備考2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)好題精練第八章平面解析幾何突破5圓錐曲線的綜合應(yīng)用命題點(diǎn)1圓錐曲線的綜合問(wèn)題

突破5圓錐曲線的綜合應(yīng)用命題點(diǎn)1圓錐曲線的綜合問(wèn)題例1[多選/新高考卷Ⅰ]已知曲線C：mx2＋ny2＝1.（ACD）A.若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B.若m＝n＞0，則C是圓，其半徑為nC.若mn＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±－mD.若m＝0，n＞0，則C是兩條直線解析對(duì)于選項(xiàng)A，∵m＞n＞0，∴0＜1m＜1n，方程mx2＋ny2＝1可變形為x21m＋y21n＝1，∴該方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，正確；對(duì)于選項(xiàng)B，∵m＝n＞0，∴方程mx2＋ny2＝1可變形為x2＋y2＝1n，該方程表示半徑為1n的圓，錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，∵mn＜0，∴該方程表示雙曲線，令mx2＋ny2＝0?y＝±－mnx，正確；對(duì)于選項(xiàng)D，∵m＝0，n＞0，∴方程mx2＋ny2＝1變形為ny例2已知斜率為k的直線l與橢圓C：x24＋y23＝1交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M（1，m）（m（1）證明：k＜－12（2）設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且FP＋FA＋FB＝0.證明：｜FA｜，｜FP｜，｜FB｜成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差.解析（1）解法一設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x124＋y123＝1，并由y1－y2x1－x2＝由題設(shè)知x1＋x22＝1，y1＋y22由題設(shè)得0＜m＜32，故k＜－1解法二設(shè)直線l的方程為y＝k（x－1）＋m，由y＝k（x－1）＋m，x24＋y23=1得（3＋4k2）x2＋8k（Δ＝64k2（m－k）2－4（3＋4k2）[4（m－k）2－12]＝48（3k2＋2mk－m2＋3）.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1＋x2＝8k因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為M（1，m）（m＞0），所以x1＋x即4k（k－m）3+4k由m＞0得，－34k＞0，所以k又點(diǎn)M（1，m）在橢圓內(nèi)部，所以14＋m23＜1，即14＋316k2＜經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m＝－34k，k＜－12時(shí)，滿意故k＜－12（2）由題意得F（1，0）.設(shè)P（x3，y3），則由FP＋FA＋FB＝0，得（x3－1，y3）＋（x1－1，y1）＋（x2－1，y2）＝（0，0）.由（1）及題設(shè)得x3＝3－（x1＋x2）＝1，y3＝－（y1＋y2）＝－2m＜0.又點(diǎn)P在C上，所以m＝34，從而P（1，－32），｜FP｜＝于是｜FA｜＝（x1－1）2＋同理｜FB｜＝2－x2所以｜FA｜＋｜FB｜＝4－12（x1＋x2）＝3.故2｜FP｜＝｜FA｜＋｜FB｜，即｜FA｜，｜FP｜，｜FB｜成等差數(shù)列設(shè)該數(shù)列的公差為d，則2｜d｜＝｜｜FB｜－｜FA｜｜＝12｜x1－x2｜＝12（將m＝34代入（1）中的①得k＝－所以l的方程為y＝－x＋74，代入C的方程，并整理得7x2－14x＋14故x1＋x2＝2，x1x2＝128，代入②解得｜d｜＝3所以該數(shù)列的公差為32128或－訓(xùn)練1（1）已知橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1-c,0,F2c,0,點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)，滿意｜PF1＋PF2｜＝｜PF1－PF2｜，若以點(diǎn)P為圓心、r為半徑的圓與圓F1：（x＋c）2＋y2＝4a2，圓F2：（A.12 B.34 C.104 解析將｜PF1＋PF2｜＝｜PF1－PF2｜兩邊同時(shí)平方，得PF如圖，延長(zhǎng)F1P交圓P于N，延長(zhǎng)F2P交圓P于M，結(jié)合已知可得｜P所以｜PF1｜－｜PF2｜＝a，由｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，得｜PF1｜＝3a2，｜PF2｜＝在△PF1F2中，PF1⊥PF2可得｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2，所以9（2）[2024西安一中調(diào)研]如圖，圓柱OO1的軸截面ABB1A1是正方形，D，E分別是AA1和BB1的中點(diǎn)，C是弧AB的中點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)C，D，E的平面與圓柱OO1側(cè)面相交所得到的曲線的離心率是22.解析設(shè)正方形ABB1A1的邊長(zhǎng)為2，C1是弧B1A1的中