2021年秋季高三數(shù)學（理）開學摸底考試卷03（解析版）

2021年秋季高三數(shù)學（理）開學摸底考試卷03

班級姓名分數(shù)

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.已知集合4={》6%|1效k9},B={x\0<x<5],則=

A.{2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{x|掇*5}D.{x|l,,x<5}

【答案】B

【解析】?.?集合A={xeN|掇巾9}={1,2,3,4,5,6,7,8,9）.

B={x|0<x<5},

二.巾8={1，2,3,4}.

故選B.

1+Z

2.設復數(shù)z滿足——=/,則彳=

1-z

A.iB.-iC.1D.\+i

【答案】B

【解析】因為生=i,所以z=±=（T+">’）=嗎,

1-z1+z（l+z）（l-t）2

故5=-晨

故選B.

3.2021年4月23日是第26個世界讀書日，某市舉行以“頌讀百年路，展閱新征程”為主題的讀書大賽

活動，以慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年.比賽分初賽和復賽兩個階段進行，規(guī)定：初賽成績大于90分的

具有復賽資格，某校有1000名學生參加了初賽，所有學生的成績均在區(qū)間（30,150]內(nèi)，其頻率分布直

方圖如圖所示，則該校獲得復賽資格的人數(shù)為

A.650B.660C.680D.700

【答案】A

【解析】由頻率分布直方圖可得，學生初賽成績在(30,90J分的頻率為

(0.0025+0.0075+0.0075)x20=0.35,

所以學生初賽成績大于90分的頻率為1-0.35=0.65，

則該校獲得復賽資格的人數(shù)為0.65x1000=650.

故選A.

4.某新晉網(wǎng)紅一線城市鵝城人口模型近似為P=250024e°°⑵，其中f=0表示2020年的人口

數(shù)量，則鵝城人口數(shù)量達到320000的年份大約是)(/?2?0.693，仇3al.099，/〃5al.609)

A.2040年B.2045年C.2030年D.2050年

【答案】A

［解析］令250024e°a"=320000,

貝I］滑。⑵320000兩邊取對數(shù)得0.012/=%史”，

―250024250024

,320000

In—

5歷2—2人5

即r=,2烈2衽?20.583,

0.0120.012

過去20年或21年，，=0表示2020年的人口數(shù)量,

則鵝城人口數(shù)量達到320000的年份大約是2040年或2041年.

故選A.

5.已知直線/:依+丫-&k=0與雙曲線-2r=1(〃>0)的一條漸近線平行，且這兩條平行線間的

4

距離為一，則雙曲線。的焦距為

3

A.4B.6C.2>/3D.8

【答案】B

2

【解析】直線/與雙曲線C:x2-5=1S>O)的一條漸近線平行，

不妨設直線/與漸近線bx-y=0平行，

由h+y-0%=O可知，/過點(0,0),

?.?兩條平行線間的距離為

3

|0-缶I4

解得從=8,

Jl+/3

.-.c2=9,雙曲線C的焦距為6.

故選B.

6.三棱錐A-BCD的四個頂點為正方體的四個頂點，正方向如圖所示，則三棱錐的左視圖為

【答案】A

［解析】如圖三棱錐A-BCD的四個頂點為正方體的四個頂點,

則觀察可知其左視圖為

故選A.

正方向/B

1+sin70°

7.-------j---=

2-2sin210°

A.2B.-1C.1D.-

2

【答案】C

n匚、1+sin70°1+cos20°l+(l-25w210o),

[解析]-------—=-------—=---------；-----=1.

2-2sin210O2-2.vzn210°2-2,vz/7210o

故選C.

8.設p:2x2-3x+L,0，4：/_(2。+1口+。(。+1),,0,若p的必要不充分條件是一/?,則實數(shù)。的

取值范圍是

A-[0,1]B.(0,i]

c.y,o)U[；，+°°)D.y,o)U(；,+°o)

【答案】A

【解析】p:2x2-3x+L,0，解得」談k1.

2

q:x2-(2a+l)x+a(a+1)?0,瀛ka+1,

丁-p是r的必要不充分條件，是夕的充分不必要條件，

,等號不能同時成立，

.L,4+1

解得畸人

2

則實數(shù)。的取值范圍[0,1].

故選A.

9.如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂。在西偏北45°(即

NB4C=45。)的方向上，行駛600指機后到達8處，測得此山頂在北偏東15°(即NABC=75。)的方

向上，仰角NDBC為30°,則此山的高度CD=

B

A.2(X)6"?B.400y/3mC.600\[3mD.800>/3/M

【答案】B

【解析】AABC中，ABAC=45°,AB=60076,ZABC=75°,

:.ZACB=60°,

BC600V6

由正弦定理得

sin45°sin600

/y

600限在

BC=--------=1200,

B

2

RtAABC中，ZDBC=30。,

:.CD=BCtanNDBC=1200x—=400g,

3

則山高C￡>為400G〃7.

故選B.

10.把顏色分別為紅、黃、藍、白四種顏色的小球放入顏色分別為紅、黃、藍、白四種顏色的紙盒中，則

四個小球都沒有放入相同顏色的紙盒中的概率為

2

D.

3

【答案】B

【解析】將四種不同顏色的球放入四種不同顏色的紙盒中基本事件的總數(shù)為九=44=256,

四個球都沒有放入相同顏色的紙盒中的基本事件的總數(shù)為帆=34=81,

所以四個小球都沒有放入相同顏色的紙盒中的概率為尸=包.

256

故選B.

11.已知直三棱柱ABC-A4G，的各頂點都在球。的球面上，且A[B=AC=2,6。=26，若球。的

體積為吆5萬則這個直三棱柱的體積等于

3

A.4拒B.8>/3C.8D.4石

【答案】B

【解析】設球O的半徑為R,?.?球。的體積為竺幽不，，皿=史述乃，解得/?=2石.

333

\AB=AC=2,BC=2g,

,-.ZBAC=2x60°=120°.SMBC=gx2?xsinl200=G.

.?.△ABC外接圓的半徑2r=—空一=4,可得r=2.

sin120°

設球心到底面的距離為肌則〃=正-底=4.

這個直三棱柱的體積=2/?x6=8G.

故選B.

一仇￥,0<工，1

12.已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù).當x>0時，f(x)=\1，則函數(shù)

2/(x—1)+-,x>1

g(x)=/(x)-sin^x在［-萬，T］上的零點個數(shù)為()

4

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】解：令g(x)=/(%)-sin工x=0,即/(x)=sin-x>

44

函數(shù)/(%)為R上的奇函數(shù),則”))=0,

函數(shù)〃(x)=sin2x也是R上的奇函數(shù),

故只需研究當X>0時的零點個數(shù)即可,

-/?X,0<A；,1

又當x>0時，f(x)=<

2/(x-1)+>

故在同一坐標系下，作出函數(shù)y=/(x)與y=〃(x)的函數(shù)圖象，如圖所示,

由圖象可得，當x>0時，函數(shù)y=/(x)與y=/i(x)的函數(shù)圖象有2個交點,

則當xvO時，函數(shù)y=/@)與y=〃(x)的函數(shù)圖象也有2個交點,

又(0,0)也是它們的交點,

故函數(shù)y=/(x)與y=〃(x)的函數(shù)圖象有5個交點,

即函數(shù)g(x)=f(x)-sin^x在［-萬，TI\上的零點個數(shù)為5個.

4

故選C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設函數(shù)，(x)=d+加+(a+2)x.若/(x)的圖象關于原點(0,0))對稱，則曲線y=/(x)在點(1,3)處的

切線方程為一.

【答案】5x-y-2=0

【解析】由題函數(shù)/。)=1+以2+(a+2)》./(幻的圖象關于原點(0,0))對稱，

知/(x)為奇函數(shù),可得a=0,/(x)=x3+2x.f'(x)=3x2+2,

/(I)=5=k.所以切線方程為5x-y-2=0.

故答案為：5x—y—2=0.

14.已知平面向量1,b,是單位向量，且&石=0,則|不-d-b|的最大值為.

【答案】&+1

［解析］由|aR11=1,且@-5=0,

建立如圖所示平面直角坐標系，

再設e=(x,y),R!|c-5-ft=(x-l,y-l),

|l)?+(y-1尸，其幾何意義為單位圓上的動點與定點P(1,1)間的距離.

則其最大值為1。尸1+1="+6+1=&+1.

故答案為：\/24-1.

22

15.設耳，尸2分別是橢圓E：=+當=l(a>b>0)的左、右焦點，過點匕的直線交橢圓￡于A,8兩點,

ab

\AFt|=3|B/-b若cosNAE8=g,則橢圓E的離心率為.

【答案】—

2

【解析】設|月8|=制發(fā)>0),貝111A甲=3左，|AB|=4M

：］AF21=2a-3k,\BF21=2a-k.

3

cosZA/%B=—,

在&4BK中，由余弦定理得，|43|2=|4工|2+|8入|2—2|AKH8K|cos4K8,

.二(4A)~=(2。—3k)~+(2cz—k)~——(2?！?k)(2a—k),

化簡可得(a+4)(。一34)=0,而a+k>0,故a=3左，

：\AF2HAF1|=33|BF21=5k,

22

/JBF212=|伍|+|AB|,

A耳_LAF2,

.?.△AKK是等腰直角二角形,

..C=—Cl,

2

橢圓的離心率e=￡=走，

a2

16.設函數(shù)+f+石加山口一口(?>0),若VxeR,\f(x)(0)|,則，一2匕的最

小值為

【答案】272

【解析】函數(shù)/(x)=asin(x+看)+\[3bsinfx~~

=asin\x+—\-y/3bcos\x+—

I6)I6

=\la2+3b2sinix+^-(p\,其中=*——-,?>0,

因為VxGR,\f(x)|W，(0)I，

所以/(O)為函數(shù)f(x)的最值，

7t7t

則有o+q—e=,+z乃，kwz,

JI

故°二-----kmkEZi

所以%〃9=1—?一左；rj=〃z〃-yj=-V3,

故叵=一6.，

a

所以b=-a,〃>0,

故上一2b=^+2a22JL2a=2四,

aava

當且僅當』=2a,即“=也時取等號,

a2

所以‘一2》的最小值為2血.

a

故答案為：2五.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個試題考

生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共60分.

17.已知數(shù)列僅“｝滿足4=1,a,川=區(qū)_

4,+2

(1)求證數(shù)列為等差數(shù)列;

(2)設?！?%4+]，求數(shù)列也〃｝的前〃項和多.

【答案】(1)證明見解析；(2)T=2一——.

"n+2

【解析】(1)數(shù)列｛4｝滿足4=1，a?+1=2--整理得a?an+l=2a?-2an+l,

a“+2

故一L--!-=_L(常數(shù))，

4用a?2

所以數(shù)列是以1為首項，,為公差的等差數(shù)列.

(2)由于數(shù)列是以1為首項，g為公差的等差數(shù)列.

所以'=]+1_1)=”+1,故a“=2

an22n+1

r-r-Kl,2211

所以b=aa=-----=4(-----)>

nnll+t714-1〃+2n+\n+2

則：T=4(---+---+...+—------)=4(-———)=2.

"2334n+\n+22n+2n+2

18.某中學高三年級組為了解學生主動預習與學習興趣是否有關，隨機抽取一個容量為〃的樣本進行調(diào)

查.調(diào)查結(jié)果表明，主動預習的學生占樣本容量的上，學習興趣高的學生占樣本容量的工，主動預習且

153

學習興趣高的學生占樣本容量的3.

5

(1)完成下面2*2列聯(lián)表.若有97.5%的把握認為主動預習與學習興趣有關，求樣本容量〃的最小值;

學習興趣高學習興趣一般合計

313

主動預習—n一n

515

不太主動預習

2

合計—nn

3

(2)該校為了提高學生的數(shù)學學習興趣，用分層抽樣的方法從“學習興趣一般”的學生中抽取10人,

組成數(shù)學學習小組，現(xiàn)從該小組中隨機抽取3人進行摸底測試，記3人中“不太主動預習”的人數(shù)為X,

求X的分布列和數(shù)學期望E(X).

附：K'S；：')其中〃力+〃+C+”.

20.100.050.0250.0100.0050.001

P(K..k0)

k。2.0763.8415.0246.6357.87910.828

【答案】(1)270；(2)分布列見解析；￡(%)=-.

【解析】(1)2x2列聯(lián)表如下：

學習興趣高學習興趣一般合

計

主動預習3413

—n一n一力

51515

不太主動預習112

一n一n一n

151515

21n

合計—n-n

33

因為有97.5%的把握認為主動預習與學習興趣有關，

所以”..5.024,解得”..251.248,

52

結(jié)合題意，正整數(shù)〃是15的倍數(shù)，

所以〃的最小值為270：

(2)由(1)可知，”學習興趣一般”的學生中，

“主動預習”與“不太主動預習”的學生人數(shù)之比為4:1,

因此用分層抽樣的方法，從''學習興趣一般”的學生中抽取10人中，“不太主動預習”的人數(shù)為2,

所以X~4(3,2,10),

所以P(X=0)=4=Z,

15

HX_n-C?_7

/(A—1；-;——

cn15

P(X=2)窄$

jo

所以X的分布列為:

X0i2

p771

T?1515

則"x)=MW

19.如圖，在三棱柱48C-ASG中，BCi，平面AAGC,。是M的中點，AACD是邊長為1的等邊三

角形.

(1)證明：CDLB.D；

(2)若BC=G，求二面角3-CQ-用的大小.

【答案】⑴證明見解析：(2)30°.

【解析】(1)證明：?.?AACD是邊長為1的等邊三角形,

/.ZADC=6O°,ZDA,C}=120°,

?.?。是A4,的中點，

AD=AfD=AlCl,即△ACQ是等腰三角形，

NADCt=30°,從而ZCDC,=90°.即CD1C.D.

???AG，平面MGC,且C￡>u平面A4CC，

:.B?1CD,

又用。|「］。|。=。|,8c|U平面SC。，CQu平面EC。,

.?.8_1_平面86。，

?.?BQu平面BCD,

.-.CD±BlD.

（2）解：連接CA,

vCD=^AA,,AC

以C為原點，C4、C4,、8所在的直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

則C（0,0,0）,8（0,0,圓G（-l,石,0）,￡>（］晝,0）,4（7,有,回

.?.西=（-1,5-G）,CD=（-,--,O）,麗=（』,-烏-6）.

2222

--才=（）-x+&-V3z=0

設平面B￡>G的法向量為所=（x,y,z）,則””及一，即八仙,

m.CfD=0l-x--^-y=0

令尤=百，則y=3,z=2,m=（A/3>3,2）,

由（1）知，平面片G。的一個法向量為M=28=（1,0,0）,

m*n73+373V3

/.cos<m,n>=

I|?l?I73+9+4x22'

由圖可知，:面角B-JD-B］為銳角,

故二面角8-C]￡>-耳的大小為30。.

20.如圖，己知橢圓C：W+與=l（a>b>0）經(jīng)過點（1,也），離心率為正，直線/經(jīng)過橢圓C的右焦點F,

a~b~22

交橢圓于A,B兩點.

（I）求橢圓C的方程.

（II）若直線/交y軸于點且Mi-府，MB=pBF,當直線/的傾斜角變化時，2+〃是否為定

值？若是，請求出2+〃的值；否則，請說明理由.

【答案】（1）y+/=l;（2）-4.

【解析】（I）設橢圓的半焦距為c,

則有『當‘解得"邑="=】,

a2=b2+c2

所以橢圓。的方程為上+y2=i；

2

（II）由（1）知，F(xiàn)（l,0）,由條件得直線/的斜率必存在,

設方程為y=女（工一1）,又M（0,-A）,設A（x，y）,B（x2,%），

__?^2—1

則由2，解得(1+2,2)/一4入+212一2=0,

y=k(x-l)

4k22k2-2

所以％+&=

l+2k2，X'X2=1+2/

因為碗=2/,

則有（石,乂+k）=>（1一石，一乂），

所以7=」—，

If

同理可得〃=上「，

1—%2

4r_4(?-1)

所以a+〃=工+上=2g=1+2a-1+2省?*

1-%)1-%1—(玉+X2)+玉%。?4K+2%~-2

2-1+2/+1+2/

即/1+〃是定值T.

21.已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f(x)=2ei-"2,其中aeR.

(1)當a=l時，若g(x)=/，(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/")在R上恰有三個零點，求。的取值范圍.

【答案】(1)g(x)在(ro,l)上單調(diào)遞減，在(1,y0)上單調(diào)遞增；(2)(-,+oo).

2

【解析】(1)當”=1時，f'M=2ex-'-2x

令g(x)=/'(x),則g'(x)=2e'T-2,

.,.當x<l時，g'(x)<0,g(x)在(-co』)上單調(diào)遞減；

當x>1時g'(x)>0,g(x)在(1,位)上單調(diào)遞增.

:.f'(x)=g(x)..g(1)=0..?./(%)在R上單調(diào)遞增.

2

(2)?.?/(0)=_#0,.?./。)的零點彳/0，

令/(幻=2。1_奴2=0,可得4=二，

X

、r2ex~l

設h(x)=——(xw0)，

x

〃/、2ex-]-x2-2ex-}-2x2ex-j(x-2)

...h(x)=-----------7----------=-------z-----，

XX

令”(x)=0,得x=2,且〃(2)=J

2

.,.當XG(YO,0)時，〃'(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增且〃(x)w(O,-KO)；

當xe(0,2)時，h'(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減且/z(x)e(￡,+oo)；

2

當xe(2,4w)時,//(x)>0，h(x)單調(diào)遞增且h(x)e(-,-K?),

2

作圖〃(x)的大致圖象，如圖所示，

由圖象可知，時，y=aHy=〃(x)的圖象有三個交點，即/(x)有三個不同的零點,

（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.[選

修4-4：坐標系與參數(shù)方程|（10分）

22.在平面直角坐標系X。），中，曲線a的參數(shù)方程為廠=c°s”（a為參數(shù)），M是q上的動點，動點P

[y=1+sina

滿足OP=3OM.

（1）求動點P的軌跡G的參數(shù)方程；

（2）在以。為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線9與G異于極點的交點為A，與內(nèi)異

于極點的交點為B,求

【答案】⑴I"：。：。（a為參數(shù)）；⑵2.

[y=3+3sma

【解析】（I）設P（x,y）,M（x0,%）,由。戶=3而，得①，

（7=3%

又M