廣東省2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試題含解析

Page13一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.過點(diǎn)，且傾斜角為的直線方程為（）A. B. C. D.2.已知為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為12，到軸的距離為9，則（）A.2 B.3 C.6 D.93.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，則的離心率為（）A. B. C. D.4.如圖，是的重心，，，，則（）A. B.C. D.5.已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，，則邊上的中線長為（）A. B. C. D.6.已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則的方程為（）A. B. C. D.7.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.8.如圖，在棱長為2的正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.直線必過定點(diǎn)B.直線在軸上的截距為-2C.直線的傾斜角為D.若直線沿軸向左平移3個(gè)單位長度，再沿軸向上平移2個(gè)單位長度后，回到原來的位置，則該直線的斜率為10.已知曲線（）A.若，則是粗圓，其焦點(diǎn)在軸上B.若，則是雙曲線，其漸近線方程為C.若，則是圓，其半徑為D.若，，則是兩條直線11.如圖，在直三棱柱中，，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上且靠近，當(dāng)時(shí)，則（）A. B.C. D.二面角的余弦值為12.如圖所示，兩個(gè)橢圓，，內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界記為曲線，是曲線上的隨意一點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.曲線關(guān)于直線，對稱B.兩個(gè)橢圓的離心率不相等C.到，，，四點(diǎn)的距離之和為定值D.曲線所圍區(qū)域面積必小于36三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.與圓同心且過點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，且，則直線的截距式方程為；類似地，在空間直角坐標(biāo)系中，若平面與軸、軸、軸的交點(diǎn)分別為，，，且，則平面的截距式方程為________.15.已知是拋物線的焦點(diǎn)，定點(diǎn).若點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，那么的最小值為________.16.已知矩形，，，沿對角線將折起，使得，則二面角的大小是________.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題10分）經(jīng)過直線，的交點(diǎn)，且滿意下列條件的直線的方程：（1）與直線平行；（2）與直線垂直.18.（本小題12分）如圖，是邊長為2的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，且.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19.（本小題12分）已知兩圓和.（1）推斷兩圓的位置關(guān)系；（2）求兩圓公共弦所在的直線方程及公共弦的長.20.（本小題12分）如圖，在正四棱雉中，，，點(diǎn)，，，分別在棱，，，上，，，.（1）證明：；（2）點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求.21.（本小題12分）已知拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為1.（1）求拋物線的方程；（2）若不過原點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，求證：直線過定點(diǎn).22.（本小題12分）設(shè)粗圓的離心率為，上、下頂點(diǎn)分別為，，.過點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使直線？證明你的結(jié)論.2024-2025學(xué)年第一學(xué)期其次次聯(lián)考參考答案高二數(shù)學(xué)一、選擇題：題號123456789101112答案BCCDABADACDABDBDAD8.D詳解：法一：（空間向量法）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，則點(diǎn)到平面的距離法二：（等體積法），，，∵，∴11.BD詳解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，，，或（不合，舍去）∴，即∵，∴A錯(cuò)誤，B正確∵，∴C錯(cuò)誤對于D，明顯是平面的一個(gè)法向量，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，取，則∵明顯，二面角是銳二面角∴二面角的余弦值為，∴D正確12.AD詳解：干脆由圖形可知A正確（也可由方程看，因?yàn)橥瑫r(shí)用代替，用代替，方程不變；同時(shí)用代替，用代替，方程不變.所以A正確）兩個(gè)粗圓的離心率均為，B錯(cuò)誤.由橢圓的定義可知，只有當(dāng)點(diǎn)剛好在兩個(gè)橢圓的四個(gè)交點(diǎn)的位置時(shí)，（定值），此結(jié)論才成立，所以C錯(cuò)誤.陰影落在直線，四條直線圍成的矩形內(nèi)部，陰影的，故D正確.16.詳解：（平面到空間的轉(zhuǎn)化，二面角“一作二證三計(jì)算”，余弦定理，空間向量的運(yùn)算）折起前如圖①，折起后如圖②法一：圖①中，作，，垂足分別為，∵，∴，∴∴圖②中，在平面內(nèi)過作，則可知為二面角的平面角.連接，，則可得，∵，∴∴二面角的大小為法二：∵，∴∴∴二面角的大小為三、填空題：共20分13.14.15.316.四、解答題：共70分17.解：由，解得，∴………………3分設(shè)所求直線為直線的斜率為……………………4分（1）∵直線與直線平行∴直線的方程為：，即………………7分（2）∵直線與直線垂直∴直線的方程為：，即…………10分18.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，∵是邊長為2的等邊三角形，∴，………………1分∵是以為斜邊的等腰直角三角形，∴，.………………2分又∵，∴，即………………3分∵平面，，∴平面…………4分∵平面，∴平面平面……5分（2）由（1）可知，，，兩兩相互垂直，故以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系.…………6分∵，，，.…………7分∴，，……8分設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則………………9分取，則………10分設(shè)直線與平面所成的角為，則…………12分19.解（1）法一：聯(lián)立，消去，整理得，………………3分∵，∴兩圓相交……6分法二：∵，記為圓，圓心，半徑，記為圓，圓心，半徑∴…………3分∵，∴兩圓相交…………6分（2）聯(lián)立，兩式相減，化簡得，∴兩圓公共弦所在的直線方程為：……8分法一：解方程組，得，∵兩圓的交點(diǎn)，……………………10分∴公共弦長為………………12分法二：∵圓心到兩圓的公共弦所在直線的距離為…………10分∴公共弦長為………………12分20.（1）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，………1分∴，………………2分∴…………3分又∵，不在同一條直線上，∴………………4分（2）解：設(shè)，，則，，…………5分設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令，得，∴.………………7分又設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令，得，∴..……………………9分∴化簡可得，，解得或∴或……………………11分∴………………12分21.（1）解：拋物線的焦點(diǎn)為…………1分，漸近線方程為.………………2分∵，∴拋物線的方程為：…………4分（2）證明：由題意知直線不能與軸平行，故可設(shè)直線的方程為：…………5分聯(lián)立，消去，得……6分設(shè)，，則……………………7分∵………………9分，即……10分又∵，∴……………………11分∴直線的方程為，易得直線過定點(diǎn)………………12分22.解：（1）∵……………………3分∴所求的橢圓方程為……………………4分（2）直線……