第09講 直線的方程（十大題型）（教師版）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義

第第頁(yè)第09講直線的方程【題型歸納目錄】題型一：點(diǎn)斜式直線方程題型二：斜截式直線方程題型三：兩點(diǎn)式直線方程題型四：截距式直線方程題型五：中點(diǎn)坐標(biāo)公式題型六：直線的一般式方程題型七：直線方程的綜合應(yīng)用題型八：判斷動(dòng)直線所過(guò)定點(diǎn)題型九：直線與坐標(biāo)軸形成三角形問(wèn)題題型十：直線方程的實(shí)際應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：直線的點(diǎn)斜式方程方程SKIPIF1<0由直線上一定點(diǎn)及其斜率決定，我們把SKIPIF1<0叫做直線的點(diǎn)斜式方程，簡(jiǎn)稱點(diǎn)斜式．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、點(diǎn)斜式方程是由直線上一點(diǎn)和斜率確定的，點(diǎn)斜式的前提是直線的斜率存在．點(diǎn)斜式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線；2、當(dāng)直線的傾斜角為SKIPIF1<0時(shí)，直線方程為SKIPIF1<0；3、當(dāng)直線傾斜角為SKIPIF1<0時(shí)，直線沒(méi)有斜率，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．這時(shí)直線方程為：SKIPIF1<0．4、SKIPIF1<0表示直線去掉一個(gè)點(diǎn)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0表示一條直線．知識(shí)點(diǎn)二：直線的斜截式方程如果直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，且與SKIPIF1<0軸的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．我們把直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點(diǎn)SKIPIF1<0的縱坐標(biāo)SKIPIF1<0叫做直線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上的截距，方程SKIPIF1<0由直線的斜率SKIPIF1<0與它在SKIPIF1<0軸上的截距SKIPIF1<0確定，所以方程SKIPIF1<0叫做直線的斜截式方程，簡(jiǎn)稱斜截式．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、b為直線SKIPIF1<0在y軸上截距，截距可以取一切實(shí)數(shù)，即可以為正數(shù)、零、負(fù)數(shù)；距離必須大于或等于零；2、斜截式方程可由過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的點(diǎn)斜式方程得到；3、當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，斜截式方程就是一次函數(shù)的表示形式．4、斜截式的前提是直線的斜率存在．斜截式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線．5、斜截式是點(diǎn)斜式的特殊情況，在方程SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是直線的斜率，SKIPIF1<0是直線在SKIPIF1<0軸上的截距．知識(shí)點(diǎn)三：直線的兩點(diǎn)式方程經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0)的直線方程為SKIPIF1<0，稱這個(gè)方程為直線的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)式．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、這個(gè)方程由直線上兩點(diǎn)確定；2、當(dāng)直線沒(méi)有斜率(SKIPIF1<0)或斜率為SKIPIF1<0時(shí)，不能用兩點(diǎn)式求出它的方程．3、直線方程的表示與SKIPIF1<0選擇的順序無(wú)關(guān)．4、在應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)，往往把分式形式SKIPIF1<0通過(guò)交叉相乘轉(zhuǎn)化為整式形式SKIPIF1<0，從而得到的方程中，包含了SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的情況，但此轉(zhuǎn)化過(guò)程不是一個(gè)等價(jià)的轉(zhuǎn)化過(guò)程，不能因此忽略由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是否相等引起的討論．要避免討論，可直接假設(shè)兩點(diǎn)式的整式形式．知識(shí)點(diǎn)四：直線的截距式方程若直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，與y軸的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則過(guò)AB兩點(diǎn)的直線方程為SKIPIF1<0，這個(gè)方程稱為直線的截距式方程．a(chǎn)叫做直線在x軸上的截距，b叫做直線在y軸上的截距．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、截距式的條件是SKIPIF1<0，即截距式方程不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線以及不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線．2、求直線在坐標(biāo)軸上的截距的方法：令x=0得直線在y軸上的截距；令y=0得直線在x軸上的截距．知識(shí)點(diǎn)五：直線方程幾種表達(dá)方式的選取在一般情況下，使用斜截式比較方便，這是因?yàn)樾苯厥街恍枰獌蓚€(gè)獨(dú)立變數(shù)，而點(diǎn)斜式需要三個(gè)獨(dú)立變數(shù)．在求直線方程時(shí)，要根據(jù)給出的條件采用適當(dāng)?shù)男问剑话愕?，已知一點(diǎn)的坐標(biāo)，求過(guò)這點(diǎn)的直線，通常采用點(diǎn)斜式，再由其他條件確定斜率；已知直線的斜率，常用斜截式，再由其他條件確定在y軸上的截距；已知截距或兩點(diǎn)選擇截距式或兩點(diǎn)式．從結(jié)論上看，若求直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積或周長(zhǎng)，則選擇截距式求解較方便，但不論選用哪一種形式，都要注意各自的限制條件，以免遺漏．知識(shí)點(diǎn)六：直線方程的一般式關(guān)于x和y的一次方程都表示一條直線．我們把方程寫(xiě)為SKIPIF1<0，這個(gè)方程(其中A、B不全為零)叫做直線方程的一般式．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、A、B不全為零才能表示一條直線，若A、B全為零則不能表示一條直線．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，方程可變形為SKIPIF1<0，它表示過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，斜率為SKIPIF1<0的直線．當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，方程可變形為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，它表示一條與SKIPIF1<0軸垂直的直線．由上可知，關(guān)于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的二元一次方程，它都表示一條直線．2、在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)關(guān)于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的二元一次方程對(duì)應(yīng)著唯一的一條直線，反過(guò)來(lái)，一條直線可以對(duì)應(yīng)著無(wú)數(shù)個(gè)關(guān)于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的一次方程．知識(shí)點(diǎn)七：直線方程的不同形式間的關(guān)系名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點(diǎn)斜式SKIPIF1<0SKIPIF1<0是直線上一定點(diǎn)，SKIPIF1<0是斜率不垂直于SKIPIF1<0軸斜截式SKIPIF1<0SKIPIF1<0是斜率，SKIPIF1<0是直線在y軸上的截距不垂直于SKIPIF1<0軸兩點(diǎn)式SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直線上兩定點(diǎn)不垂直于SKIPIF1<0軸和SKIPIF1<0軸截距式SKIPIF1<0SKIPIF1<0是直線在x軸上的非零截距，SKIPIF1<0是直線在y軸上的非零截距不垂直于SKIPIF1<0軸和SKIPIF1<0軸，且不過(guò)原點(diǎn)一般式SKIPIF1<0SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為系數(shù)任何位置的直線直線方程的五種形式的比較如下表：知識(shí)點(diǎn)詮釋：在直線方程的各種形式中，點(diǎn)斜式與斜截式是兩種常用的直線方程形式，要注意在這兩種形式中都要求直線存在斜率，兩點(diǎn)式是點(diǎn)斜式的特例，其限制條件更多SKIPIF1<0，應(yīng)用時(shí)若采用SKIPIF1<0的形式，即可消除局限性．截距式是兩點(diǎn)式的特例，在使用截距式時(shí)，首先要判斷是否滿足“直線在兩坐標(biāo)軸上的截距存在且不為零”這一條件．直線方程的一般式包含了平面上的所有直線形式．一般式常化為斜截式與截距式．若一般式化為點(diǎn)斜式，兩點(diǎn)式，由于取點(diǎn)不同，得到的方程也不同．知識(shí)點(diǎn)八：直線方程的綜合應(yīng)用1、已知所求曲線是直線時(shí)，用待定系數(shù)法求．2、據(jù)題目所給條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，求出直線方程．對(duì)于兩直線的平行與垂直，直線方程的形式不同，考慮的方向也不同．(1)從斜截式考慮已知直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0于是與直線SKIPIF1<0平行的直線可以設(shè)為SKIPIF1<0；垂直的直線可以設(shè)為SKIPIF1<0．(2)從一般式考慮：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，記憶式(SKIPIF1<0)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于是與直線SKIPIF1<0平行的直線可以設(shè)為SKIPIF1<0；垂直的直線可以設(shè)為SKIPIF1<0．【典例例題】題型一：點(diǎn)斜式直線方程例1．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知直線的方程是SKIPIF1<0，則()A．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，斜率為-1 B．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，斜率為-1C．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，斜率為-1 D．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，斜率為1【答案】C【解析】根據(jù)已知可得出直線的點(diǎn)斜式方程為SKIPIF1<0，所以，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，斜率為-1.故選：C.例2．過(guò)兩點(diǎn)SKIPIF1<0的直線方程為()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由兩點(diǎn)SKIPIF1<0，可得過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率為SKIPIF1<0，又由直線的點(diǎn)斜式方程，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：B.例3．過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且傾斜角為150°的直線l的方程為(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】依題意，直線l的斜率SKIPIF1<0，故直線l的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故選：B.例4．過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且與直線SKIPIF1<0垂直的直線方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】與直線SKIPIF1<0垂直的直線的斜率SKIPIF1<0，∴所求的直線方程為SKIPIF1<0，即為SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0.例5．過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，傾斜角為SKIPIF1<0的直線方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】依題意，直線的斜率SKIPIF1<0，所以直線方程為：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：B題型二：斜截式直線方程例6．寫(xiě)出下列直線的斜截式方程：(1)斜率是SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0軸上的截距是SKIPIF1<0；(2)傾斜角為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0軸上的截距是SKIPIF1<0；(3)傾斜角為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0軸上的截距是SKIPIF1<0．【解析】(1)SKIPIF1<0(2)因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．(3)因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．例7．根據(jù)條件寫(xiě)出下列直線的斜截式方程：(1)傾斜角為150°，在y軸上的截距是－2；(2)傾斜角為60°，與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3．【解析】(1)因?yàn)閮A斜角α＝150°，所以斜率k＝tan150°＝－SKIPIF1<0，由斜截式可得直線方程為y＝－SKIPIF1<0x－2．(3)因?yàn)橹本€的傾斜角為60°，所以斜率k＝tan60°＝SKIPIF1<0．因?yàn)橹本€與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3，所以直線在y軸上的截距b＝3或b＝－3，故所求直線的斜截式方程為y＝SKIPIF1<0x＋3或y＝SKIPIF1<0x－3.例8．寫(xiě)出下列直線的斜截式方程.(1)斜率是SKIPIF1<0，在y軸上的截距是SKIPIF1<0；(2)斜率是SKIPIF1<0，在y軸上的截距是4．【解析】(1)因?yàn)橹本€斜率是SKIPIF1<0，在y軸上的截距是SKIPIF1<0，所以直線的斜截式方程為SKIPIF1<0；(2)因?yàn)橹本€斜率是SKIPIF1<0，在y軸上的截距是4，所以直線的斜截式方程為SKIPIF1<0；題型三：兩點(diǎn)式直線方程例9．已知直線分別經(jīng)過(guò)下面兩點(diǎn)，用兩點(diǎn)式方程求直線的方程：(1)A(3,1),B(2,－3)；(2)A(2,1),B(0,－3)；(3)A(0,5),B(4,0).【解析】(1)直線的兩點(diǎn)式方程為SKIPIF1<0.(2)直線的兩點(diǎn)式方程為SKIPIF1<0.(3)直線的兩點(diǎn)式方程為SKIPIF1<0.例10．在SKIPIF1<0中，已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0邊上中線所在直線的兩點(diǎn)式方程．【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以線段BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為SKIPIF1<0．又BC邊上的中線經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，所以BC邊上中線的兩點(diǎn)式方程為SKIPIF1<0．例11．求經(jīng)過(guò)下列兩點(diǎn)的直線的兩點(diǎn)式方程.(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；

(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【解析】因?yàn)橹本€的兩點(diǎn)式方程為：SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的兩點(diǎn)式方程：SKIPIF1<0；因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的兩點(diǎn)式方程：SKIPIF1<0；題型四：截距式直線方程例12．已知△ABC中，A(1，﹣4)，B(6，6)，C(﹣2，0).求：(1)△ABC中平行于BC邊的中位線所在直線的一般式方程和截距式方程；(2)BC邊的中線所在直線的一般式方程，并化為截距式方程.【解析】(1)∵SKIPIF1<0，∴△ABC中平行于BC邊的中位線的斜率SKIPIF1<0，又線段AB的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，∴△ABC中平行于BC邊的中位線所在直線的方程為SKIPIF1<0，化為一般式6x﹣8y﹣13=0，可得截距式：SKIPIF1<0.(2)BC邊的中點(diǎn)為D(2，3)，SKIPIF1<0∴BC邊的中線所在直線的方程為y﹣3=7(x﹣2)，化為一般式方程7x﹣y﹣11=0，化為截距式方程SKIPIF1<0.例13．根據(jù)下列條件求直線的截距式方程，并畫(huà)出圖形.(1)在x軸、y軸上的截距分別是2，3；(2)在x軸、y軸上的截距分別是SKIPIF1<0，6．【解析】(1)由截距式得：SKIPIF1<0.(2)由截距式得：SKIPIF1<0.題型五：中點(diǎn)坐標(biāo)公式例14．直線SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0軸?SKIPIF1<0軸分別交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，若SKIPIF1<0恰為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則直線SKIPIF1<0的方程為_(kāi)_________.【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由直線SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.例15．直線SKIPIF1<0被直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所截得的線段中點(diǎn)恰為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線l的方程為_(kāi)_____．【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，分別交于點(diǎn)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，因?yàn)樗氐玫木€段中點(diǎn)恰為坐標(biāo)原點(diǎn)，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.例16．已知點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上，線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)度為_(kāi)__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為直角三角形，且SKIPIF1<0為斜邊，故SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0例17．已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，線段PQ的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，則直線PQ的方程為_(kāi)_____.【答案】SKIPIF1<0【解析】因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，線段PQ的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線PQ的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.題型六：直線的一般式方程例18．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0的一般方程為_(kāi)________【答案】SKIPIF1<0【解析】若SKIPIF1<0,則點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上,點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，即SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都在同一直線SKIPIF1<0上因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線,所以由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0確定的直線即為SKIPIF1<0故答案為:SKIPIF1<0例19．傾斜角為SKIPIF1<0，且過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0的方程為_(kāi)_________.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】因?yàn)橹本€SKIPIF1<0傾斜角為SKIPIF1<0，且過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0軸，故直線方程為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0例20．)直線l過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，若l的斜率為3，則直線l的一般式方程為_(kāi)_____．【答案】SKIPIF1<0【解析】由直線的點(diǎn)斜式可得，方程為SKIPIF1<0，化為一般式方程為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0例21．過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線方程(一般式)為_(kāi)____．【答案】SKIPIF1<0【解析】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線的斜率為SKIPIF1<0，所以直線方程為SKIPIF1<0，化為一般式為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．例22．已知SKIPIF1<0的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則BC邊上的中線AE所在直線的一般方程為_(kāi)_____．【答案】SKIPIF1<0【解析】BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故BC邊上的中線AE所在直線的方程為SKIPIF1<0，化為一般方程為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0例23．寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的一條直線方程__________.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0寫(xiě)出1條即可SKIPIF1<0【解析】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，方程設(shè)為SKIPIF1<0代入點(diǎn)A得：SKIPIF1<0；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為：SKIPIF1<0，把點(diǎn)SKIPIF1<0代入直線的方程可得SKIPIF1<0，則直線方程是SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0寫(xiě)出1條即可SKIPIF1<0題型七：直線方程的綜合應(yīng)用例24．當(dāng)直線方程SKIPIF1<0的系數(shù)A，B，C滿足什么條件時(shí)，該直線分別具有以下性質(zhì)？(1)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；(2)與兩條坐標(biāo)軸都相交；(3)只與x軸相交；(4)是x軸所在直線；(5)設(shè)SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上一點(diǎn)，證明：這條直線的方程可以寫(xiě)成SKIPIF1<0．【解析】(1)將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0不同為SKIPIF1<0方程表示過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線；(2)直線SKIPIF1<0與兩條坐標(biāo)軸都相交說(shuō)明橫縱截距都存在，當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)直線過(guò)原點(diǎn)滿足條件，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，令SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0都不為0，綜上所述，SKIPIF1<0時(shí)直線與兩條坐標(biāo)軸都相交；(3)直線SKIPIF1<0只與x軸相交，就是與SKIPIF1<0軸平行、重合均可，因此直線方程可化成SKIPIF1<0形式，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；(4)x軸的方程為SKIPIF1<0，因此方程SKIPIF1<0中SKIPIF1<0時(shí)方程表示的直線是x軸所在直線；(5)因?yàn)镾KIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上一點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以方程可化為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以這條直線的方程可以寫(xiě)成SKIPIF1<0．例25．已知SKIPIF1<0的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(4，0)，B(6，6)，C(0，2)．(1)求BC邊上的高所在直線的方程；(2)求AB邊的垂直平分線所在直線的方程．【解析】(1)SKIPIF1<0邊所在的直線的斜率SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0邊上的高與SKIPIF1<0垂直，所以SKIPIF1<0邊上的高所在直線的斜率為SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0邊上的高經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0邊上的高所在的直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0邊所在的直線的斜率SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0邊的垂直平分線的斜率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0邊中點(diǎn)E的坐標(biāo)是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以AC邊的垂直平分線的方程是SKIPIF1<0即SKIPIF1<0．例26．已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求：(1)SKIPIF1<0邊的中線所在直線的一般式方程，并化為截距式方程.(2)SKIPIF1<0中平行于SKIPIF1<0邊的中位線所在直線的一般式方程.【解析】(1)由題意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0邊的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0邊上的中線所在直線的方程為SKIPIF1<0，即得其一般式方程為SKIPIF1<0，截距式方程為SKIPIF1<0.(2)平行于SKIPIF1<0邊的中位線就是SKIPIF1<0中點(diǎn)的連線.因?yàn)榫€段SKIPIF1<0中點(diǎn)坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以這條直線的方程為SKIPIF1<0，整理得一般式方程為SKIPIF1<0.例27．在SKIPIF1<0中，已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求BC邊上中線的方程．(2)若某一直線過(guò)B點(diǎn)，且x軸上截距是y軸上截距的2倍，求該直線的一般式方程．【解析】(1)BC中點(diǎn)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故BC邊上中線的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；(2)直線過(guò)B點(diǎn)且x軸上截距是y軸上截距的2倍，i.若直線過(guò)原點(diǎn)，則直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；ii.若直線不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)y軸上截距為m，則直線方程為SKIPIF1<0，代入B點(diǎn)解得SKIPIF1<0，故直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故該直線的一般式方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.例28．已知SKIPIF1<0的頂點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的一般式方程；(2)求角SKIPIF1<0的角平分線所在直線的一般式方程.【解析】(1)由題意可知，當(dāng)所求直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，所求直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)所求直線不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線的方程為SKIPIF1<0，則因?yàn)樗笾本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以所求直線的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，綜上所述，所求直線方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.(2)由題意可知，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以角SKIPIF1<0的角平分線所在直線的傾斜角為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當(dāng)角SKIPIF1<0的角平分線所在直線的傾斜角為SKIPIF1<0，其斜率為SKIPIF1<0，所以角SKIPIF1<0的角平分線所在直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)角SKIPIF1<0的角平分線所在直線的傾斜角為SKIPIF1<0，其斜率為SKIPIF1<0，所以角SKIPIF1<0的角平分線所在直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，綜上所述，所求直線方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.例29．在SKIPIF1<0中，已知頂點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求AB邊上中線的方程：(2)求過(guò)點(diǎn)B，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍的直線方程．【解析】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0中點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，故AB邊上中線的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0(2)當(dāng)直線在SKIPIF1<0軸和SKIPIF1<0軸上的截距均為0時(shí)，可設(shè)直線的方程為SKIPIF1<0，代入點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以所求直線的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；當(dāng)直線在SKIPIF1<0軸和SKIPIF1<0軸上的截距均不為0時(shí)，可設(shè)直線的方程為SKIPIF1<0，代入點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以所求直線的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，綜上所述，該直線的一般式方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．題型八：判斷動(dòng)直線所過(guò)定點(diǎn)例30．已知實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn)_____.【答案】SKIPIF1<0【解析】由實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0,代入直線方程SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.例31．已知直線SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0變化時(shí)，直線SKIPIF1<0總是經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____.【答案】SKIPIF1<0【解析】因?yàn)橹本€SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.例32．無(wú)論SKIPIF1<0取何值，直線SKIPIF1<0恒過(guò)定點(diǎn)__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】直線方程化為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，定點(diǎn)為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．例33．直線SKIPIF1<0恒過(guò)定點(diǎn)________.【答案】SKIPIF1<0【解析】依題意，直線SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0恒過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0例34．無(wú)論SKIPIF1<0為何值，直線SKIPIF1<0必過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____【答案】SKIPIF1<0【解析】直線SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0.所以，直線必過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型九：直線與坐標(biāo)軸形成三角形問(wèn)題例35．已知直線l過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，且與x軸、y軸的正方向分別交于A，B兩點(diǎn)，分別求滿足下列條件的直線方程：(1)SKIPIF1<0時(shí)，求直線l的方程．(2)當(dāng)SKIPIF1<0的面積最小時(shí)，求直線l的方程．【解析】(1)作SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.由三角形相似，SKIPIF1<0，可求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；(2)根據(jù)題意，設(shè)直線l的方程為SKIPIF1<0，由題意，知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵l過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)，得SKIPIF1<0.①∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去).∴S的最小值為4，將SKIPIF1<0代入①式，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∴直線l的方程為SKIPIF1<0.例36．)設(shè)直線l的方程為SKIPIF1<0(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.(2)若l不經(jīng)過(guò)第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(3)若直線l交x軸正半軸于點(diǎn)A，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，SKIPIF1<0的面積為S，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程.【解析】(1)當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)滿足條件，此時(shí)SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,化為SKIPIF1<0.當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，則直線斜率為-1，故SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,可得直線SKIPIF1<0的方程為:SKIPIF1<0.綜上所述，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0不經(jīng)過(guò)第二象限,∴SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.∴實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.(3)令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0;令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.綜上有SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0,當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào).∴SKIPIF1<0(SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最小值是6，此時(shí)直線方程SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0例37．設(shè)SKIPIF1<0為實(shí)數(shù)，若直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，根據(jù)下列條件分別確定SKIPIF1<0的值：(1)直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0；(2)直線SKIPIF1<0與兩坐標(biāo)軸在第二象限圍成的三角形面積為SKIPIF1<0.【解析】(1)由題意可知，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.(2)由題意可知SKIPIF1<0，在直線SKIPIF1<0的方程中，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0，所以，直線SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.由題意可得SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.例38．已知直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0．(1)求證：不論SKIPIF1<0為何值，直線必過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0；(2)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0引直線SKIPIF1<0，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求SKIPIF1<0的方程．【解析】(1)證明：原方程整理得：SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不論SKIPIF1<0為何值，直線必過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0(2)設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0令SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，三角形面積最?。畡tSKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．例39．已知直線SKIPIF1<0.(1)若直線SKIPIF1<0不能過(guò)第三象限，求SKIPIF1<0的取值范圍；(2)若直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸負(fù)半軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0軸正半軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值及此時(shí)直線SKIPIF1<0的方程．【解析】(1)由SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，此時(shí)直線SKIPIF1<0不過(guò)第三象限，合乎題意；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，在直線SKIPIF1<0的方程中，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0不過(guò)第三象限，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.綜上所述，SKIPIF1<0.(2)由(1)可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸負(fù)半軸，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸正半軸，所以，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，所以，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，此時(shí)直線SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0.例40．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,1)，且與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積為8，求直線l的點(diǎn)斜式方程.【解析】根據(jù)題意知直線l不垂直于x軸，其斜率存在且為負(fù)數(shù)，故可設(shè)直線l的方程為SKIPIF1<0.在方程中，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故直線l與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0.因?yàn)橹本€l與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積為8，所以SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故直線l的點(diǎn)斜式方程為SKIPIF1<0例41．已知直線l過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0，且交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A、交y軸正半軸于點(diǎn)B，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若SKIPIF1<0的面積為4，求直線l的方程；(2)求SKIPIF1<0的最小值，并求此時(shí)直線l的方程；(3)求SKIPIF1<0的最小值，并求此時(shí)直線l的方程．【解析】(1)設(shè)直線l：SKIPIF1<0，由直線過(guò)SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0.所以直線l的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.(2)設(shè)直線l：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線方程SKIPIF1<0.(3)設(shè)直線l：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0|，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線方程SKIPIF1<0．題型十：直線方程的實(shí)際應(yīng)用例42．如圖所示，某縣相鄰兩鎮(zhèn)在同一平面直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，一條河所在的直線方程為SKIPIF1<0，若在河邊l上建一座供水站P，使之到A，B兩鎮(zhèn)的管道最短，問(wèn)供水站P應(yīng)建在什么地方?

【解析】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交l于點(diǎn)P，若點(diǎn)SKIPIF1<0(異于點(diǎn)P)在直線l上，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以供水站建在點(diǎn)P處時(shí)，到A，B兩鎮(zhèn)所使用的管道最省，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的中點(diǎn)在l上，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，聯(lián)立方程SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，所以供水站P應(yīng)建在點(diǎn)SKIPIF1<0處．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．已知直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互相垂直且都過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0過(guò)原點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由題意得直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，由直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互相垂直可得直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交點(diǎn)為SKIPIF1<0.故選：B.2．經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，且與直線SKIPIF1<0垂直的直線方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)與直線SKIPIF1<0垂直的直線方程為SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以所求的直線方程為SKIPIF1<0.故選：A3．過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】D【解析】設(shè)直線在x，y軸上的截距分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，即直線過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線為SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故直線方程為SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，設(shè)直線為SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；綜上所述：直線方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選：D.4．過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，且與原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的直線方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】當(dāng)直線與SKIPIF1<0垂直時(shí)，此時(shí)原點(diǎn)到直線的距離最大，SKIPIF1<0,所以所求直線斜率為SKIPIF1<0，由點(diǎn)斜式可得直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF