2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義第26講圓的相關(guān)概念及性質(zhì)

第26講圓的相關(guān)概念及性質(zhì)目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識(shí)建構(gòu)考點(diǎn)一圓的相關(guān)概念題型01理解圓的相關(guān)概念題型02圓的周長(zhǎng)與面積相關(guān)計(jì)算題型03圓中的角度計(jì)算題型04圓中線(xiàn)段長(zhǎng)度的計(jì)算題型05求一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最值考點(diǎn)二圓的性質(zhì)題型01由垂徑定理及推論判斷正誤題型02利用垂徑定理求解題型03根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求解題型04根據(jù)垂徑定理與相似三角形綜合求解題型05在坐標(biāo)系中利用勾股定理求值或坐標(biāo)題型06利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題題型07利用垂徑定理求同心圓問(wèn)題題型08垂徑定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用題型09利用垂徑定理的推論求解題型10垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用題型11利用垂徑定理求取值范圍題型12利用弧、弦、圓心角關(guān)系判斷正誤題型13利用弧、弦、圓心角關(guān)系求角度題型14利用弧、弦、圓心角關(guān)系求線(xiàn)段長(zhǎng)題型15利用弧、弦、圓心角關(guān)系求周長(zhǎng)題型16利用弧、弦、圓心角關(guān)系求面積題型17利用弧、弦、圓心角關(guān)系求弧的度數(shù)題型18利用弧、弦、圓心角關(guān)系比較大小題型19利用弧、弦、圓心角關(guān)系求最值題型20利用弧、弦、圓心角關(guān)系證明題型21利用圓周角定理求解題型22利用圓周角定理推論求解題型23已知圓內(nèi)接四邊形求角度題型24利用圓的有關(guān)性質(zhì)求值題型25利用圓的有關(guān)性質(zhì)證明題型26利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決翻折問(wèn)題題型27利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決最值問(wèn)題題型28利用圓的有關(guān)性質(zhì)求取值范圍題型29利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決多結(jié)論問(wèn)題題型30圓有關(guān)的常見(jiàn)輔助線(xiàn)-遇到弦時(shí),常添加弦心距題型31圓有關(guān)的常見(jiàn)輔助線(xiàn)-遇到有直徑時(shí),常添加（畫(huà)）直徑所對(duì)的圓周角考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)圓的相關(guān)概念①理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念.了解等圓、等弧的概念.在中考數(shù)學(xué)中，圓的基本性質(zhì)在小題中通?？疾靾A的基本概念、垂徑定理、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形等基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度一般在中檔及以下，而在簡(jiǎn)答題中，圓的基本性質(zhì)還可以和相似、三角形函數(shù)、特殊四邊形等結(jié)合出題，難度中等或偏上.在整個(gè)中考中的占比也不是很大，通常都是一道小題一道大題，分值在3-13分左右，屬于中考中的中檔考題.所以，考生在復(fù)習(xí)這塊考點(diǎn)的時(shí)候，要充分掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)的各個(gè)概念、性質(zhì)以及推論，才能在后續(xù)的結(jié)合問(wèn)題中更好的舉一反三.圓的性質(zhì)圓的對(duì)稱(chēng)性理解圓既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形.垂徑定理及推論探索并證明垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對(duì)的兩條弧.弧、弦、圓心角的關(guān)系探索圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系，知道同弧(或等弧)所對(duì)的圓周角相等.圓周角定理及推論了解并證明圓周角定理及其推論.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)理解圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).考點(diǎn)一圓的相關(guān)概念定義內(nèi)容補(bǔ)充說(shuō)明圓在一個(gè)平面內(nèi)，線(xiàn)段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫圓.以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O.由圓的定義可知，確定圓的兩個(gè)條件①圓心，它確定圓的位置.②半徑，它確定圓的大小.圓心為O、半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)組成的圖形.弦連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做弦.①在一個(gè)圓上可以畫(huà)無(wú)數(shù)條弦和直徑.②直徑是弦，但弦不一定是直徑.③直徑是最長(zhǎng)的弦.直徑經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑.弧圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧.弧用符號(hào)：“”表示.以A,B為端點(diǎn)的弧記作AB，讀作：“圓弧AB”或“弧AB①半圓是弧,但弧不一定是半圓.②弧有長(zhǎng)度和度數(shù),規(guī)定半圓的度數(shù)為180°,劣弧的度數(shù)小于180°,優(yōu)弧的度數(shù)大于180°.半圓圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.優(yōu)弧大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.劣弧小于半圓的弧叫做劣弧.同圓圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓.①在同圓或等圓中能夠互相重合的弧是等弧,度數(shù)或長(zhǎng)度相等的弧不一定是等弧.②同圓或等圓的半徑相同.等圓半徑相等的圓叫做等圓.同心圓圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓.弦心距從圓心到弦的距離叫做弦心距.圓心角頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.圓周角頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.兩個(gè)特征：①頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都和圓相交，二者缺一不可．圓內(nèi)接四邊形如果四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形.這個(gè)圓叫做這個(gè)四邊形的外接圓.題型01理解圓的相關(guān)概念【例1】（2023·廣東湛江·統(tǒng)考二模）下列說(shuō)法中，正確的是（

）①對(duì)角線(xiàn)垂直且互相平分的四邊形是菱形；②對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是矩形；③同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；④弧分為優(yōu)弧和劣弧．A．① B．①③ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】根據(jù)菱形和矩形的判定方法、圓周角定理、弧的分類(lèi)，逐項(xiàng)判斷即可得出答案．【詳解】解：①對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形，對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形為菱形，故該項(xiàng)正確；②對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形有可能是等腰梯形，對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形才是矩形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；③在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；④弧分為優(yōu)弧、劣弧、半圓弧，故該項(xiàng)錯(cuò)誤；綜上可知，正確的有①，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查菱形、矩形的判定，圓周角定理，弧的分類(lèi)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）下列關(guān)于圓的說(shuō)法中，正確的是（

）A．過(guò)三點(diǎn)可以作一個(gè)圓 B．相等的圓心角所對(duì)的弧相等C．平分弦的直徑垂直于弦 D．圓的直徑所在的直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸【答案】D【分析】利用圓的有關(guān)定義及性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：A.過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)一定能作一個(gè)圓，故錯(cuò)誤，不符合題意；B.同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故錯(cuò)誤，不符合題意；C.平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，故錯(cuò)誤，不符合題意；D.圓的直徑所在的直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸，正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了確定圓的條件及圓的有關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)性質(zhì)及定義，難度不大．【變式1-2】（2021·河南南陽(yáng)·校聯(lián)考一模）下列關(guān)于圓的說(shuō)法，正確的是（

）A．弦是直徑，直徑也是弦B．半圓是圓中最長(zhǎng)的弧C．圓的每一條直徑所在的直線(xiàn)都是它的對(duì)稱(chēng)軸D．過(guò)三點(diǎn)可以作一個(gè)圓【答案】C【分析】根據(jù)弧、弦的概念、對(duì)稱(chēng)軸的概念、過(guò)三點(diǎn)的圓的條件判斷即可．【詳解】解：A.弦不一定是直徑，但直徑是弦，本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；B.半圓小于優(yōu)弧，半圓是圓中最長(zhǎng)的弧說(shuō)法錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不符合題意；C.圓的每一條直徑所在的直線(xiàn)都是它的對(duì)稱(chēng)軸，本選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意；D.過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)可以作一個(gè)圓，本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了圓的有關(guān)概念和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握這些性質(zhì)，靈活運(yùn)用它們解答．【變式1-3】（2022·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）下列語(yǔ)句中，正確的是（）①相等的圓周角所對(duì)的弧相等；②同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；③平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的?。虎軋A內(nèi)接平行四邊形一定是矩形．A．①② B．②③ C．②④ D．④【答案】C【分析】根據(jù)圓周角定理、垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理判斷．【詳解】①在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等，本說(shuō)法錯(cuò)誤；②同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，本說(shuō)法正確；③平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧，本說(shuō)法錯(cuò)誤；④圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形，本說(shuō)法正確；故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查的是命題的真假判斷，掌握?qǐng)A周角定理、垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．題型02圓的周長(zhǎng)與面積相關(guān)計(jì)算【例2】（2023·福建泉州·南安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┻m時(shí)的休閑可以緩解學(xué)習(xí)壓力，如圖是火影忍者中的仙法·白激之術(shù)，其形狀外圍大致為正圓，整體可看成為兩個(gè)同心圓，BC=400像素，∠ABC=90°，那么周?chē)鷪A環(huán)面積約為（

）

A．40000π B．1600π C．64000π D．160000π【答案】D【分析】圓環(huán)的面積等于大圓面積減去小圓面積，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，設(shè)同心圓的圓心為O，連接OC，則大圓的半徑為OC，小圓的半徑為OB，

∴設(shè)小圓的半徑為OB=r，大圓的半徑OC=R，∵BC=400像素，∠ABC=90°，∴AB⊥BC，在Rt△OBC中，OB∴R2∵S圓環(huán)∴S圓環(huán)故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查圓與直角三角形的綜合，掌握?qǐng)A環(huán)面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2019·廣東佛山·佛山市三水區(qū)三水中學(xué)?？家荒＃┠彻珗@計(jì)劃砌一個(gè)形狀如圖（1）所示的噴水池，后來(lái)有人建議改為圖（2）的形狀，且外圓的直徑不變，噴水池邊沿的寬度、高度不變，你認(rèn)為砌噴水池的邊沿（

）A．圖（1）需要的材料多 B．圖（2）需要的材料多C．圖（1）、圖（2）需要的材料一樣多 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式，將每個(gè)圓的周長(zhǎng)計(jì)算出來(lái)，找到和周長(zhǎng)L的關(guān)系即可．【詳解】設(shè)大圓的直徑是D，圖（2）中三個(gè)小圓的直徑分別為：d1,d2,d3,∴d1+d2+d3=D根據(jù)圓周長(zhǎng)公式，得圖（1）中，需要2πD；圖（2）中，需要πD+πd1+πd2+πd3=πD+π(d1+d2+d3)=2πD故選：C．【點(diǎn)撥】注意：第二個(gè)圖中，計(jì)算三個(gè)小圓的周長(zhǎng)時(shí)候，提取π，所有的直徑之和是大圓的直徑．【變式2-2】（2021·河南南陽(yáng)·校聯(lián)考一模）方孔錢(qián)是我國(guó)古代銅錢(qián)的固定形式，呈“外圓內(nèi)方”．如圖所示，是方孔錢(qián)的示意圖，已知“外圓”的周長(zhǎng)為2π，“內(nèi)方”的周長(zhǎng)為4，則圖中陰影部分的面積是．【答案】π﹣1【分析】根據(jù)陰影部分面積＝圓的面積﹣中間正方形的面積即可求得．【詳解】解：∵“外圓”的周長(zhǎng)為2π，“內(nèi)方”的周長(zhǎng)為4，∴“外圓”的的半徑為1，“內(nèi)方”的邊長(zhǎng)為1，∴圓的面積為π，中間正方形的面積為1，∴圖中陰影部分面積為：π﹣1．故答案為：π﹣1．【點(diǎn)撥】本題考查了圓的面積，明確陰影部分面積的組成是解決本題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）如圖，一枚圓形古錢(qián)幣的中間是一個(gè)正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對(duì)角線(xiàn)之比為3∶1，則圓的面積約為正方形面積的倍．（精確到個(gè)位）【答案】14【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)求圓的半徑和正方形的邊長(zhǎng)，利用面積公式求解即可.【詳解】解：如圖由題意得AC與EF共線(xiàn)∵圓的直徑與正方形的對(duì)角線(xiàn)之比為3：1∴EF：AC=3：1∴OE：OA=3：1設(shè)OE=3x，OA=x在正方形ABCD中由勾股定理得：AD=2x∴圓的面積為：π×（3x）2=9πx2正方形的面積為（2x）2=2x2∴9πx2÷2x2=9π故答案為：14【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，以及圓與正方形的面積公式的求解.【變式2-4】（2021·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？家荒＃┌岩粋€(gè)圓心為O，半徑為r的小圓面積增加一倍，兩倍，三倍，分別得到如圖所示的四個(gè)圓（包括原來(lái)的小圓），則這四個(gè)圓的周長(zhǎng)之比（按從小到大順序排列）是．【答案】1：2：3：2【分析】設(shè)最小的圓的面積是a，則其它三個(gè)圓的面積分別是2a，3a，4a．由題意得四個(gè)圓是相似形，根據(jù)面積比可求得其相似比，根據(jù)周長(zhǎng)比等于相似比即可得到答案．【詳解】解：設(shè)最小的圓的面積是a，則其它三個(gè)圓的面積分別是2a，3a，4a，所有的圓都是相似形，面積的比等于半徑的比的平方，因而半徑的比是1:2:3故答案為：1:2【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓相似形時(shí)，解題的關(guān)鍵是：掌握面積的比等于相似比的平方，周長(zhǎng)的比等于相似比．題型03圓中的角度計(jì)算【例3】（2022·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，點(diǎn)C在弦AB上，連接CO并延長(zhǎng)CO交于⊙O于點(diǎn)D，∠D=20°，則∠BAD的度數(shù)是（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【分析】連接OA，根據(jù)圓的半徑相等證明∠OAB=∠B和∠OAD=∠D，得到答案．【詳解】解：連接OA，∵OA=OB，∴∠OAB=∠B=30°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠D=20°，∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=50°，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查的是圓的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的半徑相等和等邊對(duì)等角是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OC＝12OD，則∠ABDA．90° B．95° C．100° D．105°【答案】D【分析】連接OB，即得出OB＝OD，從而得出∠OBD＝∠ODB．根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合題意可判斷∠OBC＝30°，再利用平行線(xiàn)的性質(zhì)可得出∠BOD＝∠OBC＝30°，從而根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠OBD＝∠ODB＝75°，最后由∠ABD＝∠OBC+∠OBD求解即可．【詳解】如圖：連接OB，∴OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB．∵OC＝12OD∴OC＝12OB∵OC⊥AB，∴sin∠OBC=∴∠OBC＝30°．∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠OBC＝30°，∴∠OBD＝∠ODB＝75°，∴∠ABD＝∠OBC+∠OBD=30°+75°＝105°．故選D．【點(diǎn)撥】本題考查圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用．連接常用的輔助線(xiàn)是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·河北廊坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，CD是⊙O的直徑，弦DE∥AO，若∠A=25°，則∠D的度數(shù)為（

A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【分析】由OA=OC，得∠C=∠A=25°，再由三角形外角性質(zhì)得∠AOD=50°，然后根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵CD是⊙O的直徑，∴OA=OC，∴∠C=∠A=25°，∴∠AOD=∠C+∠A=50°，∵OA∥DE，∴∠D=∠AOD=50°，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，本題屬基礎(chǔ)題目，難度不大．【變式3-3】（2022·江蘇蘇州·蘇州市振華中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在扇形AOB中，D為AB上的點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)與OB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)C，若CD=OA，∠O=75°，則∠A的度數(shù)為（

）A．35° B．52.5° C．70° D．72°【答案】C【分析】連接OD，根據(jù)CD=OA，OA=OD，設(shè)∠C=α，根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形外角的性質(zhì)可得∠A=3α，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得【詳解】解：如圖，連接OD，∴OA=OD∴∠A=∠ODA∵CD=OA∴∠C=∠DOC設(shè)∠C=α，∴∠A=∠ODA=∠DOC+∠C=2α在△AOC中，∠O=75°∴∠A+∠C=105°∴3α=105°∴α=35°∴∠A=2α=70°故選C【點(diǎn)撥】本題考查了圓的基本概念，等角對(duì)等邊，三角形內(nèi)角和定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型04圓中線(xiàn)段長(zhǎng)度的計(jì)算【例4】（2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在斜邊AB上，以BD為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)邊AC上的點(diǎn)E，連接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半徑為3，AD=2，則線(xiàn)段BC的長(zhǎng)為（

A．403 B．8 C．245 D【答案】C【分析】連接OE，證明OE∥【詳解】解：連接OE，如圖，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE=∠CBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠CBE=∠OEB，∴OE∥∴△AOE∽△ABC，∴OEBC∵⊙O的半徑為3，AD=2，∴AO=AD+OD=5，∴BC=OE?AB故選：C．

【點(diǎn)撥】本題考查了圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·云南臨滄·統(tǒng)考一模）已知AB=12，C.D是以AB為直徑的⊙O上的任意兩點(diǎn)，連接CD，且AB⊥CD，垂足為M，∠OCD=30°，則線(xiàn)段MB的長(zhǎng)為．【答案】9【分析】根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到OM=12OC=3【詳解】解：如圖，∵AB⊥CD，∴OM=1∵AB=12，∴OC=OB=6，∴OM=3，∴MB=OM+OB=9，故答案為：9．【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確求出OM=1【變式4-2】（2023·廣東·統(tǒng)考一模）已知A.B是圓O上的點(diǎn)，以O(shè)為圓心作弧，交OA、OB于點(diǎn)C.D．分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于12CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)E．作線(xiàn)段OE，交AB于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G．若OF=3cm，∠AOB=120°，則⊙O【答案】6【分析】連接CD，根據(jù)作圖得出OE垂直平分CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠AOE=∠BOE=12∠AOB=60°，OF⊥AB【詳解】解：連接CD，根據(jù)作圖可知，OC=OD，OE垂直平分CD，∵OC=OD，OE⊥CD，∴∠AOE=∠BOE=1即∠AOF=∠BOF=1∵AO=BO，∴OF⊥AB，∴∠AFO=90°，∴∠OAF=30°，∴OA=2OF=2×3=6cm故答案為：6．【點(diǎn)撥】本題主要考查了尺規(guī)作線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．題型05求一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最值【例5】（2023·山東德州·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=3，BC=4．點(diǎn)P是線(xiàn)段BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線(xiàn)段AP上一點(diǎn)．∠ADM=∠BAP，則BM的最小值為（

）A．52 B．125 C．13-【答案】D【分析】證明∠AMD=90°，得出點(diǎn)M在O點(diǎn)為圓心，以A【詳解】設(shè)AD的中點(diǎn)為O，以O(shè)點(diǎn)為圓心，AO為半徑畫(huà)圓∵四邊形ABCD為矩形∴∠BAP∵∠ADM=∠BAP∴∠MAD∴∠AMD∴點(diǎn)M在O點(diǎn)為圓心，以AO為半徑的圓上連接OB交圓O與點(diǎn)N∵點(diǎn)B為圓O外一點(diǎn)∴當(dāng)直線(xiàn)BM過(guò)圓心O時(shí)，BM最短∵BO2∴B∴BO=∵BN=BO-AO=故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查直角三角形、圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關(guān)知識(shí)．【變式5-1】（2021·山東臨沂·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=10，BC=12，點(diǎn)D是ΔABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接AD，CD，BD，滿(mǎn)足∠ADC=90°，則A．5 B．6 C．8 D．13【答案】C【分析】如圖，取AC中點(diǎn)O，連接DO．則點(diǎn)D在以點(diǎn)O為圓心，AC長(zhǎng)為直徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)O、D、B在同一直線(xiàn)上時(shí)，OB最短，此時(shí)BD=OB-OD=OB-5為最短．所以BD=OB-OD=OB-5=13-5=8，即為BD的最小值．【詳解】解：如圖，取AC中點(diǎn)O，連接DO．∵∠ADC=90°，∴點(diǎn)D在以點(diǎn)O為圓心，AC長(zhǎng)為直徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，且DO=1當(dāng)O、D、B在同一直線(xiàn)上時(shí)，OB最短，此時(shí)BD=OB-OD=OB-5為最短．在RtΔOC=5，BC=12，則OB=12∴BD=OB-OD=OB-5=13-5=8，即BD的最小值是8．故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了兩點(diǎn)之間最短距離的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)造圓和運(yùn)用勾股定理．【變式5-2】（2022·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC中，AB=AC，BC=24，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD=5，P是半徑為3的⊙A上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PC，若E是PC的中點(diǎn)，連結(jié)DE，則DE長(zhǎng)的最大值為（

）A．8 B．8.5 C．9 D．【答案】A【分析】連接BP，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理可得DE=12BP，從而得到當(dāng)BP最大時(shí)，DE最大，再由當(dāng)PB過(guò)圓心A時(shí)，【詳解】解：如圖，連接BP，∵AB=AC，BC=24，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴BD=CD=12，∵E是PC的中點(diǎn)，∴DE=1∴當(dāng)BP最大時(shí)，DE最大，∵P是半徑為3的⊙A上一動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)PB過(guò)圓心A時(shí)，PB最大，此時(shí)P、A.B三點(diǎn)共線(xiàn)，∵AD=5，BD=12，∴AB=13，∴PB的最大值為13+3=16，∴DE的最大值為8．故選：A【點(diǎn)撥】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及三角形中位線(xiàn)定理，明確當(dāng)PB取最大值時(shí)，DE的長(zhǎng)最大是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(3，0)、B(0，3)，點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且BC=2，點(diǎn)M為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為（

）A．322+1 B．32+2 C【答案】A【分析】根據(jù)同圓的半徑相等可知：點(diǎn)C在半徑為2的⊙B上，通過(guò)畫(huà)圖可知，C在BD與圓B的交點(diǎn)時(shí)，OM最小，在DB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，OM最大，根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=2，∴C在⊙B上，且半徑為2，取OD=OA=3，連接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位線(xiàn)，∴OM=12=CD當(dāng)OM最大時(shí)，即CD最大，而D，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，當(dāng)C在DB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，OM最大，∵OB=3，OD=3，∠BOD=90°，∴BD=32∴CD=32∴OM=12CD=322+1，即故選A【點(diǎn)撥】本題考查了坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，三角形的中位線(xiàn)定理等知識(shí)，確定OM為最大值時(shí)點(diǎn)C的位置是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)．考點(diǎn)二圓的性質(zhì)1.圓的對(duì)稱(chēng)性?xún)?nèi)容補(bǔ)充圓的軸對(duì)稱(chēng)性經(jīng)過(guò)圓心任意畫(huà)一條直線(xiàn)，并沿此直線(xiàn)圓對(duì)折,直線(xiàn)兩旁的部分能夠完全重合，因此圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，每一條直徑所在的直線(xiàn)都是它的對(duì)稱(chēng)軸，圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸.①圓的旋轉(zhuǎn)不變性是其他中心對(duì)稱(chēng)圖形所沒(méi)有的性質(zhì).②圓的對(duì)稱(chēng)軸不是直徑，而是直徑所在的直線(xiàn).③圓是一個(gè)特殊的對(duì)稱(chēng)圖形，它的許多性質(zhì)都可以由它的對(duì)稱(chēng)性推出.圓的中心對(duì)稱(chēng)性將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)180°能與自身重合，因此它是中心對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)中心是圓心.將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與自身重合，這說(shuō)明圓具有旋轉(zhuǎn)不變性.2.垂徑定理及推論垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.推論：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.垂徑定理模型（知二得三）如圖，可得①垂徑定理模型（知二得三）如圖，可得①AB過(guò)圓心②AB⊥CD③CE=DE④AC=AD【總結(jié)】垂徑定理及其推論實(shí)質(zhì)是指一條直線(xiàn)滿(mǎn)足：（1）過(guò)圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的弦不是直徑）（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)?。?）平分弦所對(duì)的劣弧，若已知五個(gè)條件中的兩個(gè)，那么可推出其中三個(gè)，簡(jiǎn)稱(chēng)“知二得三”，解題過(guò)程中應(yīng)靈活運(yùn)用該定理.常見(jiàn)輔助線(xiàn)做法（考點(diǎn)）：1）過(guò)圓心，作垂線(xiàn)，連半徑，造Rt2）有弦中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分.【易錯(cuò)點(diǎn)】求兩條弦間的距離時(shí)要分類(lèi)討論兩條弦與圓心的相對(duì)位置：兩弦在圓心的同側(cè)，兩弦在圓心的異側(cè)．3.弧、弦、圓心角的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等.推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等.【解題思路】在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么這兩條弧所對(duì)的弦相等，所對(duì)的圓心角、圓周角也都相等．運(yùn)用這些相等關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)線(xiàn)段相等與角相等之間的相互轉(zhuǎn)化．4.圓周角定理圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.（即：圓周角=1推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.【補(bǔ)充】圓的一條?。ㄏ遥┲粚?duì)著一個(gè)圓心角，對(duì)應(yīng)的圓周角有無(wú)數(shù)個(gè)，但圓周角的度數(shù)只有兩個(gè)，這兩個(gè)度數(shù)和為180°【解題思路】1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，在同圓中可以利用圓周角定理進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化.2）在證明圓周角相等或弧相等時(shí)，通?！坝傻冉钦业然　被颉坝傻然≌业冉恰?3）當(dāng)已知圓的直徑時(shí)，常構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角．4）在圓中求角度時(shí)，通常需要通過(guò)一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過(guò)兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等．11）圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過(guò)作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形,利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.2）圓周角和圓周角可利用其“橋梁”——圓心角來(lái)轉(zhuǎn)化.3）圓周角定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角.5.圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)：1）圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ).2)圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角.題型01由垂徑定理及推論判斷正誤【例1】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，CD是⊙O是直徑，AB是弦且不是直徑，CD⊥AB，則下列結(jié)論不一定正確的是（

）

A．AE=BE B．OE=DE C．AO=CO D．AD【答案】B【分析】由于CD⊥AB,根據(jù)垂徑定理有AE=BE,AD=BD,不能得出OE=DE,【詳解】解：如圖所示，∵CD⊥AB,∴AE=BE,AD=⊙O的半徑都相等，那么AO=CO,不能得出OE=DE.故選:B.【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理.解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理的內(nèi)容.【變式1-1】（2022·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)F是⊙O直徑AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），過(guò)點(diǎn)F作弦CD⊥AB，點(diǎn)E是AD上不與點(diǎn)D重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中不一定正確的是（

）A．CF=DF B．ACC．∠BAC=∠BED D．∠ABC>∠BED【答案】D【分析】根據(jù)垂徑定理，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，即可．【詳解】∵AB是直徑，CD是弦，CD⊥AB，垂足為F，∴CF=DF，CB=DB，∴∠BAC=∠BED，∠CAB=∠BED，∴A.B.C正確；∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，∴∠BED+∠ABC=90°，但是不能確定∠ABC和∠BED的大小關(guān)系，∴∠ABC>∠BED不一定正確，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查圓的性質(zhì)，垂徑定理，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理的運(yùn)用．【變式1-2】（2022·山東濟(jì)寧·二模）如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，垂足為E，連接CO、AD、OD，∠BAD=22.5°，則下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．CE=EO B．OC=2CD C．∠OCE=45° D【答案】B【分析】由AB⊥CD，AB是⊙O的直徑，得CE=DE，BC?=BD?，進(jìn)而得出△OCE為等腰直角三角形，進(jìn)而得出∠OCE=45°，【詳解】解：∵AB⊥CD，AB是⊙O的直徑，∴CE=DE，BC?∴∠BOC=2∠BAD=2×22.5°=45°，∴△OCE為等腰直角三角形，∴∠OCE=45°，OC=2CE，∴OC=2故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理及解直角三角形，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．題型02利用垂徑定理求解【例2】（2023·廣東佛山·?？家荒＃┤鐖D，線(xiàn)段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，若AB長(zhǎng)為16，OE長(zhǎng)為6，則⊙O半徑是（

）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】D【分析】連接OB，由垂徑定理可得BE=AE=8，由勾股定理計(jì)算即可獲得答案．【詳解】解：如圖，連接OB，∵線(xiàn)段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，AB=16，∴BE=AE=1∴在Rt△OBE中，可有∴⊙O半徑是10．故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了垂徑定理及勾股定理等知識(shí)，理解并掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·重慶·重慶八中?？家荒＃┤鐖D，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，AC＝CD，⊙O的半徑為22，則△AOC的面積為（）A．3 B．2 C．23 D．4【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理求出CE=12CD=12AC，則在Rt△ACE中存在特殊角，即∠CAO=30°，∠ACE=60°，根據(jù)OC=OA=22，得到∠CAO=∠ACO=30°，則有∠OEC=30°，則在Rt△OCE中有OE=12OC=2，CE=3OE=6，則【詳解】∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，∴直徑AB平分弦CD，E為CD中點(diǎn)，∴CE=12CD=12∴∠CAO=30°，∴∠ACE=60°，又∵OC=OA=22∴∠CAO=∠ACO=30°，∴∠OEC=30°，∴Rt△OCE中有OE=12OC=2，CE=3OE=6則△AOC的面積為：S=1故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了垂徑定理以及解特殊直角三角形的知識(shí)，靈活運(yùn)用垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·廣東廣州·執(zhí)信中學(xué)校考二模）如圖，⊙O是ΔABC的外接圓，∠BAC=60°，若⊙O的半徑OC為2，則弦BC的長(zhǎng)為（

）A．4 B．23 C．3 D．【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BC，交BC于點(diǎn)M，根據(jù)圓周角定理以及垂徑定理可得結(jié)果．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BC，交BC于點(diǎn)M，∵⊙O是ΔABC的外接圓，∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=120°，又∵OB=OC，OM⊥BC，∴∠COM=12∠BOC=60°∴在RtΔCOM中，∴OM=12OC=1∴BC=2CM=23故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，熟知相關(guān)性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知⊙O的直徑CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB=8cm，則A．25cm B．43cm C．25【答案】C【分析】先畫(huà)好一個(gè)圓，標(biāo)上直徑CD，已知AB的長(zhǎng)為8cm，可知分為兩種情況，第一種情況AB與OD相交，第二種情況AB與OC相交，利用勾股定理即可求出兩種情況下的AC的長(zhǎng)；【詳解】連接AC，AO，∵圓O的直徑CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=12AB=12×8=4cm，OD=OC=5當(dāng)C點(diǎn)位置如圖1所示時(shí)，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM=OA2-AM∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC=AM2當(dāng)C點(diǎn)位置如圖2所示時(shí)，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5?3=2cm，在Rt△AMC中，AC=AM2故選C．【點(diǎn)撥】本題考查垂徑定理和勾股定理，根據(jù)題意正確畫(huà)出圖形進(jìn)行分類(lèi)討論，熟練運(yùn)用垂徑定理是解決本題的關(guān)鍵．題型03根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求解【例3】（2022·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB為⊙O的直徑，AE為⊙O的弦，C為優(yōu)弧ABE的中點(diǎn)，CD⊥AB，垂足為D，AE=8，DB=2，則⊙O的半徑為（

）A．6 B．5 C．42 D．【答案】B【分析】如圖，連接CO，延長(zhǎng)CO交AE于點(diǎn)T．設(shè)⊙O的半徑為r．證明△AOT?△CODAAS，推出CD=AT=4【詳解】解：如圖，連接CO，延長(zhǎng)CO交AE于點(diǎn)T，設(shè)⊙O的半徑為∵AC∴CT⊥AE，∴AT=TE=1在△AOT和△AOD中，∠ATO=∠CDO=90°∠AOT=∠COD∴△AOT?△CODAAS∴CD=AT=4，在Rt△COD中，OC∴r∴r=5，故選：B．【點(diǎn)撥】此題主要考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解答該題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，該題屬于中考?？碱}型．【變式3-1】（2020·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為BD的中點(diǎn)，CF為⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足為E，連接BD交CF于點(diǎn)G，連接CD，AD，BF．(1)求證：ΔBFG?ΔCDG；(2)若AD=BE=2，求BF的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)BF=23【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)C為BD的中點(diǎn)和垂徑定理可證CD=BF，再利用AAS即可證得結(jié)論；(2)解法一：連接OF，設(shè)⊙O的半徑為r，由CF=BD列出關(guān)于r的方程就能求解；解法二：如圖，作輔助線(xiàn)，構(gòu)建角平分線(xiàn)和全等三角形，證明RtΔAHC?RtΔAEC，得AE=AH，再證明RtΔCDH?RtΔCBEHL，得DH=BE=2，進(jìn)而可得AE和AB的長(zhǎng)，易證ΔBEC～ΔBCA，列比例式可求得BC的長(zhǎng)，也就是BF解法三：連接OC，根據(jù)垂徑定理和三角形的中位線(xiàn)定理可得OH=1，再證明ΔCOE?ΔBOH，然后利用勾股定理即可求出結(jié)果．【詳解】證明：(1)∵C是BD的中點(diǎn)，∴CD=∵AB是⊙O的直徑，且CF⊥AB，∴BC=∴CD=BF，∴在ΔBFG和ΔCDG中，∵∠F=∠CDG∠FGB=∠DGC∴ΔBFG?ΔCDGAAS(2)解法一：如圖，連接OF，設(shè)⊙O的半徑為r，RtΔADB中，BD2=ARtΔOEF中，OF2=O∵CD=BC=BF，∴BD∴BD即2r2解得：r=1(舍)或3，∴BF∴BF=23

解法二：如圖，過(guò)C作CH⊥AD交AD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，連接AC、BC，∵CD=BC，∴∵CE⊥AB，∴CH=CE，∵AC=AC，∴RtΔAHC?RtΔAEC，∴AE=AH，∵CH=CE，CD=CB，∴RtΔCDH?RtΔCBEHL∴DH=BE=2，∴AE=AH=2+2=4，∴AB=4+2=6，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∵∠EBC=∠ABC，∴ΔBEC～ΔBCA，∴BCAB∴BC∴BF=BC=23

解法三：如圖，連接OC，交BD于H，∵C是BD的中點(diǎn)，∴OC⊥BD，∴DH=BH，∵OA=OB，∴OH=1∵OC=OB，∠COE=∠BOH，∠OHB=∠OEC=90∴ΔCOE?ΔBOHAAS∴OH=OE=1，OC=OB=3，∴CE=EF=3∴BF=B

【點(diǎn)撥】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、一元二次方程的求解、三角形全等的性質(zhì)和判定以及勾股定理等知識(shí)．第二問(wèn)有難度，注意掌握輔助線(xiàn)的作法和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式3-2】（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖AB為圓O的直徑，AE為圓O的弦，C為O上一點(diǎn)，AC=CE，CD⊥AB，垂足為

(1)連接CO，判斷CO與AE的位置關(guān)系，并證明；(2)若AE=8，BD=2，求圓O的半徑；【答案】(1)CO⊥AE，證明見(jiàn)詳解(2)5【分析】（1）CO⊥AE，理由如下：延長(zhǎng)CO交AE于點(diǎn)G，連接OE，再根據(jù)圓的基本性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)即可；（2）由（1）中結(jié)論，CO⊥AE，AG=12AE=4【詳解】（1）解：CO⊥AE，理由如下：延長(zhǎng)CO交AE于點(diǎn)G，連接OE，

∵AC∴∠AOC=∠COE,∵∠AOG=180°-∠AOC,∠GOE=180°-∠EOC,∴∠AOG=∠GOE,∵OA=OE，∴CO⊥AE；（2）解：由（1）中結(jié)論，CO⊥AE，AG=∠AGO=∠CDO=90°,∠AOG=∠COD,AO=CO,△AGO≌△CDO(AAS∴AG=CD=4，設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=r-2，OC=r,在Rt△CDO中，CD解得：r=5，即⊙O的半徑為5．

【點(diǎn)撥】本題考查圓的基本性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．題型04根據(jù)垂徑定理與相似三角形綜合求解【例4】（2022·重慶沙坪壩·重慶南開(kāi)中學(xué)?？既＃┤鐖D，點(diǎn)E是⊙O中弦AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作⊙O的直徑CD，P是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線(xiàn)與AB延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，與CD延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G，若點(diǎn)P為FG中點(diǎn)，cosF=35，⊙O的半徑長(zhǎng)為3則CEA．75 B．85 C．32【答案】B【分析】連接OP，由切線(xiàn)的性質(zhì)得OP⊥FG，證明ΔOPG～ΔFEG得OPFE=PGEG=OGFG，∠POG=∠F，由cos∠F=35可進(jìn)一步求出【詳解】解：連接OP，如圖，∵FG是圓的切線(xiàn)，點(diǎn)P是切點(diǎn)，∴OP⊥FG，即∠OPG=90°,又點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，且CD是直徑，∴CD⊥AB，即∠GEF∴∠OPG=∠GEF=90°,又∠G=∠G,∴ΔOPG～∴OPFE=PG∵cos∴cos∵OP=3,∴3∴OG=5,由勾股定理得，PG=O∵點(diǎn)P是FG的中點(diǎn)，∴FG=2PG=8,又OPFE∴PGOG=EG∴EG=32∴OE=EG-GO=32∴CE=OC-OE=3-7故選B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了垂徑定理，切線(xiàn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等投放一款，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·四川瀘州·?？家荒＃┤鐖D，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)F，OE⊥AC于點(diǎn)E，若OE＝3，OB＝5，則CD的長(zhǎng)度是（）A．9.6 B．45 C．53 D．10【答案】A【分析】根據(jù)垂徑定理求出AC的長(zhǎng)，易證：△AEO∽△AFC，求出CF長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：∵OE⊥AC，∴AE＝EC，∵AB⊥CD，∴∠AFC＝∠AEO＝90°，∵OE＝3，OB＝OA=5，∴AE＝AO∴AC＝8，∵∠A＝∠A，∠AEO＝∠AFC，∴△AEO∽△AFC，∴AOAC=EO∴FC=24∵CD⊥AB，∴CD＝2CF＝485＝9.6故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理，三角形相似的判定和性質(zhì)定理，勾股定理，熟練掌握應(yīng)用垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2019·新疆阿克蘇·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，連接BC，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，則OF的長(zhǎng)度是（）A．3cm B．6cm C．2.5cm D．5cm【答案】D【詳解】分析：根據(jù)垂徑定理得出OE的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理得出BC的長(zhǎng)，再利用相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．詳解：連接OB，∵AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8．在Rt△EBC中，BC=BE∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°．∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴OFBE=OC解得：OF=5．故選D．點(diǎn)撥：本題考查了垂徑定理，關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理得出OE的長(zhǎng)．【變式4-3】（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點(diǎn)．(1)過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線(xiàn)PB，交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，若OD⊥BC，垂足為D，OD=2，PC=9，求PB的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)3【分析】（1）以B為圓心，小于OB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與直線(xiàn)AB有兩個(gè)交點(diǎn)，再以這兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，大于這兩點(diǎn)的長(zhǎng)的一半為半徑畫(huà)弧，兩弧的交點(diǎn)和點(diǎn)B的連線(xiàn)所在的直線(xiàn)交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P；（2）由垂徑定理得BD=CD，則OD為△ABC的中位線(xiàn)，得AC=2OD=4，由圓周角定理得∠ACB=90°，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得∠PBA=90°，推出Rt【詳解】（1）解：如圖，PB為所作；（2）解：∵OD⊥BC，∴BD=CD，∵OB=OA，∴OD為△ABC的中位線(xiàn)，∴AC=2OD=4，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵PB為⊙O的切線(xiàn)，∴AB⊥PB，∴∠PBA=90°，∵∠BPC=∠APB，∴R∴PB:PA=PC:PB，即PB:4+9解得：PB=313即PB的長(zhǎng)為313【點(diǎn)撥】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．題型05在坐標(biāo)系中利用勾股定理求值或坐標(biāo)【例5】（2021·吉林松原·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在第一象限，⊙P與x軸、y軸都相切，且經(jīng)過(guò)矩形AOBC的頂點(diǎn)C，與BC相交于點(diǎn)D，若⊙P的半徑為5，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0,8)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（

）

A．(9,2) B．(9,3) C．(10,2) D．(10,3)【答案】A【分析】在Rt△CPF中根據(jù)勾股定理求出PF的長(zhǎng)，再根據(jù)垂徑定理求出DF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出OB，BD的長(zhǎng)，從而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【詳解】設(shè)切點(diǎn)分別為G，E，連接PG，PE，PC，PD，并延長(zhǎng)EP交BC與F，則PG=PE=PC=5，四邊形OBFE是矩形．∵OA=8，∴CF=8-5=3，∴PF=4，∴OB=EF=5+4=9．∵PF過(guò)圓心，∴DF=CF=3，∴BD=8-3-3=2，∴D(9，2)．故選A．

【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，以及垂徑定理等知識(shí)，正確做出輔助線(xiàn)是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·湖南衡陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P與y軸相切于點(diǎn)C，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，3），點(diǎn)M是⊙P上的一動(dòng)點(diǎn)，那么△ABM面積的最大值為（）

A．64 B．48 C．32 D．24【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，連接PC，PA易得PC=PA=5，PD=3，然后由垂徑定理，即可求得AD的長(zhǎng)，繼而求得AB的長(zhǎng)，繼而求得答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，在AB上方，PD與⊙P的交點(diǎn)即△ABM面積最大時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置，連接PC，PA，

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,3)，∵⊙P與y軸相切于點(diǎn)C，∴PC=5，PD=3，∴PC=PA=5，在Rt△PAD中，AD=P∵PD⊥AB，∴AB=2AD=8，當(dāng)點(diǎn)M位于(3,8)時(shí)，△ABM面積最大，最大值為：12故選C．【點(diǎn)撥】此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、垂徑定理以及勾股定理．此題難度適中，添設(shè)輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以M3,5為圓心，AB為直徑的圓與x軸相切，與y軸交于A.C兩點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是【答案】(6,1)【分析】如圖，連接BC，設(shè)圓與x軸相切于點(diǎn)D，連接MD交BC與點(diǎn)E，結(jié)合已知條件，則可得BC⊥MD，勾股定理求解EM，進(jìn)而即可求得B的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，連接BC，設(shè)圓與x軸相切于點(diǎn)D，連接MD交BC與點(diǎn)E，則MD⊥x軸，∵AB為直徑，則∠ACB=90°，∴BC⊥MD，∴BC∥x軸，∵∴MB=MD=5，CE=EB=3，∴ME=MB2∴DE=MD-ME=5-4=1，∵BC∥x軸，∴B(6,1)．故答案為：(6,1)．【點(diǎn)撥】本題考查了圓的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，垂徑定理，切線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022·江蘇南京·校聯(lián)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)圓與兩坐標(biāo)軸分別交于A.B.C.D四點(diǎn)．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【答案】【詳解】設(shè)圓心為P，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，先根據(jù)垂徑定理可得EA＝EB＝4，F(xiàn)C＝FD，進(jìn)而可求出OE＝2，再設(shè)P（2，m），即可利用勾股定理表示出PC2，PA2，最后利用PA＝PA列方程即可求出m值，進(jìn)而可得點(diǎn)D坐標(biāo)．【解答】解：設(shè)圓心為P，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，則EA＝EB＝AB2＝4，F(xiàn)C＝FD∴OE＝EB﹣OB＝4﹣2＝2，∴E（2，0），設(shè)P（2，m），則F（0，m），連接PC.PA，在Rt△CPF中，PC2＝（3﹣m）2+22，在Rt△APE中，PA2＝m2+42，∵PA＝PC，∴（3﹣m）2+22＝m2+42，∴m＝±1∴F（0，-1∴CF＝DF＝3-(-12)∴OD＝OF+DF＝12+7∴D（0，﹣4），故答案為：（0，﹣4）．【點(diǎn)撥】本題考查垂徑定理，涉及到平面直角坐標(biāo)系，勾股定理等，解題關(guān)鍵是利用半徑相等列方程．【變式5-4】（2022·新疆昌吉·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M與x軸相切于點(diǎn)A，與y軸交點(diǎn)分別為B.C，圓心M的坐標(biāo)是（4，5），則弦BC的長(zhǎng)度為．【答案】6【分析】連接BM、AM，作MH⊥BC于H，由垂徑定理得到BC=2HB，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)及M點(diǎn)的坐標(biāo)得到OH，OB，在Rt△MBH中，由勾股定理可求出BH，即可得到BC的長(zhǎng)度．【詳解】解：如圖，連接BM、AM，作MH⊥BC于H，則BH=CH，∴BC=2HB，∵⊙M與x軸相切于點(diǎn)A，∴MA⊥OA，∵圓心M的坐標(biāo)是(4，5)，∴MA=5，MH=4，∴MB=MA=5，在Rt△MBH中，由勾股定理得：MH=M∴BC=2×3=6．故答案為：6．【點(diǎn)撥】本題考查切線(xiàn)的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理的知識(shí)．解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形．【變式5-5】（2023·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)C1,1為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在⊙C

(1)求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)試確定經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)且以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)解析式；(3)在該拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)D，使線(xiàn)段OP與CD互相平分？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)A(2)y=-x2(3)D【分析】（1）作CE⊥AB于點(diǎn)E，連接OA,OB，根據(jù)C1,1，半徑AC=BC=2，得到CE=1,利用勾股定理求出AE=BE=3，即可得到A，（2）由圓與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,3或1,-1，分別設(shè)出解析式代入點(diǎn)B的坐標(biāo)求出解析式；（3）假設(shè)存在點(diǎn)D使線(xiàn)段OP與CD互相平分，則四邊形OCPD是平行四邊形，得到PC∥OD且PC=OD，由PC∥y軸，確定點(diǎn)D在y軸上，根據(jù)【詳解】（1）作CE⊥AB于點(diǎn)E，連接OA,OB，∵C1,1，半徑AC=BC=2∴CE=1，∴AE=BE=A∴A1-

（2）由圓與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,3或1,-1，當(dāng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,3時(shí)，設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax-1將點(diǎn)B1+3,0∴y=-x-1當(dāng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,-1時(shí)，設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax-1將點(diǎn)B1+3,0∴y=1（3）假設(shè)存在點(diǎn)D使線(xiàn)段OP與CD互相平分，則四邊形OCPD是平行四邊形，∴PC∥OD且∵PC∥y∴點(diǎn)D在y軸上，當(dāng)拋物線(xiàn)為y=-x∵PC=2，∴OD=2，即D0,2又D0,2滿(mǎn)足y=-∴點(diǎn)D在拋物線(xiàn)上，存在D0,2使線(xiàn)段OP與CD當(dāng)拋物線(xiàn)為y=1∵PC=3，∴OD=3，即D0,-3∵D0,-3不滿(mǎn)足y=∴不存在D0,-3使線(xiàn)段OP與CD綜上，存在D0,2使線(xiàn)段OP與CD【點(diǎn)撥】此題考查了圓的垂徑定理，勾股定理，求二次函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)及判定，綜合掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．題型06利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題【例6】（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）已知⊙O的直徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，則AB與A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【答案】C【分析】作OE⊥AB于E，延長(zhǎng)EO交CD于F，連接OA、OC，如圖，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)OF⊥CD，根據(jù)垂徑定理得到AE=BE=4cm，CF=DF=3cm，則利用勾股定理可計(jì)算出OE=3cm，OF=4cm，討論：當(dāng)點(diǎn)O在AB與CD之間時(shí)，EF=OF+OE；當(dāng)點(diǎn)【詳解】作OE⊥AB于E，延長(zhǎng)EO交CD于F，連接OA、OC，如圖

∵AB∥CD∴OF⊥CD∴AE=BE=在Rt△OAE中，在Rt△OCF當(dāng)點(diǎn)O在AB與CD之間時(shí)，如圖1，EF=OF當(dāng)點(diǎn)O不在AB與CD之間時(shí)，如圖2，EF=OF-OE=4-3=1故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。⒁夥诸?lèi)討論．【變式6-1】（2022·江蘇宿遷·校聯(lián)考一模）已知⊙O的直徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB//CD，AB=8cm，CD=6cm，則AB與CD【答案】7或1．【分析】分兩種情況考慮：當(dāng)兩條弦位于圓心O同一側(cè)時(shí)，當(dāng)兩條弦位于圓心O兩側(cè)時(shí)；利用垂徑定理和勾股定理分別求出OE和OF的長(zhǎng)度，即可得到答案．【詳解】解：分兩種情況考慮：當(dāng)兩條弦位于圓心O一側(cè)時(shí)，如圖1所示，

過(guò)O作OE⊥CD，交CD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，連接OC，OA，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∴E,F分別為CD.AB的中點(diǎn)，∴CE=DE=12CD=3cm，AF=BF=12AB=4在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm，根據(jù)勾股定理得：OF=3cm，在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm，根據(jù)勾股定理得：OE═4cm，則EF=OE-OF=4cm-3cm=1cm；當(dāng)兩條弦位于圓心O兩側(cè)時(shí)，如圖2所示，同理可得EF=4cm+3cm=7cm，綜上，弦AB與CD的距離為7cm或1cm．故答案為：7或1．【點(diǎn)撥】此題考查了垂徑定理，勾股定理，利用了分類(lèi)討論的思想，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，在⊙O中，AB是直徑，弦EF∥AB．(1)在圖1中，請(qǐng)僅用不帶刻度的直尺畫(huà)出劣弧EF的中點(diǎn)P；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）(2)如圖2，在（1）的條件下連接OP、PF，若OP交弦EF于點(diǎn)Q，現(xiàn)有以下三個(gè)選項(xiàng)：①△PQF的面積為32；②EF=6；③PF=10，請(qǐng)你選擇兩個(gè)合適選項(xiàng)作為條件，求⊙O的半徑，你選擇的條件是【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①②；①③；②③；半徑為5【分析】（1）直接連接AF，BE交于點(diǎn)C，連接OC并延長(zhǎng)交EF于點(diǎn)P，此點(diǎn)即為所求點(diǎn)．（2）連接OF，設(shè)半徑為r，根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可得出答案．【詳解】（1）如圖所示，連接AF，BE交于點(diǎn)C，連接OC并延長(zhǎng)交EF于點(diǎn)P．（2）第一種情況：選①②，如圖所示，連接OF，設(shè)半徑為r，由題意可知：EQ=FQ=3,OP⊥EF，∵S∴12×3PQ=∴OQ=r-1，∵OQ∴(r-1)2+第二種情況：選①③，如圖所示，連接OF，設(shè)半徑為r，由題意可知：OP⊥EF，∵S∴QF?PQ=3，∵QF∴QF2+P∴QF+PQ=4，∵∠FPQ>45°，∴PQ<QF，由此解得PQ=1，QF=3，∴OQ=r-1，∵OQ∴(r-1)2+第三種情況：選②③，如圖所示，連接OF，設(shè)半徑為r，由題意可知：EQ=FQ=3,OP⊥EF，PF=10∴PQ=P∴OQ=r-1，∵OQ∴(r-1)2+【點(diǎn)撥】本題主要考查了垂徑定理的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理相關(guān)內(nèi)容，并能結(jié)合勾股定理靈活解題．題型07利用垂徑定理求同心圓問(wèn)題【例7】（2020·山東泰安·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，兩個(gè)同心圓，大圓的半徑為5，小圓的半徑為3，若大圓的弦AB與小圓有公共點(diǎn)，則弦AB的取值范圍是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5【答案】A【分析】解決此題首先要弄清楚AB在什么時(shí)候最大，什么時(shí)候最?。?dāng)A′B′與小圓相切時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)可知A′B′最?。划?dāng)AB經(jīng)過(guò)同心圓的圓心時(shí)，弦AB最大且與小圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)AB最大，由此可以確定所以AB的取值范圍．【詳解】解：如圖，當(dāng)AB與小圓相切時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)，在Rt△A′DO中，OD=3，OA′=5，∴A'D=∴A′B′=8；當(dāng)AB經(jīng)過(guò)同心圓的圓心時(shí)，弦AB最大且與小圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)AB=10，所以AB的取值范圍是8≤AB≤10．故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓中的有關(guān)性質(zhì)．利用垂徑定理可用同心圓的兩個(gè)半徑和與小圓相切的大圓的弦的一半構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理解題這是常用的一種方法，也是解決本題的關(guān)鍵，注意臨界值．【變式7-1】（2022·四川綿陽(yáng)·校考一模）如圖，⊙O1的弦AB是⊙O2的切線(xiàn)，且AB∥O1O2，如果AB＝12cm，那么陰影部分的面積為（

）．A．36πcm2 B．12πcm2 C．8πcm2 D．6πcm2【答案】A【分析】根據(jù)題意將小圓平移至與大圓共圓心處，再利用垂徑定理及勾股定理求解即可．【詳解】由⊙O1的弦AB是⊙O2的切線(xiàn)，且AB∥O1O2，故將⊙O2平移至⊙O1的圓心處，此時(shí)AB與小圓相切與點(diǎn)E，則陰影部分面積即為小圓外部和大圓內(nèi)部環(huán)狀部分的面積由切線(xiàn)的性質(zhì)可得：OD⊥AB，則由垂徑定理可得：EB=1在Rt△OEB中，由勾股定理可得：OBS⊙2=πOE∴S故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查圓的切線(xiàn)性質(zhì)，垂徑定理及勾股定理等，靈活對(duì)圖中兩個(gè)圓進(jìn)行平移構(gòu)成同心圓進(jìn)而求解是解題關(guān)鍵．【變式7-2】（2022·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB切小圓于點(diǎn)C，若AB=8，則圓環(huán)的面積是．【答案】16π【分析】如圖，連接OA、OC，設(shè)OA=R，OC=r，由切線(xiàn)的性質(zhì)得，OC⊥AB，由垂徑定理得，AC=12AB=4，由勾股定理得，R【詳解】如圖，連接OA、OC，設(shè)OA=R，OC=r，∵大圓的弦AB切小圓于點(diǎn)C，∴OC⊥AB，∵AB=8，∴AC=1在Rt△OCA中，R2∵S大圓=∴S故答案為：16π．【點(diǎn)撥】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理以及圓與圓環(huán)的面積計(jì)算，掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型08垂徑定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用【例8】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖中，一段圓弧經(jīng)過(guò)格點(diǎn)A，B，C，AE的延長(zhǎng)線(xiàn)經(jīng)過(guò)格點(diǎn)D，則AE的長(zhǎng)為（

）A．3π4 B．π2 C．5π8【答案】D【分析】如圖，作AB、BC的垂直平分線(xiàn)，兩線(xiàn)交于O，F(xiàn)為AB的中點(diǎn),連接OA、OE、OC,由垂徑定理可得AF=1【詳解】解：如圖，作AB、BC的垂直平分線(xiàn)，兩線(xiàn)交于O，F(xiàn)為AB由垂徑定理得：AF=12∴OA=∵∠ABC=90°∴AC是直徑根據(jù)網(wǎng)格圖形可知：AC=CD=32+∴AC∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠ACD=90°，∴∠ECA=45°，∴AE所對(duì)的圓心角是90°，∴弧AE的長(zhǎng)是90×2π×5故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了垂徑定理、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意找到圓心是解答本題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？级＃┤鐖D，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)D均在格點(diǎn)上，并且在同一個(gè)圓上，取格點(diǎn)M，連接AM并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)C，連接AD．

（1）AM=；（2）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺畫(huà)出線(xiàn)段AP，使AP平分∠CAD，且點(diǎn)P在圓上，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不要求證明）．【答案】13作圖見(jiàn)解析；連接EF交CD于點(diǎn)G，連接OG交圓于點(diǎn)P，連接AP即可．【分析】（1）先作出圓心，再根據(jù)勾股定理求解；（2）根據(jù)網(wǎng)格線(xiàn)的特點(diǎn)和垂徑定理求解．【詳解】解：（1）找出圓的圓心O，連接OA，根據(jù)勾股定理得：AO=2（2）AP即為所求；

連接EF交CD于點(diǎn)G，連接OG交圓于點(diǎn)P，連接AP即可．【點(diǎn)撥】本題考查了作圖的應(yīng)用和設(shè)計(jì)，掌握勾股定理和垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023·天津東麗·統(tǒng)考二模）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，M均為格點(diǎn)，以格點(diǎn)O為圓心，AB為直徑作圓，點(diǎn)M在圓上．

（Ⅰ）線(xiàn)段AB的長(zhǎng)等于；（Ⅱ）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺，在BM上找出一點(diǎn)P，使PM=AM【答案】210取格點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)P，則點(diǎn)P【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可求解；（2）取格點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．【詳解】解：（1）AB=（2）如圖所示，取格點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．理由如下，

∵t∴∠MON=∠CAD∵∠ACD+∠CAD=90°∴∠MON+∠CAD=90°∴AC⊥OM，∴PM=【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題，正切的定義，垂徑定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，由小正方形構(gòu)成的6×6網(wǎng)格中，每個(gè)正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．⊙O經(jīng)過(guò)A.B.C三點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求作圖（保留作圖痕跡）．

(1)在圖1中畫(huà)出圓心O；(2)在圖2中的圓上找一點(diǎn)E，使OE平分弧BC；(3)在圖3中的圓上找一點(diǎn)F，使BF平分∠ABC．【答案】(1)圖見(jiàn)解析(2)圖見(jiàn)解析(3)圖見(jiàn)解析【分析】（1）利用圓周角定理和兩條直徑的交點(diǎn)即為圓心O即可；（2）由（1）中方法找到圓心O，根據(jù)垂徑定理的推論找到BC的中點(diǎn)即可求解；（3）先找到圓心O，根據(jù)圓周角定理知∠ABC=90°，利用垂徑定理的推論，過(guò)O作垂直于AC的直徑，交圓O于F，則∠AOF=∠COF=90°，由圓周角定理可得∠CBF=∠ABF=45°，即點(diǎn)F即為所求．【詳解】（1）解：如圖1，點(diǎn)O即為所求作；（2）解：如圖2，點(diǎn)E即為所求作；（3）解：如圖2，點(diǎn)F即為所求作．

【點(diǎn)撥】本題考查基本幾何作圖，涉及到圓周角定理、垂徑定理的推論，熟練掌握網(wǎng)格中的基本作圖方法和相關(guān)知識(shí)是解答的關(guān)鍵．題型09利用垂徑定理的推論求解【例9】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD、BE是⊙O的兩條弦，CD交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)C是弧BE的中點(diǎn)，點(diǎn)B是弧CD的中點(diǎn)，若AB=10，BG=2，則BE的長(zhǎng)為（

）

A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】先根據(jù)垂徑定理的推論得到AB⊥CD，CD=2CG，再利用勾股定理求出CG=4，進(jìn)而得到CD=2CG=8，再證明BE=CD，則【詳解】解：如圖所示，連接OC，∵點(diǎn)B是CD的中點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，∴AB⊥CD，BC=∴CD=2CG，∵AB=10，∴OC=OB=1∵BG=2，∴OG=3，在Rt△COG中，由勾股定理得∴CD=2CG=8，∵點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，∴BC=∴BC=∴BE=∴BE=CD=8，故選D．

【點(diǎn)撥】本題主要考查了垂徑定理的推論，勾股定理，弧與弦之間的關(guān)系，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2022·四川資陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C.D是⊙O上兩點(diǎn)，若BC＝BD，∠OCD＝14°，則∠D的度數(shù)為（

）A．34° B．36° C．37° D．38°【答案】D【分析】根據(jù)垂徑定理的推論可得CD⊥AB，進(jìn)而求得∠COB=76°，根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】解：∵BC＝BD，AB是⊙O的直徑，∴CD⊥AB.∵∠OCD＝14°，∴∠COB=76°∵∴∠CDB=故選D【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理的推論，圓周角定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023·四川巴中·統(tǒng)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，E為弧BC上一點(diǎn)，若∠CEA=28°，則∠ABD的度數(shù)為（

）A．14° B．28° C．56° D．無(wú)法確定【答案】B【分析】連接BC，根據(jù)CD⊥AB，AB為⊙O的直徑，得到AC=【詳解】如圖，連接BC，∵CD⊥AB，AB為⊙O的直徑，∴AC=∴∠CEA=∠DBA=∠CBA=28°，故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理的推論，圓周角定理，熟練掌握兩個(gè)定理是解題的關(guān)鍵．題型10垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用【例10】（2021·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）往直徑為52cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬AB=48A．8cm B．10cm C．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，根據(jù)垂徑定理即可求得AD的長(zhǎng)，又由⊙O的直徑為52cm，求得OA的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理，即可求得OD的長(zhǎng)，進(jìn)而求得水的最大深度DE的長(zhǎng)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，由垂徑定理得：AD=1∵⊙O的直徑為52∴OA=OE=26在RtΔAOD中，由勾股定理得：OD=O∴DE=OE-OD=26-10=16∴水的最大深度為16故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了垂徑定理的知識(shí)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意輔助線(xiàn)的作法，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決．【變式10-1】（2023·福建南平·統(tǒng)考一模）我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問(wèn)題“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知大小，用鋸子去鋸這個(gè)木材，鋸口深DE=1寸，鋸道AB=1尺（1尺=10寸），則這根圓柱形木材的直徑是（

）A．12寸 B．13寸C．24寸 D．26寸【答案】D【分析】延長(zhǎng)DE，交⊙O于點(diǎn)E，連接OA，由題意知DE過(guò)點(diǎn)O，且OD⊥AB，由垂徑定理可得AE=BE=12AB=12尺=5寸，設(shè)半徑OA=OD=r，則OE=r-1【詳解】解：延長(zhǎng)DE，交⊙O于點(diǎn)E，連接OA，由題意知DE過(guò)點(diǎn)O，且OD⊥AB，∵OD為⊙O半徑，∴AE=BE=12AB=設(shè)半徑OA=OD=r，∵DE=1，∴OE=r-1在Rtr-1解得：r=13，∴木材直徑為26寸；故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，掌握垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧及勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式10-2】（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）“圓”是中國(guó)文化的一個(gè)重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的應(yīng)用，例如古典園林中的門(mén)洞，如圖，某地園林中的一個(gè)圓弧形門(mén)洞的高為2.5m，地面入口寬為1m,【答案】1.3【分析】運(yùn)用圓的性質(zhì)，垂徑定理構(gòu)造直角三角形，用勾股定理求解即可．【詳解】如圖，設(shè)圓心為點(diǎn)E，洞高為DB=2.5m，入口寬為AC=1根據(jù)題意，得EB=2.5-x根據(jù)勾股定理，得x2解得x=1.3，故答案為：1.3．【點(diǎn)撥】本題考查了圓的性質(zhì)，垂徑定理，用勾股定理，熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2023·廣東佛山·?？既＃┕磐駚?lái)，橋給人們的生活帶來(lái)便利，解決跨水或者越谷的交通，便于運(yùn)輸工具或行人在橋上暢通無(wú)阻，中國(guó)橋梁的橋拱線(xiàn)大多采用圓弧形、拋物線(xiàn)形和懸鏈形，坐落在河北省趙縣汶河上的趙州橋建于隋朝，距今已有約1400年的歷史，是當(dāng)今世界上現(xiàn)存最早、保存最完整的古代敝肩石拱橋，趙州橋的主橋拱便是圓弧形．(1)某橋A主橋拱是圓弧形（如圖①中ABC），已知跨度AC=40m，拱高BD=10m(2)某橋B的主橋拱是拋物線(xiàn)形（如圖②），若水面寬MN=10m，拱頂P（拋物線(xiàn)頂點(diǎn)）距離水面(3)如圖③，某時(shí)橋A和橋B的橋下水位均上升了2【答案】(1)25(2)y=-(3)此時(shí)橋A的水面寬度為821m，橋B【分析】（1）設(shè)ABC所在圓的圓心為點(diǎn)O，連接OA,OD，則OB⊥AC，AD=CD=20m，再設(shè)這條橋主橋拱的半徑是rm，則OA=OB=r（2）以水面所在直線(xiàn)為x軸，MN的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，建立平面直角坐標(biāo)系，則N5,0（3）根據(jù)（1）可得OF=25m,OD=15m,OB⊥FG,DE=2m，利用勾股定理可求出EF的長(zhǎng)，再利用垂徑定理即可得此時(shí)橋A的水面寬度；根據(jù)（【詳解】（1）解：如圖，設(shè)ABC所在圓的圓心為點(diǎn)O，連接OA,OD，

由垂徑定理得：點(diǎn)O,D,B共線(xiàn)，則OB⊥AC，AD=CD=1設(shè)這條橋主橋拱的半徑是rm，則∴OD=OB-BD=r-10在Rt△AOD中，AD解得r=25，故答案為：25．（2）解：如圖，以水面所在直線(xiàn)為x軸，MN的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，建立平面直角坐標(biāo)系，

由題意得：N5,0則設(shè)橋拱拋物線(xiàn)的解析式為y=ax將點(diǎn)N5,0,P0,4代入得：25a+c=0所以橋拱拋物線(xiàn)的解析式為y=-4（3）解：如圖，橋A中，由（1）可知：OF=25m

由題意得：OB⊥FG,DE=2∴OE=17在Rt△EOF中，由垂徑定理得：FG=2EF=821即此時(shí)橋A的水面寬度為821如圖，橋B中，y=-4

當(dāng)y=2時(shí)，-4解得x=522所以此時(shí)橋B的水面寬度為52答：此時(shí)橋A的水面寬度為821m，橋B的水面寬度為【點(diǎn)撥】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握垂徑定理和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式10-4】（2022·上海奉賢·統(tǒng)考二模）圖1是某種型號(hào)圓形車(chē)載手機(jī)支架，由圓形鋼軌、滑動(dòng)桿、支撐桿組成．圖2是它的正面示意圖，滑動(dòng)桿AB的兩端都在圓O上，A,B兩端可沿圓形鋼軌滑動(dòng)，支撐桿CD的底端C固定在圓O上，另一端D是滑動(dòng)桿AB的中點(diǎn)，（即當(dāng)支架水平放置時(shí)直線(xiàn)AB平行于水平線(xiàn)，支撐桿CD垂直于水平線(xiàn)），通過(guò)滑動(dòng)A.B可以調(diào)節(jié)CD的高度．當(dāng)AB經(jīng)過(guò)圓心O時(shí)，它的寬度達(dá)到最大值10(1)當(dāng)滑動(dòng)桿AB的寬度從10厘米向上升高調(diào)整到6厘米時(shí)，求此時(shí)支撐桿CD的高度．(2)如圖3，當(dāng)某手機(jī)被支架鎖住時(shí)，鎖住高度與手機(jī)寬度恰好相等（AE=AB），求該手機(jī)的寬度．【答案】(1)支撐桿CD的高度為9cm．(2)手機(jī)的寬度為8cm．【分析】（1）如圖，連結(jié)OA，由題意可得：⊙O的直徑為10，AB=6,由OD⊥AB,先求解OD,從而可得答案；（2）如圖，記圓心為O，連結(jié)OA，證明AE=CD=BF=AB,設(shè)AD=BD=x,則AE=CD=BF=AB=2x,則OD=2x-5,再利用勾股定理建立方程求解即可．【詳解】（1）解：如圖，連結(jié)OA，由題意可得：⊙O的直徑為10，AB=6,∴OA=5,∵CD⊥AB,即OD⊥AB,∴AD=BD=3,∴OD=5∴CD=OC+OD=9.所以此時(shí)支撐桿CD的高度為9cm．（2）解：如圖，記圓心為O，連結(jié)OA，由題意可得：AB=AE,∠E=∠EAB=∠ABF=90°,∴四邊形AEFB為正方形，∵CD⊥EF,∴AE=CD=BF=AB,∵CD⊥AB,∴設(shè)AD=BD=x,則AE=CD=BF=AB=2x,∵OA=OC=5,∴OD=2x-5,由勾股定理可得：52解得x1經(jīng)檢驗(yàn)x=0不符合題意，舍去，取x=4,AB=8（cm），即手機(jī)的寬