備考2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)好題精練第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用突破5極值點(diǎn)偏移問(wèn)題命題點(diǎn)2比差值換元法求極值點(diǎn)偏移問(wèn)題

命題點(diǎn)2比（差）值換元法求極值點(diǎn)偏移問(wèn)題例2已知函數(shù)f（x）＝2ax－lnx，其中a∈R.（1）探討函數(shù)f（x）的單調(diào)性.（2）記函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x）.當(dāng)a＞0時(shí)，若x1，x2（0＜x1＜x2）滿意f（x1）＝f（x2），證明：f'（x1）＋f'（x2）＜0.解析（1）函數(shù)f（x）＝2ax－lnx的定義域?yàn)椋?，＋∞），且f'（x）＝2a－1x＝2ax－1x①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減.②當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）＝0，可得x＝12a當(dāng)x∈（0，12a）時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（12a，＋∞）時(shí)，f'（x）所以f（x）在（0，12a）上單調(diào)遞減，在（12a，＋∞綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，12a）上單調(diào)遞減，在（12a，＋∞（2）由x1，x2（0＜x1＜x2）滿意f（x1）＝f（x2），可得2ax1－lnx1＝2ax2－lnx2，即lnx1－ln因?yàn)閒'（x1）＋f'（x2）＝2a－1x1＋2a－1x2＝4所以欲證f'（x1）＋f'（x2）＜0，即證x1＋x2即證x1＋x即證2lnx1x2＞x12設(shè)x1x2＝t（0＜t＜1），即證2lnt＋1t設(shè)h（t）＝2lnt＋1t－t（0＜t＜1），則h'（t）＝2t－1t2－1＝－（t－1所以h（t）在（0，1）上單調(diào)遞減，所以h（t）＞0，所以2lnt＋1t－t＞0，即f'（x1）＋f'（x2）＜方法技巧比（差）值換元的解題要點(diǎn)：通過(guò)t＝x1x2或t＝x1－x2，消掉變量x1，x2，構(gòu)造關(guān)于t的函數(shù)h（訓(xùn)練2已知函數(shù)f（x）＝lnx（1）探討f（x）的單調(diào)性；（2）若（ex1）x2＝（ex2）x1（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且x1＞0，x2＞0，x1≠x2，證明：x解析（1）由f（x）＝lnx+1ax得f'（x）令f'（x）＝0，得x＝1.當(dāng)a＞0時(shí)，若x∈（0，1），則f'（x）＞0；若x∈（1，＋∞），則f'（x）＜0.所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減.當(dāng)a＜0時(shí)，若x∈（0，1），則f'（x）＜0；若x∈（1，＋∞），則f'（x）＞0.所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增.（2）由（ex1）x2＝（ex2）x1，兩邊取對(duì)數(shù)，得x2ln（ex1）＝x1ln（即x2（lnx1＋1）＝x1（lnx2＋1），所以lnx1+1即當(dāng)a＝1時(shí)，存在x1＞0，x2＞0，x1≠x2，滿意f（x1）＝f（x2）.由（1）可知，當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減，所以f（x）≤f（1）＝1.當(dāng)x∈（1，＋∞）時(shí)，f（x）＝lnx+1x由于f（1e）＝0，故f（x）在（1e，1）上恒有f（x）不妨令x1＜x2，記f（x1）＝f（x2）＝m，則m∈（0，1），且lnx1＋1＝mx1①，lnx2＋1＝mx2②，①＋②得ln（x1x2）＝m（x1＋x2）－2③，①－②得lnx1x2＝m（x1－x2），則m＝1x1－x2lnx1x2，代入③得ln（記t＝x1x2，0＜t＜1，則ln（x1x2）＝t+1t－1設(shè)g（t）＝（t＋1）lnt－2（t－1）（0＜t＜1），則g'（t）＝lnt＋1t－設(shè)h（t）＝lnt＋1t－1（0＜t＜1），則h'（t）＝1t－1t2＝t－1t2＜0，所以h又因?yàn)閔（1）＝0，所以當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，h（t）＝g'（t）＞0，即g（t）在（0，1