高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)探究與題型突破第34講數(shù)列的概念及簡單表示法(原卷版+解析)

第34講數(shù)列的概念及簡單表示法1.數(shù)列的定義按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).2.數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1＞an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1＜an常數(shù)列an＋1＝an擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3.數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是表格法、圖象法和解析式法.4.數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.5.數(shù)列的遞推公式如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.考點(diǎn)1由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)[名師點(diǎn)睛](1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，))轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項(xiàng)公式.(2)Sn與an關(guān)系問題的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解.方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解.[典例]1.(多選)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則下列結(jié)論正確的是()A.an＝eq\f(1,n（n－1）)B.an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1，n＝1，,\f(1,n（n－1）)，n≥2))C.Sn＝－eq\f(1,n)D.數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是等差數(shù)列2.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn，滿足Tn＝2Sn－n2，n∈N＋.①求a1的值；②求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.[舉一反三]1.已知數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，且Sn＝2an＋1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________.2.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，則an＝________.考點(diǎn)2由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式[名師點(diǎn)睛](1)形如an＋1＝an＋f(n)的遞推關(guān)系式利用累加法求和，特別注意能消去多少項(xiàng)，保留多少項(xiàng).(2)形如an＋1＝an·f(n)的遞推關(guān)系式可化為eq\f(an＋1,an)＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1代入求出通項(xiàng).(3)形如an＋1＝pan＋q的遞推關(guān)系式可以化為(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，求變量x是關(guān)鍵.(4)形如an＋1＝eq\f(Aan,Ban＋C)(A，B，C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.[典例]1.在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))，則an等于()A.2＋lnn B.2＋(n－1)lnnC.2＋nlnn D.1＋n＋lnn2.在數(shù)列{an}中，an＋1＝eq\f(n,n＋2)an(n∈N*)，且a1＝4，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.3.若a1＝1，an＋1＝2an＋3，則通項(xiàng)公式an＝________.4.(2023·廣州調(diào)考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________.[舉一反三]1．(2023·河南·高三開學(xué)考試（文））在數(shù)列中，，，則（

）．A．659 B．661 C．663 D．6652．(2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足：，，則的通項(xiàng)公式為_____________.3.已知數(shù)列{an}中，a1＝3，且點(diǎn)Pn(an，an＋1)(n∈N＋)在直線4x－y＋1＝0上，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.考點(diǎn)3數(shù)列的性質(zhì)[名師點(diǎn)睛]1.解決數(shù)列周期性問題，根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求出有關(guān)項(xiàng)的值或前n項(xiàng)和.2.求數(shù)列最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法(1)函數(shù)法：利用相關(guān)的函數(shù)求最值.若借助通項(xiàng)的表達(dá)式觀察出單調(diào)性，直接確定最大(小)項(xiàng)，否則，利用作差法.(2)利用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)確定最大項(xiàng)，利用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)確定最小項(xiàng).[典例]1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，，則（

）A．4 B．2 C．-2 D．-42.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(3n＋k,2n)，若數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A.(3，＋∞) B.(2，＋∞)C.(1，＋∞) D.(0，＋∞)3.(2023·湖北·高三開學(xué)考試）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則使得取得最小值時(shí)的值為________.[舉一反三]1.(2023·重慶·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（

）A． B．0 C． D．2.(2023·浙江·模擬預(yù)測）已知數(shù)列{}滿足，則（

）A． B． C． D．3.(2023·福建·莆田八中高三開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足：①先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增：②當(dāng)時(shí)取得最小值．寫出一個(gè)滿足條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式_________．4.已知數(shù)列{an}中，an＝1＋eq\f(1,a＋2（n－1）)(n∈N*，a∈R且a≠0).(1)若a＝－7，求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值；(2)若對(duì)任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍.第34講數(shù)列的概念及簡單表示法1.數(shù)列的定義按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).2.數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1＞an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1＜an常數(shù)列an＋1＝an擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3.數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是表格法、圖象法和解析式法.4.數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.5.數(shù)列的遞推公式如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.考點(diǎn)1由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)[名師點(diǎn)睛](1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，))轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項(xiàng)公式.(2)Sn與an關(guān)系問題的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解.方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解.[典例]1.(多選)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則下列結(jié)論正確的是()A.an＝eq\f(1,n（n－1）)B.an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1，n＝1，,\f(1,n（n－1）)，n≥2))C.Sn＝－eq\f(1,n)D.數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是等差數(shù)列答案BCD解析∵an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，兩邊同除以Sn＋1·Sn，得eq\f(1,Sn＋1)－eq\f(1,Sn)＝－1.∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是以－1為首項(xiàng)，d＝－1的等差數(shù)列，即eq\f(1,Sn)＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－eq\f(1,n).當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－eq\f(1,n)＋eq\f(1,n－1)＝eq\f(1,n（n－1）)，又a1＝－1不符合上式，∴an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1，n＝1，,\f(1,n（n－1）)，n≥2.))2.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn，滿足Tn＝2Sn－n2，n∈N＋.①求a1的值；②求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解①令n＝1時(shí)，T1＝2S1－1，∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.②n≥2時(shí)，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，則Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1.因?yàn)楫?dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1也滿足上式，所以Sn＝2an－2n＋1(n≥1)，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，兩式相減得an＝2an－2an－1－2，所以an＝2an－1＋2(n≥2)，所以an＋2＝2(an－1＋2)，因?yàn)閍1＋2＝3≠0，所以數(shù)列{an＋2}是以3為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列.所以an＋2＝3×2n－1，∴an＝3×2n－1－2，當(dāng)n＝1時(shí)也成立，所以an＝3×2n－1－2.[舉一反三]1.已知數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，且Sn＝2an＋1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________.答案－2n－1解析當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝2an＋1，①Sn－1＝2an－1＋1.②①－②，Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，∴{an}是首項(xiàng)a1＝－1，q＝2的等比數(shù)列.∴an＝a1·qn－1＝－2n－1.2.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，則an＝________.答案eq\f(2,2n－1)解析因?yàn)閍1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，兩式相減得(2n－1)an＝2，所以an＝eq\f(2,2n－1)(n≥2)，又由題設(shè)可得a1＝2，滿足上式，故an＝eq\f(2,2n－1).考點(diǎn)2由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式[名師點(diǎn)睛](1)形如an＋1＝an＋f(n)的遞推關(guān)系式利用累加法求和，特別注意能消去多少項(xiàng)，保留多少項(xiàng).(2)形如an＋1＝an·f(n)的遞推關(guān)系式可化為eq\f(an＋1,an)＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1代入求出通項(xiàng).(3)形如an＋1＝pan＋q的遞推關(guān)系式可以化為(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，求變量x是關(guān)鍵.(4)形如an＋1＝eq\f(Aan,Ban＋C)(A，B，C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.[典例]1.在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))，則an等于()A.2＋lnn B.2＋(n－1)lnnC.2＋nlnn D.1＋n＋lnn答案A解析因?yàn)閍n＋1－an＝lneq\f(n＋1,n)＝ln(n＋1)－lnn，所以a2－a1＝ln2－ln1，a3－a2＝ln3－ln2，a4－a3＝ln4－ln3，……an－an－1＝lnn－ln(n－1)(n≥2).把以上各式分別相加得an－a1＝lnn－ln1，則an＝2＋lnn(n≥2)，且a1＝2也適合，因此an＝2＋lnn(n∈N*).2.在數(shù)列{an}中，an＋1＝eq\f(n,n＋2)an(n∈N*)，且a1＝4，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.答案eq\f(8,n（n＋1）)解析由an＋1＝eq\f(n,n＋2)an，得eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋2)，故eq\f(a2,a1)＝eq\f(1,3)，eq\f(a3,a2)＝eq\f(2,4)，…，eq\f(an,an－1)＝eq\f(n－1,n＋1)(n≥2)，以上式子累乘得，eq\f(an,a1)＝eq\f(1,3)·eq\f(2,4)·…·eq\f(n－3,n－1)·eq\f(n－2,n)·eq\f(n－1,n＋1)＝eq\f(2,n（n＋1）).因?yàn)閍1＝4，所以an＝eq\f(8,n（n＋1）)(n≥2).因?yàn)閍1＝4滿足上式，所以an＝eq\f(8,n（n＋1）).3.若a1＝1，an＋1＝2an＋3，則通項(xiàng)公式an＝________.答案2n＋1－3解析設(shè)遞推公式an＋1＝2an＋3可以轉(zhuǎn)化為an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，解得t＝3.故an＋1＋3＝2(an＋3).令bn＝an＋3，則b1＝a1＋3＝4，且eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋1＋3,an＋3)＝2.所以{bn}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.4.(2023·廣州調(diào)考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________.答案an＝2n－1，n∈N*解析因?yàn)镾n＋1－2Sn＝1，所以Sn＋1＝2Sn＋1.因此Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，因?yàn)閍1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也滿足此式，所以an＝2n－1，n∈N*.[舉一反三]1．(2023·河南·高三開學(xué)考試（文））在數(shù)列中，，，則（

）．A．659 B．661 C．663 D．665答案：D分析：由累加法和等差數(shù)列的前項(xiàng)和可求出，代入化簡即可求出.【詳解】因?yàn)椋?，，…，，所以，故．故選：D.2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足：，，則的通項(xiàng)公式為_____________.答案：分析：先由條件得，再結(jié)合累乘法求得的通項(xiàng)公式即可.【詳解】由得，，則，即，又，所以.故答案為：.3.已知數(shù)列{an}中，a1＝3，且點(diǎn)Pn(an，an＋1)(n∈N＋)在直線4x－y＋1＝0上，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.答案eq\f(10,3)×4n－1－eq\f(1,3)解析因?yàn)辄c(diǎn)Pn(an，an＋1)(n∈N＋)在直線4x－y＋1＝0上，所以4an－an＋1＋1＝0.所以an＋1＋eq\f(1,3)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,3))).因?yàn)閍1＝3，所以a1＋eq\f(1,3)＝eq\f(10,3).故數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,3)))是首項(xiàng)為eq\f(10,3)，公比為4的等比數(shù)列.所以an＋eq\f(1,3)＝eq\f(10,3)×4n－1，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(10,3)×4n－1－eq\f(1,3).考點(diǎn)3數(shù)列的性質(zhì)[名師點(diǎn)睛]1.解決數(shù)列周期性問題，根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求出有關(guān)項(xiàng)的值或前n項(xiàng)和.2.求數(shù)列最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法(1)函數(shù)法：利用相關(guān)的函數(shù)求最值.若借助通項(xiàng)的表達(dá)式觀察出單調(diào)性，直接確定最大(小)項(xiàng)，否則，利用作差法.(2)利用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)確定最大項(xiàng)，利用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)確定最小項(xiàng).[典例]1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，，則（

）A．4 B．2 C．-2 D．-4答案：D分析：根據(jù)遞推關(guān)系可得數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，即可求出.【詳解】因?yàn)?，，，所以，則，，，…，所以數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，則.故選：D.2.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(3n＋k,2n)，若數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A.(3，＋∞) B.(2，＋∞)C.(1，＋∞) D.(0，＋∞)答案D解析因?yàn)閍n＋1－an＝eq\f(3n＋3＋k,2n＋1)－eq\f(3n＋k,2n)＝eq\f(3－3n－k,2n＋1)，由數(shù)列{an}為遞減數(shù)列知，對(duì)任意n∈N*，an＋1－an＝eq\f(3－3n－k,2n＋1)＜0，所以k＞3－3n對(duì)任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞).故選D.3.(2023·湖北·高三開學(xué)考試）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則使得取得最小值時(shí)的值為________.答案：16分析：根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，即可判斷的最小時(shí)的值.【詳解】由得,當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，所以當(dāng)時(shí)，最小.故答案為：16[舉一反三]1.(2023·重慶·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（

）A． B．0 C． D．答案：C分析：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)有，