專題2.23銳角三角函數(shù)的應(yīng)用大題專練（培優(yōu)強(qiáng)化30題）（原卷版）

一．解答題（共30小題）1沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）一路文明一路情，魅力輕軌輕松行，重慶軌道交通第三輪規(guī)劃線路正在如火如荼地建設(shè)中．如圖工程隊(duì)在由南向北的方向上將軌道線路鋪設(shè)到A處時(shí)，測(cè)得文史陳列館C在A北偏西26°方向的600米處，再鋪設(shè)276米到達(dá)B處.（1）請(qǐng)通過(guò)計(jì)算確定C在B的什么方向上；（2）文史陳列館C周圍若干米內(nèi)需要建設(shè)文化廣場(chǎng)，不能鋪設(shè)軌道，工程隊(duì)通過(guò)計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，軌道線路鋪設(shè)到B處時(shí)，只需沿北偏東15°的BE方向繼續(xù)鋪設(shè)，就能使軌道線路恰好避開(kāi)文化廣場(chǎng)，請(qǐng)計(jì)算文史陳列館C周圍至少多少米內(nèi)不能鋪設(shè)軌道參考數(shù)據(jù)：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈2香坊區(qū)校級(jí)月考）如圖，AC是某市環(huán)城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其與環(huán)城路AC的交叉路口分別是A，B，C．經(jīng)測(cè)量花卉市場(chǎng)D位于點(diǎn)A的北偏東45°方向，點(diǎn)B的北偏東30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°.求花卉市場(chǎng)D點(diǎn)到環(huán)城路AC之間的距離.3沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）公園大門A的正東方向原本有一條通往湖心小島B的景觀步道AB，但為了讓市民朋友多角度欣賞公園景色，市政府決定新修一條景觀步道通往湖心小島B，新步道從A出發(fā)通向C地，C位于A的北偏西45°方向，AC＝800米，再?gòu)腃地到達(dá)湖心小島B，其中C位于B的北偏西60°方向，甲工程隊(duì)以每天60米的速度進(jìn)行單獨(dú)施工，2天后，為了加快工程進(jìn)度，乙工程隊(duì)以每天90米的速度加入項(xiàng)目建設(shè)，直到兩隊(duì)起完成景觀步道的修建.（參考數(shù)據(jù)：≈1.4）（1）求A、B兩地的距離（結(jié)果保留根號(hào)（2）新的景觀步道能否在15天內(nèi)完成？請(qǐng)說(shuō)明理由.4大渡口區(qū)校級(jí)月考）海洋安全預(yù)警系統(tǒng)為海洋安全管理起到了巨大作用，某天海洋監(jiān)控中心收到信息，在A的北偏西60°方向的120海里的C處，疑似有海盜船在沿CB方向行駛，C在B的北偏西30°方向上，監(jiān)控中心向A正西方向的B處海警船發(fā)出指令，海警船立即從B出發(fā)沿BC方向行駛，在距離A為60海里的D處攔截到該可疑船只.（1）求點(diǎn)A到直線CB的距離；（2）若海警船的速度是30海里/小時(shí)，那么海警船能否在1小時(shí)內(nèi)攔截到可疑船只？請(qǐng)說(shuō)明理由結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：√FX1.73)5沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，A，B，C，D，E為同一地區(qū)的五個(gè)景點(diǎn)．已知景點(diǎn)B位于景點(diǎn)A的南偏西30°方向，位于景點(diǎn)C的東南方向800米處，若景點(diǎn)A，C與E，D都位于東西方向，且景點(diǎn)D位于景點(diǎn)C的北偏西30°方向1000米處，景點(diǎn)E位于景點(diǎn)A的西北方向.（1）求景點(diǎn)A與景點(diǎn)C相距多少米結(jié)果保留根號(hào)）（2）為了方便旅客游覽，景區(qū)決定在景點(diǎn)D和E之間修一條筆直的道路，求道路DE的長(zhǎng)度參考數(shù)據(jù)：=1.732，結(jié)果精確到1米）6江北區(qū)校級(jí)期中）某景區(qū)A、B兩個(gè)景點(diǎn)位于湖泊兩側(cè)，游客從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B須經(jīng)過(guò)C處才能到達(dá)．測(cè)得景點(diǎn)B在景點(diǎn)A的北偏東30°方向，從景點(diǎn)A出發(fā)向正北方向步行600米到達(dá)C處，測(cè)得景點(diǎn)B在C的北偏東75°方向．當(dāng)?shù)卣疄榱朔奖阌慰蜑g覽，打算修建一條從景區(qū)A到景區(qū)B的筆直的跨湖棧道AB.（1）求點(diǎn)C到直線AB的距離；（2）棧道修通后，從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B走棧道比原路線少走多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）7榮昌區(qū)自主招生）如圖，為學(xué)校創(chuàng)造安全環(huán)境，決定在A點(diǎn)東偏北30°方向直線延伸的主公路的旁邊修一條學(xué)生的步行路．測(cè)繪員在A處測(cè)學(xué)校M在A點(diǎn)東偏北60°方向，測(cè)繪員沿主公路步行2000米到達(dá)C處，測(cè)得學(xué)校M位于C的北偏西60°方向，請(qǐng)你在主公路上尋找點(diǎn)N，使到學(xué)校的路程最短，并求AN的長(zhǎng).8江津區(qū)校級(jí)期中）某海域有一小島P，在以P為圓心，半徑r為10（3+）海里的圓形海域內(nèi)海監(jiān)船自西向東航行，它在A處測(cè)得小島P位于北偏東60°的方向上，當(dāng)海監(jiān)船行駛20√5海里后到達(dá)B處，此時(shí)觀測(cè)小島P位于B處北偏東45°方向上.（1）求A、P之間的距離AP；（2）若海監(jiān)船由B處繼續(xù)向東航行是否有觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由.9渝北區(qū)校級(jí)模擬）3月份，長(zhǎng)江重慶段開(kāi)始進(jìn)入枯水期，有些航道狹窄的水域通航壓力開(kāi)始慢慢增加．為及時(shí)掌握轄區(qū)通航環(huán)境實(shí)時(shí)情況，嚴(yán)防船舶擱淺、觸礁等險(xiǎn)情事故發(fā)生，沿江海事執(zhí)法人員持續(xù)開(kāi)展巡航檢查，確保近七百公里的長(zhǎng)江干線通航安全．如圖，巡航船在一段自西向東的航道上的A處發(fā)現(xiàn)，航標(biāo)B在A處的北偏東45°方向200米處，以航標(biāo)B為圓心，150米長(zhǎng)為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有淺灘，會(huì)使過(guò)往船舶有危險(xiǎn).（1）由于水位下降，巡航船還發(fā)現(xiàn)在A處北偏西15°方向300米的C處，露出一片礁石，求B、C兩地的距離精確到1米）（2）為保證航道暢通，航道維護(hù)項(xiàng)目部會(huì)組織挖泥船對(duì)該條航道被淺灘影響的航段進(jìn)行保航施工．請(qǐng)判斷該條航道是否被這片淺灘區(qū)域影響？如果有被影響，請(qǐng)求出被影響的航道長(zhǎng)度為多少米？如果沒(méi)有被影響，請(qǐng)說(shuō)明理由.（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈2.646）10巴南區(qū)自主招生）4月重慶市巴南區(qū)某景區(qū)紅楓爛漫，迎來(lái)大量游客觀賞．為了落實(shí)防疫要求，景區(qū)計(jì)劃在西門A和東門B之間修建一條筆直的專用通道AB（其中B在A的正東方向上已知通道AB的一側(cè)有一個(gè)半徑為800米的圓形湖泊，湖泊正中央是多彩噴泉C，在通道AB上的有個(gè)觀景臺(tái)M，經(jīng)測(cè)得噴泉C在觀景臺(tái)M的北偏東53°方向上，從觀景臺(tái)M向東走300米到達(dá)涼亭N處，此時(shí)測(cè)得噴泉C正好在涼亭N的東北方向上.（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（1）求觀景臺(tái)M與多彩噴泉C之間的距離是多少米？（2）為了不破壞湖泊，修建的通道AB是否需要改變線路？請(qǐng)說(shuō)明理由.11龍華區(qū)校級(jí)模擬）某海域有A，B兩個(gè)港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船從A港口出發(fā)，沿東北方向行駛一段距離后，到達(dá)位于B港口南偏東75°方向的C處，（1填空：∠ABC=°;∠BAC=°;（2）求該船與B港口之間的距離即CB的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）.12岳麓區(qū)校級(jí)三模）湘江流經(jīng)永州、衡陽(yáng)、株洲、湘潭、長(zhǎng)沙等市，至岳陽(yáng)注入洞庭湖，干流全長(zhǎng)844公里，是湖南省內(nèi)最大的河流，在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生去測(cè)量湘江某段的寬度（假設(shè)兩岸是平行的如圖，某學(xué)生在河?xùn)|岸點(diǎn)A處觀測(cè)河對(duì)岸水邊點(diǎn)C，測(cè)得C在A北偏西30°的方向上，沿河岸向北前行400米到達(dá)B處，測(cè)得C在B北偏西60°的方向上.（1）求BC的長(zhǎng)；（2）求此段湘江的寬度結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）.13渝中區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）4月重慶市巴南區(qū)某景區(qū)紅楓爛漫，迎來(lái)大量游客觀賞，為了落實(shí)防疫要求，景區(qū)計(jì)劃在西門A和東門B之間修建一條筆直的專用通道AB（其中B在A的正東方向上已知通道AB的一側(cè)有一個(gè)半徑為800米的圓形湖泊，湖泊正中央是多彩噴泉C，在通道AB上的有個(gè)觀景臺(tái)M，經(jīng)測(cè)得噴泉C在觀景臺(tái)M的北偏東53°方向上，從觀景臺(tái)M向東走300米到達(dá)涼亭N處，此時(shí)測(cè)得噴泉C正好在涼亭N的東北方向上參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（1）求觀景臺(tái)M與多彩噴泉C之間的距離是多少米？（2）為了不破壞湖泊，修建的通道AB是否需要改變線路？請(qǐng)說(shuō)明理由.14南山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，海島A為物資供應(yīng)處，海上事務(wù)處理中心B島在A島的南偏西63.4°方向．一艘漁船在行駛到B島正東方向30海里的點(diǎn)C處時(shí)發(fā)生故障，同時(shí)向A、B島發(fā)出求助信號(hào)，此時(shí)漁船在（1）求C點(diǎn)到A島的距離；（2）在收到求助信號(hào)后，A、B兩島同時(shí)派人員出發(fā)增援，由于A島所派快艇裝運(yùn)物資較多，速度比B島所派快艇慢25海里/小時(shí)，若兩島派出的快艇同時(shí)到達(dá)C處，求A處所派快艇的速度.15沙坪壩區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個(gè)觀測(cè)站，A在B的正東方向．有一艘漁船在點(diǎn)P處，從A處測(cè)得漁船在北偏西60°的方向，從B處測(cè)得漁船在其東北方向，且測(cè)得B，P兩點(diǎn)之間的距離為20海里.（1）求觀測(cè)站A，B之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)（2）漁船從點(diǎn)P處沿射線AP的方向航行一段時(shí)間后，到點(diǎn)C處等待補(bǔ)給，此時(shí)，從B測(cè)得漁船在北偏西15°的方向．在漁船到達(dá)C處的同時(shí)，一艘補(bǔ)給船從點(diǎn)B出發(fā)，以每小時(shí)20海里的速度前往C處，請(qǐng)問(wèn)補(bǔ)給船能否在83分鐘之內(nèi)到達(dá)C處參考數(shù)據(jù)：≈1.73）16資陽(yáng)）小明學(xué)了《解直角三角形》內(nèi)容后，對(duì)一條東西走向的隧道AB進(jìn)行實(shí)地測(cè)量．如圖所示，他在地面上點(diǎn)C處測(cè)得隧道一端點(diǎn)A在他的北偏東15°方向上，他沿西北方向前進(jìn)100米后到達(dá)點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)A在他的東北方向上，端點(diǎn)B在他的北偏西60°方向上點(diǎn)A、B、C、D在同一平面內(nèi)）（1）求點(diǎn)D與點(diǎn)A的距離；（2）求隧道AB的長(zhǎng)度結(jié)果保留根號(hào)）17鄞州區(qū)校級(jí)期中）如圖，一座山的一段斜坡BD的長(zhǎng)度為400米，且這段斜坡的坡度i＝1：3（沿斜坡從B到D時(shí)，其升高的高度與水平前進(jìn)的距離之比已知在地面B處測(cè)得山頂A的仰角（即∠ABC）18惠山區(qū)期中）如圖，小明和小華住在同一個(gè)小區(qū)不同單元樓，他們想要測(cè)量小明家所在單元樓AB的高度．首先他們?cè)趦蓷潌卧獦侵g選定一點(diǎn)E，然后小華在自己家陽(yáng)臺(tái)C處測(cè)得E處的俯角為∠1．小明站在E處，眼睛F望向樓頂A的仰角為∠2，發(fā)現(xiàn)∠1與∠2互余．過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G．已知BG=1.5米，BE＝CD＝20米，BD＝60米，點(diǎn)B、E、D在一條直線上．AB⊥BD，F(xiàn)E⊥BD，CD⊥BD，試求單元樓AB的高注：BE＝FG，BG＝EF，∠1與∠3互余）.19沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，小開(kāi)家所在居民樓AC，樓底C點(diǎn)的左側(cè)30米處有一個(gè)山坡DE，坡角為30°,E點(diǎn)處有一個(gè)圖書館，山坡坡底到圖書館的距離DE為40米，在圖書館E點(diǎn)處測(cè)得小開(kāi)家的窗戶B點(diǎn)的仰角為45°,居民樓AC與山坡DE的剖面在同一平面內(nèi).（1）求BC的高度結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：≈1.73）（2）某天，小開(kāi)到家后發(fā)現(xiàn)有資料落在圖書館，此時(shí)離圖書館閉館僅剩5分鐘，若小開(kāi)在平地的速度為6m/s，上坡速度為4m/s，電梯速度為1.25m/s，等候電梯及上、下乘客所耽誤時(shí)間共3分鐘，請(qǐng)問(wèn)小開(kāi)能否在閉館前趕到圖書館？20二道區(qū)校級(jí)期中）長(zhǎng)泰大橋是長(zhǎng)春市最高的雙塔斜拉式高架橋，大橋?qū)儆陔p塔雙索面混凝土特大斜拉橋橋型，圖①是大橋的實(shí)物圖，圖②是大橋的示意圖．假設(shè)你站在橋上點(diǎn)A處測(cè)得拉索AB與水平橋面的夾角是39°,點(diǎn)A處距離大橋立柱CD底端D的距離AD為97米，已知大橋立柱上B點(diǎn)距立柱頂端C點(diǎn)的距離BC為5米，求大橋立柱CD的高結(jié)果精確到1米）[參考數(shù)據(jù)：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81]21二道區(qū)校級(jí)期中）某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用皮尺和自制的測(cè)角儀測(cè)量“鼎橋”的高度．如圖2所示，他們?cè)诘孛鍹B上架設(shè)測(cè)角儀CM，先在點(diǎn)M處測(cè)得“鼎橋”最高點(diǎn)A的仰角∠ACD＝22°,然后沿MB方向前進(jìn)155m到達(dá)點(diǎn)N處，測(cè)得點(diǎn)A的仰角∠ADE＝45°（點(diǎn)M，N，B在一條直線上測(cè)角儀的高度為1.6m．請(qǐng)利用同學(xué)們的測(cè)量數(shù)據(jù)求“鼎橋”最高點(diǎn)A距離地面的高度AB結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）22平頂山三模）如圖，某中學(xué)無(wú)人機(jī)社團(tuán)成員在操場(chǎng)放飛無(wú)人機(jī)，小華站在A點(diǎn)處操作無(wú)人機(jī)，當(dāng)無(wú)人機(jī)飛行到小華的正前上方點(diǎn)E處懸停，此時(shí)小華從遙控器飛行數(shù)據(jù)中得到無(wú)人機(jī)距離地面的高度BE為35m．社團(tuán)成員小亮在A處測(cè)得無(wú)人機(jī)的仰角為75°,教學(xué)樓最高點(diǎn)D的仰角為45°,其中點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)，當(dāng)無(wú)人機(jī)從E點(diǎn)開(kāi)始沿正東方向飛行一段距離到達(dá)點(diǎn)F，此時(shí)小亮發(fā)現(xiàn)無(wú)人機(jī)≈0.26，tan75°≈3.73）23九龍坡區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，在大樓AB的正前方有一斜坡CD（坡角∠DCE＝45°),在它們之間有一片水域，現(xiàn)要測(cè)量大樓AB的高度．小明在斜坡上的點(diǎn)D處利用熱氣球探測(cè)器測(cè)得樓頂點(diǎn)B處的仰角為60°;當(dāng)熱氣球探測(cè)器豎直向上上升到點(diǎn)F處，測(cè)得樓頂點(diǎn)B處的仰角為30°;已知CD＝30米，DF＝60米，其中點(diǎn)A、C、E在同一直線上.（1）求斜坡CD的高度DE（精確到十分位（2）求大樓AB的高度（精確到十分位）.（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）24兩江新區(qū)期末）已知：如圖，斜坡AP的坡度為1：2.4，坡長(zhǎng)AP為39米，在坡頂A處的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P處測(cè)得該塔的塔頂B的仰角為45°,在坡頂A處測(cè)得該塔的塔頂B的仰（1）坡頂A到地面PQ的距離；（2）古塔BC的高度（結(jié)果精確到1米參考數(shù)據(jù)：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）25寧陽(yáng)縣校級(jí)月考）如圖，某校教學(xué)樓后面緊鄰著一個(gè)山坡，坡上面是一塊平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB長(zhǎng)26m，斜坡AB的坡比為12：5．為了減緩坡面，防地質(zhì)人員勘測(cè)，當(dāng)坡角不超過(guò)50°時(shí)，可確保山體不滑坡．如果改造時(shí)保持坡腳A不動(dòng)，則坡頂B沿BC至少向右移多少m時(shí)，才能確保山體不滑坡取tan50°≈1.2）26灞橋區(qū)校級(jí)期中）我市有一座人行天橋如圖所示，天橋高為6米，坡面BC的坡度為1：1，文化墻PM在天橋底部正前方8米處（PB的長(zhǎng)為了方便行人推車過(guò)天橋，有關(guān)部門決定降低坡度，使新坡面的坡度為1有關(guān)部門規(guī)定，文化墻距天橋底部小于3米時(shí)應(yīng)拆除，天橋改造后，該文化墻PM是否需要拆除？請(qǐng)說(shuō)明理由參考數(shù)據(jù)：√區(qū)~1.41427綦江區(qū)校級(jí)模擬）某小區(qū)擬建設(shè)地下停車庫(kù)入口，將原步行樓梯入口AC改造為斜坡AD．已知入口高AB＝3m，坡面AC的坡度i＝1：1，新坡面坡角∠ADB＝30°.（1）求斜坡底部增加的長(zhǎng)度CD