高考數(shù)學(xué)微專題集專題18圓錐曲線中的張角問題微點(diǎn)3圓錐曲線中的張角問題綜合訓(xùn)練(原卷版+解析)

專題18圓錐曲線中的張角問題微點(diǎn)3圓錐曲線中的張角問題綜合訓(xùn)練專題18圓錐曲線中的張角問題微點(diǎn)3圓錐曲線中的張角問題綜合訓(xùn)練(2023湖南常德·一模）1．定義：點(diǎn)為曲線外的一點(diǎn)，為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則取最大值時(shí)，叫點(diǎn)對(duì)曲線的張角.已知點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)對(duì)圓的張角為，則的最小值為___________.(2023·遼寧朝陽(yáng)·高二期末）2．設(shè)分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，，則___________，若點(diǎn)還滿足，則的面積為___________.(2023·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）3．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，過點(diǎn)且斜率為k的直線與圓交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在x軸上方），線段與橢圓交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)N，且，則橢圓的離心率為___________，直線的斜率為___________．（2023·福建漳州·三模）4．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在C上，直線PF2與y軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P在線段上，的內(nèi)切圓的圓心為，若為正三角形，則=___________，C的離心率的取值范圍是___________．(2023江蘇南通·高三開學(xué)考試）5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，點(diǎn)M滿足|MF1|＋|MF2|＝，記M的軌跡為C．（1）求C的方程；（2）設(shè)l為圓x2＋y2＝4上動(dòng)點(diǎn)T(橫坐標(biāo)不為0)處的切線，P是l與直線的交點(diǎn)，Q是l與軌跡C的一個(gè)交點(diǎn)，且點(diǎn)T在線段PQ上，求證：以PQ為直徑的圓過定點(diǎn)．(2023云南·昆明市官渡區(qū)第一中學(xué)高二期中）6．已知平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，，，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足.記的軌跡為曲線.(1)請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求的方程；(2)過做直線交曲線E于A，B兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.(2023甘肅·蘭州市第二中學(xué)高三階段練習(xí)（文））7．已知平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，，，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足．記的軌跡為曲線．（1）請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）過做直線交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，請(qǐng)利用（1）所建立的坐標(biāo)系及結(jié)論求面積的最大值，并求取得最大值時(shí)直線的方程．(2023全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為．記點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，.交曲線于，兩點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為．證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．(2023北京·高三專題練習(xí)）9．已知橢圓，過點(diǎn)，且該橢圓的短軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)，的張角為直角.（1）求橢圓E的方程；（2）過點(diǎn)且斜率大于0的直線與橢圓E相交于點(diǎn)P，Q，直線AP，AQ與y軸相交于M，N兩點(diǎn)，求的取值范圍.(2023·江西·金溪一中高三階段練習(xí)（文））10．已知橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別，，上頂點(diǎn)為，的面積為3，的短軸長(zhǎng)為2.(1)求的方程；(2)斜率不為0的直線交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），為的中點(diǎn)，且，證明：直線恒過定點(diǎn).(2023·重慶·三模）11．平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（－，0），（，0），點(diǎn)M滿足，點(diǎn)M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)已知A（1，0），過點(diǎn)A的直線AP，AQ與曲線C分別交于點(diǎn)P和Q（點(diǎn)P和Q都異于點(diǎn)A），若滿足AP⊥AQ，求證：直線PQ過定點(diǎn).(2023·河南安陽(yáng)·高二期末（理））12．已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為．(1)求的方程；(2)已知點(diǎn)，若不過點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn)，且，證明：直線過定點(diǎn)．專題18圓錐曲線中的張角問題微點(diǎn)3圓錐曲線中的張角問題綜合訓(xùn)練專題18圓錐曲線中的張角問題微點(diǎn)3圓錐曲線中的張角問題綜合訓(xùn)練(2023湖南常德·一模）1．定義：點(diǎn)為曲線外的一點(diǎn)，為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則取最大值時(shí)，叫點(diǎn)對(duì)曲線的張角.已知點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)對(duì)圓的張角為，則的最小值為___________.(2023·遼寧朝陽(yáng)·高二期末）2．設(shè)分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，，則___________，若點(diǎn)還滿足，則的面積為___________.(2023·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）3．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，過點(diǎn)且斜率為k的直線與圓交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在x軸上方），線段與橢圓交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)N，且，則橢圓的離心率為___________，直線的斜率為___________．（2023·福建漳州·三模）4．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在C上，直線PF2與y軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P在線段上，的內(nèi)切圓的圓心為，若為正三角形，則=___________，C的離心率的取值范圍是___________．(2023江蘇南通·高三開學(xué)考試）5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，點(diǎn)M滿足|MF1|＋|MF2|＝，記M的軌跡為C．（1）求C的方程；（2）設(shè)l為圓x2＋y2＝4上動(dòng)點(diǎn)T(橫坐標(biāo)不為0)處的切線，P是l與直線的交點(diǎn)，Q是l與軌跡C的一個(gè)交點(diǎn)，且點(diǎn)T在線段PQ上，求證：以PQ為直徑的圓過定點(diǎn)．(2023云南·昆明市官渡區(qū)第一中學(xué)高二期中）6．已知平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，，，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足.記的軌跡為曲線.(1)請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求的方程；(2)過做直線交曲線E于A，B兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.(2023甘肅·蘭州市第二中學(xué)高三階段練習(xí)（文））7．已知平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，，，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足．記的軌跡為曲線．（1）請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）過做直線交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，請(qǐng)利用（1）所建立的坐標(biāo)系及結(jié)論求面積的最大值，并求取得最大值時(shí)直線的方程．(2023全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為．記點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，.交曲線于，兩點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為．證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．(2023北京·高三專題練習(xí)）9．已知橢圓，過點(diǎn)，且該橢圓的短軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)，的張角為直角.（1）求橢圓E的方程；（2）過點(diǎn)且斜率大于0的直線與橢圓E相交于點(diǎn)P，Q，直線AP，AQ與y軸相交于M，N兩點(diǎn)，求的取值范圍.(2023·江西·金溪一中高三階段練習(xí)（文））10．已知橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別，，上頂點(diǎn)為，的面積為3，的短軸長(zhǎng)為2.(1)求的方程；(2)斜率不為0的直線交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），為的中點(diǎn)，且，證明：直線恒過定點(diǎn).(2023·重慶·三模）11．平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（－，0），（，0），點(diǎn)M滿足，點(diǎn)M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)已知A（1，0），過點(diǎn)A的直線AP，AQ與曲線C分別交于點(diǎn)P和Q（點(diǎn)P和Q都異于點(diǎn)A），若滿足AP⊥AQ，求證：直線PQ過定點(diǎn).(2023·河南安陽(yáng)·高二期末（理））12．已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為．(1)求的方程；(2)已知點(diǎn)，若不過點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn)，且，證明：直線過定點(diǎn)．參考答案：1．分析：先根據(jù)新定義，利用二倍角公式判斷最小時(shí)最小，再設(shè)，利用距離公式，結(jié)合二次函數(shù)最值的求法求得最小值，即得結(jié)果.【詳解】解：如圖，，要使最小，則最大，即需最小.設(shè)，則，∴當(dāng)，即時(shí)，，，此時(shí)或，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵在于理解新定義，將的最小值問題轉(zhuǎn)化為線段最小問題，結(jié)合二次函數(shù)求最值即突破難點(diǎn).2．

1分析：由已知向量相等得到，由橢圓的對(duì)稱性得關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得到的值，由得到四邊形為矩形，計(jì)算的面積即可.【詳解】由知，由橢圓的對(duì)稱性得關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以-1.若，則四邊形為矩形，所以故答案為：，1.3．

分析：根據(jù)幾何關(guān)系及橢圓的定義即可求解.【詳解】過原點(diǎn)作于點(diǎn),則為的中點(diǎn)，又∵,

∴,

即的中點(diǎn)，∴∥,

∴,連接,設(shè)，則，，，在△中，，解得，在△中，，整理得，解得，.故答案為：；.4．

分析：設(shè)為上頂點(diǎn)，點(diǎn)位于第一象限，作交橢圓于點(diǎn)如圖所示，則，即可求解，又因?yàn)辄c(diǎn)位于點(diǎn)與之間，所以，利用正切值即可求解離心率范圍．【詳解】設(shè)為上頂點(diǎn)，點(diǎn)位于第一象限，作交橢圓于點(diǎn)，則如圖所示：依題意得依題意得點(diǎn)位于點(diǎn)與之間，故所以，則化為，解得故答案為：，5．（1）；（2）證明見解析.分析：（1）根據(jù)橢圓的定義即可求出結(jié)果；（2）特值檢驗(yàn)求出以PQ為直徑的圓過點(diǎn)，然后設(shè)出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，進(jìn)而證得，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知M的軌跡是以F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)為焦點(diǎn)，為長(zhǎng)軸的橢圓，所以，解得，故C的方程為；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，則切線為，所以，所以圓的方程為，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，則切線為，所以，所以圓的方程為，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，則切線為，所以，所以圓的方程為，，解得，所以以PQ為直徑的圓過定點(diǎn)；接下來(lái)證明以PQ為直徑的圓過定點(diǎn).顯然切線斜率不為0，故設(shè)切線的方程為，則，所以，到切線的距離，因此，設(shè)，，所以，，因此，因此，所以，因此以PQ為直徑的圓過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】（1）解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．（2）涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．6．(1)(2)分析：（1）設(shè)，的垂直平分線為軸，所在直線為軸.由定義判斷出軌跡為橢圓，即可寫出標(biāo)準(zhǔn)方程（2）設(shè)，，用“設(shè)而不求法”表示出弦長(zhǎng)，進(jìn)而表示出面積，利用基本不等式求出最大值.（1）設(shè)，的垂直平分線為軸，所在直線為軸.∵.∴的軌跡曲線為橢圓.∴設(shè)曲線：，∴，，，，∴.的軌跡方程：.（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其為.則直線：，設(shè)到距離為，則.設(shè)，，∴.，∴.∴，.∴.∴.又∵，∴.∴，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，時(shí)，.【點(diǎn)睛】（1）待定系數(shù)法、代入法、定義法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）“設(shè)而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題.7．（1）；（2）；分析：（1）根據(jù)橢圓的定義，判斷M的軌跡為橢圓，并求出相關(guān)量及橢圓方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得方程組，其中，利用弦長(zhǎng)公式求出，點(diǎn)到直線距離公式求出點(diǎn)O到AB的距離為三角形的高，表示出三角形ABO的面積，利用基本不等式求出最大值，以及得三角形ABC面積的最大值.【詳解】（1）以，的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在的直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系，由題意知，的軌跡為曲線是橢圓，，即，所以，故軌跡方程為.（2），設(shè)直線，，得，，恒成立，則有，，點(diǎn)O到直線l的距離為，，當(dāng)且僅當(dāng)：，即時(shí)，等號(hào)成立，由于,知,此時(shí).【點(diǎn)睛】熟練掌握?qǐng)A錐曲線橢圓、雙曲線、拋物線的定義，弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線距離公式，基本不等式等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并能準(zhǔn)確計(jì)算.8．(1)(2)證明見解析，直線過定點(diǎn)分析：（1）根據(jù)題意可得，化簡(jiǎn)求解即可；（2）設(shè)，，分兩種情況：①若直線，都存且不為零，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立雙曲線方程結(jié)合韋達(dá)定理可得，進(jìn)而可得線段的中點(diǎn)為的坐標(biāo)，同理可得線段的中點(diǎn)為的坐標(biāo)，寫出當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，直線的方程，②若直線，中其中一條的斜率為，另一條的斜率不存在，寫出，的方程，即可得出答案.（1）設(shè)，根據(jù)題意可得，化簡(jiǎn)得曲線的方程為.（2）證明：設(shè)，，①若直線，都存且不為零，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，由，得，當(dāng)時(shí)，這個(gè)方程變?yōu)橹挥幸唤?，直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，，直線與曲線恒有兩個(gè)交點(diǎn)，由韋達(dá)定理，，故線段的中點(diǎn)為，同理，線段的中點(diǎn)為，若，則，直線的方程為，即，此時(shí)，直線恒過點(diǎn)．若，則，或，，直線的方程為，此時(shí)直線也過點(diǎn)，②若直線，中其中一條的斜率為，另一條的斜率不存在，不妨設(shè)的斜率為，則直線：，：x＝2，此時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，直線也過點(diǎn)，綜上，直線恒過點(diǎn)．【點(diǎn)睛】求定點(diǎn)問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)點(diǎn)與變量無(wú)關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)．9．（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)已知條件，求得的值，由此求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線和直線的方程求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡(jiǎn)后寫出判別式和根與系數(shù)關(guān)系，求得的表達(dá)式，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）由于橢圓的短軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)，的張角為直角，所以，所以，，（2）設(shè)直線l的方程為，，，直線AP的方程為，可得，直線AQ的方程為，可得.聯(lián)立，消去y，整理得.可得，由于，所以.，由于，所以，也即的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.10．(1)(2)證明見解析分析：（1）根據(jù)橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)與基本量的關(guān)系求解即可；（2）由題意設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合可得，再代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)求解即可（1）由題意得，解得，，故的方程為.（2）證明：由題意設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得，

所以，即，，，因?yàn)?，所以，所以?/p>

即，則，整理得，

所以，即整理得，解得或，

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，恒過點(diǎn)，舍去；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，恒過點(diǎn)，符合題意，即直線恒過定點(diǎn).11．(1)(2)過定點(diǎn)，證明見詳解分析：（1）根據(jù)定義法判斷曲線類型，然后由題意可得；（2）設(shè)直線方程聯(lián)立雙曲線方程消元，利用韋達(dá)定理將AP⊥AQ坐標(biāo)化，得到參數(shù)之間的關(guān)系代回直線