等差數(shù)列的概念高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

第四章數(shù)列4.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念(2)內(nèi)容索引學(xué)習(xí)目標(biāo)活動(dòng)方案檢測(cè)反饋學(xué)習(xí)目標(biāo)1.鞏固等差數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式．2.探索發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的性質(zhì)并能運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題．3.能在具體的問(wèn)題情景中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問(wèn)題．活動(dòng)方案例1某公司購(gòu)置了一臺(tái)價(jià)值為220萬(wàn)元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過(guò)程中老化，其價(jià)值會(huì)逐年減少．經(jīng)驗(yàn)表明，每經(jīng)過(guò)一年其價(jià)值就會(huì)減少d(d為正常數(shù))萬(wàn)元．已知這臺(tái)設(shè)備的使用年限為10年，超過(guò)10年，它的價(jià)值將低于購(gòu)進(jìn)價(jià)值的5%，設(shè)備將報(bào)廢．請(qǐng)確定d的取值范圍．活動(dòng)一等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【解析】

設(shè)使用n年后，這臺(tái)設(shè)備的價(jià)值為an萬(wàn)元，則可得數(shù)列{an}．由已知條件，得an＝an－1－d(n≥2)．由于d是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以數(shù)列{an}是一個(gè)公差為－d的等差數(shù)列．因?yàn)橘?gòu)進(jìn)設(shè)備的價(jià)值為220萬(wàn)元，所以a1＝220－d，于是an＝a1＋(n－1)(－d)＝220－nd.解這個(gè)不等式組，得19<d≤20.9，所以d的取值范圍為(19,20.9]．先把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決此數(shù)學(xué)問(wèn)題，最后回歸到實(shí)際問(wèn)題中去，從而實(shí)際問(wèn)題得到解決．某公司經(jīng)銷(xiāo)一種數(shù)碼產(chǎn)品，第1年獲利200萬(wàn)元，從第2年起由于市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)等方面的原因，利潤(rùn)每年比上一年減少20萬(wàn)元，按照這一規(guī)律，如果公司不開(kāi)發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營(yíng)策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷(xiāo)這一產(chǎn)品將虧損？【解析】

由題意可知，設(shè)第1年獲利為a1，第n年獲利為an，則an－

an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，每年獲利構(gòu)成等差數(shù)列{an}，且首項(xiàng)a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.若an＜0，則該公司經(jīng)銷(xiāo)這一產(chǎn)品將虧損，由an＝－20n＋220＜0，解得n＞11，即從第12年起，該公司經(jīng)銷(xiāo)這一產(chǎn)品將虧損．例2已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列{bn}．(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)b29是不是數(shù)列{an}的項(xiàng)？若是，它是{an}的第幾項(xiàng)？若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．活動(dòng)二等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式的綜合應(yīng)用【解析】

(1)設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d′.由題意可知，b1＝a1，b5＝a2，于是b5－b1＝a2－a1＝8.因?yàn)閎5－b1＝4d′，所以4d′＝8，所以d′＝2，所以bn＝2＋(n－1)×2＝2n，所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式是bn＝2n.(2)數(shù)列{an}的各項(xiàng)依次是數(shù)列{bn}的第1,5,9,13，…項(xiàng)，這些下標(biāo)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列{cn}，則cn＝4n－3.令4n－3＝29，解得n＝8，所以b29是數(shù)列{an}的第8項(xiàng)．已知等差數(shù)列{an}：3,7,11,15，….(1)135,4m＋19(m∈N*)是{an}中的項(xiàng)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若ap，aq(p，q∈N*)是數(shù)列{an}中的項(xiàng)，則2ap＋3aq是數(shù)列{an}中的項(xiàng)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】

a1＝3，d＝4，an＝a1＋(n－1)d＝4n－1.(1)令an＝4n－1＝135，解得n＝34，所以135是數(shù)列{an}中的第34項(xiàng)．令an＝4n－1＝4m＋19，則n＝m＋5∈N*，所以4m＋19是數(shù)列{an}中的第m＋5項(xiàng)．(2)因?yàn)閍p，aq是數(shù)列{an}中的項(xiàng)，所以ap＝4p－1，aq＝4q－1，所以2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1)＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1，其中2p＋3q－1∈N*，所以2ap＋3aq是數(shù)列{an}中的第2p＋3q－1項(xiàng)．探究1

在等差數(shù)列{an}中，公差為d，則am與an有何關(guān)系？活動(dòng)三理解等差數(shù)列的基本性質(zhì)【解析】

an＝am＋(n－m)d例3在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首項(xiàng)a1與公差d.【解析】

由題意，得a12＝a5＋(12－5)d，即31＝10＋7d，解得d＝3.又a5＝a1＋4d＝10，即a1＋12＝10，解得a1＝－2.探究2

在等差數(shù)列{an}中，若依次抽取數(shù)列中的偶數(shù)項(xiàng)，所構(gòu)成的新數(shù)列有何特征？若從第1項(xiàng)起，相隔3項(xiàng)抽取數(shù)列中的項(xiàng)，所構(gòu)成的新數(shù)列又有何特征？若構(gòu)造新數(shù)列：a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，…，則所得數(shù)列又有何特征？【解析】

在等差數(shù)列{an}中，若依次抽取數(shù)列中的偶數(shù)項(xiàng)，所構(gòu)成的數(shù)列還是等差數(shù)列，且其公差為原數(shù)列公差的2倍．若從第1項(xiàng)起相隔3項(xiàng)抽取數(shù)列中的項(xiàng)，所構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列，且其公差為原數(shù)列公差的4倍．構(gòu)造數(shù)列a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，…，新數(shù)列仍成等差數(shù)列，其公差為原數(shù)列公差的4倍．例4已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t.求證：ap＋aq＝as＋at.【解析】

設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，as＝a1＋(s－1)d，at＝a1＋(t－1)d，所以ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，as＋at＝2a1＋(s＋t－2)d.因?yàn)閜＋q＝s＋t，所以ap＋aq＝as＋at.在等差數(shù)列{an}中，若a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a8，a6＋a7的值．【解析】

a5＋a8＝a6＋a7＝18在等差數(shù)列{an}中，已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，且a2·a5＝52，求公差d的值．在等差數(shù)列{an}中，m，n，p，q∈N*.(1)若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq；(2)若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap；(3)當(dāng)公差不為0時(shí)，若am＋an＝ap＋aq，則m＋n＝p＋q.檢測(cè)反饋1.在等差數(shù)列{an}中，若a5＝6，a8＝15，則a14的值為(

)A.32 B.33C.－33 D.2913524B2.已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m等于(

)A.8 B.4C.6 D.1212345【解析】

因?yàn)閍3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.AA.a2＝7 B.數(shù)列{an}為遞增數(shù)列C.an＝n2＋2