弧、弦、圓心角、圓周角-知識(shí)講解（基礎(chǔ)）

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解圓心角、圓周角的概念；2.理解圓周角定理及其推論，能靈活運(yùn)用圓周角的定理及其推理解決有關(guān)問(wèn)題；3.掌握在同圓或等圓中，三組量：兩個(gè)圓心角、兩條弦、兩條弧，只要有一組量相等，就可以推出其它兩組量對(duì)應(yīng)相等，及其它們?cè)诮忸}中的應(yīng)用.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、弧、弦、圓心角的關(guān)系1.圓心角定義如圖所示，∠AOB的頂點(diǎn)在圓心，像這樣頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.2.定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.3.推論：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦也相等.在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧也相等.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)一個(gè)角要是圓心角，必須具備頂點(diǎn)在圓心這一特征；(2)注意定理中不能忽視“同圓或等圓”這一前提.要點(diǎn)二、圓周角1.圓周角定義：像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.2.圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.3.圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)圓周角必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都和圓相交.(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.4.圓內(nèi)接四邊形：（1）定義:圓內(nèi)接四邊形：頂點(diǎn)都在圓上的四邊形，叫圓內(nèi)接四邊形.（2）性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角（即它的一個(gè)外角等于它相鄰內(nèi)角的對(duì)角）.5.弦、弧、圓心角、弦心距的關(guān)系：在同圓或等圓中，弦，弧，圓心角，弦心距等幾何量之間是相互關(guān)聯(lián)的，即它們中間只要有一組量相等，(例如圓心角相等)，那么其它各組量也分別相等(即相對(duì)應(yīng)的弦、弦心距以及弦所對(duì)的弧也分別相等)。*如果它們中間有一組量不相等，那么其它各組量也分別不等?！镜湫屠}】類(lèi)型一、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系及應(yīng)用1.如圖，在⊙O中，【答案與解析】.【總結(jié)升華】在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的圓周角相等，所對(duì)的弦也相等.舉一反三：【變式】如圖所示，中弦AB=CD，求證：AD=BC.【答案】證法1：∵AB=CD，∴(在同圓中，相等的弦所對(duì)的弧(同為優(yōu)弧或同為劣弧)也相等)∴下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載∴AD=BC(在同圓中，相等的弧所對(duì)的弦也相等)證法2：如圖，連接OA，OD，OB，OC，∵AB=CD，∴山A08=LCO(在同圓中，相等的弦所對(duì)的圓心角相等)∴LAO8-LB08=LCOD-LDOB即LAO=LBOC∴AD=BC(在同圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦也相等)類(lèi)型二、圓周角定理及應(yīng)用2.觀察下圖中角的頂點(diǎn)與兩邊有何特征?指出哪些角是圓周角?【答案與解析】(a)∠1頂點(diǎn)在⊙O內(nèi)，兩邊與圓相交，所以∠1不是圓周角；(b)∠2頂點(diǎn)在圓外，兩邊與圓相交，所以∠2不是圓周角；(c)圖中∠3、∠4、∠BAD的頂點(diǎn)在圓周上，兩邊均與圓相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圓周角.(d)∠5頂點(diǎn)在圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓不相交，所以∠5不是圓周角；(e)∠6頂點(diǎn)在圓上，兩邊與圓均不相交，由圓周角的定義知∠6不是圓周角.【總結(jié)升華】緊扣定義，抓住二要素，正確識(shí)別圓周角.3.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在對(duì)角線(xiàn)AC上，EC=BC=DC.（2）求證：∠1=∠2.【答案與解析】（1）解：∵BC=DC，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載【總結(jié)升華】本題主要考查了圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)，熟悉圓的有關(guān)性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.4．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？【答案與解析】BD=CD.理由是：如圖，連接AD又∵AC=AB，∴BD=CD.【總結(jié)升華】BD=CD，因?yàn)锳B=AC，所以這個(gè)△ABC是等腰三角形，要證明D是BC的中點(diǎn)，只要連結(jié)AD，證明AD是高或是∠BAC的平分線(xiàn)即可.舉一反三：【變式】如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂【答案】C.∵⊙O的直徑AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE為等腰直角三角形，∴CD=2CE=4.下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載