備考2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)強化訓(xùn)練第八章平面解析幾何第5講橢圓

第5講橢圓1.[命題點1，2]已知△ABC中，A為動點，B（－2，0），C（2，0）且滿意sinC＋sinB＝2sinA，則點A的軌跡方程為x216＋y212＝1（y解析依據(jù)正弦定理，由sinC＋sinB＝2sinA，得AB＋AC＝2BC，得AB＋AC＝8＞BC，所以點A的軌跡是以B（－2，0），C（2，0）為焦點的橢圓，且不包括（4，0），（－4，0）兩點.（易忽視隱含條件：△ABC）設(shè)橢圓方程為x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0，y≠0），則2a＝8，2c＝4，即a＝4，c＝2，故b＝a2－c2＝23，所以點A的軌跡方程為x2.[命題點1，2/多選/2024重慶一中階段練習(xí)]已知點A（－1，1），F(xiàn)1（－1，0），F(xiàn)2（1，0），動點P（x，y）滿意：（x+1）2＋y2＋（A.點P的軌跡方程為x24＋yB.｜PA｜＋｜PF2｜＜5C.存在4個點P，使得△PAF1的面積為3D.｜PA｜＋｜PF1｜＞1解析對于A，由（x+1）2＋y2＋（x－1）2＋y2＝4得｜PF1｜＋｜PF2｜＝4＞｜F1F2｜＝2，所以點P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓，且焦距2c＝2，長軸長2a＝4故點P（x，y）的軌跡方程為x24＋y23＝1對于B，D，將（－1，1）代入橢圓方程，得14＋13＜1，所以點A（－1，1）在橢圓內(nèi)，所以｜PA｜＋｜PF2｜＝｜PA｜＋2a－｜PF1｜＝2a＋｜PA｜－｜PF1｜≤2a＋｜AF1｜＝4＋1＝如圖，當且僅當點P位于點P1的位置，即P1F1與x軸垂直時等號成立.｜PA｜＋｜PF1｜＝｜PA｜＋2a－｜PF2｜＝4＋｜PA｜－｜PF2｜，連接AF2，由于｜｜PA｜－｜PF2｜｜≤｜AF2｜＝5，所以｜PA｜－｜PF2｜≥－5，所以｜PA｜＋｜PF1｜＝4＋｜PA｜－｜PF2｜≥4－5＞1，如圖，當且僅當點P位于點P2的位置時等號成立，故B錯誤，D正確.對于C，S△PAF1＝12｜AF1｜h＝12×1×h＝h2，其中h為點P到直線AF1的距離，若S△PAF1＝h2=32，則h＝3，由于當點3.[命題點1，3]如圖，焦點在x軸上的橢圓x2a2＋y22＝1（a＞2）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點，且直線F2A點，△APF1的內(nèi)切圓在邊PF1上的切點為Q，若｜F1Q｜＝4，則該橢圓的離心率為144.解析如圖所示，不妨設(shè)△APF1的內(nèi)切圓在邊AF1，AP上的切點分別為M，N，圓心為C，連接CM，CN，則易得｜CM｜＝｜CN｜，又因為△AF1F2為等腰三角形，故點C在y軸上，則由題意可知｜F1Q｜＝｜F1M｜＝｜F2N｜＝｜PN｜＋｜PF2｜＝｜PQ｜＋｜PF2｜＝4，由橢圓的定義知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，即｜PQ｜＋｜QF1｜＋｜PF2｜＝2a＝8，解得a＝4，所以c＝a2－2＝16－2＝14，所以橢圓的離心率e4.[命題點3角度1]若橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）上存在一點M，使得∠F1MF2＝90°（F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點），則橢圓的離心率e的取值范圍為解析解法一設(shè)點M的坐標是（x0，y0），則｜x0｜＜a.∵F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0），∴MF1＝（－c－x0，－y0），MF2＝（c－x0，－∵∠F1MF2＝90°，∴MF1·MF2＝－（c＋x0）（c－x0）＋y02＝0，即x又點M在橢圓上，即y02＝b2－∴x02＋y02＝b2＋c2a2x02∈[b2，a2），即∴c2≥b2＝a2－c2，即c2a2又0＜e＜1，∴22≤e＜1故橢圓的離心率e的取值范圍是[22，1）解法二設(shè)橢圓與y軸的一個交點為P，∵橢圓上存在一點M，使∠F1MF2＝90°，∴∠F1PF2≥90°，則c≥b，∴c2≥b2＝a2－c2，即c2a2又0＜e＜1，∴22≤e＜1故橢圓的離心率e的取值范圍為[22，1）5.[命題點3]直線y＝kx（k∈R）與橢圓x26＋y22＝1相交于A，B兩點，若將x軸下方半平面沿著x軸翻折，使之與x軸上方半平面所成的角為直角，則｜AB｜的取值范圍是（A.[2，6） B.[2，26] C.（2，26] D.（2，6]解析在平面直角坐標系中，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則易知x1＝－x2，y1＝－y2.由y可得（1＋3k2）x2－6＝0，可得x1x2＝－61+3k2，所以x將x軸下方半平面沿著x軸翻折，使之與x軸上方半平面所成的角為直角，如圖所示，作BC⊥x軸，AD⊥x軸，垂足分別為C，D，則｜AB｜2＝｜BC｜2＋｜CD｜2＋｜AD｜2.由對稱性可得｜BC｜2＝｜AD｜2＝y(tǒng)12＝k2x12