-1.2矩形的性質(zhì)與判定（第一課時(shí)）課件　北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊

第一章特殊平行四邊形2矩形的性質(zhì)與判定（第一課時(shí)）數(shù)學(xué)九年級上冊BS版課前預(yù)習(xí)典例講練目錄CONTENTS數(shù)學(xué)九年級上冊BS版課前預(yù)習(xí)011.矩形的定義.有一個角是

的平行四邊形叫做矩形.2.矩形的性質(zhì)定理.（1）矩形的四個角都是

?；（2）矩形的對角線

?.注：①矩形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所

有性質(zhì)；②矩形的兩條對角線把矩形分成四個等腰三角形.3.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

?.直角

直角

相等

一半

數(shù)學(xué)九年級上冊BS版典例講練02

（1）如圖，在矩形

ABC

D中，已知

AC

交

B

D于點(diǎn)O，∠

A

O

B

＝

120°，

A

D＝3，則

B

D的長為

?.【思路導(dǎo)航】根據(jù)矩形的對角線相等且互相平分可得O

A

＝

OD，再根據(jù)∠

A

O

B

＝120°，判斷出△

A

OD是等邊三角形，根

據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出OD，即可得出

B

D的長.6

【點(diǎn)撥】矩形的性質(zhì)如下：（1）各角相等，均為90°；（2）對

邊平行且相等，鄰邊互相垂直；（3）對角線互相平分且相等；

（4）既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸

（分別是對邊中點(diǎn)所在的直線）.（2）如圖，在

Rt

△

ABC

中，∠

ABC

＝90°，點(diǎn)D為

AC

的中點(diǎn).

若∠

C

＝55°，則∠

AB

D＝

?.【思路導(dǎo)航】由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到△

BC

D為

等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)和角的互余即可求得答案.35°

【解析】在Rt△

ABC

中，∠

ABC

＝90°，點(diǎn)

D

為

AC

的中點(diǎn)，

∴

BD

是Rt△

ABC

斜邊上的中線.∴

AD

＝

BD

＝

CD

.

∴∠

DBC

＝

∠

C

＝55°.∴∠

ABD

＝90°－55°＝35°.故答案為35°.【點(diǎn)撥】直角三角形斜邊上的中線將直角三角形分為兩個等腰

三角形，可利用這一特征求邊角關(guān)系.

1.矩形的兩鄰邊長度之比為3∶4，對角線的長為10cm

，則周長

為

cm

.2.如圖，矩形

ABC

D的對角線

AC

和

B

D相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直

線EF分別交

A

D和

BC

于點(diǎn)E，F(xiàn).若

AB

＝2，

BC

＝4，則圖中陰

影部分的面積為

?.28

4

如圖，在矩形

ABC

D中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊

AB

，

C

D上的點(diǎn)，

A

E

＝

C

F，連接EF，

B

F，EF與對角線

AC

交于點(diǎn)O，且

B

E＝

B

F，

∠

B

EF＝2∠

BAC

.

（1）求證：OE＝OF；

【思路導(dǎo)航】（1）可以證明△

A

EO和△

C

FO全等，從而得到

OE＝OF；也可以證明四邊形

A

E

C

F是平行四邊形來說明OE＝

OF.（2）連接O

B

，求出∠

BAC

的度數(shù)，結(jié)合勾股定理求出

AB

的長.

（2）解：如圖，連接

OB

.

∵

OE

＝

OF

，

BE

＝

BF

，∴

BO

⊥

EF

.

∴∠

BOE

＝90°.∴∠

OEB

＋∠

OBE

＝90°.由（1），得

OA

＝

OC

.

∵四邊形

ABCD

是矩形，∴∠

ABC

＝90，∴

OB

＝

OA

.

∴∠

OAB

＝∠

OBA

.

∵∠

BEO

＝2∠

BAC

，∴∠

BEO

＝2∠

OBE

.

∴2∠

OBE

＋∠

OBE

＝90°.∴∠

OBE

＝30°.∴∠

BAC

＝30°.

在Rt△

ABC

中，由勾股定理，得

【點(diǎn)撥】矩形除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還有對角線

相等，可以得到四個等腰三角形；直角三角形斜邊上的中線等

于斜邊的一半是計(jì)算或證明題中較為常用的一個性質(zhì).

如圖，已知矩形

ABC

D的對角線

AC

，

B

D相交于點(diǎn)O，∠

B

O

C

＝120°，

AB

＝2.（1）求矩形對角線的長；

（2）過點(diǎn)O作OE⊥

A

D于點(diǎn)E，連接

B

E，求

B

E的長.

如圖，已知四邊形

ABC

D是矩形，E為邊

A

D上一點(diǎn)，且∠

CB

D

＝∠E

B

D，點(diǎn)

P

為對角線

B

D上一點(diǎn)，

PN

⊥

B

E于點(diǎn)

N

，

PM

⊥

A

D于點(diǎn)

M

.

（1）求證：

B

E＝DE；（2）試判斷

AB

和

PM

，

PN

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.【思路導(dǎo)航】（1）由矩形的性質(zhì)得出∠

A

D

B

＝∠

CB

D，由已

知條件∠

CB

D＝∠E

B

D，證出∠

A

D

B

＝∠E

B

D，即可得出結(jié)

論；（2）延長

MP

交

BC

于點(diǎn)Q，先由角平分線的性質(zhì)得出

P

Q

＝

PN

，再由

AB

＝

M

Q即可得出結(jié)論.（1）證明：∵四邊形

ABCD

是矩形，∴

AD

∥

BC

.

∴∠

ADB

＝∠

CBD

.

∵∠

CBD

＝∠

EBD

，∴∠

ADB

＝∠

EBD

.

∴

BE

＝

DE

.

（2）解：

PM

＋

PN

＝

AB

.

理由如下：延長

MP

交

BC

于點(diǎn)

Q

，如圖所示.∵

AD

∥

BC

，

PM

⊥

AD

，∴

PQ

⊥

BC

.

又∵∠

CBD

＝∠

EBD

，

PN

⊥

BE

，∴

PQ

＝

PN

.

∴

AB

＝

MQ

＝

PM

＋

PQ

＝

PM

＋

PN

.

【點(diǎn)撥】等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于腰

上的高，這一結(jié)論在選擇填空題中可直接使用，在解答題中需

要用等面積法或截長補(bǔ)短法證明.

如圖，在矩形

AB