高考數(shù)學(xué)大題精做專題04二項(xiàng)分布與超幾何分布(第四篇)(原卷版+解析)

備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第四篇概率與統(tǒng)計(jì)專題04二項(xiàng)分布與超幾何分布類型對應(yīng)典例明確樣本容量（較小），利用超幾何分布的求解典例1不放回型抽樣問題，利用超幾何分布的求解典例2出現(xiàn)頻率估計(jì)概率時(shí)，利用二項(xiàng)分布解決問題典例3放回型重復(fù)試驗(yàn)，利用二項(xiàng)分布解決問題典例4與正態(tài)分布相結(jié)合的二項(xiàng)分布問題典例5明確樣本容量（非常大），利用二項(xiàng)分布解決問題典例6利用二項(xiàng)分布的函數(shù)特性的求最值典例7【典例1】【北京市豐臺區(qū)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末】目前，中國有三分之二的城市面臨“垃圾圍城”的窘境.我國的垃圾處理多采用填埋的方式，占用上萬畝土地，并且嚴(yán)重污染環(huán)境.垃圾分類把不易降解的物質(zhì)分出來，減輕了土地的嚴(yán)重侵蝕，減少了土地流失.2020年5月1日起，北京市將實(shí)行生活垃圾分類，分類標(biāo)準(zhǔn)為廚余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四類.生活垃圾中有30%~40%可以回收利用，分出可回收垃圾既環(huán)保，又節(jié)約資源.如：回收利用1噸廢紙可再造出0.8噸好紙，可以挽救17棵大樹，少用純堿240千克，降低造紙的污染排放75％，節(jié)省造紙能源消耗40％～50％.現(xiàn)調(diào)查了北京市5個(gè)小區(qū)12月份的生活垃圾投放情況，其中可回收物中廢紙和塑料品的投放量如下表：小區(qū)小區(qū)小區(qū)小區(qū)小區(qū)廢紙投放量（噸）55.15.24.84.9塑料品投放量（噸）3.53.63.73.43.3（Ⅰ）從這5個(gè)小區(qū)中任取1個(gè)小區(qū)，求該小區(qū)12月份的可回收物中，廢紙投放量超過5噸且塑料品投放量超過3.5噸的概率；（Ⅱ）從這5個(gè)小區(qū)中任取2個(gè)小區(qū)，記為12月份投放的廢紙可再造好紙超過4噸的小區(qū)個(gè)數(shù)，求的分布列及期望．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）基本事件的總數(shù)為5，隨機(jī)事件中含有的基本事件的個(gè)數(shù)為2，從而可得隨機(jī)事件的概率.（Ⅱ）利用超幾何分布可求X的分布列及期望．【典例2】【重慶南開中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期第四次教學(xué)質(zhì)量檢測】某省從2021年開始將全面推行新高考制度，新高考“”中的“2”要求考生從政治、化學(xué)、生物、地理四門中選兩科，按照等級賦分計(jì)入高考成績，等級賦分規(guī)則如下：從2021年夏季高考開始，高考政治、化學(xué)、生物、地理四門等級考試科目的考生原始成績從高到低劃分為五個(gè)等級，確定各等級人數(shù)所占比例分別為，，，，，等級考試科目成績計(jì)入考生總成績時(shí)，將至等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到、、、、五個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級分，等級轉(zhuǎn)換分滿分為100分.具體轉(zhuǎn)換分?jǐn)?shù)區(qū)間如下表：等級比例賦分區(qū)間而等比例轉(zhuǎn)換法是通過公式計(jì)算：其中，分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，、分別表示等級分區(qū)間的最低分和最高分，表示原始分，表示轉(zhuǎn)換分，當(dāng)原始分為，時(shí)，等級分分別為、，假設(shè)小南的化學(xué)考試成績信息如下表：考生科目考試成績成績等級原始分區(qū)間等級分區(qū)間化學(xué)75分等級設(shè)小南轉(zhuǎn)換后的等級成績?yōu)椋鶕?jù)公式得：，所以（四舍五入取整），小南最終化學(xué)成績?yōu)?7分.已知某年級學(xué)生有100人選了化學(xué)，以半期考試成績?yōu)樵汲煽冝D(zhuǎn)換本年級的化學(xué)等級成績，其中化學(xué)成績獲得等級的學(xué)生原始成績統(tǒng)計(jì)如下表：成績95939190888785人數(shù)1232322（1）從化學(xué)成績獲得等級的學(xué)生中任取2名，求恰好有1名同學(xué)的等級成績不小于96分的概率；（2）從化學(xué)成績獲得等級的學(xué)生中任取5名，設(shè)5名學(xué)生中等級成績不小于96分人數(shù)為，求的分布列和期望.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)成績換算公式，計(jì)算出等級成績不低于96分時(shí)的原始成績，進(jìn)而得到等級成績不低于96分的人數(shù)，根據(jù)古典概型的概率即可得到所求；（2）列出隨機(jī)變量的所有可能的取值，分別求出對應(yīng)的概率，列出分布列，計(jì)算期望即可．【典例3】【2020屆河南省焦作市高三上學(xué)期第二次模擬考試】隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，轎車已成為人們上班代步的一種重要工具.現(xiàn)將某人三年以來每周開車從家到公司的時(shí)間之和統(tǒng)計(jì)如圖所示.（1）求此人這三年以來每周開車從家到公司的時(shí)間之和在（時(shí)）內(nèi)的頻率；（2）求此人這三年以來每周開車從家到公司的時(shí)間之和的平均數(shù)（每組取該組的中間值作代表）；（3）以頻率估計(jì)概率，記此人在接下來的四周內(nèi)每周開車從家到公司的時(shí)間之和在（時(shí)）內(nèi)的周數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.【思路引導(dǎo)】（1）用減去頻率直方圖中位于區(qū)間和的矩形的面積之和可得出結(jié)果；（2）將各區(qū)間的中點(diǎn)值乘以對應(yīng)的頻率，再將所得的積全部相加即可得出所求平均數(shù)；（3）由題意可知，利用二項(xiàng)分布可得出隨機(jī)變量的概率分布列，并利用二項(xiàng)分布的均值可計(jì)算出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.【典例4】【2020屆安徽省蚌埠市高三上學(xué)期期末考試】某餅屋進(jìn)行為期天的五周年店慶活動，現(xiàn)策劃兩項(xiàng)有獎促銷活動，活動一：店慶期間每位顧客一次性消費(fèi)滿元，可得元代金券一張；活動二：活動期間每位顧客每天有一次機(jī)會獲得一個(gè)一元或兩元紅包．根據(jù)前一年該店的銷售情況，統(tǒng)計(jì)了位顧客一次性消費(fèi)的金額數(shù)（元），頻數(shù)分布表如下圖所示：一次性消費(fèi)金額數(shù)人數(shù)以這位顧客一次消費(fèi)金額數(shù)的頻率分布代替每位顧客一次消費(fèi)金額數(shù)的概率分布．（1）預(yù)計(jì)該店每天的客流量為人次，求這次店慶期間，商家每天送出代金券金額數(shù)的期望；（2）假設(shè)顧客獲得一元或兩元紅包的可能性相等，商家在店慶活動結(jié)束后會公布幸運(yùn)數(shù)字，連續(xù)天參加返紅包的顧客，如果紅包金額總數(shù)與幸運(yùn)數(shù)字一致，則可再獲得元的“店慶幸運(yùn)紅包”一個(gè)．若公布的幸運(yùn)數(shù)字是“”，求店慶期間一位連續(xù)天消費(fèi)的顧客獲得紅包金額總數(shù)的期望．【思路引導(dǎo)】（1）先計(jì)算出顧客一次消費(fèi)滿元的概率，再可得；（2）記店慶期間一位連續(xù)天消費(fèi)的顧客獲得紅包金額總數(shù)為，則的可取值為，，，，，，計(jì)算出取每一個(gè)值的概率后，利用期望公式計(jì)算可得.【典例5】【2020屆廣東省茂名市高三第一次綜合測試】當(dāng)前，以“立德樹人”為目標(biāo)的課程改革正在有序推進(jìn).高中聯(lián)招對初三畢業(yè)學(xué)生進(jìn)行體育測試，是激發(fā)學(xué)生、家長和學(xué)校積極開展體育活動，保證學(xué)生健康成長的有效措施.某地區(qū)2019年初中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠(yuǎn)、擲實(shí)心球、1分鐘跳繩三項(xiàng)測試，三項(xiàng)考試滿分為50分，其中立定跳遠(yuǎn)15分，擲實(shí)心球15分，1分鐘跳繩20分.某學(xué)校在初三上期開始時(shí)要掌握全年級學(xué)生每分鐘跳繩的情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測試，得到如下頻率分布直方圖，且規(guī)定計(jì)分規(guī)則如下表：每分鐘跳繩個(gè)數(shù)得分1617181920（Ⅰ）現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于33分的概率；（Ⅱ）若該校初三年級所有學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)服從正態(tài)分布，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差（結(jié)果四舍五入到整數(shù)），已知樣本方差（各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替）.根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校初三年級學(xué)生經(jīng)過一年的訓(xùn)練，正式測試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步，假設(shè)明年正式測試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比初三上學(xué)期開始時(shí)個(gè)數(shù)增加10個(gè)，利用現(xiàn)所得正態(tài)分布模型：（?。╊A(yù)估全年級恰好有1000名學(xué)生，正式測試時(shí)每分鐘跳193個(gè)以上的人數(shù).（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）（ⅱ）若在該地區(qū)2020年所有初三畢業(yè)生中任意選取3人，記正式測試時(shí)每分鐘跳202個(gè)以上的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望.附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則，，【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算，每分鐘跳繩個(gè)數(shù)的人數(shù)為（人）每分鐘跳繩個(gè)數(shù)的人數(shù)為（人），由題意可知，兩人得分之和不大于33分，即兩人得分均為16分，或兩人中1人16分，1人17分，根據(jù)互斥事件概率加法公式，計(jì)算即可.（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算樣本的均值，可知正式測試時(shí)期望的估計(jì)值，方差，計(jì)算，，（?。└鶕?jù)正態(tài)分布的對稱性，計(jì)算，求解人數(shù)即可.（ⅱ）由正態(tài)分布模型，在該地區(qū)2020年初三畢業(yè)生中任取1人，每分鐘跳繩個(gè)數(shù)202以上的概率為，則服從二項(xiàng)分布，即，計(jì)算分布列和期望，即可.【典例6】【2019年12月廣東省高三調(diào)研考試數(shù)】某省新課改后某校為預(yù)測2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況，從該校上一屆高三（1）班到高三（5）班隨機(jī)抽取50人，得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù)，并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計(jì)圖.（1）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖，估計(jì)本屆高三學(xué)生本科上線率.（2）已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬，假設(shè)以（1）中的本科上線率作為甲市每個(gè)考生本科上線的概率.（i）若從甲市隨機(jī)抽取10名高三學(xué)生，求恰有8名學(xué)生達(dá)到本科線的概率（結(jié)果精確到0.01）；（ii）已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬，假設(shè)該市每個(gè)考生本科上線率均為，若2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市，求p的取值范圍.可能用到的參考數(shù)據(jù)：取，.【思路引導(dǎo)】（1）利用上線人數(shù)除以總?cè)藬?shù)求解；（2）（i）利用二項(xiàng)分布求解；（ii）甲、乙兩市上線人數(shù)分別記為X，Y，得，.，利用期望公式列不等式求解【典例7】【2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試（新課標(biāo)I卷)理科】某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．（1）記件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為,求的最大值點(diǎn)；（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了件，結(jié)果恰有件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付元的賠償費(fèi)用．（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求;（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？【思路引導(dǎo)】（1）利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)成功次數(shù)對應(yīng)的概率，求得，之后對其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號，確定其單調(diào)性，從而得到其最大值點(diǎn)，這里要注意的條件；（2）先根據(jù)第一問的條件，確定出，在解（i）的時(shí)候,先求件數(shù)對應(yīng)的期望，之后應(yīng)用變量之間的關(guān)系，求得賠償費(fèi)用的期望；在解（ii）的時(shí)候，就通過比較兩個(gè)期望的大小，得到結(jié)果.【針對訓(xùn)練】1.【天津市部分區(qū)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】每年的12月4日為我國“法制宣傳日”.天津市某高中團(tuán)委在2019年12月4日開展了以“學(xué)法、遵法、守法”為主題的學(xué)習(xí)活動.已知該學(xué)校高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)分別是480人、360人、360人.為檢查該學(xué)校組織學(xué)生學(xué)習(xí)的效果，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從該校全體學(xué)生中選取10名學(xué)生進(jìn)行問卷測試.具體要求：每位被選中的學(xué)生要從10個(gè)有關(guān)法律、法規(guī)的問題中隨機(jī)抽出4個(gè)問題進(jìn)行作答，所抽取的4個(gè)問題全部答對的學(xué)生將在全校給予表彰.⑴求各個(gè)年級應(yīng)選取的學(xué)生人數(shù)；⑵若從被選取的10名學(xué)生中任選3人，求這3名學(xué)生分別來自三個(gè)年級的概率；⑶若被選取的10人中的某學(xué)生能答對10道題中的7道題，另外3道題回答不對，記表示該名學(xué)生答對問題的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.2.【2020屆廣西河池市高三上學(xué)期期末考試】在某項(xiàng)娛樂活動的海選過程中評分人員需對同批次的選手進(jìn)行考核并評分，并將其得分作為該選手的成績，成績大于等于分的選手定為合格選手，直接參加第二輪比賽，大于等于分的選手將直接參加競賽選拔賽.已知成績合格的名參賽選手成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中的頻率構(gòu)成等比數(shù)列.（1）求的值；（2）估計(jì)這名參賽選手的平均成績；（3）根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，參加競賽選拔賽的選手能夠進(jìn)入正式競賽比賽的概率為，假設(shè)每名選手能否通過競賽選拔賽相互獨(dú)立，現(xiàn)有名選手進(jìn)入競賽選拔賽，記這名選手在競賽選拔賽中通過的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.3.【河南省天一大聯(lián)考2019-2020學(xué)年高三階段性測試（三)】某社區(qū)名居民參加年國慶活動，他們的年齡在歲至歲之間，將年齡按、、、、分組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求的值，并求該社區(qū)參加年國慶活動的居民的平均年齡（每個(gè)分組取中間值作代表）；（2）現(xiàn)從年齡在、的人員中按分層抽樣的方法抽取人，再從這人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行座談，用表示參與座談的居民的年齡在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）若用樣本的頻率代替概率，用隨機(jī)抽樣的方法從該地歲至歲之間的市民中抽取名進(jìn)行調(diào)查，其中有名市民的年齡在的概率為，當(dāng)最大時(shí)，求的值.4.【河北省邢臺市2018-2019學(xué)年高二下學(xué)期期末考】互聯(lián)網(wǎng)正在改變著人們的生活方式，在日常消費(fèi)中手機(jī)支付正逐漸取代現(xiàn)金支付成為人們首選的支付方式.某學(xué)生在暑期社會活動中針對人們生活中的支付方式進(jìn)行了調(diào)查研究.采用調(diào)查問卷的方式對100名18歲以上的成年人進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)共有60人以手機(jī)支付作為自己的首選支付方式，在這60人中，45歲以下的占，在仍以現(xiàn)金作為首選支付方式的人中，45歲及以上的有30人.（1）從以現(xiàn)金作為首選支付方式的40人中，任意選取3人，求這3人至少有1人的年齡低于45歲的概率；（2）某商家為了鼓勵人們使用手機(jī)支付，做出以下促銷活動：凡是用手機(jī)支付的消費(fèi)者，商品一律打八折.已知某商品原價(jià)50元，以上述調(diào)查的支付方式的頻率作為消費(fèi)者購買該商品的支付方式的概率，設(shè)銷售每件商品的消費(fèi)者的支付方式都是相互獨(dú)立的，求銷售10件該商品的銷售額的數(shù)學(xué)期望.5.為了適當(dāng)疏導(dǎo)電價(jià)矛盾，保障電力供應(yīng)，支持可再生能源發(fā)展，促進(jìn)節(jié)能減排，某省于2018年推出了省內(nèi)居民階梯電價(jià)的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)：以一個(gè)年度為計(jì)費(fèi)周期、月度滾動使用，第一階梯電量：年用電量2160度以下(含2160度)，執(zhí)行第一檔電價(jià)0.5653元/度；第二階梯電量：年用電量2161至4200度(含4200度)，執(zhí)行第二檔電價(jià)0.6153元/度；第三階梯電量：年用電量4200度以上，執(zhí)行第三檔電價(jià)0.8653元/度.某市的電力部門從本市的用電戶中隨機(jī)抽取10戶，統(tǒng)計(jì)其同一年度的用電情況，列表如下表：用戶編號12345678910年用電量(度)1000126014001824218024232815332544114600(1)試計(jì)算表中編號為10的用電戶本年度應(yīng)交電費(fèi)多少元？(2)現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取4戶，對其用電情況作進(jìn)一步分析，求取到第二階梯電量的戶數(shù)的分布列；(3)以表中抽到的10戶作為樣本估計(jì)全市的居民用電情況，現(xiàn)從全市居民用電戶中隨機(jī)地抽取10戶，若抽到k戶用電量為第一階梯的可能性最大，求k的值.6.【2017年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（山東卷】在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗(yàn)的方法評價(jià)不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.7.【河北省示范性高中2019屆高三4月聯(lián)】一年之計(jì)在于春，一日之計(jì)在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開端．某種植戶對一塊地的個(gè)坑進(jìn)行播種，每個(gè)坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立．對每一個(gè)坑而言，如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進(jìn)行補(bǔ)播種，否則要補(bǔ)播種．（1）當(dāng)取何值時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大？最大概率為多少？（2）當(dāng)時(shí)，用表示要補(bǔ)播種的坑的個(gè)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．8.隨著節(jié)能減排意識深入人心以及共享單車在饒城的大范圍推廣，越來越多的市民在出行時(shí)喜歡選擇騎行共享單車．為了研究廣大市民在共享單車上的使用情況，某公司在我市隨機(jī)抽取了100名用戶進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：每周使用次數(shù)1次2次3次4次5次6次及以上男4337830女6544620合計(jì)1087111450（1）如果認(rèn)為每周使用超過3次的用戶為“喜歡騎行共享單車”，請完成列表（見答題卡），并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為是否“喜歡騎行共享單車”與性別有關(guān)？（2）每周騎行共享單車6次及6次以上的用戶稱為“騎行達(dá)人”，視頻率為概率，在我市所有“騎行達(dá)人”中，隨機(jī)抽取4名用戶．①求抽取的4名用戶中，既有男生“騎行達(dá)人”又有女“騎行達(dá)人”的概率；②為了鼓勵女性用戶使用共享單車，對抽出的女“騎行達(dá)人”每人獎勵500元，記獎勵總金額為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8289.某單位舉辦2020年杭州亞運(yùn)會知識宣傳活動，進(jìn)行現(xiàn)場抽獎，盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“亞運(yùn)會會徽”或“五環(huán)”圖案；抽獎規(guī)則是：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是“五環(huán)”卡即可獲獎，否則，均為不獲獎.卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復(fù)進(jìn)行.（Ⅰ）活動開始后，一位參加者問：盒中有幾張“五環(huán)”卡？主持人答：我只知道，從盒中抽取兩張都是“會徽”卡的概率是，求抽獎?wù)攉@獎的概率；（Ⅱ）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人依次抽獎，用表示獲獎的人數(shù)，求的分布列及的值.備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第四篇概率與統(tǒng)計(jì)專題04二項(xiàng)分布與超幾何分布類型對應(yīng)典例明確樣本容量（較?。?，利用超幾何分布的求解典例1不放回型抽樣問題，利用超幾何分布的求解典例2出現(xiàn)頻率估計(jì)概率時(shí)，利用二項(xiàng)分布解決問題典例3放回型重復(fù)試驗(yàn)，利用二項(xiàng)分布解決問題典例4與正態(tài)分布相結(jié)合的二項(xiàng)分布問題典例5明確樣本容量（非常大），利用二項(xiàng)分布解決問題典例6利用二項(xiàng)分布的函數(shù)特性的求最值典例7【典例1】【北京市豐臺區(qū)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末】目前，中國有三分之二的城市面臨“垃圾圍城”的窘境.我國的垃圾處理多采用填埋的方式，占用上萬畝土地，并且嚴(yán)重污染環(huán)境.垃圾分類把不易降解的物質(zhì)分出來，減輕了土地的嚴(yán)重侵蝕，減少了土地流失.2020年5月1日起，北京市將實(shí)行生活垃圾分類，分類標(biāo)準(zhǔn)為廚余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四類.生活垃圾中有30%~40%可以回收利用，分出可回收垃圾既環(huán)保，又節(jié)約資源.如：回收利用1噸廢紙可再造出0.8噸好紙，可以挽救17棵大樹，少用純堿240千克，降低造紙的污染排放75％，節(jié)省造紙能源消耗40％～50％.現(xiàn)調(diào)查了北京市5個(gè)小區(qū)12月份的生活垃圾投放情況，其中可回收物中廢紙和塑料品的投放量如下表：小區(qū)小區(qū)小區(qū)小區(qū)小區(qū)廢紙投放量（噸）55.15.24.84.9塑料品投放量（噸）3.53.63.73.43.3（Ⅰ）從這5個(gè)小區(qū)中任取1個(gè)小區(qū)，求該小區(qū)12月份的可回收物中，廢紙投放量超過5噸且塑料品投放量超過3.5噸的概率；（Ⅱ）從這5個(gè)小區(qū)中任取2個(gè)小區(qū)，記為12月份投放的廢紙可再造好紙超過4噸的小區(qū)個(gè)數(shù)，求的分布列及期望．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）基本事件的總數(shù)為5，隨機(jī)事件中含有的基本事件的個(gè)數(shù)為2，從而可得隨機(jī)事件的概率.（Ⅱ）利用超幾何分布可求X的分布列及期望．解：（Ⅰ）記“該小區(qū)12月份的可回收物中廢紙投放量超過5噸且塑料品投放量超過3.5噸”為事件.由題意，有兩個(gè)小區(qū)12月份的可回收物中廢紙投放量超過5噸且塑料品投放量超過3.5噸，所以.（Ⅱ）因?yàn)榛厥绽?噸廢紙可再造出0.8噸好紙，所以12月份投放的廢紙可再造好紙超過4噸的小區(qū)有，共2個(gè)小區(qū).的所有可能取值為0，1，2.；；.所以的分布列為:012．【典例2】【重慶南開中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期第四次教學(xué)質(zhì)量檢測】某省從2021年開始將全面推行新高考制度，新高考“”中的“2”要求考生從政治、化學(xué)、生物、地理四門中選兩科，按照等級賦分計(jì)入高考成績，等級賦分規(guī)則如下：從2021年夏季高考開始，高考政治、化學(xué)、生物、地理四門等級考試科目的考生原始成績從高到低劃分為五個(gè)等級，確定各等級人數(shù)所占比例分別為，，，，，等級考試科目成績計(jì)入考生總成績時(shí)，將至等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到、、、、五個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級分，等級轉(zhuǎn)換分滿分為100分.具體轉(zhuǎn)換分?jǐn)?shù)區(qū)間如下表：等級比例賦分區(qū)間而等比例轉(zhuǎn)換法是通過公式計(jì)算：其中，分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，、分別表示等級分區(qū)間的最低分和最高分，表示原始分，表示轉(zhuǎn)換分，當(dāng)原始分為，時(shí)，等級分分別為、，假設(shè)小南的化學(xué)考試成績信息如下表：考生科目考試成績成績等級原始分區(qū)間等級分區(qū)間化學(xué)75分等級設(shè)小南轉(zhuǎn)換后的等級成績?yōu)?，根?jù)公式得：，所以（四舍五入取整），小南最終化學(xué)成績?yōu)?7分.已知某年級學(xué)生有100人選了化學(xué)，以半期考試成績?yōu)樵汲煽冝D(zhuǎn)換本年級的化學(xué)等級成績，其中化學(xué)成績獲得等級的學(xué)生原始成績統(tǒng)計(jì)如下表：成績95939190888785人數(shù)1232322（1）從化學(xué)成績獲得等級的學(xué)生中任取2名，求恰好有1名同學(xué)的等級成績不小于96分的概率；（2）從化學(xué)成績獲得等級的學(xué)生中任取5名，設(shè)5名學(xué)生中等級成績不小于96分人數(shù)為，求的分布列和期望.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)成績換算公式，計(jì)算出等級成績不低于96分時(shí)的原始成績，進(jìn)而得到等級成績不低于96分的人數(shù)，根據(jù)古典概型的概率即可得到所求；（2）列出隨機(jī)變量的所有可能的取值，分別求出對應(yīng)的概率，列出分布列，計(jì)算期望即可．解：（1）設(shè)化學(xué)成績獲得等級的學(xué)生原始成績?yōu)?，等級成績?yōu)?，由轉(zhuǎn)換公式得：，即：，所以，得：，顯然原始成績滿足的同學(xué)有3人，獲得等級的考生有15人.恰好有1名同學(xué)的等級成績不小于96分的概率為.（2）由題意可得：等級成績不小于96分人數(shù)為3人，獲得等級的考生有15人，，，則分布列為0123則期望為：【典例3】【2020屆河南省焦作市高三上學(xué)期第二次模擬考試】隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，轎車已成為人們上班代步的一種重要工具.現(xiàn)將某人三年以來每周開車從家到公司的時(shí)間之和統(tǒng)計(jì)如圖所示.（1）求此人這三年以來每周開車從家到公司的時(shí)間之和在（時(shí)）內(nèi)的頻率；（2）求此人這三年以來每周開車從家到公司的時(shí)間之和的平均數(shù)（每組取該組的中間值作代表）；（3）以頻率估計(jì)概率，記此人在接下來的四周內(nèi)每周開車從家到公司的時(shí)間之和在（時(shí)）內(nèi)的周數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.【思路引導(dǎo)】（1）用減去頻率直方圖中位于區(qū)間和的矩形的面積之和可得出結(jié)果；（2）將各區(qū)間的中點(diǎn)值乘以對應(yīng)的頻率，再將所得的積全部相加即可得出所求平均數(shù)；（3）由題意可知，利用二項(xiàng)分布可得出隨機(jī)變量的概率分布列，并利用二項(xiàng)分布的均值可計(jì)算出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.解：（1）依題意，此人這三年以來每周開車從家到公司的時(shí)間之和在（時(shí)）內(nèi)的頻率為；（2）所求平均數(shù)為（時(shí)）；（3）依題意，.，，，，.故的分布列為故.【典例4】【2020屆安徽省蚌埠市高三上學(xué)期期末考試】某餅屋進(jìn)行為期天的五周年店慶活動，現(xiàn)策劃兩項(xiàng)有獎促銷活動，活動一：店慶期間每位顧客一次性消費(fèi)滿元，可得元代金券一張；活動二：活動期間每位顧客每天有一次機(jī)會獲得一個(gè)一元或兩元紅包．根據(jù)前一年該店的銷售情況，統(tǒng)計(jì)了位顧客一次性消費(fèi)的金額數(shù)（元），頻數(shù)分布表如下圖所示：一次性消費(fèi)金額數(shù)人數(shù)以這位顧客一次消費(fèi)金額數(shù)的頻率分布代替每位顧客一次消費(fèi)金額數(shù)的概率分布．（1）預(yù)計(jì)該店每天的客流量為人次，求這次店慶期間，商家每天送出代金券金額數(shù)的期望；（2）假設(shè)顧客獲得一元或兩元紅包的可能性相等，商家在店慶活動結(jié)束后會公布幸運(yùn)數(shù)字，連續(xù)天參加返紅包的顧客，如果紅包金額總數(shù)與幸運(yùn)數(shù)字一致，則可再獲得元的“店慶幸運(yùn)紅包”一個(gè)．若公布的幸運(yùn)數(shù)字是“”，求店慶期間一位連續(xù)天消費(fèi)的顧客獲得紅包金額總數(shù)的期望．【思路引導(dǎo)】（1）先計(jì)算出顧客一次消費(fèi)滿元的概率，再可得；（2）記店慶期間一位連續(xù)天消費(fèi)的顧客獲得紅包金額總數(shù)為，則的可取值為，，，，，，計(jì)算出取每一個(gè)值的概率后，利用期望公式計(jì)算可得.解：（1）依題意，顧客一次消費(fèi)滿元的概率為記商家每天送出代金券金額數(shù)為，則，∴商家每天送出代金券金額數(shù)的期望為元；（2）記店慶期間一位連續(xù)天消費(fèi)的顧客獲得紅包金額總數(shù)為，則的可取值為，，，，，，且，，，，，．∴店慶期間一位連續(xù)5天消費(fèi)的顧客獲得紅包金額總數(shù)的期望為元．【典例5】【2020屆廣東省茂名市高三第一次綜合測試】當(dāng)前，以“立德樹人”為目標(biāo)的課程改革正在有序推進(jìn).高中聯(lián)招對初三畢業(yè)學(xué)生進(jìn)行體育測試，是激發(fā)學(xué)生、家長和學(xué)校積極開展體育活動，保證學(xué)生健康成長的有效措施.某地區(qū)2019年初中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠(yuǎn)、擲實(shí)心球、1分鐘跳繩三項(xiàng)測試，三項(xiàng)考試滿分為50分，其中立定跳遠(yuǎn)15分，擲實(shí)心球15分，1分鐘跳繩20分.某學(xué)校在初三上期開始時(shí)要掌握全年級學(xué)生每分鐘跳繩的情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測試，得到如下頻率分布直方圖，且規(guī)定計(jì)分規(guī)則如下表：每分鐘跳繩個(gè)數(shù)得分1617181920（Ⅰ）現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于33分的概率；（Ⅱ）若該校初三年級所有學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)服從正態(tài)分布，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差（結(jié)果四舍五入到整數(shù)），已知樣本方差（各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替）.根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校初三年級學(xué)生經(jīng)過一年的訓(xùn)練，正式測試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步，假設(shè)明年正式測試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比初三上學(xué)期開始時(shí)個(gè)數(shù)增加10個(gè)，利用現(xiàn)所得正態(tài)分布模型：（?。╊A(yù)估全年級恰好有1000名學(xué)生，正式測試時(shí)每分鐘跳193個(gè)以上的人數(shù).（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）（ⅱ）若在該地區(qū)2020年所有初三畢業(yè)生中任意選取3人，記正式測試時(shí)每分鐘跳202個(gè)以上的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望.附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則，，【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算，每分鐘跳繩個(gè)數(shù)的人數(shù)為（人）每分鐘跳繩個(gè)數(shù)的人數(shù)為（人），由題意可知，兩人得分之和不大于33分，即兩人得分均為16分，或兩人中1人16分，1人17分，根據(jù)互斥事件概率加法公式，計(jì)算即可.（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算樣本的均值，可知正式測試時(shí)期望的估計(jì)值，方差，計(jì)算，，（?。└鶕?jù)正態(tài)分布的對稱性，計(jì)算，求解人數(shù)即可.（ⅱ）由正態(tài)分布模型，在該地區(qū)2020年初三畢業(yè)生中任取1人，每分鐘跳繩個(gè)數(shù)202以上的概率為，則服從二項(xiàng)分布，即，計(jì)算分布列和期望，即可.解：（Ⅰ）由題意可知，得16分的人數(shù)為5人，得17分的人數(shù)為9人，兩人得分之和不大于33分，即兩人得分均為16分，或兩人中1人16分，1人17分.所以，兩人得分之和不大于33分的概率為：.（Ⅱ）（個(gè)）又，，所以正式測試時(shí)，，.∴，.（?。啵啵ㄈ耍?（ⅱ）由正態(tài)分布模型，在該地區(qū)2020年初三畢業(yè)生中任取1人，每分鐘跳繩個(gè)數(shù)202以上的概率為，即.∴，，，，∴的分布列為0123.【典例6】【2019年12月廣東省高三調(diào)研考試數(shù)】某省新課改后某校為預(yù)測2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況，從該校上一屆高三（1）班到高三（5）班隨機(jī)抽取50人，得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù)，并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計(jì)圖.（1）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖，估計(jì)本屆高三學(xué)生本科上線率.（2）已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬，假設(shè)以（1）中的本科上線率作為甲市每個(gè)考生本科上線的概率.（i）若從甲市隨機(jī)抽取10名高三學(xué)生，求恰有8名學(xué)生達(dá)到本科線的概率（結(jié)果精確到0.01）；（ii）已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬，假設(shè)該市每個(gè)考生本科上線率均為，若2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市，求p的取值范圍.可能用到的參考數(shù)據(jù)：取，.【思路引導(dǎo)】（1）利用上線人數(shù)除以總?cè)藬?shù)求解；（2）（i）利用二項(xiàng)分布求解；（ii）甲、乙兩市上線人數(shù)分別記為X，Y，得，.，利用期望公式列不等式求解（1）估計(jì)本科上線率為.（2）（i）記“恰有8名學(xué)生達(dá)到本科線”為事件A，由圖可知，甲市每個(gè)考生本科上線的概率為0.6，則.（ii）甲、乙兩市2020屆高考本科上線人數(shù)分別記為X，Y，依題意，可得，.因?yàn)?020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市，所以，即，解得，又，故p的取值范圍為.【典例7】【2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試（新課標(biāo)I卷)理科】某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．（1）記件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為,求的最大值點(diǎn)；（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了件，結(jié)果恰有件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付元的賠償費(fèi)用．（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求;（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？【思路引導(dǎo)】（1）利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)成功次數(shù)對應(yīng)的概率，求得，之后對其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號，確定其單調(diào)性，從而得到其最大值點(diǎn)，這里要注意的條件；（2）先根據(jù)第一問的條件，確定出，在解（i）的時(shí)候,先求件數(shù)對應(yīng)的期望，之后應(yīng)用變量之間的關(guān)系，求得賠償費(fèi)用的期望；在解（ii）的時(shí)候，就通過比較兩個(gè)期望的大小，得到結(jié)果.解：（1）件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為.因此.令，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的最大值點(diǎn)為；（2）由（1）知，.（i）令表示余下的件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，，即.所以.（ii）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.由于，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).【針對訓(xùn)練】1.【天津市部分區(qū)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】每年的12月4日為我國“法制宣傳日”.天津市某高中團(tuán)委在2019年12月4日開展了以“學(xué)法、遵法、守法”為主題的學(xué)習(xí)活動.已知該學(xué)校高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)分別是480人、360人、360人.為檢查該學(xué)校組織學(xué)生學(xué)習(xí)的效果，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從該校全體學(xué)生中選取10名學(xué)生進(jìn)行問卷測試.具體要求：每位被選中的學(xué)生要從10個(gè)有關(guān)法律、法規(guī)的問題中隨機(jī)抽出4個(gè)問題進(jìn)行作答，所抽取的4個(gè)問題全部答對的學(xué)生將在全校給予表彰.⑴求各個(gè)年級應(yīng)選取的學(xué)生人數(shù)；⑵若從被選取的10名學(xué)生中任選3人，求這3名學(xué)生分別來自三個(gè)年級的概率；⑶若被選取的10人中的某學(xué)生能答對10道題中的7道題，另外3道題回答不對，記表示該名學(xué)生答對問題的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.【思路引導(dǎo)】（1）利用分層抽樣求得各年級應(yīng)抽取的人數(shù)；（2）利用計(jì)算原理求得基本事件的總數(shù)為，再求出所求事件的基本事件數(shù)，再代入古典概型概率計(jì)算公式；（3）隨機(jī)變量的所有可能取值為，利用超幾何分計(jì)算（），最后求得期望值.解：（1）由題意，知高一、高二、高三年級的人數(shù)之比為，由于采用分層抽樣方法從中選取人，因此，高一年級應(yīng)選取人，高二年級應(yīng)選取人，高三年級應(yīng)選取人.（2）由（1）知，被選取的名學(xué)生高一、高二、高三年級分別有人、人、人，所以，從這名學(xué)生任選名，且名學(xué)生分別來自三個(gè)年級的概率為.（3）由題意知，隨機(jī)變量的所有可能取值為，且服從超幾何分布，（）.所以，隨機(jī)變量的分布列為1234所以，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.2.【2020屆廣西河池市高三上學(xué)期期末考試】在某項(xiàng)娛樂活動的海選過程中評分人員需對同批次的選手進(jìn)行考核并評分，并將其得分作為該選手的成績，成績大于等于分的選手定為合格選手，直接參加第二輪比賽，大于等于分的選手將直接參加競賽選拔賽.已知成績合格的名參賽選手成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中的頻率構(gòu)成等比數(shù)列.（1）求的值；（2）估計(jì)這名參賽選手的平均成績；（3）根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，參加競賽選拔賽的選手能夠進(jìn)入正式競賽比賽的概率為，假設(shè)每名選手能否通過競賽選拔賽相互獨(dú)立，現(xiàn)有名選手進(jìn)入競賽選拔賽，記這名選手在競賽選拔賽中通過的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【思路引導(dǎo)】(1)利用頻率分布直方圖的性質(zhì)列式求解即可.(2)利用頻率分布直方圖求平均數(shù)的方法求解即可.(3)易得隨機(jī)變量滿足二項(xiàng)分布,再根據(jù)二項(xiàng)分布的分布列與數(shù)學(xué)期望求解即可.解:(1)由題意,得解得(2)估計(jì)這名選手的平均成績?yōu)?(3)由題意知,,則可能取值為,所以所以的分布列為故的數(shù)學(xué)期望為.3.【河南省天一大聯(lián)考2019-2020學(xué)年高三階段性測試（三)】某社區(qū)名居民參加年國慶活動，他們的年齡在歲至歲之間，將年齡按、、、、分組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求的值，并求該社區(qū)參加年國慶活動的居民的平均年齡（每個(gè)分組取中間值作代表）；（2）現(xiàn)從年齡在、的人員中按分層抽樣的方法抽取人，再從這人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行座談，用表示參與座談的居民的年齡在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）若用樣本的頻率代替概率，用隨機(jī)抽樣的方法從該地歲至歲之間的市民中抽取名進(jìn)行調(diào)查，其中有名市民的年齡在的概率為，當(dāng)最大時(shí)，求的值.【思路引導(dǎo)】（1）由頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為，求出的值，再將所有矩形底邊中點(diǎn)值乘以矩形面積，再將所得的數(shù)相加即可得出該社區(qū)年國慶活動的居民的平均年齡；（2）先根據(jù)分層抽樣得知，所抽取的人中，年齡在的抽取人、年齡在的抽取人，可得出隨機(jī)變量的可能取值為、、，并利用古典概型的概率公式計(jì)算出隨機(jī)變量分別取、、時(shí)的概率，列出隨機(jī)變量的分布列，并利用數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；（3）設(shè)年齡在的人數(shù)為，可知，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式得出，分析出數(shù)列的單調(diào)性，可求出的最大值及對應(yīng)的的值.解：（1）由頻率分布直方圖知，解得，所以該社區(qū)參加年國慶活動的居民的平均年齡為；（2）年齡在的人數(shù)為，年齡在的人數(shù)為.根據(jù)分層抽樣，可知年齡在的抽取人、年齡在的抽取人.所以的可能取值為0，1，2，且，，，所以的分布列為所以；（3）由題可知年齡在內(nèi)的頻率為.設(shè)年齡在的人數(shù)為，所以..設(shè)，由得，此時(shí)；由得，此時(shí).所以當(dāng)時(shí)，最大.4.【河北省邢臺市2018-2019學(xué)年高二下學(xué)期期末考】互聯(lián)網(wǎng)正在改變著人們的生活方式，在日常消費(fèi)中手機(jī)支付正逐漸取代現(xiàn)金支付成為人們首選的支付方式.某學(xué)生在暑期社會活動中針對人們生活中的支付方式進(jìn)行了調(diào)查研究.采用調(diào)查問卷的方式對100名18歲以上的成年人進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)共有60人以手機(jī)支付作為自己的首選支付方式，在這60人中，45歲以下的占，在仍以現(xiàn)金作為首選支付方式的人中，45歲及以上的有30人.（1）從以現(xiàn)金作為首選支付方式的40人中，任意選取3人，求這3人至少有1人的年齡低于45歲的概率；（2）某商家為了鼓勵人們使用手機(jī)支付，做出以下促銷活動：凡是用手機(jī)支付的消費(fèi)者，商品一律打八折.已知某商品原價(jià)50元，以上述調(diào)查的支付方式的頻率作為消費(fèi)者購買該商品的支付方式的概率，設(shè)銷售每件商品的消費(fèi)者的支付方式都是相互獨(dú)立的，求銷售10件該商品的銷售額的數(shù)學(xué)期望.【思路引導(dǎo)】（1）先計(jì)算出選取的人中，全都是高于歲的概率，然后用減去這個(gè)概率，求得至少有人的年齡低于歲的概率.（2）首先確定“銷售的10件商品中以手機(jī)支付為首選支付的商品件數(shù)”滿足二項(xiàng)分布，求得銷售額的表達(dá)式，然后利用期望計(jì)算公式，計(jì)算出銷售額的期望.解：（1）設(shè)事件表示至少有1人的年齡低于45歲，則.（2）由題意知，以手機(jī)支付作為首選支付方式的概率為.設(shè)表示銷售的10件商品中以手機(jī)支付為首選支付的商品件數(shù)，則，設(shè)表示銷售額，則，所以銷售額的數(shù)學(xué)期望（元）.5.為了適當(dāng)疏導(dǎo)電價(jià)矛盾，保障電力供應(yīng)，支持可再生能源發(fā)展，促進(jìn)節(jié)能減排，某省于2018年推出了省內(nèi)居民階梯電價(jià)的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)：以一個(gè)年度為計(jì)費(fèi)周期、月度滾動使用，第一階梯電量：年用電量2160度以下(含2160度)，執(zhí)行第一檔電價(jià)0.5653元/度；第二階梯電量：年用電量2161至4200度(含4200度)，執(zhí)行第二檔電價(jià)0.6153元/度；第三階梯電量：年用電量4200度以上，執(zhí)行第三檔電價(jià)0.8653元/度.某市的電力部門從本市的用電戶中隨機(jī)抽取10戶，統(tǒng)計(jì)其同一年度的用電情況，列表如下表：用戶編號12345678910年用電量(度)1000126014001824218024232815332544114600(1)試計(jì)算表中編號為10的用電戶本年度應(yīng)交電費(fèi)多少元？(2)現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取4戶，對其用電情況作進(jìn)一步分析，求取到第二階梯電量的戶數(shù)的分布列；(3)以表中抽到的10戶作為樣本估計(jì)全市的居民用電情況，現(xiàn)從全市居民用電戶中隨機(jī)地抽取10戶，若抽到k戶用電量為第一階梯的可能性最大，求k的值.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)各編號為10的用戶所用電量，并結(jié)合每檔的電價(jià)可得所用的電費(fèi)．（2）由題意得的所有可能取值為0，1，2，3，4，然后分別求出的每個(gè)值的概率可得分布列，然后可得期望．（3）由題意，故,，由此列出不等式，解不等式可得的范圍，從而可得的值．解：(1)因?yàn)榈诙n電價(jià)比第一檔電價(jià)多0.05元/度，第三檔電價(jià)比第一檔電價(jià)多0.3元/度，編號為10的用電戶一年的用電量是4600度，則該戶本年度應(yīng)交電費(fèi)為4600×0.5653＋(4200－2160)×0.05＋(4600－4200)×0.3＝2822.38(元).（2）設(shè)取到第二階梯電量的用戶數(shù)為，可知第二階梯電量的用戶有4戶，則可取0，1，2，3，4.,，,，故的分布列為01234所以．（3）由題意可知從全市中抽取10戶的用電量為第一階梯，滿足，可知，由,解得，所以當(dāng)時(shí)概率最大，故.6.【2017年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（山東卷】在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗(yàn)的方法評價(jià)不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.【思路引導(dǎo)】（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，計(jì)算即得(II)由題意知X可取的值為：.利用超幾何分布概率計(jì)算公式得X的分布列為X01234P進(jìn)一步計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望.解析：（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，則(II)由題意知X可取的值為：.則因此X的分布列為X01234PX的數(shù)學(xué)期望是=7