=1+25，PC-PD=2在△PDC中，∵PD+PC>DC，PC?PD<DC，∴25當D，P，C三點共線時，DC最大，最大值為25故選：B．【點撥】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的三邊關系，構造相似三角形是解題的關鍵．【變式7-1】（2023·山東日照·校考三模）如圖，點A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝13，則AD的長是【答案】2【分析】如圖，連接AB，設AD,BC交于點E，根據(jù)題意可得AB是⊙O的直徑，∠ADB=90°，設AC=m，證明△CED∽△AEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及正切的定義，分別表示出AE,ED，根據(jù)Rt△ABC，勾股定理求得m=5a【詳解】解：如圖，連接AB，設AD,BC交于點E，∵∠ACB＝90°∴AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵tan∠CBD＝13∴DE在Rt△DEB中，BE=D∵CD∴∠CBD=∠CAD，∴tan∠CAD=∴設AC=m則CE=1∵AC＝BC，∴EB=2∴DE=1010Rt△ACE中，AE=∴AD=AE+ED=2∵DB=∴∠ECD=∠EAB,又∠CED=∠AEB，∴△CED∽△AEB，∴CD∵CD=a，∴AB=10∵AC=BC=m，∴AB=2∴2解得m=5∴AD=2故答案為：22【點撥】本題考查了90°圓周角所對的弦是直徑，同弧所對的圓周角相等，正切的定義，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握以上知識是解題的關鍵．【變式7-2】（2023·江西萍鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）如圖，點A在第一象限，AC⊥x軸，垂足為C，OA=25，tanA=12，反比例函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過OA的中點(1)求k值；(2)求△OBD的面積．【答案】(1)2(2)3【分析】（1）在RtΔACO中，∠ACO=90°，tanA=12，再結(jié)合勾股定理求出OC=2，AC=4，得到A（2）在平面直角坐標系中求三角形面積，找平行于坐標軸的邊為底，根據(jù)AD∥y軸，選擇AD為底，利用S△OBD=【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得，在RtΔACO中，∠ACO=90°，∴AC=2OC，∴OC∴OC=2，AC=4，∴A2,4∵OA的中點是B，∴B1,2∴k=2；（2）解：當x=2時，y=1，∴D2,1∴AD=4-1=3，∴S△OBD=S【點撥】本題考查反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，涉及到勾股定理，三角函數(shù)求線段長，中點坐標公式、待定系數(shù)法確定函數(shù)關系式中的k，平面直角坐標系中三角形面積的求解，熟練掌握反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解決問題的關鍵．【變式7-3】（2021·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，已知，在△ABC中，O為AB上一點，CO平分∠ACB，以O為圓心，OB長為半徑作⊙O，⊙O與BC相切于點B，交CO于點D，延長CO交⊙O于點E，連接BD，BE．（1）求證：AC是⊙O的切線．（2）若tan∠BDE=2，BC=6，求⊙O的半徑．【答案】（1）見解析；（2）4.5【分析】（1）作OF⊥AC于F，利用角平分線的性質(zhì)證明OF=OB，即可證明AC是⊙O的切線．（2）利用圓周角定理證明△CBE∽△CDB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：作OF⊥AC于F，∵⊙O與BC相切于點B，∴OB⊥BC，∵CO平分∠ACB，∴OF=OB，又OB是半徑，OF⊥AC于F，∴AC是⊙O的切線．（2）解：∵DE是直徑，∴∠DBE=90°，又tan∠BDE=2，∴BEDB由（1），知∵OE=OB，OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠DBC=∠OBE，∴∠E=∠OBE，∴∠E=∠DBC，又∠C=∠C，∴△CBE∽△CDB，∴BEDB∵BC=6，∴6CD∴CD=3，CE=12

∴DE=9，∵OD=4.5，即⊙O的半徑是4.5．【點撥】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正切函數(shù)，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．題型08含特殊角的三角函數(shù)值的混合運算【例8】（2022·貴州·模擬預測）計算8+|-2|×cos45°A．2 B．32 C．22+3【答案】B【分析】化簡二次根式并代入特殊角的銳角三角比，再按照正確的運算順序進行計算即可．【詳解】解：8＝＝2＝32故選：B【點撥】此題考查了二次根式的運算、特殊角的銳角三角比等知識，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．【變式8-1】（2023·湖南株洲·?？家荒＃┯嬎悖?2-1+12【答案】2【分析】先計算負整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的化簡，特殊角的三角函數(shù)值，再計算乘法，再合并即可．【詳解】解：12=2=2+2=2【點撥】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值的運算，負整數(shù)指數(shù)冪的含義，二次根式的化簡，掌握“運算基礎運算”是解本題的關鍵．【變式8-2】（2023·山東濟南·模擬預測）計算：12+【答案】1【分析】根據(jù)二次根式的化簡，零指數(shù)冪的定義，特殊角的三角函數(shù)值，絕對值的性質(zhì)以及負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則分別化簡后再進行實數(shù)的加減法運算．【詳解】解：12=1【點撥】此題考查實數(shù)的運算法則，正確掌握二次根式的化簡，零指數(shù)冪的定義，特殊角的三角函數(shù)值，絕對值的性質(zhì)以及負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則是解題的關鍵．【變式8-3】（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）先化簡，再求值：a+1-3a-1【答案】a-2a+2，【分析】先算括號內(nèi)的減法，再將除法變成乘法進行計算，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)，負指數(shù)冪和零次冪的性質(zhì)求出a，最后代入計算．【詳解】解：a+1-====a-2∵a=tan∴原式=a-2【點撥】本題考查了分式的化簡求值，銳角三角函數(shù)，負指數(shù)冪和零次冪的性質(zhì)，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．題型09求特殊角的三角函數(shù)值【例9】（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）在實數(shù)2，x0（x≠0），cos30°，38中，有理數(shù)的個數(shù)是（

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)的意義，即可解答．【詳解】解：在實數(shù)2，x0（x≠0）=1，cos30°=32，38=2中，有理數(shù)是3所以，有理數(shù)的個數(shù)是2，故選：B．【點撥】本題考查了零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)，熟練掌握這些數(shù)學概念是解題的關鍵．【變式9-1】（2023·廣東潮州·二模）計算|1-tan60°|的值為（A．1-3 B．0 C．3-1 D【答案】C【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)分別化簡得出答案．【詳解】|1-故選C．【點撥】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，絕對值的性質(zhì)等知識，正確化簡各數(shù)是解題關鍵．題型10由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀【例10】（2022·湖南衡陽·?？寄M預測）在△ABC中，∠A、∠B均為銳角，且tanB-3+2cosA．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出tanB與cosA的值，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A、【詳解】解：∵tan∴tanB-3∴tanB=3∴∠B=60°，cosA=32在△ABC中，∠C=180°-60°-30°=90°，且∠A≠∠B，∴△ABC是直角三角形．故選：C．【點撥】本題考查實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解題的關鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，并充分利用非負數(shù)的性質(zhì)．【變式10-1】（2021·廣東廣州·廣州大學附屬中學?？级＃┰凇鰽BC中，sinA=cos90°-C=2A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定【答案】B【分析】計算出∠A和∠C的角度來即可確定．【詳解】解：∵sinA=cos（90°-C）=22∴∠A=45°，90°-∠C=45°，即∠A=45°，∠C=45°，∴∠B=90°，即△ABC為直角三角形，故選：B．【點撥】本題考查特殊角三角函數(shù)，熟練掌握特殊角三角函數(shù)是解題的關鍵．【變式10-2】（2020·四川自貢·?？家荒＃┰凇鰽BC中，若sinA-32+12-cosB【答案】等邊【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)分別求出∠A和∠B，繼而可判斷△ABC的形狀．【詳解】解：∵sinA-∴sinA-32∴sinA=32∴∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形．故答案為：等邊．【點撥】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，非負數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判斷，解題關鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．題型11用計算器求銳角三角函數(shù)值【例11】（2022·山東煙臺·統(tǒng)考一模）若用我們數(shù)學課本上采用的科學計算器計算sin36°18＇，按鍵順序正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)計算器按鍵順序計算即可．【詳解】解：根據(jù)計算器的按鍵順序可知，正確的按鍵順序為D選項，故選：D．【點撥】本題主要考查用計算器計算三角函數(shù)值，熟悉計算器的按鍵順序是解題的關鍵．【變式11-1】（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，某超市計劃將門前的部分樓梯改造成無障礙通道．已知樓梯共有五級均勻分布的臺階，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比為1：2，將要鋪設的通道前方有一井蓋，井蓋邊緣離樓梯底部的最短距離ED＝2.55m．為防止通道遮蓋井蓋，所鋪設通道的坡角不得小于多少度？（結(jié)果精確到1）（參考數(shù)據(jù)表）計算器按鍵順序計算結(jié)果（已精確到0.001）11.3100.00314.7440.005【答案】不得小于12度【分析】根據(jù)題意可得DF＝15AB＝0.15米，然后根據(jù)斜坡AC的坡比為1：2，可求出BC，CD的長，從而求出EB的長，最后在Rt△AEB【詳解】解：如圖：由題意得：DF＝15AB＝0.15∵斜坡AC的坡比為1：2，∴ABBC＝12，DFCD∴BC＝2AB＝1.5（米），CD＝2DF＝0.3（米），∵ED＝2.55米，∴EB＝ED+BC﹣CD＝2.55+1.5﹣0.3＝3.75（米），在Rt△AEB中，tan∠AEB＝ABEB＝0.753.75＝查表可得，∠AEB≈11.310°≈12°，∴為防止通道遮蓋井蓋，所鋪設通道的坡角不得小于12度．【點撥】本題考查了解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，熟練掌握坡比是解題的關鍵．題型12已知角度比較三角函數(shù)值大小【例12】（2022·上?！ば？寄M預測）如果銳角A的度數(shù)是25°，那么下列結(jié)論中正確的是（

）A．0<sinA<12C．33<tanA<1【答案】A【分析】根據(jù)“正弦值隨著角度的增大而增大”解答即可．【詳解】解：∵0°＜25°＜30°∴0<∴0<sin故選A．【點撥】本題主要考查了銳角三角形的增減性，當角度在0°~90°間變化時，①正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?；②余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?；③正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。咀兪?2-1】（2020·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）比較大?。簊in81°tan47°(填“<”“=”或“【答案】<【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)得sin81°<1【詳解】∵sin∴sin故答案為：<．【點撥】本題考查了三角函數(shù)值大小比較的問題，掌握三角函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式12-2】（2020·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考二模）在直角三角形ABC中，角C為直角，銳角A的余弦函數(shù)定義為，寫出sin70o、cos40o、cos50o的大小關系．【答案】cosA=ACABsin70o＞cos【分析】根據(jù)余弦的定義即可確定答案；根據(jù)sin70°=cos20°且正弦隨角度的增大而增大，余弦隨角度的增大而減小即可確定大小關系．【詳解】解：∵直角三角形ABC中，角C為直角∴BC為斜邊，AC為直角邊且為∠A的一邊∴余弦的定義為cosA∵sin70°=cos20°且正弦在銳角范圍內(nèi)隨角度的增大而增大，余弦在銳角范圍內(nèi)隨角度的增大而減小∴sin70o==cos20o＞cos40o，cos40o＞cos50o∴sin70o＞cos40o＞cos50o．故答案為cosA=ACAB，sin70o＞cos40o【點撥】本題考查了余弦函數(shù)的定義和正弦、余弦函數(shù)的增減性，掌握正弦在銳角范圍內(nèi)為增函數(shù)、余弦在銳角范圍內(nèi)為減函數(shù)是解答本題的關鍵．題型13根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍【例13】（2023·陜西西安·?？既＃┤魌anA=2，則∠A的度數(shù)估計在（

）A．在0°和30°之間 B．在30°和45°之間C．在45°和60°之間 D．在60°和90°之間【答案】D【分析】由題意直接結(jié)合特殊銳角三角函數(shù)值進行分析即可得出答案.【詳解】解：∵tan60∴∠A>60∴60°故選：D.【點撥】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值的應用，熟練掌握tan30°【變式13-1】（2022·浙江金華·校聯(lián)考一模）若∠A是銳角，且sinA＝13，則（

A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°【答案】A【分析】根據(jù)正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?0°、45°、60°的正弦值可求出.【詳解】解：∵∠A是銳角，且sinA＝13＜12＝sin∴0°＜∠A＜30°，故選：A．【點撥】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的增減性，銳角的正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?，正確理解銳角正弦值的增減性是解題的關鍵．【變式13-2】（2023·陜西西安·校考模擬預測）若cos∠1=0.8，則∠1的度數(shù)在（

）范圍內(nèi)．A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°【答案】B【分析】cos45°=【詳解】解：∵cos45°=22∴cos∴30故選：B【點撥】本題考查根據(jù)銳角三角函數(shù)的數(shù)值，判斷角度的取值范圍，牢記特殊三角函數(shù)值是關鍵．【變式13-3】（2021·安徽安慶·統(tǒng)考一模）若銳角α滿足cosα＜22且tanα＜3，則α的范圍是(A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°【答案】B【詳解】∵α是銳角，∴cosα>0，∵cosα<22∴0<cosα<22又∵cos90°=0,cos45°=22∴45°<α<90°；∵α是銳角，∴tanα>0，∵tanα<3，∴0<tanα<3，又∵tan0°=0,tan60°=3，0<α<60°；故45°<α<60°.故選B.【點撥】本題主要考查了余弦函數(shù)、正切函數(shù)的增減性與特殊角的余弦函數(shù)、正切函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值和了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關鍵題型14利用同角三角函數(shù)關系求解【例14】（2021·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）已知∠α為銳角，且sinα=513，則【答案】12【分析】根據(jù)sinα=513【詳解】∵sinα2+∴cosα=±又∵∠α為銳角，∴cosα=故答案為：1213【點撥】此題考查了同角三角函數(shù)的知識，求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過設參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關系式求三角函數(shù)值．【變式14-1】（2023·廣東東莞·統(tǒng)考三模）如圖，沿AE折疊矩形紙片ABCD，使點D落在BC邊的點F處．已知CF=4，sin∠EFC=35，則

【答案】6【分析】由折疊可知AD=AF，∠AFE=∠D=90°，進而得到AF=BC=BF+CF=BF+4，由同角的余角相等可得∠EFC=∠BAF，則sin∠EFC=sin∠BAF=35，在【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠C=∠D=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，AD=AF，∠AFE=∠D=90°，∴AF=BC=BF+CF=BF+4，∴∠AFB+∠EFC=90°，∵∠AFB+∠BAF=90°，∴∠EFC=∠BAF，∴sin在Rt△ABF中，sin∠BAF=BF解得：BF=6．故答案為：6．【點撥】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形，解題關鍵是利用矩形和折疊的性質(zhì)推理論證得出∠EFC=∠BAF，進而利用銳角三角函數(shù)解決問題．題型15求證同角三角函數(shù)關系式【例15】（2021·北京·統(tǒng)考一模）如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點O，且AO=BO．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）∠BDC的平分線DM交BC于點M，當AB=3，tan∠DBC=34【答案】（1）見解析；（2）3【分析】（1）由平行四邊形性質(zhì)和已知條件得出AC=BD，即可得出結(jié)論；（2）過點M作MG⊥BD于點G，由角平分線的性質(zhì)得出MG=MC．由三角函數(shù)定義得出BC=4，sin∠ACB=sin∠DBC．，設CM=MG=x，則BM=4-x【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC=2AO，BD=2BO．∵AO=BO，∴AC=BD．∴?ABCD為矩形．（2）過點M作MG⊥BD于點G，如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DCB=90∴CM⊥CD，∵DM為∠BDC的角平分線，∴MG=CM．∵OB=OC，∴∠ACB=∠DBC．∵AB=3，tan∠DBC=∴tan∴BC=4．∴AC=BD=BC2設CM=MG=x，則BM=4-x，在△BMG中，∠BGM=90°，∴sin解得：x=3∴CM=3【點撥】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)定義等知識；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)和三角函數(shù)定義是解題的關鍵．【變式15-1】（2022·福建福州·福建省福州屏東中學校考模擬預測）求證：若α為銳角，則sin2(1)如圖，銳角α和線段m，用尺規(guī)作出一個以線段m為直角邊，α為內(nèi)角，∠ACB為90°的Rt△ABC(2)根據(jù)（1）中所畫圖形證明該命題．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）作線段AC=m，過點C作CM⊥AC，作∠NAC=α，射線AN，交CM于點B，△ABC即為所求；（2）利用勾股定理，三角函數(shù)的定義證明即可．【詳解】（1）解：如圖，Rt△ABC（2）證明：∵∠ACB=90°，∴AB∵sinα=BC∴sin【點撥】本題考查了作一個角等于已知角、作垂線、作三角形、勾股定理、三角函數(shù)，熟練掌握勾股定理和三角函數(shù)是解題關鍵．【變式15-2】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）嘉嘉在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：sin2sin2sin29°+sin37°+sin2據(jù)此，嘉嘉猜想：對于任意銳角α，β，若α+β=90°，均有sin2(1)當α=30°，β=60°時，驗證sin2(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，請結(jié)合如圖所示Rt△ABC給予證明，其中∠A所對的邊為a，∠B所對的邊為b，斜邊為c(3)利用上面的證明方法，直接寫出tanα與sinα，【答案】(1)成立，見解析(2)成立，見解析(3)tan【分析】（1）直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值代入計算驗證即可；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的定義列出sinα=ac（3）根據(jù)正切函數(shù)的定義列出表達式，然后結(jié)合Rt△ABC中，sinα=a【詳解】（1）解：∵sin30°=12∴sin2（2）解：成立．理由如下：在Rt△ABC中，sinα=ac，∴sin2（3）解：tanα=在Rt△ABC中，sinα=ac，∴tanα=∴tanα=【點撥】本題考查余角之間的三角函數(shù)關系，以及同角三角函數(shù)關系的推理證明，理解三角函數(shù)的基本定義，靈活變形構造是解題關鍵．題型16互余兩角三角函數(shù)關系【例16】（2023·江蘇蘇州·蘇州中學校考一模）化簡sin28°-cos28°A．sin28°-cos28° C．cos28°-sin28°【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出sin28°-cos【詳解】解：sin28°-cos28°2∵cos28°=sin∴原式=cos故選：C．【點撥】本題考查了三角函數(shù)關系，掌握三角函數(shù)的增減性是解題的關鍵．【變式16-1】（2023·四川成都·成都實外?？家荒＃┮阎猻in42°≈23，則cosA．53 B．13 C．32 【答案】D【分析】根據(jù)42°的正弦值和48°余弦值都是42°的對邊斜邊【詳解】sin∴cos故選：D【點撥】此題考查銳角三角形函數(shù)值，解題關鍵是分清銳角三角函數(shù)中的對邊，鄰邊和斜邊分別是哪條邊．【變式16-2】（2023·云南昆明·?？既＃┰赗t△ABC中，∠C=90°，sinA=67【答案】6【分析】根據(jù)一個角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．【詳解】解：∵∠C=90°，sinA=∴sinA=∴cosB=故答案為：67

【點撥】本題主要考查三角函數(shù)的定義，由定義推出互余兩角的三角函數(shù)的關系：若∠A+∠B=90°，則sinA=【變式16-3】（2019·浙江杭州·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足為D．給出下列四個結(jié)論：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ.其中正確的結(jié)論有.【答案】①②③④【分析】根據(jù)∠A=90°，AD⊥BC，可得∠α=∠B，∠β=∠C，再利用銳角三角函數(shù)的定義可列式進行逐項判斷．【詳解】∵∠A=90°，AD⊥BC，∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，∴∠α=∠B，∠β=∠C，∴sinα=sinB，故①正確；sinβ=sinC，故②正確；∵在Rt△ABC中sinB=ACBC，cosC=AC∴sinB=cosC，故③正確；∵sinα=sinB，cos∠β=cosC，∴sinα=cos∠β，故④正確；故答案為①②③④．【點撥】本題主要考查銳角的三角函數(shù)，解題的關鍵是熟練掌握互余兩角的三角函數(shù)間的關系．考點二解直角三角形解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關系：1）直角三角形的五個元素：邊：a，b，c，角：∠A，∠B2）三邊之間的關系：a2+3）兩銳角之間的關系：∠A＋∠B＝90°4）邊角之間的關系：sinA=∠A所對的邊斜邊=ac，sinB=cosA=∠A所鄰的邊斜邊tanA=∠A所對的邊解直角三角形常見類型及方法：已知類型已知條件解法步驟兩邊斜邊和一直角邊(如c,a)①②③∠B=90°－∠A兩直角邊(如a,b)①②③∠B=90°－∠A一邊和一銳角斜邊和一銳角（如c，∠A）①∠B=90°－∠A②③一直角邊和一銳角（如a，∠A）①∠B=90°－∠A②③另一直角邊和一銳角（如b，∠A）①∠B=90°－∠A②③1.1.在直角三角形中，除直角外的五個元素中，已知其中的兩個元素(至少有一條邊)，可求出其余的三個未知元素(知二求三).2.已知兩個角不能解直角三角形，因為有兩個角對應相等的兩個三角形相似，但不一定全等，因此其邊的大小不確定.題型01構造直角三角形解直角三角形【例1】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）如圖，AD是△ABC的高，若BD=2CD=6，tan∠C=2，則邊AB的長為（

A．32 B．35 C．37 【答案】D【分析】先解直角△ABC求出AD，再在直角△ABD中應用勾股定理即可求出AB．【詳解】解：∵BD=2CD=6，∴CD=3，∵直角△ADC中，tan∠C=2∴AD=CD?tan∴直角△ABD中，由勾股定理可得，AB=A故選D．【點撥】本題考查利用銳角函數(shù)解直角三角形和勾股定理，難度較小，熟練掌握三角函數(shù)的意義是解題的關鍵．【變式1-1】（2021·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，sinB=13，tanC=2，AB=3，則AC的長為（

A．2 B．52 C．5 D．【答案】B【分析】過A點作AH⊥BC于H點，先由sin∠B及AB=3算出AH的長，再由tan∠C算出CH的長，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的長．【詳解】解：過A點作AH⊥BC于H點，如下圖所示：

由sin∠B=AHAB=1由tan∠C=AHCH=2，且∴在RtΔACH中，由勾股定理有：AC=A故選：B．【點撥】本題考查了解直角三角形及勾股定理等知識，如果圖形中無直角三角形時，可以通過作垂線構造直角三角形進而求解．【變式1-2】（2022·陜西西安·西安市中鐵中學?？既＃┤鐖D，在ΔABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，AB=6，CE平分∠ACBA．3+1 B．2 C．2 D．6-2【答案】B【分析】作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，分別解直角三角形ABD求得BD，AD和CD，從而求得BC，設EF=x，在直角三角形EFC中表示出【詳解】如圖，作AD⊥BC于D，作EF⊥在Rt△ABD中，BD在Rt△ADC中，∠DAC=90∴BC在Rt△BEF中，設BF在Rt△EFC中，∠CF=由CF+3x∴x∴EC故答案為：B．【點撥】本題考查了解直角三角形，解決問題的關鍵是將作輔助線，將斜三角形劃分為直角三角形．【變式1-3】（2022·浙江杭州·?？家荒＃┰凇鰽BC中，AC=42，BC=6，(1)求△ABC(2)求AB的值；(3)求cos∠【答案】(1)12(2)25(3)【分析】（1）過點A作AD⊥BC，根據(jù)∠C的正切值確定∠C的度數(shù)，再利用直角三角形的邊角間關系求出AD、（2）先利用線段的和差關系求出BD，然后在Rt△ABD中利用勾股定理求出（3）在Rt△ABD中利用直角三角形的邊角間關系求出【詳解】（1）解：過點A作AD⊥BC，垂足為∴∠ADC∵∠C為銳角且tan∴∠C∴∠DAC∴∠DAC∴AD=在Rt△∵sinC=AD∴DC=∵BC=6∴S△∴△ABC的面積為12（2）∵DC=AD=4∴BD=在Rt△AB=∴AB的值為25（3）在Rt△ABD中，AB=2∴cos∠∴cos∠ABC的值為【點撥】本題主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關系、特殊角的三角函數(shù)值、三角形的面積公式及勾股定理是解題的關鍵．【變式1-4】（2022·河南安陽·模擬預測）公交總站(點A)與B、C兩個站點的位置如圖所示，已知AC=6km，∠B=30°，∠C=15°，求B站點離公交總站的距離即AB的長(結(jié)果保留根號)．【答案】(3【分析】過點C作CD⊥AB交AB的延長線于D，易得△CDA是等腰直角三角形，由勾股定理可求得AD=CD的長，再由含30°角直角三角形的性質(zhì)求得BC，再由勾股定理可求得BD，從而求得AB．【詳解】過點C作CD⊥AB交AB的延長線于D，如圖，∵∠B=30°，∠D=90°，∴∠DCB=90°-30°=60°，∵∠ACB=15°，∴∠ACD=∠DCB-∠ACB=45°，∴∠DCA=∠DAC=45°，∴CD=AD，∴△CDA是等腰直角三角形，由勾股定理得AD=CD=2∵∠B=30°，∠D=90°，∴BC=2CD=62由勾股定理得BD=B∴AB=BD-AD=(36【點撥】本題考查了解直角三角形，構造輔助線轉(zhuǎn)化為特殊直角三角形來解決是問題的關鍵．題型02網(wǎng)格中解直角三角形【例2】（2022·江蘇常州·?？级＃┮阎谟?0個完全相同的正三角形構成的網(wǎng)格圖中，∠α、∠β如圖所示，則tanα+β=【答案】233【分析】連接DE，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得出∠α=30°，同理可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°結(jié)合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，設等邊三角形的邊長為a，則AE=2a，DE=3a，由三角函數(shù)定義即可得出答案．【詳解】解：連接DE，如圖所示：在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，∴∠α=30°，同理得：∠CDE=∠CED=30°=∠α．又∵∠AEC=60°，∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．設等邊三角形的邊長為a，則AE=2a，DE=2×sin60°?a=3a，∴tan（α+β）=AEDE=2a故答案為：23【點撥】此題考查解直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)以及圖形的變化規(guī)律，構造出含一個銳角等于∠α+∠β的直角三角形是解題的關鍵．【變式2-1】（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）如圖，在4×4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，點A，B，C均在格點上，D是AB與網(wǎng)格線的交點，則sin∠ADC2的值是【答案】5【分析】根據(jù)勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根據(jù)直角三角斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=AD=DB，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)可得∠B=12∠ADC【詳解】解：根據(jù)題意由勾股定理得：AC=∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥BC，∠C=90°，結(jié)合網(wǎng)格可知D分別為AB的中點，∴CD=AD=DB，∴∠B=∠DCB，又∵∠B+∠DCB=∠ADC，∴∠B=1∴sin∠ADC2故答案為：55【點撥】本題考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．關鍵是得出∠B=1【變式2-2】（2022·四川廣元·校考一模）如圖，A，B，C，D均為網(wǎng)格圖中的格點，線段AB與CD相交于點P，則∠APD的正切值為．【答案】3【分析】作M、N兩點，連接CM，DN，根據(jù)題意可得CM∥AB，從而可得∠APD＝∠NCD，然后先利用勾股定理的逆定理證明△CDN是直角三角形，然后再利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答．【詳解】解：如圖所示，作M、N點，連接CM、DN，由題意得：CM∥AB，∴∠APD＝∠NCD，由題意得：CN2=12∴CN∴△CDN是直角三角形，∴tan∠DCN=∴∠APD的正切值為：3．故答案為：3．【點撥】本題考查了解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．【變式2-3】（2021·北京延慶·統(tǒng)考一模）如圖所示，∠MON是放置在正方形網(wǎng)格中的一個角，則tan∠MON的值是【答案】1【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可解問題即可．【詳解】解：如圖，連接AB．∵AB=12+32=10，OA=∴AB2+OA2=∴△OAB是等腰直角三角形，∴∠AOB=∠MON=45°，tan∠MON=故答案為：1．【點撥】本題考查解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會利用數(shù)形結(jié)合的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．題型03在坐標系中解直角三角形【例3】（2023·上?！ひ荒＃┢矫嬷苯亲鴺讼祪?nèi)有一點P1,2，那么OP與x軸正半軸的夾角為α，tanα=【答案】2【分析】過點P作PA⊥x軸于點A，由P點的坐標得PA、OA的長，根據(jù)正切函數(shù)的定義得結(jié)論．【詳解】解：過點P作PA⊥x軸于點A，如圖：∵點PA⊥x，∴PA=2，OA=1，∴tanα=故答案為：2．【點撥】本題考查了點在平面直角坐標系里的意義及解直角三角形．解決本題的關鍵是構造直角三角形．【變式3-1】（2022·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，AB=5，連結(jié)AB并延長至C，連結(jié)OC，若滿足OC2=BC?AC，tanα=A．-2,4 B．-43,23 C．【答案】C【分析】過點C作CD⊥x軸，垂足為D，CE⊥x軸，垂足為E，根據(jù)已知易證ΔCBO∽ΔCOA，從而可得∠CAO=∠COB，然后在RtΔAOB中求出AO【詳解】解：過點C作CD⊥y軸，CE⊥x軸，垂足為E，∵OC∴OCAC∵∠ACO=∠BCO，∴Δ∴∠CAO=∠COB，∵tan∴tan∴AO=2BO，在RtΔABO中，∴4BO∴BO=1，∴AO=2BO=2，在RtΔCDO中，∴CD=1∵∠CEO=∠BOA=90°，∠BAO=∠BAO，∴Δ∴OBCE∴1CE∴CE=4∴CD=2∴D(-23，故選：C．【點撥】本題考查了解直角三角形，坐標與圖形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．【變式3-2】（2021·山東棗莊·校聯(lián)考一模）如圖，⊙A經(jīng)過平面直角坐標系的原點O，交x軸于點B(-4，0)，交y軸于點C(0，3)，點D為第二象限內(nèi)圓上一點．則∠CDO的正弦值是（

）A．35 B．25 C．34 【答案】A【分析】首先連接BC，可得出點B，A，C共線，再根據(jù)勾股定理求出BC，即可求sin∠OBC=OCBC，最后根據(jù)∠CDO=【詳解】如圖，連接BC，∵∠BOC=90°，∴BC是⊙A的直徑，∴點B，A，C三點共線．∵B（-4，0），C（0，3），∴OB=4，OC=3，∴BC=O∴sin∠OBC=∵∠CDO=∠OBC，∴sin∠CDO=故選：A．【點撥】本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)等，連接BC得出直角三角形是解題的關鍵．【變式3-3】（2022·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD的頂點A在x軸的正半軸上，矩形的另一個頂點D在y軸的正半軸上，矩形的邊AB=a,BC=b,∠DAO=x．則點C到x軸的距離等于（

）A．a(chǎn)cosx+bsinx B．a(chǎn)cosx+bcosx【答案】A【分析】作CE⊥y軸于E．解直角三角形求出OD，DE即可解決問題．【詳解】作CE⊥y軸于E．在Rt△OAD中，∵∠AOD=90°，AD=BC=b，∠OAD=x，∴OD=ADsin∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠CDE+∠ADO=90°，又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠CDE=∠OAD=x，∴在Rt△CDE中，∵CD=AB=a，∠CDE=x，∴DE=CDcos∴點C到x軸的距離=EO=DE+OD=acos故選：A．【點撥】本題考查了解直角三角形的應用，矩形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關鍵．題型04解直角三角形的相關計算【例4】（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點D，E．點B，C，D，E處的讀數(shù)分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長為．【答案】2【分析】先求解AB=3,AD=【詳解】解：由題意可得：DE=1,DC=15-12=3,∵∠A=60°,∠ABC=90°,∴AB=BC同理：AD=DE∴BD=AB-AD=3故答案為：2【點撥】本題考查的是銳角的正切的應用，二次根式的減法運算，掌握“利用銳角的正切求解三角形的邊長”是解本題的關鍵．【變式4-1】（2020·浙江麗水·統(tǒng)考模擬預測）圖1是一個閉合時的夾子，圖2是該夾子的主視示意圖，夾子兩邊為AC，BD（點A與點B重合），點O是夾子轉(zhuǎn)軸位置，OE⊥AC于點E，OF⊥BD于點F，OE=OF=1cm，AC=BD=6cm，CE=DF，CE:AE=2:3.按圖示方式用手指按夾子，夾子兩邊繞點O轉(zhuǎn)動．(1)當E，F(xiàn)兩點的距離最大值時，以點A，B，C，D為頂點的四邊形的周長是

cm．(2)當夾子的開口最大（點C與點D重合）時，A，B兩點的距離為cm．【答案】16【分析】（1）當E.O、F三點共線時，E.F兩點間的距離最大，此時四邊形ABCD是矩形，可得AB=CD=EF=2cm，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出周長即可．（2）當夾子的開口最大（點C與D重合）時，連接OC并延長交AB于點H，可得CH⊥AB，AH=BH，利用已知先求出CE=125cm，在Rt△OEF中利用勾股定理求出CO的長，由sin∠ECO=OECO=【詳解】（1）當E.O、F三點共線時，E.F兩點間的距離最大，此時四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=EF=2cm，∴以點A，B，C，D為頂點的四邊形的周長為2+6+2+6=16cm．（2）當夾子的開口最大（點C與D重合）時，連接OC并延長交AB于點H，∴CH⊥AB，AH=BH，∵AC=BD=6cm，CE∶AE=2∶3，∴CE=12在Rt△OEF中，CO=O∵sin∠ECO=OECO∴AB=2AH=6013故答案為16，6013【點撥】本題主要考查了勾股定理與旋轉(zhuǎn)的結(jié)合，做題時準確理解題意利用已知的直角三角形進行求解是解題的關鍵．【變式4-2】（2022·上海金山·?？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE，若tan∠ADB=12，則tan∠DEC【答案】2【分析】過點C作CF⊥BD于點F，易證ΔABE?ΔCDF(AAS)，從而可求出AE=CF，BE=FD，設AB＝a，則AD＝2a，根據(jù)三角形的面積可求出AE，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．【詳解】解：如圖，過點C作CF⊥BD于點F，設CD=2a，在ΔABE與ΔCDF中，∠AEB=∠CFD∠ABE=∠CDF∴ΔABE?ΔCDF(AAS∴AE=CF，BE=FD，∵AE⊥BD，tan∠ADB＝ABAD＝1設AB＝a，則AD＝2a，∴BD＝5a，∵S△ABD＝12BD?AE＝12AB?∴AE＝CF＝255∴BE＝FD＝55a∴EF＝BD﹣2BE＝5a﹣255a＝3∴tan∠DEC＝CFEF＝2故答案為：23【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)等知識，熟練掌握上述知識是解題的關鍵．【變式4-3】（2022·浙江紹興·模擬預測）如圖，在擰開一個邊長為a的正六角形螺帽時，扳手張開的開口b=20mm，則邊長a為mm．【答案】20【分析】根據(jù)題意，即是求該正六邊形的邊心距的2倍．構造一個由半徑、半邊、邊心距組成的直角三角形，且其半邊所對的角是30度，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的知識求解．【詳解】解：如圖，設正六邊形的中心是O，其一邊是AB，∴∠AOB=∠BOC=60°，∴OA=OB=AB=OC=BC，∴四邊形ABCO是菱形，∵AB=a，∠AOB=60°，∴cos∠BAC=AMAB∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，∴AM=MC=12AC∵AC=20mm，∴a=AB=AMcos30°故答案為：203【點撥】本題考查了正多邊形和圓的知識，構造一個由半徑、半邊、邊心距組成的直角三角形，熟練運用銳角三角函數(shù)進行求解是關鍵．題型05構造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積【例5】（2022·四川綿陽·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABCD的對角線AC.BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，則這個四邊形的面積是（

）A．34 B．32 C．3 D【答案】C【分析】過B.D兩點分