正方形證明提高專題2

正方形例1、過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段AE使DC=DE，交DC于G，作DF⊥AE，連接CE?！?〕假設(shè)∠CDE=60°，AB=1，求DF的長；〔2〕作∠CDE平分線，交AE于P，交CE與Q，連接BP，求證：DP+BP=AP；〔3〕假設(shè)AD=2，DF=1，求PQ的長。1、P是邊長為4的正方形ABCD的邊BC上任一點(diǎn)，過B作BG⊥AP于G，過C作CE⊥AP于E，連BE。〔1〕如圖1，假設(shè)P是BC的中點(diǎn)，求CE的長；〔2〕如圖2，當(dāng)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)〔不與B、C重合〕，求的值〔3〕當(dāng)PB=時(shí)，△BCE是等腰三角形。2、如圖，為正方形邊上任一點(diǎn)，于點(diǎn)，在的延長線上取點(diǎn)，使，連接，.〔1〕求證：；〔2〕的平分線交于點(diǎn)，連接，求證：；〔3〕假設(shè)正方形的邊長為2，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長為.3、：四邊形ABCD為正方形，如圖1，點(diǎn)P為△ABC角平分線的交點(diǎn)〔1〕求證：DP=AB；〔2〕如圖2，連結(jié)AP并延長交BC的垂直平分線于點(diǎn)F連結(jié)BE。求證：(3)如圖2，AP交BC與點(diǎn)G，假設(shè)正方形的面積為4，請(qǐng)直接寫出GE的長為______________.例2、如圖1，正方形ABCD中，∠FOE=90°頂點(diǎn)O于D點(diǎn)重合，交BC邊于E，交BA的延長線于F.(1)求證：OF=OE;(2)假設(shè)O點(diǎn)在直線BD上運(yùn)動(dòng)，其它條件不變，上述結(jié)論是否仍然成立？試畫圖直接寫出結(jié)論。〔3〕如圖4，O為正方形ABCD對(duì)角線的中點(diǎn)，∠FOE=90°交BC、CD邊于F、E點(diǎn)。求證OE=OF。圖2圖1圖3〔4〕如圖5、6，O點(diǎn)在直線BD上運(yùn)動(dòng)，OD：OB=1：n，其它條件不變，〔3〕中結(jié)論是否還成立？假設(shè)不成立，請(qǐng)直接寫出OE：OF=。圖2圖1圖3圖6圖6圖4圖5圖4圖51、如圖1，正方形ABCD中，AB=2，P為邊AB上一點(diǎn)，DQ⊥DP交BC的延長線于點(diǎn)Q．〔1〕求證：△ADP≌△CDQ；〔2〕如圖2，連接AC、PQ交于點(diǎn)M，求的值；〔3〕假設(shè)P為AB的中點(diǎn)，連接BM，請(qǐng)直接寫出線段BM的長為．2、如圖：M、N分別為邊長為1的正方形ABCD邊CB、DC延長線上的點(diǎn)，且DN–BM=MN．〔1〕求證：∠MAN=45°；〔2〕假設(shè)DP⊥AN交AM于P，求證：；BDCNMPAABBDCNMPAABCDNM3、如圖1，P為正方形ABCD邊CD上一點(diǎn)，E在CB的延長線上，BE=DP，∠CEP的平分線交正方形的對(duì)角線AC于點(diǎn)F．〔1〕求證：AE=AF；〔2〕如圖2，AM⊥PE于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥PE于點(diǎn)N，求證：AM+FN=AD；〔3〕假設(shè)正方形ABCD的邊長為2，P為CD的中點(diǎn)，在〔2〕的條件下請(qǐng)直接寫出線段FN的長為．4、如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E，AF平分∠BAC，交BD于點(diǎn)F。〔1〕EF+AC=AB；〔2〕點(diǎn)C1從點(diǎn)C出發(fā)，沿著線段CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)〔不與點(diǎn)B重合〕，同時(shí)點(diǎn)A1從點(diǎn)A出發(fā)，沿著BA的延長線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C1與點(diǎn)A1運(yùn)動(dòng)速度相同，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C1停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)A1也隨之停止運(yùn)動(dòng)。如圖，AF1平分∠BA1C1，交BD于F1，過F1作F1E1⊥A1C1，垂足為E1，試猜測F1E1，A1C1與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜測?！?〕在〔2〕的條件下，當(dāng)A1C1=3，C1E1=2時(shí)，求BD的長。5、正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF⊥CD于點(diǎn)F。如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，顯然有DF＝CF．⑴如圖2，假設(shè)點(diǎn)P在線段AO上〔不與點(diǎn)A、O重合〕，PE⊥PB且PE交CD于點(diǎn)E。①求證：DF＝EF；②寫出線段PC、PA、CE之間的一個(gè)等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；ODCBA圖3P⑵假設(shè)點(diǎn)P在線段OC上〔不與點(diǎn)O、C重合〕，PE⊥ODCBA圖3PFP(O)FP(O)DCBA圖1圖2ODCBAEFP1、如圖，在邊長為5的正方形中，點(diǎn)、分別是、邊上的點(diǎn)，且，.〔1〕延長交正方形外角平分線〔如圖13-2〕，試判斷的大小關(guān)系，并說明理由；〔2〕在圖13-2的邊上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形？假設(shè)存在，請(qǐng)給予證明；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由．例4、如圖1，P為正方形ABCD的AD邊上一點(diǎn)，PE⊥AD交BD于E點(diǎn)，將△PCD繞C點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到△FCB的位置，連接PF交BD于Q點(diǎn)?！?〕①求證：BQ=EQ;②探究線段PQ與線段CQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；〔2〕再將△PED繞D點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，將△PDC繞C點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△FBC處〔如圖2〕，〔1〕中你探究的結(jié)論：線段PQ與線段CQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立？假設(shè)成立，寫出結(jié)論并予以證明；假設(shè)不成立，請(qǐng)說明理由?！?〕假設(shè)將△PED繞D點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α〔0°<α<90°〕,其它條件不變，試畫圖并判斷線段PQ與線段CQ的關(guān)系〔直接寫出結(jié)論，不證明〕。將正方形ABCD和正方形CGEF如圖1擺放，使D點(diǎn)在CF邊上，M為AE中點(diǎn)，〔1〕連接MD、MF，那么容易發(fā)現(xiàn)MD、MF間的關(guān)系是______________〔2〕操作：把正方形CGEF繞C點(diǎn)拉轉(zhuǎn)，使對(duì)角線CE放在正方形ABCD的邊BC的延長線上〔CG＞BC〕，取線段AE的中點(diǎn)M，探究線段MD、MF的關(guān)系，并加以說明；〔3〕將正方形CGEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度后〔如圖3〕，其他條件不變，〔2〕中的結(jié)論是否仍成立？直接寫出猜測，不需要證明。例5、：兩個(gè)三角形△ABC和△ADE，頂點(diǎn)A重合，當(dāng)兩個(gè)三角形△ABC和△ADE繞著頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)任意角度時(shí)，連接BE、DC，分別取BE、ED、DC、CB的中點(diǎn)得到一個(gè)四邊形PQMN；〔1〕、如圖：〔圖1〕，假設(shè)兩三角形△ABC和△ADE都是等邊三角形，那么四邊形PQMN的形狀是，∠NPQ=〔2〕、如圖：〔圖2〕，假設(shè)兩三角形△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，那么四邊形PQMN的形狀是，〔3〕、如圖：〔圖3〕，假設(shè)兩三角形△ABC和△ADE是兩個(gè)全等的直角三角形，且AB=AD、AC=AE，那么四邊形PQMN的形狀是特殊平行四邊形；如〔圖4〕假設(shè)兩三角形△ABC和△ADE是兩個(gè)相似的三角形，且∠ABC=∠ADE、∠ACB=∠AED，那么四邊形PQMN的形狀是特殊四邊形；請(qǐng)選擇其中一種情況證明你的猜測。銳角△ABC中，AB＞AC，分別以AB、AC為邊向外作△ABD和△ACE，且△ABD∽△AEC連DE.P、Q、M、N分別為BC、CE、DE、BD的中點(diǎn).①如圖1，假設(shè)△ABD和△AEC均為等邊三角形，那么∠QMN=，四邊形MNPQ的形狀是；②如圖2，假設(shè)△ABD和△AEC均為等腰直角三角形，那么∠QMN=，四邊形MNPQ的形狀是；圖1圖2圖3③如圖3，假設(shè)∠BAD=∠CAE=90圖1圖2圖3例6、將正方形ABCD，正方形BEFG，如圖1擺放，連DF，那么DF/CG=.〔1〕如圖2，將圖1中的正方形BEFG繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，連DF、CG相交于M，那么DF/CG=，∠DMC=.〔2〕如圖3，將圖1中的正方形BEFG繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，DF的延長線交CG于M，那么DF/CG=，∠DMC=.〔3〕如圖4，將圖1中的正方形BEFG繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β〔0°<β<90°〕，那么DF/CG=，∠DMC=.〔4〕如圖5，將圖1中的正方形BEFG繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β〔0°<β<90°〕，那么DF/CG=，∠DMC=.從〔3〕、〔4〕兩題中任選一個(gè)給予證明。練習(xí)點(diǎn)P在正方形ABCD的邊AD所在的直線上，以BP為對(duì)角線作正方形BEPF，連結(jié)CE。(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，那么∠BCE的度數(shù)為；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在正方形ABCD的邊AD上〔不與D重合〕時(shí)，∠BCE的度數(shù)為多少？證明你的結(jié)論；(3)當(dāng)點(diǎn)P在正方形ABCD的邊AD所在的直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)畫出圖形并求∠BCE的度數(shù)〔不必證明〕。2、P是正方形ABCD邊BC上一點(diǎn)，PE⊥AP，且PE=AP，連接AE、CE，AE 交CD于點(diǎn)F?！?〕如圖1求∠ECF的度數(shù)；〔2〕如圖2，連接AC，求證：AC=CE+PC；〔3〕假設(shè)正方形的邊長為4，CF=3，請(qǐng)直接寫出BP的長為。AADCBEBCEDAFPF例3、如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)．，且EF交正方形外角的平行線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF．經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，那么AM=EC，易證，所以．在此根底上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：〔1〕小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上〔除B，C外〕的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由；ADFCGEB圖1ADFCGEADFCGEB圖1ADFCGEB圖2ADFCGEB圖3例7、①如圖〔1〕，在正三角形ABC中，N為BC邊上任一點(diǎn)〔不含B、C兩點(diǎn)〕，CM為正三角形外角∠ACK的角平分線，假設(shè)∠ANM=60°，那么AN=NM。②如圖〔2〕，在正方形ABCD中，N為BC邊上任一點(diǎn)〔不含B、C兩點(diǎn)〕，CM為正方形外角∠DCK的角平分線，假設(shè)∠ANM=90°，那么AN=NM。請(qǐng)你從①、②兩個(gè)命題中任選擇一個(gè)進(jìn)行證明：請(qǐng)你繼續(xù)完成下面的探索：①如圖〔3〕，在正n(n≥3)邊形ABCDEF……中，N為BC邊上任一點(diǎn)〔不含B、C兩點(diǎn)〕，M為正n邊形外角∠DCK的角平分線，當(dāng)∠ANM等于時(shí)，結(jié)論AN=AM成立〔不要求證明〕;②如圖〔4〕，在五邊形ABCDE中，AB=BC，N為BC延長線上一點(diǎn)，CM為∠DCN的角平分線，假設(shè)∠ANM=∠ABC=∠BCD，請(qǐng)問AN=NM是否仍然成立？假設(shè)成立，請(qǐng)給予證明：假設(shè)不成立，請(qǐng)說明理由。3、如圖1，在正方形ABCD中，M、N分別在AD、CD上，假設(shè)∠MBN=45°，那么MN=AM+CN.如圖2，在正五邊形ABCDE中，M、N分別在AD、CD上，假設(shè)∠MBN=54°，那么MN=AM+CN.如圖3，在正六邊形ABCDEF中，M、N分別在AE、CE上，假