高一數(shù)學(xué)常考點(diǎn)微專題提分精練(人教A版必修第一冊(cè))微專題26同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式(原卷版+解析)

微專題26同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式【方法技巧與總結(jié)】知識(shí)點(diǎn)一：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（1）平方關(guān)系：（2）商數(shù)關(guān)系：知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對(duì)“任意”一個(gè)角（使得函數(shù)有意義的前提下）關(guān)系式都成立；（2）是的簡(jiǎn)寫；（3）在應(yīng)用平方關(guān)系時(shí)，常用到平方根，算術(shù)平方根和絕對(duì)值的概念，應(yīng)注意“”的選?。R(shí)點(diǎn)二：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形1、平方關(guān)系式的變形：，，2、商數(shù)關(guān)系式的變形，．知識(shí)點(diǎn)三：誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式一：，，，其中誘導(dǎo)公式二：，，，其中誘導(dǎo)公式三：，，，其中誘導(dǎo)公式四：，．，，其中知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）要化的角的形式為（為常整數(shù)）；（2）記憶方法：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”；（3）必須對(duì)一些特殊角的三角函數(shù)值熟記，做到“見角知值，見值知角”；（4）；．知識(shí)點(diǎn)四：誘導(dǎo)公式的記憶誘導(dǎo)公式一～三可用口訣“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”記憶，其中“函數(shù)名不變”是指等式兩邊的三角函數(shù)同名，“符號(hào)”是指等號(hào)右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào)，“看象限”是指把看成銳角時(shí)原三角函數(shù)值的符號(hào)．誘導(dǎo)公式四可用口訣“函數(shù)名改變，符號(hào)看象限”記憶，“函數(shù)名改變”是指正弦變余弦，余弦變正弦，為了記憶方便，我們稱之為函數(shù)名變?yōu)樵瘮?shù)的余名三角函數(shù)．“符號(hào)看象限”同上．因?yàn)槿我庖粋€(gè)角都可以表示為的形式，所以這六組誘導(dǎo)公式也可以統(tǒng)一用“口訣”：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，意思是說(shuō)角（為常整數(shù)）的三角函數(shù)值：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變，然后的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)視為銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)．用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)的注意點(diǎn)：（1）化簡(jiǎn)后項(xiàng)數(shù)盡可能的少；（2）函數(shù)的種類盡可能的少；（3）分母不含三角函數(shù)的符號(hào)；（4）能求值的一定要求值；（5）含有較高次數(shù)的三角函數(shù)式，多用因式分解、約分等．知識(shí)點(diǎn)五：利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟用誘導(dǎo)公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，其一般方向是：①化負(fù)角的三角函數(shù)為正角的三角函數(shù)；②化為內(nèi)的三角函數(shù)；③化為銳角的三角函數(shù)．可概括為：“負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了”（有時(shí)也直接化到銳角求值）．【方法技巧與總結(jié)】（1）求值題型：已知一個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值，求該角的其他三角函數(shù)值．①已知一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值及這個(gè)角所在象限，此類情況只有一組解；②已知一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值但該角所在象限沒有給出，解題時(shí)首先要根據(jù)已知的三角函數(shù)值確定這個(gè)角所在的象限，然后分不同情況求解；③一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值是用字母給出的，這時(shí)一般有兩組解．求值時(shí)要注意公式的選取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的順序很容易求解，但要注意開方時(shí)符號(hào)的選取．（2）化簡(jiǎn)題型：化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的一般要求是：①化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的．②對(duì)于含有根號(hào)的，常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式，然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．③對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．（3）證明題型：證明三角恒等式和條件等式的實(shí)質(zhì)是消除式子兩端的差異，就是有目標(biāo)的化簡(jiǎn)．化簡(jiǎn)、證明時(shí)要注意觀察題目特征，靈活、恰當(dāng)選取公式．證明恒等式常用以下方法：①證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡(jiǎn)．②比較法：即證左邊－右邊＝0或＝1（右邊）．【題型歸納目錄】題型一：正弦、余弦、正切三者“知一求二”題型二：正弦、余弦齊次式的求值題型三：正弦、余弦的和、差、積三者“知一求二”題型四：三角換元求值域題型五：誘導(dǎo)公式之求值問(wèn)題題型六：化簡(jiǎn)或證明【典型例題】題型一：正弦、余弦、正切三者“知一求二”例1．(2023·貴州·凱里一中高一期中）若，且滿足，則（

）A． B． C． D．例2．(2023·貴州師大附中高二開學(xué)考試（理））已知，則cosθ的值是（

）A． B． C． D．例3．(2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，，則（

）A．0和 B． C． D．和0變式1．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知是第二象限角，，則等于（

）A． B． C． D．變式2．(2023·湖北·華中師大一附中高一階段練習(xí)）已知是第二象限角，，則（

）A． B． C． D．變式3．(2023·安徽省舒城中學(xué)高一開學(xué)考試）已知，則（

）A． B． C． D．變式4．(2023·新疆·柯坪湖州國(guó)慶中學(xué)高一期末）若為第三象限角，且，則（

）A． B． C． D．題型二：正弦、余弦齊次式的求值例4．(2023·四川·攀枝花七中高一階段練習(xí)）已知，則_______．例5．(2023·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心高一期末），，則的值為__________.例6．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則______.變式5．(2023·山東棗莊·高一期末）已知，則的值為___________.變式6．(2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，則的值是________.變式7．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知且，則的值為________.變式8．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知tanα＝，則＝__________.變式9．(2023·新疆·高一期末）若，則________.題型三：正弦、余弦的和、差、積三者“知一求二”例7．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，且，則____.例8．(2023·上海南匯中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，則的值為_____．例9．(2023·遼寧·沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，則的值為___________.變式10．(2023·上海市奉賢區(qū)奉城高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）化簡(jiǎn)：若，則____________.變式11．(2023·新疆阿勒泰·高一期末）已知為第四象限角，，則___________.變式12．(2023·云南·峨山彝族自治縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知且，則___________.變式13．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，且，則______.變式14．(2023·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）已知是三角形的內(nèi)角，且，則___________.變式15．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，則__________．題型四：三角換元求值域例10．(2023·浙江·溫州中學(xué)高一期中）若實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為______.例11．(2023·黑龍江·牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）若，則的最大值是____________例12．(2023·新疆·巴楚縣第一中學(xué)高二期中（文））若，滿足，則的最大值為__________.變式16．(2023·貴州·黔西南州金成實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二階段練習(xí)（理））已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則的最大值為________．變式17．(2023·遼寧營(yíng)口·高二期中（文））設(shè)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值______.變式18．(2023·上海·復(fù)旦附中高三期中）已知，且，則的取值范圍是____________.題型五：誘導(dǎo)公式之求值問(wèn)題例13．(2023·安徽省舒城中學(xué)高一開學(xué)考試）已知α是第三象限角，且.(1)化簡(jiǎn)；(2)若，求；(3)若，求.例14．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù).(1)化簡(jiǎn)；(2)若，求的值.例15．(2023·江西上饒·高一階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在第二象限，且，記，滿足．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求的值．變式19．(2023·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室高一期末）已知.(1)化簡(jiǎn)；(2)若是第四象限角，且，求的值.題型六：化簡(jiǎn)或證明例16．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，．(1)證明：；(2)計(jì)算：的值．例17．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）證明：.例18．(2023·云南·麗江第一高級(jí)中學(xué)高一開學(xué)考試）（1）設(shè)，直接用任意角的三角函數(shù)的定義證明：.（2）給出兩個(gè)公式：①；②.請(qǐng)僅以上述兩個(gè)公式為已知條件證明.變式20．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）證明：，．變式21．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知角的終邊在第三象限，，證明：．微專題26同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式【方法技巧與總結(jié)】知識(shí)點(diǎn)一：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（1）平方關(guān)系：（2）商數(shù)關(guān)系：知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對(duì)“任意”一個(gè)角（使得函數(shù)有意義的前提下）關(guān)系式都成立；（2）是的簡(jiǎn)寫；（3）在應(yīng)用平方關(guān)系時(shí)，常用到平方根，算術(shù)平方根和絕對(duì)值的概念，應(yīng)注意“”的選取．知識(shí)點(diǎn)二：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形1、平方關(guān)系式的變形：，，2、商數(shù)關(guān)系式的變形，．知識(shí)點(diǎn)三：誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式一：，，，其中誘導(dǎo)公式二：，，，其中誘導(dǎo)公式三：，，，其中誘導(dǎo)公式四：，．，，其中知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）要化的角的形式為（為常整數(shù)）；（2）記憶方法：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”；（3）必須對(duì)一些特殊角的三角函數(shù)值熟記，做到“見角知值，見值知角”；（4）；．知識(shí)點(diǎn)四：誘導(dǎo)公式的記憶誘導(dǎo)公式一～三可用口訣“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”記憶，其中“函數(shù)名不變”是指等式兩邊的三角函數(shù)同名，“符號(hào)”是指等號(hào)右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào)，“看象限”是指把看成銳角時(shí)原三角函數(shù)值的符號(hào)．誘導(dǎo)公式四可用口訣“函數(shù)名改變，符號(hào)看象限”記憶，“函數(shù)名改變”是指正弦變余弦，余弦變正弦，為了記憶方便，我們稱之為函數(shù)名變?yōu)樵瘮?shù)的余名三角函數(shù)．“符號(hào)看象限”同上．因?yàn)槿我庖粋€(gè)角都可以表示為的形式，所以這六組誘導(dǎo)公式也可以統(tǒng)一用“口訣”：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，意思是說(shuō)角（為常整數(shù)）的三角函數(shù)值：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變，然后的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)視為銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)．用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)的注意點(diǎn)：（1）化簡(jiǎn)后項(xiàng)數(shù)盡可能的少；（2）函數(shù)的種類盡可能的少；（3）分母不含三角函數(shù)的符號(hào)；（4）能求值的一定要求值；（5）含有較高次數(shù)的三角函數(shù)式，多用因式分解、約分等．知識(shí)點(diǎn)五：利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟用誘導(dǎo)公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，其一般方向是：①化負(fù)角的三角函數(shù)為正角的三角函數(shù)；②化為內(nèi)的三角函數(shù)；③化為銳角的三角函數(shù)．可概括為：“負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了”（有時(shí)也直接化到銳角求值）．【方法技巧與總結(jié)】（1）求值題型：已知一個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值，求該角的其他三角函數(shù)值．①已知一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值及這個(gè)角所在象限，此類情況只有一組解；②已知一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值但該角所在象限沒有給出，解題時(shí)首先要根據(jù)已知的三角函數(shù)值確定這個(gè)角所在的象限，然后分不同情況求解；③一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值是用字母給出的，這時(shí)一般有兩組解．求值時(shí)要注意公式的選取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的順序很容易求解，但要注意開方時(shí)符號(hào)的選取．（2）化簡(jiǎn)題型：化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的一般要求是：①化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的．②對(duì)于含有根號(hào)的，常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式，然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．③對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．（3）證明題型：證明三角恒等式和條件等式的實(shí)質(zhì)是消除式子兩端的差異，就是有目標(biāo)的化簡(jiǎn)．化簡(jiǎn)、證明時(shí)要注意觀察題目特征，靈活、恰當(dāng)選取公式．證明恒等式常用以下方法：①證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡(jiǎn)．②比較法：即證左邊－右邊＝0或＝1（右邊）．【題型歸納目錄】題型一：正弦、余弦、正切三者“知一求二”題型二：正弦、余弦齊次式的求值題型三：正弦、余弦的和、差、積三者“知一求二”題型四：三角換元求值域題型五：誘導(dǎo)公式之求值問(wèn)題題型六：化簡(jiǎn)或證明【典型例題】題型一：正弦、余弦、正切三者“知一求二”例1．(2023·貴州·凱里一中高一期中）若，且滿足，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由得，∴或，因?yàn)?，，所?由及得，∴，所以．故選：A例2．(2023·貴州師大附中高二開學(xué)考試（理））已知，則cosθ的值是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題設(shè)，，可得或（舍），又，則.故選：C例3．(2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，，則（

）A．0和 B． C． D．和0答案：B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，整理得，解得或，由則當(dāng)時(shí)，（代入條件驗(yàn)證矛盾舍去），當(dāng)時(shí)，，所以.故選：B變式1．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知是第二象限角，，則等于（

）A． B． C． D．答案：A【解析】任意角的三角函數(shù)∵，∴，，是第二象限角∴.故選：A變式2．(2023·湖北·華中師大一附中高一階段練習(xí)）已知是第二象限角，，則（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，又，所以，因此，即，所?故選：B.變式3．(2023·安徽省舒城中學(xué)高一開學(xué)考試）已知，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，故選：A變式4．(2023·新疆·柯坪湖州國(guó)慶中學(xué)高一期末）若為第三象限角，且，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由題意，.故選：D題型二：正弦、余弦齊次式的求值例4．(2023·四川·攀枝花七中高一階段練習(xí)）已知，則_______．答案：【解析】由得：，故，故答案為：例5．(2023·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心高一期末），，則的值為__________.答案：#0.3【解析】，故答案為：．例6．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則______.答案：【解析】因?yàn)?，所以，所?故答案為：變式5．(2023·山東棗莊·高一期末）已知，則的值為___________.答案：【解析】故答案為：變式6．(2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，則的值是________.答案：【解析】因，則.故答案為：變式7．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知且，則的值為________.答案：【解析】因?yàn)?，則，由于，所以，所以兩邊同除以，得，因?yàn)?，解得，而，故答案為?變式8．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知tanα＝，則＝__________.答案：【解析】故答案為：.變式9．(2023·新疆·高一期末）若，則________.答案：【解析】因?yàn)?，故答案為?題型三：正弦、余弦的和、差、積三者“知一求二”例7．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，且，則____.答案：【解析】，兩邊平方，可得，可得，，可得，，可得，．故答案為：.例8．(2023·上海南匯中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，則的值為_____．答案：【解析】因，則，即，而，，于是有，所以.故答案為：例9．(2023·遼寧·沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，則的值為___________.答案：【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，由，得，所以，故答案為：變?0．(2023·上海市奉賢區(qū)奉城高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）化簡(jiǎn)：若，則____________.答案：【解析】因?yàn)椋?，，且所以原式故答案為?變式11．(2023·新疆阿勒泰·高一期末）已知為第四象限角，，則___________.答案：【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)闉榈谒南笙藿?，所以，，所以；故：，故答案為：變?2．(2023·云南·峨山彝族自治縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知且，則___________.答案：【解析】由可得，即，所以，，因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)?，所以，由可得，所以，故答案為?變式13．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，且，則______.答案：【解析】由得，得，得，因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以，即，解得或（舍?故答案為：變式14．(2023·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）已知是三角形的內(nèi)角，且，則___________.答案：【解析】∵，兩邊平方可得，∴，又是三角形的內(nèi)角，，∴，，∴，可得，∴，∴.故答案為：.變式15．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，則__________．答案：【解析】，又∵，∴.故答案為：.題型四：三角換元求值域例10．(2023·浙江·溫州中學(xué)高一期中）若實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為______.答案：【解析】因?yàn)閷?shí)數(shù)，滿足，令，則當(dāng)時(shí)，取最大值，故答案為：.例11．(2023·黑龍江·牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）若，則的最大值是____________答案：【解析】由，令，所以，其中，所以的最大值是.故答案為：.例12．(2023·新疆·巴楚縣第一中學(xué)高二期中（文））若，滿足，則的最大值為__________.答案：2【解析】由圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），得，故的最大值為2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得.故答案為：2.變式16．(2023·貴州·黔西南州金成實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二階段練習(xí)（理））已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則的最大值為________．答案：【解析】由化為，設(shè)，則，則當(dāng)時(shí)，取得最大值為.故答案為：.變式17．(2023·遼寧營(yíng)口·高二期中（文））設(shè)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值______.答案：【解析】由題得圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值.故答案為：變式18．(2023·上?！?fù)旦附中高三期中）已知，且，則的取值范圍是____________.答案：【解析】，令，，則，，，故答案為，．題型五：誘導(dǎo)公式之求值問(wèn)題例13．(2023·安徽省舒城中學(xué)高一開學(xué)考試）已知α是第三象限角，且.(1)化簡(jiǎn)；(2)若，求；(3)若，求.【解析】（1）根據(jù)