2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期培優(yōu)講義第15講 直線和圓錐曲線的位置關(guān)系（教師版）

第第頁第15講直線和圓錐曲線的位置關(guān)系【題型歸納目錄】題型一：直線與橢圓的位置關(guān)系題型二：橢圓的弦題型三：橢圓的綜合問題題型四：直線與雙曲線的位置關(guān)系題型五：雙曲線的弦題型六：雙曲線的綜合問題題型七：直線與拋物線的位置關(guān)系題型八：拋物線的弦題型九：拋物線的綜合問題【知識點梳理】知識點一：直線與橢圓的位置關(guān)系平面內(nèi)點與橢圓的位置關(guān)系橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓外，因此，平面上的點與橢圓的位置關(guān)系有三種，任給一點M(x，y)，若點M(x，y)在橢圓上，則有SKIPIF1<0SKIPIF1<0；若點M(x，y)在橢圓內(nèi)，則有SKIPIF1<0SKIPIF1<0；若點M(x，y)在橢圓外，則有SKIPIF1<0SKIPIF1<0.直線與橢圓的位置關(guān)系將直線的方程SKIPIF1<0與橢圓的方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.①Δ＞0SKIPIF1<0直線和橢圓相交SKIPIF1<0直線和橢圓有兩個交點(或兩個公共點)；②Δ＝0SKIPIF1<0直線和橢圓相切SKIPIF1<0直線和橢圓有一個切點(或一個公共點)；③Δ＜0SKIPIF1<0直線和橢圓相離SKIPIF1<0直線和橢圓無公共點．直線與橢圓的相交弦設(shè)直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0同理可得SKIPIF1<0這里SKIPIF1<0SKIPIF1<0的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：SKIPIF1<0SKIPIF1<0知識點三、直線與雙曲線的位置關(guān)系直線與雙曲線的位置關(guān)系將直線的方程SKIPIF1<0與雙曲線的方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.SKIPIF1<0若SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；若SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，①Δ＞0SKIPIF1<0直線和雙曲線相交SKIPIF1<0直線和雙曲線相交，有兩個交點；②Δ＝0SKIPIF1<0直線和雙曲線相切SKIPIF1<0直線和雙曲線相切，有一個公共點；③Δ＜0SKIPIF1<0直線和雙曲線相離SKIPIF1<0直線和雙曲線相離，無公共點．直線與雙曲線的相交弦設(shè)直線SKIPIF1<0交雙曲線SKIPIF1<0SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0同理可得SKIPIF1<0這里SKIPIF1<0SKIPIF1<0的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：SKIPIF1<0SKIPIF1<0雙曲線的中點弦問題遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解.在雙曲線SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，以SKIPIF1<0為中點的弦所在直線的斜率SKIPIF1<0；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來相互轉(zhuǎn)化，同時還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.解題的主要規(guī)律可以概括為“聯(lián)立方程求交點，韋達定理求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”.知識點四、直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線的位置關(guān)系將直線的方程SKIPIF1<0與拋物線的方程y2=2px(p＞0)聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，直線與拋物線的對稱軸平行或重合，直線與拋物線相交于一點；若SKIPIF1<0①Δ＞0SKIPIF1<0直線和拋物線相交，有兩個交點；②Δ＝0SKIPIF1<0直線和拋物線相切，有一個公共點；③Δ＜0SKIPIF1<0直線和拋物線相離，無公共點．直線與拋物線的相交弦設(shè)直線SKIPIF1<0交拋物線SKIPIF1<0SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0同理可得SKIPIF1<0這里SKIPIF1<0SKIPIF1<0的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：SKIPIF1<0SKIPIF1<0拋物線的焦點弦問題已知過拋物線SKIPIF1<0的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點。設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：焦點弦長SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0，其中|AF|叫做焦半徑，SKIPIF1<0④焦點弦長最小值為2p。根據(jù)SKIPIF1<0時，即AB垂直于x軸時，弦AB的長最短，最短值為2p?！镜淅}】題型一：直線與橢圓的位置關(guān)系例1．若直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0有且只有一公共點，那么SKIPIF1<0的值為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因為方程SKIPIF1<0表示的曲線為橢圓，則SKIPIF1<0，將直線SKIPIF1<0的方程與橢圓的方程聯(lián)立，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：C.例2．已知橢圓SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，則直線l與橢圓C的位置關(guān)系為(

)A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【解析】對于直線SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0在橢圓C的內(nèi)部，所以直線l與橢圓C相交.故選：A.題型二：橢圓的弦例3．已知橢圓SKIPIF1<0的左焦點為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0且傾斜角為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】已知橢圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以橢圓的左焦點為SKIPIF1<0,因為直線SKIPIF1<0傾斜角為SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.例4．橢圓SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，過O作直線交橢圓于A、B兩點，若SKIPIF1<0的面積為20，則直線AB的方程為______．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】由直線AB關(guān)于原點對稱以及橢圓關(guān)于原點對稱可知，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．過點A作AH垂直于x軸，垂足為H，則SKIPIF1<0，即點A的縱坐標為SKIPIF1<0，代入橢圓方程解得A的橫坐標為SKIPIF1<0，即點A的坐標為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．因此直線AB的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0題型三：橢圓的綜合問題例5．已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)上任意一點SKIPIF1<0到兩個焦點的距離之和為SKIPIF1<0，且離心率為SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；(2)過點SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0交橢圓于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，求直線SKIPIF1<0的方程．【解析】(1)由橢圓的定義知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵橢圓的離心率SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴橢圓SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0.(2)∵SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0內(nèi)一點，∴直線SKIPIF1<0與橢圓必交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，不合題意，故SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均在橢圓上，∴SKIPIF1<0，兩式相減，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．題型四：直線與雙曲線的位置關(guān)系例6．直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0相交，有且只有1個交點，則雙曲線SKIPIF1<0的離心率為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因為直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相交，且有且僅有1個交點,所以直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的漸近線SKIPIF1<0平行，故SKIPIF1<0，則雙曲線SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0.故選：A例7．若直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0有且只有一個交點，則滿足條件的直線SKIPIF1<0有(

)A．SKIPIF1<0條 B．SKIPIF1<0條 C．SKIPIF1<0條 D．SKIPIF1<0條【答案】C【解析】直線SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒過點SKIPIF1<0，又雙曲線的漸近線方程為SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0在其中一條漸近線SKIPIF1<0上，又直線與雙曲線只有一個交點，則直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0且平行于SKIPIF1<0或過點SKIPIF1<0且與雙曲線的右支相切，即滿足條件的直線SKIPIF1<0有SKIPIF1<0條.故選：C題型五：雙曲線的弦例8．已知雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左右頂點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上．(1)求直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之積；(2)若直線MN的斜率為2，且過點SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【解析】(1)設(shè)SKIPIF1<0，由雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.(2)直線SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.題型六：雙曲線的綜合問題例9．已知雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，漸近線方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0右支的一條切線，且與SKIPIF1<0的漸近線交于A，B兩點．(1)求雙曲線SKIPIF1<0的方程；(2)設(shè)點A，B的中點為M，求點M到y(tǒng)軸的距離的最小值．【解析】(1)由題設(shè)可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0則SKIPIF1<0：SKIPIF1<0．(2)設(shè)點M的橫坐標為SKIPIF1<0當直線SKIPIF1<0斜率不存在時，則直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0易知點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0軸的距離為SKIPIF1<0﹔當直線SKIPIF1<0斜率存在時，設(shè)SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0聯(lián)立SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∴此時點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0軸的距離大于2；綜上所述，點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0軸的最小距離為2．題型七：直線與拋物線的位置關(guān)系例10．過拋物線SKIPIF1<0的焦點作一條直線與拋物線交于A，B兩點，它們的橫坐標之和等于2，則這樣的直線(

)A．有且只有一條B．有且只有兩條C．有且只有三條D．有且只有四條【答案】B【解析】根據(jù)題意，拋物線的焦點坐標為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，若直線的斜率不存在，則SKIPIF1<0，不符合題意，若直線的斜率存在，設(shè)直線方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以此時有兩條直線滿足題意，綜上所述，符合題意得直線有且只有兩條.故選：B.題型八：拋物線的弦例11．過拋物線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦點SKIPIF1<0的直線交拋物SKIPIF1<0線于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0，則弦SKIPIF1<0的長為______.【答案】SKIPIF1<0【解析】由拋物線的焦點弦長公式可知，SKIPIF1<0.由拋物線方程，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以弦SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.例12．已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的弦SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為______．【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別向拋物線的準線作垂線，垂足為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0與拋物線的準線交點為SKIPIF1<0，拋物線的準線與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由拋物線的定義，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又易知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型九：拋物線的綜合問題例13．已知拋物線SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0.(1)求拋物線SKIPIF1<0的方程；(2)已知直線SKIPIF1<0交拋物線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的方程.【解析】(1)由題意，在拋物線SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由幾何知識得，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故拋物線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0.(2)由題意及(1)得，直線SKIPIF1<0的斜率存在，設(shè)直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗，滿足題意.例14．已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為F，點F到拋物線準線距離為4．(1)求拋物線E的標準方程；(2)已知SKIPIF1<0的三個頂點都在拋物線E上，頂點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重心恰好是拋物線E的焦點F．求SKIPIF1<0所在的直線方程．【解析】(1)由題意得SKIPIF1<0，∴拋物線方程為：SKIPIF1<0(2)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由重心坐標公式得SKIPIF1<0，∴CD中點坐標為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩式相減得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0方程：SKIPIF1<0.【過關(guān)測試】一、單選題1．已知直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0交于A，B兩點，若D為線段AB的中點，O為坐標原點，則直線OD的斜率為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，相減得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,將其代入SKIPIF1<0中可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,故選：C2．橢圓mx2＋ny2＝1與直線y＝1－x交于M，N兩點，過原點與線段MN中點的直線的斜率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設(shè)SKIPIF1<0，M、N中點為D，則SKIPIF1<0，由題意得：SKIPIF1<0因為M、N在橢圓上，則SKIPIF1<0，兩式相減整理得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故選：B.3．過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點，則直線SKIPIF1<0的方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式相減得直線的斜率為SKIPIF1<0，又直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗此時SKIPIF1<0與雙曲線有兩個交點.故選：A4．在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，已知點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，且直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(

)A．1 B．3 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因為點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，因為直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：A.二、填空題5．設(shè)P是雙曲線SKIPIF1<0右支上任一點，過點P分別作兩條漸近線的垂線，垂足分別為E、F，則SKIPIF1<0的值為________．【答案】SKIPIF1<0【解析】漸近線方程為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由點到直線的距離公式有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<06．過拋物線SKIPIF1<0的焦點作一直線交拋物線于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0的值是________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由題意知，拋物線焦點坐標為SKIPIF1<0，從而設(shè)直線AB的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立方程SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.7．已知雙曲線C：SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0的焦點重合，點P在雙曲線C的右支上，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】由雙曲線右焦點SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0的焦點重合，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0