人教A版高中數(shù)學(xué)（必修第二冊）同步講義第03講 6.2.2向量的減法運(yùn)算（原卷版）

第03講6.2.2向量的減法運(yùn)算課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①借助實(shí)例和平面向量的幾何表示，理解相反向量的含義、向量減法的意義及減法法則。②掌握向量減法的幾何意義。③能熟練地進(jìn)行向量的加、減綜合運(yùn)算。1.通過閱讀課本在向量加法的基礎(chǔ)上，理解向量減法與數(shù)量減法的異同，并學(xué)會(huì)有加法理解減法的運(yùn)算與意義，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；2.熟練運(yùn)用掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運(yùn)用這兩個(gè)法則在減法運(yùn)算的題目中靈活的作兩個(gè)向量的加法與減法兩種運(yùn)算；3.在認(rèn)真學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，深刻掌握兩個(gè)或者多個(gè)相連接加法，減法的交換律和結(jié)合律，并能作圖解釋向量加法與減法的運(yùn)算律的合理性，把運(yùn)算律的應(yīng)用范圍進(jìn)行拓廣；知識(shí)點(diǎn)01：向量的減法（1）相反向量與向量長度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，記作.①零向量的相反向量仍是零向量②任意向量與其相反向量的和是零向量，即:③若,互為相反向量,則，，.（2）向量減法定義向量加上的相反向量，叫做與的差，即.求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算.利用相反向量的定義,可以把向量的減法轉(zhuǎn)化為向量的加法進(jìn)行運(yùn)算.（3）向量減法的幾何意義已知向量,,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,,則向量.如圖所示如果把兩個(gè)向量,的起點(diǎn)放在一起,則可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量.【即學(xué)即練1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量，，不共線，求作向量．

【答案】答案見解析【詳解】如圖，作，則即為，再作，則向量即為．

知識(shí)點(diǎn)02：向量三角不等式①已知非零向量，，則（當(dāng)與反向共線時(shí)左邊等號(hào)成立；當(dāng)與同向共線時(shí)右邊等號(hào)成立）；②已知非零向量，，則（當(dāng)與同向共線時(shí)左邊等號(hào)成立；當(dāng)與反向共線時(shí)右邊等號(hào)成立）；記憶方式：（“符異”反向共線等號(hào)成立；“符同”同向共線等號(hào)成立）如中，中間連接號(hào)一負(fù)一正“符異”，故反向共線時(shí)等號(hào)成立；右如：中中間鏈接號(hào)都是正號(hào)“符同”，故同向共線時(shí)等號(hào)成立；【即學(xué)即練2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列命題中，正確的是（）A．若，，則B．若則或C．對(duì)于任意向量，有D．對(duì)于任意向量，有題型01向量減法及其幾何意義【典例1】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）如圖所示，四邊形是平行四邊形，是該平行四邊形外一點(diǎn)，且，，，試用向量、、表示向量與.【典例2】（2023下·四川自貢·高一統(tǒng)考期末）已知非零向量滿足，則與的夾角為．【變式1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量，，如圖所示.（1）求作向量；（2）求作向量.【變式2】（2023下·河南駐馬店·高一校聯(lián)考期中）在中，，則是（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形題型02利用向量加減法運(yùn)算化簡表達(dá)式【典例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）化簡(1)；(2)．【典例2】（2023·高一課前預(yù)習(xí)）化簡下列各式：(1)(＋)＋()；(2)；(3)；(4)；(5)【典例3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）化簡下列各式：(1)；(2).【變式1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）化簡下列各式：(1)；(2)．【變式2】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）化簡：(1)；(2).【變式3】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）化簡下列式子：(1)；(2)；題型03向量的?！镜淅?】（2021·高一課時(shí)練習(xí)）已知四邊形是邊長為的正方形，求：(1)；(2)．【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量，滿足，，則的最大值為．【變式1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知菱形ABCD的邊長為1.且，求的值.【變式2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）證明：當(dāng)向量不共線時(shí)，.題型04利用已知向量表示其它向量【典例1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知，，，，，，試用表示下列各式：(1)；(2)；(3)．【典例2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在五邊形ABCDE中，四邊形ACDE是平行四邊形，且，，，試用，，表示向量，，，及．【變式1】（2021·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，，，.(1)用表示；(2)用表示.【變式2】（2019·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)，且＝，＝，＝，試用表示向量、、、及．題型05向量加減法運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用【典例1】（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）某人順風(fēng)勻速行走速度大小為，方向與風(fēng)向相同，此時(shí)風(fēng)速大小為，則此人實(shí)際感到的風(fēng)速為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在“向北走”，“向西走”，則，與的夾角的余弦值為．【變式1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，若，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023上·北京順義·高三楊鎮(zhèn)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）化簡等于（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知下列各式：①；②；③.其中結(jié)果為零向量的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．33．（2019下·北京東城·高一統(tǒng)考期末）如圖，向量，，，則向量（

）

A． B． C． D．4．（2023下·云南西雙版納·高一?？计谥校┰谒倪呅沃校?，且，則（

）A．在四邊形是矩形B．在四邊形是菱形C．在四邊形是正方形D．在四邊形是平行四邊形5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2023下·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在中，若，則的形狀為（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形7．（2022下·廣東廣州·高一華南師大附中?？计谥校┫铝邢蛄窟\(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．8．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）若，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2023下·內(nèi)蒙古包頭·高一統(tǒng)考期末）已知，，，四點(diǎn)不共線，下列等式能判斷為平行四邊形的是（

）A． B．（為平面內(nèi)任意一點(diǎn)）C． D．（為平面內(nèi)任意一點(diǎn)）10．（2022·湖南·模擬預(yù)測）給出下面四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）A．若線段，則向量B．若向量，則線段C．若向量與共線，則線段D．若向量與反向共線，則三、填空題11．（2023上·廣東東莞·高二?？茧A段練習(xí)）簡化．12．（2023下·高一單元測試）任給兩個(gè)向量和，則下列式子恒成立的有．①

②③

④四、解答題13．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量、，求作．(1)

(2)

(3)

(4)

14．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，，求的值．

15．（2020·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，為兩個(gè)非零向量．(1)求作向量及；(2)向量，成什么位置關(guān)系時(shí)，？（不要求證明）B能力提升1．（2022下·河南南陽·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）八卦是中國古老文化的深?yuàn)W概念，其深邃的哲理解釋了自然、社會(huì)現(xiàn)象．如圖