江蘇省南京市六校2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)合調(diào)研試題含解析

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式可得集合，依據(jù)集合的并集運(yùn)算即得答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：D.2.若是夾角為的兩個(gè)單位向量，與垂直，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意先分別算出的值，然后將“與垂直”等價(jià)轉(zhuǎn)換為，從而即可求解.【詳解】由題意有，又因?yàn)榕c垂直，所以，整理得，解得.故選：B.3.用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截得的圓臺(tái)上底面半徑為1，下底面半徑為2，且該圓臺(tái)側(cè)面積為，則原圓錐的母線長為（）A.2 B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)圓臺(tái)的母線長為，依據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積公式求出圓臺(tái)的母線長，利用圓臺(tái)的性質(zhì)以及相像三角形即可求解.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的母線長為，因?yàn)樵搱A臺(tái)側(cè)面積為，則由圓臺(tái)側(cè)面積公式可得，所以，設(shè)截去的圓錐的母線長為，由三角形相像可得，則，解得，所以原圓錐的母線長，故選：.4.已知取表中的數(shù)值，若具有線性相關(guān)關(guān)系，線性回來方程為，則＝（）0134a4.34.867A.2.2 B.2.4 C.2.5 D.2.6【答案】A【解析】【分析】依據(jù)線性回來方程經(jīng)過樣本中心，計(jì)算即可求解.【詳解】由題意可知：，，所以樣本中心為，代入回來方程有：，解得.故選：.5.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，若，則＝（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先依據(jù)隨意角的三角函數(shù)求出，再求出的值，最終依據(jù)兩角和的正切公式即可求出所需的值.【詳解】由隨意角的三角函數(shù)公式可知，解得，所以，所以，故選：C6.已知數(shù)列通項(xiàng)公式為，若對(duì)隨意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，即可依據(jù)對(duì)恒成立，以及求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，所以對(duì)恒成立，故，又當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增的數(shù)列，故要使對(duì)隨意，都有，則，即，解得，綜上可得，故選:C7.已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點(diǎn)，使得過點(diǎn)所作的圓的兩條切線，切點(diǎn)為、，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】連接、、，則，，設(shè)點(diǎn)，則，分析可得，可得出的取值范圍，由可求得的取值范圍.【詳解】連接、、，則，，由切線長定理可知，，又因?yàn)?，，所以，，所以，，則，設(shè)點(diǎn)，則，且，所以，，所以，，故，故選：B.8.定義在上的函數(shù)滿意，；且當(dāng)時(shí)，．則方程全部的根之和為（）A.6 B.12 C.14 D.10【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意可得為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱且一個(gè)周期為4，再依據(jù)當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)分析單調(diào)性，從而畫出簡圖，依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解零點(diǎn)和即可.【詳解】∵，∴為奇函數(shù)，又∵，∴的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．由，即有，所以，即函數(shù)的一個(gè)周期為4，由可得，，所以的圖象關(guān)于中心對(duì)稱．函數(shù)的簡圖如下：其中，由，∴全部實(shí)根之和為.故選：D．【點(diǎn)睛】本題求零點(diǎn)之和須要駕馭的方法：（1）函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用：依據(jù)條件中函數(shù)滿意的關(guān)系式推導(dǎo)函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性和在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，并運(yùn)用性質(zhì)求零點(diǎn)和；（2）數(shù)形結(jié)合：依據(jù)給定區(qū)間的函數(shù)解析式作圖，再依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)補(bǔ)全剩余圖象；二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑．9.已知復(fù)數(shù)，()(為虛數(shù)單位)，為的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的虛部為 B.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限C. D.若，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)形成的圖形的面積為【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)和對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)以及復(fù)數(shù)的幾何意義依次推斷即可.【詳解】對(duì)于A：，所以的虛部為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，所以B正確；對(duì)于C：，，所以，C正確；對(duì)于D：在復(fù)平面內(nèi)表示到點(diǎn)距離小于等于1的全部的點(diǎn)，所以形成的圖形為以為圓心1為半徑的圓，所以面積為，D錯(cuò)誤，故選：BC10.已知，，則（）A.的最小值為4 B.的最大值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)基本不等式即可求解BD，由乘“1”法即可求解A,代換后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解C.【詳解】對(duì)于A，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，故A錯(cuò)誤，，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，故B正確，，故當(dāng)時(shí)，取到最小值，此時(shí)，滿意題意，故C正確，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以D正確故選：BCD11.函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A.B.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱C.若函數(shù)在區(qū)間上沒有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D.若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)單調(diào)性及對(duì)稱軸求出解析式，即可以推斷選項(xiàng)A，由函數(shù)的平移變換可以推斷選項(xiàng)B，依據(jù)函數(shù)圖象的零點(diǎn)和最值即可推斷C，D.【詳解】選項(xiàng)A：依據(jù)題意函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，可以推斷為單調(diào)遞增函數(shù)，則，，解得又因?yàn)閳D象關(guān)于直線，則，，解得，當(dāng)時(shí)，符合條件.則A正確；選項(xiàng)B：由A可知向右平移個(gè)單位長度后，解析式變成，則圖象關(guān)于軸對(duì)稱.B正確；選項(xiàng)C：函數(shù)在區(qū)間沒有最小值，則令，，則，當(dāng)，即時(shí)，沒有最小值C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)闀r(shí)，為函數(shù)的零點(diǎn)，所以另一個(gè)端點(diǎn)只能讓函數(shù)再有一個(gè)零點(diǎn)即可.所以，即，D正確.故選：ABD.12.已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)在橢圓上，橢圓的離心率為，則以下說法正確的是（）A.離心率的取值范圍為B.當(dāng)時(shí)，的最大值為C.存在點(diǎn)，使得D.的最小值為1【答案】ABD【解析】【分析】A項(xiàng)中需先解出的范圍，然后利用離心率的定義進(jìn)行推斷；B項(xiàng)中依據(jù)橢圓定義轉(zhuǎn)化為求的最大值，從而進(jìn)而推斷；C項(xiàng)中先求出點(diǎn)的軌跡方程，再推斷該軌跡圖形與橢圓是否有交點(diǎn)，從而進(jìn)行推斷；D項(xiàng)中依據(jù)橢圓定義得，并結(jié)合基本不等式推斷.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)：因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以，得，所以得：，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)：由橢圓定義知，當(dāng)在軸下方時(shí)，且，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，由，得，，所以得，所以最大值，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)：設(shè)，若，即：，則得，即點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，又由A項(xiàng)知：，得，又因?yàn)?，得，所以得：，所以該圓與橢圓無交點(diǎn)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)：由橢圓定義得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.為全面推動(dòng)鄉(xiāng)村振興，永州市舉辦了“村晚興鄉(xiāng)村”活動(dòng)，晚會(huì)有《走，去永州》《揚(yáng)鞭催馬運(yùn)糧忙》《數(shù)華蜜》《鄉(xiāng)村振興唱起來》四個(gè)節(jié)目，若要對(duì)這四個(gè)節(jié)目進(jìn)行排序，要求《數(shù)華蜜》與《鄉(xiāng)村振興唱起來》相鄰，則不同的排列種數(shù)為________（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】【分析】利用捆綁求得正確答案.【詳解】由于《數(shù)華蜜》與《鄉(xiāng)村振興唱起來》相鄰，所以兩者“捆綁”，則不同的排列種數(shù)為種.故答案為：14.設(shè)，則__________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】利用賦值法計(jì)算可得【詳解】因?yàn)椋?，則①，令，則②，∴①－②得，所以，故答案為：15.現(xiàn)有一張正方形紙片，沿只過其一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線將其剪開，得到2張紙片，再從中任選一張，沿只過其一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線剪開，得到3張紙片，…，以此類推，每次從紙片中任選一張，沿只過其一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線剪開，若經(jīng)過8次剪紙后，得到的全部多邊形紙片的邊數(shù)總和為___________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，可得全部多邊形紙片的邊數(shù)總和是公差為3的等差數(shù)列，進(jìn)而利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式算出結(jié)果．【詳解】設(shè)沒剪之前正方形的邊數(shù)為，即，沿只過其一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線將其剪開，得到一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，無論是選擇三角形四邊形，剪一次后邊數(shù)均增加3，即可得全部多邊形紙片的邊數(shù)總和是公差為3的等差數(shù)列，故經(jīng)過8次剪紙后，得到的全部多邊形紙片的邊數(shù)總和為：．故答案為：2816.如圖，在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AA1，AB上的動(dòng)點(diǎn)，那么的長度最小值是__________，此時(shí)三棱錐外接球的表面積為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】將立體幾何中線段之和最小問題，轉(zhuǎn)化為平面幾何中的線段之和最小問題，利用對(duì)稱性求出最小值，并得到此時(shí)各線段的長度和，由于⊥，故四點(diǎn)共圓，三棱錐外接球即為四棱錐的外接球，找到球心問題，求出半徑，得到表面積.【詳解】將三棱柱的側(cè)面與側(cè)面沿著綻開到同一平面內(nèi)，如下：則長度最小值轉(zhuǎn)化為的最小值，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則即為的最小值，也即的最小值，其中，，所以，此時(shí)可求出，且，，故，由勾股定理得，所以，由勾股定理逆定理可知，，由于⊥，故四點(diǎn)共圓，三棱錐外接球即為四棱錐的外接球，連接，由于四邊形的外接圓圓心為的中點(diǎn)，半徑為，，故⊥平面，所以平行于，取的中點(diǎn)，連接，則，且即為外接球半徑，且，外接球的表面積為.故答案為：，【點(diǎn)睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問題要留意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問題，留意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列滿意．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系，求解通項(xiàng)公式;（2）利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，即，或（舍）當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，兩式相減得，整理得為正項(xiàng)數(shù)列，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差為1.【小問2詳解】，兩式相減得.18.在中，所對(duì)的邊分別為，已知.（1）若，求的值；（2）若是銳角三角形，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)余弦定理即可求解，（2）依據(jù)余弦定理得邊角關(guān)系，即可利用正弦定理邊角互化，結(jié)合三角恒等變換可得，即可由三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【小問1詳解】在中，，據(jù)余弦定理可得又，故，由于，故，得.【小問2詳解】在中，據(jù)余弦定理可得，又，故，又，故據(jù)正弦定理，可得，，，,因?yàn)椋?，則或，即或（舍）所以,,因?yàn)槭卿J角三角形，所以，得，,故,故,19.為弘揚(yáng)中國共產(chǎn)黨百年奮斗的光輝歷程，某校團(tuán)委確定舉辦“中國共產(chǎn)黨黨史學(xué)問”競(jìng)賽活動(dòng)．競(jìng)賽共有和兩類試題，每類試題各10題，其中每答對(duì)1道類試題得10分；每答對(duì)1道類試題得20分，答錯(cuò)都不得分．每位參與競(jìng)賽的同學(xué)從這兩類試題中共抽出3道題回答（每道題抽后不放回）．已知某同學(xué)類試題中有7道題能答對(duì)，而他答對(duì)各道類試題的概率均為．（1）若該同學(xué)只抽取3道類試題作答，設(shè)表示該同學(xué)答這3道試題的總得分，求的分布和期望；（2）若該同學(xué)在類試題中只抽1道題作答，求他在這次競(jìng)賽中僅答對(duì)1道題的概率．【答案】（1）分布列見解析，（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)超幾何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，利用期望公式即可求解，（2）依據(jù)相互獨(dú)立事務(wù)的概率，即可求解.【小問1詳解】，，，所以X的分布為X0102030P所以【小問2詳解】記“該同學(xué)僅答對(duì)1道題”為事務(wù)M.這次競(jìng)賽中該同學(xué)僅答對(duì)1道題得概率為.20.已知在四棱錐中，平面，，，，點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，平面平面．（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）通過證明來證得平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來求得二面角的余弦值.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接、，∵平面，平面，平面平面，∴，又∵，分別為，的中點(diǎn)，∴∵∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵在中且為中點(diǎn)，∴.∴由平面平面，且交線為，平面，得平面.∵平面，∴，，∵，∴，，∵，平面，∴平面.【小問2詳解】∵平面，平面，所以，又因?yàn)?，所以三者兩兩相互垂直，∴以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)與平行直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，.∵平面，∴直線與平面所成的角為.∴，∴.平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量，，，則，取，則，，∴，∴，由圖可知二面角為銳角，∴二面角的余弦值為.21.已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為2.（1）求的方程；（2）過點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)為雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線的斜率分別為，若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意求出即可得解；（2）設(shè)，方法一：分直線斜率存在和不存在兩種狀況探討，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求得，再依據(jù)求出的關(guān)系，從而可得直線過定點(diǎn)，進(jìn)而可得出答案.方法二：可設(shè)直線方程為，由可得，再依據(jù)求出，從而可得直線過定點(diǎn)，進(jìn)而可得出答案.【小問1詳解】由題意得，解得，所以的方程為；【小問2詳解】由題意，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，方法一：①若直線斜率存在，設(shè)直線方程為，，消去可得，且，且，，整理可得，，化簡得，即，因?yàn)橹本€不過點(diǎn)，所以，所以，即，所以直線的方程為，恒過定點(diǎn)，②若直線斜率不存在，則，，解得，所以直線的方程為，過定點(diǎn)，綜上，直線恒過定點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，.方法二：因?yàn)橹本€不過點(diǎn)，所以可設(shè)直線方程為，由可得，即，，得，等式左右兩邊同時(shí)除以，得，，，解得，所以直線方程為，即，恒過定點(diǎn)，下同法一.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特別探路，一般證明”：即先通過特別狀況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特別求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再依據(jù)參數(shù)的隨意性得到一個(gè)關(guān)于