中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專題題位訓(xùn)練及押題預(yù)測專題34中考命題核心元素鉛錘法求面積(原卷版+解析)

專題34中考命題核心元素鉛錘法求面積（原卷版）模塊一典例剖析+針對訓(xùn)練模型一三角形面積問題【模型解讀】作以下定義：如圖①，過△ABC的三個頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a)，中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高”(h)．于是可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：S△ABC＝eq\f(1,2)ah，即三角形的面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．典例1(2023?會理縣校級模擬）鉛錘定理：一個三角形，從一條邊上的兩個頂點(diǎn)作垂線，且互相平行，鉛錘定理就是一種求三角形面積的特殊方法，主要解決的是斜三角形面積問題．具體公式是：三角形面積等于水平寬和鉛錘高乘積的一半．該三角形面積等于兩垂線乘積的一半．如圖1所示：S△OAB應(yīng)用：（1）如圖2所示：平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，4），點(diǎn)B（6，2），點(diǎn)C（4，1）求：△OAB的面積；（2）拋物線y1=k1x2+b1x+c經(jīng)過點(diǎn)原點(diǎn)O且與x軸交于點(diǎn)C（6，0）直線y2＝k2x（a）求拋物線和直線OB的解析式；（b）當(dāng)△OBP面積最大時，求P的坐標(biāo)．

針對訓(xùn)練1．（2023?沈陽）如圖，正比例函數(shù)y1＝k1x的圖象與反比例函數(shù)y2=k2x（x＞0）的圖象相交于點(diǎn)A（3，23），點(diǎn)B是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)是3，連接OB，AB，則△AOB典例2（2023?岳陽縣一模）如圖，拋物線y=12x2﹣2x﹣6與x軸相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)（1）請直接寫出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P是拋物線BC段上的一點(diǎn)，當(dāng)△PBC的面積最大時求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△PBC面積的最大值；針對訓(xùn)練1．(2023?廣東）如圖，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（1，0），AB＝4，點(diǎn)P為線段AB上的動點(diǎn)，過P作PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q．（1）求該拋物線的解析式；（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時P點(diǎn)坐標(biāo)．

2．(2023?福建）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過A（4，0），B（1，4）兩點(diǎn)．P是拋物線上一點(diǎn)，且在直線AB的上方．（1）求拋物線的解析式；（2）若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；模型二四邊形面積問題【模型解讀】求四邊形的面積問題時，可將四邊形分割成兩個三角形，從而轉(zhuǎn)變成求三角形的面積問題．典例3(2023?海南）如圖1，拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）、C（0，3），并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)P（x，y）在第一象限的拋物線上，AP交直線BC于點(diǎn)D．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）時，求四邊形BOCP的面積；

針對訓(xùn)練1．(2023秋?平陰縣期末）如圖，已知直線y=43x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，且與x軸的另一個交點(diǎn)為B（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）D是第二象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時D點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P在拋物線對稱軸上，點(diǎn)Q為任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P、Q，使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為對角線的菱形？若存在，請直接寫出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

模塊二2023中考押題預(yù)測1．（2023春?雨花區(qū)校級月考）如圖，已知函數(shù)y＝x+3的圖象與函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，連接BO并延長交函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象于點(diǎn)C，連接AC，若△2．如圖，我們可以用“三角形面積等于水平寬（a）與鉛垂高（h）乘積的一半”的方法來計(jì)算三角形面積．已知開口向下的拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A（﹣1，0）、B（5，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，5）（1）求拋物線的解析式；（2）寫出該拋物線的對稱軸及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）求△BCM的面積．3．（2023秋?梅江區(qū)校級期末）拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（3，0），交y軸于點(diǎn)B（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)△PAB的面積最大值時，求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)Q是線段AO上的動點(diǎn)，直接寫出12AQ+BQ的最小值為4．(2023秋?臨淄區(qū)期末）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），連接AC、BC．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）D為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，求△DCB面積的最大值；（3）點(diǎn)P是拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng)∠PCB＝∠ABC時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．5．（2023?中原區(qū)校級三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4），直線BC與對稱軸相交于點(diǎn)E．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)M為直線x＝1右方拋物線上的一點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合），設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，記A、B、C、M四點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形面積為S，若S＝3S△BCD，請求出m的值；（3）點(diǎn)P是線段BD上的動點(diǎn)，將△DEP沿邊EP翻折得到△D'EP，是否存在點(diǎn)P，使得△D'EP與△BEP的重疊部分圖形為直角三角形？若存在，請直接寫出BP的長，若不存在，請說明理由．

6．（2023?酒泉一模）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；（3）點(diǎn)E是線段BC上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點(diǎn)的坐標(biāo)．7．(2023春?李滄區(qū)期末）對于某些三角形或四邊形，我們可以直接用面積公式或者用割補(bǔ)法來求它們的面積．下面我們再研究一種求某些三角形或四邊形面積的新方法：如圖1，2所示，分別過三角形或四邊形的頂點(diǎn)A，C作水平線的鉛垂線l1，l2，l1，l2之間的距離d叫做水平寬；如圖1所示，過點(diǎn)B作水平線的鉛垂線交AC于點(diǎn)D，稱線段BD的長叫做這個三角形的鉛垂高；如圖2所示，分別過四邊形的頂點(diǎn)B，D作水平線l3，l4，l3，l4之間的距離h叫做四邊形的鉛垂高．【結(jié)論提煉】容易證明：“三角形的面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半”，即“S=12【結(jié)論應(yīng)用】為了便于計(jì)算水平寬和鉛垂高，我們不妨借助平面直角坐標(biāo)系．已知：如圖3，點(diǎn)A（﹣5，2），B（5，0），C（0，5），則△ABC的水平寬為10，鉛垂高為，所以△ABC面積的大小為．【再探新知】三角形的面積可以用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”來求，那四邊形的面積是不是也可以這樣求呢？帶著這個問題，我們進(jìn)行如下探索：（1）在圖4所示的平面直角坐標(biāo)系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（4，1），D（﹣2，﹣4）四個點(diǎn)，得到四邊形ABCD．運(yùn)用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”進(jìn)行計(jì)算得到四邊形ABCD面積的大小是；用其它的方法進(jìn)行計(jì)算得到其面積的大小是，由此發(fā)現(xiàn)：用“S=12dh”這一方法對求圖4中四邊形的面積（2）在圖5所示的平面直角坐標(biāo)系中，取A（﹣5，2），B（1，5），C（4，2），D（﹣2，﹣3）四個點(diǎn)，得到了四邊形ABCD．運(yùn)用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”進(jìn)行計(jì)算得到四邊形ABCD面積的大小是，用其它的方法進(jìn)行計(jì)算得到面積的大小是，由此發(fā)現(xiàn)：用“S=12dh”這一方法對求圖5中四邊形的面積（3）在圖6所示的平面直角坐標(biāo)系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（5，1），D（1，﹣5）四個點(diǎn)，得到了四邊形ABCD．通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)：用“S=12dh”這一方法對求圖6中四邊形的面積【歸納總結(jié)】我們經(jīng)歷上面的探索過程，通過猜想、歸納，驗(yàn)證，便可得到：當(dāng)四邊形滿足某些條件時，可以用“S=12dh”來求面積．那么，可以用“S=12專題34中考命題核心元素鉛錘法求面積（解析版）模塊一典例剖析+針對訓(xùn)練模型一三角形面積問題【模型解讀】作以下定義：如圖①，過△ABC的三個頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a)，中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高”(h)．于是可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：S△ABC＝eq\f(1,2)ah，即三角形的面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．【常見鉛垂法】(1)豎切，面積公式均為S＝eq\f(1,2)dh.(2)橫切，面積公式均為S＝eq\f(1,2)dh.典例1(2023?會理縣校級模擬）鉛錘定理：一個三角形，從一條邊上的兩個頂點(diǎn)作垂線，且互相平行，鉛錘定理就是一種求三角形面積的特殊方法，主要解決的是斜三角形面積問題．具體公式是：三角形面積等于水平寬和鉛錘高乘積的一半．該三角形面積等于兩垂線乘積的一半．如圖1所示：S△OAB應(yīng)用：（1）如圖2所示：平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，4），點(diǎn)B（6，2），點(diǎn)C（4，1）求：△OAB的面積；（2）拋物線y1=k1x2+b1x+c經(jīng)過點(diǎn)原點(diǎn)O且與x軸交于點(diǎn)C（6，0）直線y2＝k2x（a）求拋物線和直線OB的解析式；（b）當(dāng)△OBP面積最大時，求P的坐標(biāo)．思路引領(lǐng)：（1）利用鉛錘法直接求三角形面積即可；（2）（a）利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（b）過點(diǎn)P作PM∥y軸交于M點(diǎn)，設(shè)P（t，?12t2+3t），則M（t，解：（1）∵A（4，4），點(diǎn)C（4，1），∴AC＝3，∴S△OAB=1（2）（a）∵拋物線y1=k∴c＝0，∵點(diǎn)C（6，0）經(jīng)過拋物線，∴36k1+6b1＝0，∴b1＝﹣6k1，∴y1＝k1x2﹣6k1x，將點(diǎn)B（4，4）代入y1＝k1x2﹣6k1x，∴16k1﹣24k1＝4，解得k1=?1∴拋物線的解析式為y1=?12x2+3∵直線y2＝k2x+b2經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)B（4，4），∴b2＝0，k2＝1，∴直線OB的解析式為y＝x；（b）過點(diǎn)P作PM∥y軸交于M點(diǎn)，設(shè)P（t，?12t2+3t），則M（t，∴PM=?12t2+2∴S△OPB=12×4（?12t2+2t當(dāng)t＝2時，△OPB的面積有最大值4，此時P（2，4）．總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，鉛錘法求三角形的面積是解題的關(guān)鍵．針對訓(xùn)練1．（2023?沈陽）如圖，正比例函數(shù)y1＝k1x的圖象與反比例函數(shù)y2=k2x（x＞0）的圖象相交于點(diǎn)A（3，23），點(diǎn)B是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)是3，連接OB，AB，則△AOB的面積是2思路引領(lǐng)：把點(diǎn)A（3，23）代入y1＝k1x和y2=k2x（x＞0）可求出k1、k2的值，即可正比例函數(shù)和求出反比例函數(shù)的解析式，過點(diǎn)B作BD∥x軸交OA于點(diǎn)D，結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)D解：（1）∵正比例函數(shù)y1＝k1x的圖象與反比例函數(shù)y2=k2x（x＞0）的圖象相交于點(diǎn)A（3∴23=3k1，2∴k1＝2，k2＝6，∴正比例函數(shù)為y＝2x，反比例函數(shù)為：y=6過點(diǎn)B作BD∥x軸交OA于點(diǎn)D，∵點(diǎn)B是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)是3，∴y=6∴B（3，2），∴D（1，2），∴BD＝3﹣1＝2．∴S△AOB＝S△ABD+S△OBD=12×2×（23?2）故答案為23．總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、反比例（一次）函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；利用分割圖形求面積法求出△AOB的面積．典例2（2023?岳陽縣一模）如圖，拋物線y=12x2﹣2x﹣6與x軸相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)（1）請直接寫出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P是拋物線BC段上的一點(diǎn)，當(dāng)△PBC的面積最大時求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△PBC面積的最大值；（3）點(diǎn)F是拋物線上的動點(diǎn)，作FE∥AC交x軸于點(diǎn)E，是否存在點(diǎn)F，使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．思路引領(lǐng)：（1）將x＝0及y＝0代入拋物線y=12x2﹣2（2）連接OP，設(shè)點(diǎn)P（m，12m2?2m﹣6），分別表示出S△POC，S△BOP，計(jì)算出S△BOC，根據(jù)S△PBC＝S四邊形PBOC﹣S△（3）可分為?ACFE和?ACEF的情形．當(dāng)?ACFE時，點(diǎn)F和點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸對稱，從而得出F點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)?ACED時，可推出點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為6，進(jìn)一步求得結(jié)果．解：（1）當(dāng)x＝0時，y＝﹣6，∴C（0，﹣6），當(dāng)y＝0時，12x2﹣2x∴x1＝6，x2＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（6，0）；（2）方法一：如圖1，連接OP，設(shè)點(diǎn)P（m，12m2∴S△POC=12OC?xP=S△BOP=12OB?|yP|=3(?∵S△BOC=1∴S△PBC＝S四邊形PBOC﹣S△BOC＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC＝3m+3（?12m=?32（m﹣3）2∴當(dāng)m＝3時，S△PBC最大=272，此時P（3，方法二：如圖2，作PQ⊥AB于Q，交BC于點(diǎn)D，∵B（6，0），C（0，﹣6），∴直線BC的解析式為：y＝x﹣6，∴D（m，m﹣6），∴PD＝（m﹣6）﹣（12m2?2m﹣6）∴S△PBC=12PD?OB=12×6?(?∴當(dāng)m＝3時，S△PBC最大=272，此時P（3，（3）如圖3，當(dāng)?ACFE時，AE∥CF，∵拋物線對稱軸為直線：x=?2+6∴F1點(diǎn)的坐標(biāo)：（4，﹣6），如圖4，當(dāng)?ACEF時，作FG⊥AE于G，∴FG＝OC＝6，當(dāng)y＝6時，12x2﹣2x∴x1＝2+27，x2＝2﹣27，∴F2（2+27，6），F(xiàn)3（2﹣27，6），綜上所述：F（4，﹣6）或（2+27，6）或（2﹣27，6）．總結(jié)提升：本題考查了二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)，平行四邊形的分類等知識，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，畫出圖形，轉(zhuǎn)化條件．針對訓(xùn)練1．(2023?廣東）如圖，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（1，0），AB＝4，點(diǎn)P為線段AB上的動點(diǎn)，過P作PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q．（1）求該拋物線的解析式；（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時P點(diǎn)坐標(biāo)．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)A（1，0），AB＝4求出B（﹣3，0），把A、B的坐標(biāo)代入拋物線y＝x2+bx+c，即可求解；（2）過Q作QE⊥x軸于E，設(shè)P（m，0），則PA＝1﹣m，易證△PQA∽△BCA，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出QE的長，又因?yàn)镾△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA，進(jìn)而得到△CPQ面積和m的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出面積最大值．（1）∵拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（1，0），AB＝4，∴B（﹣3，0），∴1+b+c=09?3b+c=0解得b=2c=?3∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；（2）過Q作QE⊥x軸于E，過C作CF⊥x軸于F，設(shè)P（m，0），則PA＝1﹣m，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴C（﹣1，﹣4），∴CF＝4，∵PQ∥BC，∴△PQA∽△BCA，∴QECF=AP∴QE＝1﹣m，∴S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA=12PA?CF?1=12（1﹣m）×4?12（1﹣=?12（m+1）∵﹣3≤m≤1，∴當(dāng)m＝﹣1時S△CPQ有最大值2，∴△CPQ面積的最大值為2，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）．總結(jié)提升：本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是抓住圖形中某些特殊的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．此題綜合性較強(qiáng)，中等難度，是一道很好的試題．5．(2023?福建）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過A（4，0），B（1，4）兩點(diǎn)．P是拋物線上一點(diǎn)，且在直線AB的上方．（1）求拋物線的解析式；（2）若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖，OP交AB于點(diǎn)C，PD∥BO交AB于點(diǎn)D．記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為S1，S2，S3．判斷S1思路引領(lǐng)：（1）將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，PM與AB交于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作BE⊥PM于點(diǎn)E，可分別表達(dá)△OAB和△PAB的面積，根據(jù)題意列出方程求出PN的長，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表達(dá)PN的長，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；（3）由PD∥OB，可得△DPC∽△BOC，所以CP：CO＝CD：CB＝PD：OB，所以S1S2=CDCB，CDCB=CPCO，則S1S2+S2S3=2PDOB．設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)F．則F（0，163），過點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，PH交AB于點(diǎn)G，易證PDG∽△OBF，所以PD：OB＝PG：OF，設(shè)P（n，?43n解：（1）將A（4，0），B（1，4）代入y＝ax2+bx，∴16a+4b=0a+b=4，解得a=?∴拋物線的解析式為：y=?43x2+（2）設(shè)直線AB的解析式為：y＝kx+t，將A（4，0），B（1，4）代入y＝kx+t，∴4k+t=0k+t=4解得k=?4∵A（4，0），B（1，4），∴S△OAB=1∴S△OAB＝2S△PAB＝8，即S△PAB＝4，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，PM與AB交于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作BE⊥PM于點(diǎn)E，如圖，∴S△PAB＝S△PNB+S△PNA=12PN×BE+12PN×∴PN=8設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∴P（m，?43m2+163m）（1＜m＜4），N（m，∴PN=?43m2+163m﹣（?4解得m＝2或m＝3；∴P（2，163總結(jié)提升：本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)、三角形面積、相似三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程，函數(shù)建模等數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算能力、推理能力、空間觀念與幾何直觀、創(chuàng)新意識等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．模型二四邊形面積問題【模型解讀】求四邊形的面積問題時，可將四邊形分割成兩個三角形，從而轉(zhuǎn)變成求三角形的面積問題．典例3(2023?海南）如圖1，拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）、C（0，3），并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)P（x，y）在第一象限的拋物線上，AP交直線BC于點(diǎn)D．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）時，求四邊形BOCP的面積；思路引領(lǐng)：（1）將A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，進(jìn)一步求得結(jié)果；（2）可推出△PCB是直角三角形，進(jìn)而求出△BOC和△PBC的面積之和，從而求得四邊形BOCP的面積；（3）作PE∥AB交BC的延長線于E，根據(jù)△PDE∽△ADB，求得PDAD的函數(shù)解析式，從而求得P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而分為點(diǎn)P和點(diǎn)A和點(diǎn)Q（4）作GL∥y軸，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于K，作HW⊥IK于點(diǎn)W，則△GLC≌△CRH，△ITM≌△HWI．根據(jù)△GLC≌△CRH可表示出H點(diǎn)坐標(biāo)，從而表示出點(diǎn)K坐標(biāo)，進(jìn)而表示出I坐標(biāo)，根據(jù)MT＝IW，構(gòu)建方程求得n的值．解：（1）由題意得，a?2+c=0c=3∴a=?1c=3∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3；（2）當(dāng)y＝0時，﹣x2+2x+3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∵PC2+BC2＝[1+（4﹣3）2]+（32+32）＝20，PB2＝[（3﹣1）2+42]＝20，∴PC2+BC2＝PB2，∴∠PCB＝90°，∴S△PBC=1∵S△BOC=1∴S四邊形BOCP＝S△PBC+S△BOC＝3+9總結(jié)提升：本題考查了二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“一線三直角”模型及需要較強(qiáng)計(jì)算能力．針對訓(xùn)練1．(2023秋?平陰縣期末）如圖，已知直線y=43x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，且與x軸的另一個交點(diǎn)為B（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）D是第二象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時D點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P在拋物線對稱軸上，點(diǎn)Q為任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P、Q，使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為對角線的菱形？若存在，請直接寫出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．思路引領(lǐng)：（1）先求得A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，將拋物線設(shè)為交點(diǎn)式，進(jìn)一步求得結(jié)果；（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根據(jù)點(diǎn)D和點(diǎn)E坐標(biāo)可表示出DE的長，進(jìn)而表示出三角形ADC的面積，進(jìn)而表示出S的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)一步求得結(jié)果；（3）根據(jù)菱形性質(zhì)可得PA＝PC，進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)菱形性質(zhì)，進(jìn)一步求得點(diǎn)Q坐標(biāo)．解：（1）當(dāng)x＝0時，y＝4，∴C（0，4），當(dāng)y＝0時，43∴x＝﹣3，∴A（﹣3，0），∵對稱軸為直線x＝﹣1，∴B（1，0），∴設(shè)拋物線的表達(dá)式：y＝a（x﹣1）?（x+3），∴4＝﹣3a，∴a=?4∴拋物線的表達(dá)式為：y=?4（2）如圖1，作DF⊥AB于F，交AC于E，∴D(m，?43m∴DE=?4∴S△ADC∵S△ABC∴S=?2m∴當(dāng)m=?32時，當(dāng)m=?32時，∴D(?3（3）設(shè)P（﹣1，n），∵以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為對角線的菱形，∴PA＝PC，即：PA2＝PC2，∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，∴n=13∴P(?1，13∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝y(tǒng)A+yC，∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ∴Q(?2，19總結(jié)提升：本題考查了二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)，三角形的面積，菱形性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握知識點(diǎn)．模塊二2023中考押題預(yù)測1．（2023春?雨花區(qū)校級月考）如圖，已知函數(shù)y＝x+3的圖象與函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，連接BO并延長交函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象于點(diǎn)C，連接AC，若△ABC的面積為12，則思路引領(lǐng)：連接OA．根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性可得OB＝OC，那么S△OAB＝S△OAC=12S△ABC＝6．求出直線y＝x+3與y軸交點(diǎn)D的坐標(biāo)．設(shè)A（a，a+3），B（b，b+3），則C（﹣b，﹣b﹣3），根據(jù)S△OAB＝6，得出a﹣b＝4①．根據(jù)S△OAC＝4，得出﹣a﹣b＝3②，①與②聯(lián)立，求出a、解：如圖，連接OA．由題意，可得OB＝OC，∴S△OAB＝S△OAC=12S△設(shè)直線y＝x+3與y軸交于點(diǎn)D，則D（0，3），設(shè)A（a，a+3），B（b，b+3），則C（﹣b，﹣b﹣3），∴S△OAB=12×3×（a∴a﹣b＝4①．過A點(diǎn)作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過C點(diǎn)作CN⊥x軸于點(diǎn)N，則S△OAM＝S△OCN=12∴S△OAC＝S△OAM+S梯形AMNC﹣S△OCN＝S梯形AMNC＝6，∴12（﹣b﹣3+a+3）（﹣b﹣a將①代入，得∴﹣a﹣b＝3②，①+②，得﹣2b＝7，b=?7①﹣②，得2a＝1，a=1∴A（12，7∴k=1故答案為74總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式等知識，綜合性較強(qiáng)，難度適中．根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性得出OB＝OC是解題的突破口．2．如圖，我們可以用“三角形面積等于水平寬（a）與鉛垂高（h）乘積的一半”的方法來計(jì)算三角形面積．已知開口向下的拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A（﹣1，0）、B（5，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，5）（1）求拋物線的解析式；（2）寫出該拋物線的對稱軸及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）求△BCM的面積．思路引領(lǐng)：（1）利用A，B，C點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)合交點(diǎn)式，求出二次函數(shù)解析式即可；（2）利用配方法求出二次函數(shù)對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）利用△BCM的面積＝S四邊形COBM﹣S△COB＝S四邊形CODM+S△MDB﹣S△COB，進(jìn)而得出答案．解：（1）將A，B點(diǎn)代入二次函數(shù)解析式可得：y＝a（x+1）（x﹣5），再將C（0，5）代入函數(shù)解析式得：5＝﹣5a，解得：a＝﹣1．故二次函數(shù)解析式為：y＝﹣（x+1）（x﹣5）＝﹣x2+4x+5；（2）∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴該拋物線的對稱軸為：直線x＝2，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為；（2，9）；（3）方法一：如圖所示：過點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D，△BCM的面積＝S四邊形COBM﹣S△COB＝S四邊形CODM+S△MDB﹣S△COB=12（5+9）×2+1＝15．方法二：設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx+b，則5k+b=0b=5解得：k＝﹣1，b＝5，則直線BC的解析式為：y＝﹣x+5，當(dāng)x＝2時，y＝3，則M到直線BC的鉛直高度為：9﹣3＝6，故△BCM的面積為：12總結(jié)提升：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及三角形面積求法和配方法求二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，正確分割圖形求出其面積是解題關(guān)鍵．3．（2023秋?梅江區(qū)校級期末）拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（3，0），交y軸于點(diǎn)B（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)△PAB的面積最大值時，求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)Q是線段AO上的動點(diǎn)，直接寫出12AQ+BQ的最小值為73思路引領(lǐng)：（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）過點(diǎn)P作PG∥y軸交AB于點(diǎn)G，設(shè)P（t，﹣t2+2t+3），則G（t，﹣t+3），則S△PAB=?32（t?32（3）作∠OAK＝30°，過點(diǎn)B作BK⊥AK交于K點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)Q，則12AQ+BQ＝BK，求出BK解：（1）將點(diǎn)A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，∴?9+3b+c=0c=3解得b=2c=3∴y＝﹣x2+2x+3；（2）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+m，∴3k+m=0m=3解得k=?1m=3∴y＝﹣x+3，過點(diǎn)P作PG∥y軸交AB于點(diǎn)G，設(shè)P（t，﹣t2+2t+3），則G（t，﹣t+3），∴PG＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，∴S△PAB=12×3×（﹣t2+3t）=?32（t當(dāng)t=32時，△PAB的面積有最大值此時P（32，15（3）作∠OAK＝30°，過點(diǎn)B作BK⊥AK交于K點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)Q，∵∠OAK＝30°，∴QK=12∴12AQ+BQ＝QK+QB＝BK∵∠BKA＝∠BOA＝90°，∠BQO＝∠AQK，∴∠BOQ＝∠OAK＝30°，∵OB＝3，∴OQ=3，BQ＝23∵OA＝3，∴AQ＝3?3∴QK=12（3?3∴BK＝23+∴12AQ+BQ的最小值為3故答案為：33總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，胡不歸求最短距離的方法是解題的關(guān)鍵．4．(2023秋?臨淄區(qū)期末）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），連接AC、BC．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）D為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，求△DCB面積的最大值；（3）點(diǎn)P是拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng)∠PCB＝∠ABC時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．思路引領(lǐng)：（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）過點(diǎn)D作DE∥y軸交BC于點(diǎn)E，利用三角形的面積公式即可求得結(jié)論；（3）利用分類討論的思想方法分兩種情況討論解答：①當(dāng)點(diǎn)P在BC上方時，利用平行線的判定與性質(zhì)可得點(diǎn)C，P的縱坐標(biāo)相等，利用拋物線的解析式即可求得結(jié)論；②當(dāng)點(diǎn)P在BC下方時，設(shè)PC交x軸于點(diǎn)H，設(shè)HB＝HC＝m，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理求得m值，則點(diǎn)H坐標(biāo)可求；利用待定系數(shù)法求得直線PC的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立即可求得點(diǎn)P坐標(biāo)．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），∴4a?2b+c=064a+8b+c=0解得：a=?1∴拋物線的表達(dá)式為y=?14x2+（2）如圖，過點(diǎn)D作DE∥y軸交BC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，∵B（8，0），C（0，4），∴直線BC解析式為y=?12設(shè)D（m，?14m2+則E（m，?12∵D為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，∴DE＝DF﹣EF＝（?14m2+32m+4）﹣（?12m+4）∴△DCB面積=12×8×DE＝4（?14m2+2m）＝﹣m2+8m∴當(dāng)m＝4時，△DCB面積最大，最大值為16；（3）①當(dāng)點(diǎn)P在BC上方時，如圖，∵∠PCB＝∠ABC，∴PC∥AB，∴點(diǎn)C，P的縱坐標(biāo)相等，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，令y＝4，則?14x2+解得：x＝0或x＝6，∴P（6，4）；②當(dāng)點(diǎn)P在BC下方時，如圖，設(shè)PC交x軸于點(diǎn)H，∵∠PCB＝∠ABC，∴HC＝HB．設(shè)HB＝HC＝m，∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m，在Rt△COH中，∵OC2+OH2＝CH2，∴42+（8﹣m）2＝m2，解得：m＝5，∴OH＝3，∴H（3，0）．設(shè)直線PC的解析式為y＝kx+n，∴n=43k+n=0解得：k=?4∴y=?43∴y=?4解得：x1=0y∴P（343，?綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，4）或（343，?總結(jié)提升：本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，待定系數(shù)法，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．5．（2023?中原區(qū)校級三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4），直線BC與對稱軸相交于點(diǎn)E．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)M為直線x＝1右方拋物線上的一點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合），設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，記A、B、C、M四點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形面積為S，若S＝3S△BCD，請求出m的值；（3）點(diǎn)P是線段BD上的動點(diǎn)，將△DEP沿邊EP翻折得到△D'EP，是否存在點(diǎn)P，使得△D'EP與△BEP的重疊部分圖形為直角三角形？若存在，請直接寫出BP的長，若不存在，請說明理由．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4），寫出拋物線的頂點(diǎn)式，再將A（﹣1，0）代入解析式，求得a的值，則可得拋物線的解析式；（2）設(shè)M（m，m2﹣2m﹣3），先求得直線BC的解析式為y＝x﹣3，再得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后由S△BCD＝S△CDE+S△BDE求得S△BCD，進(jìn)而根據(jù)S＝3S△BCD，得出S的值，再分類討論：①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時，m＞3，②當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時，1＜m＜3，分別得出關(guān)于m的方程，求解即可；（3）存在點(diǎn)P，使得△D'EP與△BEP的重疊部分圖形為直角三角形．設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)F，利用勾股定理求得BD，再分類討論：①如圖3，EP⊥DB于P，△DEP沿著EP邊翻折得到△D'EP，判定△EPD∽△BFD，從而得比例式，求得DP的值，再根據(jù)BP＝BD﹣DP可得BP的值；②如圖4，當(dāng)ED'⊥BD于點(diǎn)H時，與①同理可得△DEH∽△DBF，從而可得比例式，求得DH和EH的值，再設(shè)PH＝x，用含x的式子表示出D'P、D'H，由勾股定理可得關(guān)于x的方程，解得x，則可得出BP的值；③如圖5，當(dāng)D'P⊥BC于點(diǎn)G時，作EI⊥BD于點(diǎn)I，由①②的結(jié)論可得EI和BI的值，再由勾股定理得出BE，進(jìn)而得出BG；判定△BPG∽△BEI，從而得比例式，求得BP的值，則問題得解．解：（1）∵拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4），∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，把A（﹣1，0）代入得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，解得a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）設(shè)M（m，m2﹣2m﹣3），∵y＝x2﹣2x﹣3，∴當(dāng)x＝0時，y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；∵A（﹣1，0），對稱軸為直線x＝1，∴B（3，0），∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，∴當(dāng)x＝1時，y＝x﹣3＝﹣2，∴E（1，﹣2）；∴DE＝2，∴S△BCD＝S△CDE+S△BDE=12DE×（xB﹣x=1＝3，∴S＝3S△BCD＝9，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時，m＞3，如圖1，S＝S△ACB+S△ABM=12AB×OC+12=12×4×3+12×＝2m2﹣4m＝9，解得m1=2+222，m∴m=2+②當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時，1＜m＜3，如圖2，連接OM，∴S＝S△AOC+S△OCM+S△OBM=12OA×OC+12OC×xM+1=12×1×3+12×3m+=?32m2+解得m1＝1（舍去），m2＝2，∴m＝2．綜上所述，S＝3S△BCD時，m的值為2+22（3）存在點(diǎn)P，使得△D'EP與△BEP的重疊部分圖形為直角三角形．設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)F，BD=22+①如圖3，EP⊥DB于P，△DEP沿著EP邊翻折得到△D'EP，∵∠EDP＝∠BDF，∠EPD＝∠BFD＝90°，∴△EPD∽△BFD，∴DPDF=DE解得DP=4∴BP＝BD﹣DP＝25=6②當(dāng)ED'⊥BD于點(diǎn)H時，如圖4，與①同理可得△DEH∽△DBF，∴DHDF=DE解得DH=455，在Rt△PHD'中，設(shè)PH＝x，則D'P＝DP＝DH﹣HP=455?x，D'H＝D'E﹣EH＝DE﹣∴x2+(2?2解得x＝1?5∴BP＝BD﹣DP＝BD﹣（DH﹣HP）＝BD﹣DH+HP＝25?4=5③如圖5，當(dāng)D'P⊥BC于點(diǎn)G時，作EI⊥BD于點(diǎn)I，由①②可知，EI=255，由翻折的性質(zhì)可知∠EPI＝∠EPG，∴EG＝EI=2∵BE=BF2∴BG＝BE﹣EG＝22?∵∠GBP＝∠IBE，∠BGP＝∠BIE，∴△BPG∽△BEI，∴BPBE=BG∴BP=4綜上所述，當(dāng)△D'EP與△BEP的重疊部分圖形為直角三角形時，BP的長為655或5+總結(jié)提升：本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、多邊形的面積、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理等知識點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合、分類討論、熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．6．（2023?酒泉一模）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；（3）點(diǎn)E是線段BC上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點(diǎn)的坐標(biāo)．思路引領(lǐng)：（1）直接根據(jù)待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；（2）由二次函數(shù)的性質(zhì)得OC＝3，然后根據(jù)勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)得CP1＝DP2＝CP3＝CD，作CH⊥對稱軸于H，即可得到答案；（3）首先得點(diǎn)B（3，0），待定系數(shù)法得直線BC的解析式為：y＝﹣x+3，過點(diǎn)C作CM⊥EF于M，設(shè)E（a，﹣a+3），F(xiàn)（a，﹣a2+2a+3），利用面積公式可得答案．解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+mx+n經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，∴?1?m+n=0n=3∴m=2n=3∴拋物線的表達(dá)式；y＝﹣x2+2x+3．（2）存在，如圖：∵C（0，3），∴OC＝3，在直角三角形OCB中，由勾股定理，得CD=10∵△CDP是以CD為腰的等腰三角形，∴CD＝PD=10∴P1（1，10），P2（1，?10PC＝PD時，設(shè)P（1，b），1+（b﹣3）2＝b2，∴b＝6，∴P3（1，6），∴P1（1，10）或P2（1，?10）或P3（3）當(dāng)y＝0時，0＝﹣x2+2x+3，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，由圖象得，b=30=2k+b∴b=3k=?1∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3，設(shè)E（a，﹣a+3），F(xiàn)（a，﹣a2+2a+3），∴EF＝﹣a2+2a+3﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a（0≤a≤3），S△CDB=12BD?OCS△CBF＝S△CDB+S△BEF=?32a2+∵S四邊形COBF＝S△BCD+S△BCF=?32a2+92a+3=?32（∴當(dāng)a=32時，S四邊形COBF最大值為y=?32+∴E（32，3總結(jié)提