2024春新教材高中數學5.3.2誘導公式第2課時教學設計新人教A版必修第一冊

5．3．1誘導公式二、三、四一、內容和內容解析1．內容“誘導公式”包括5組公式，即誘導公式二至六，本單元的知學問結構如下圖所示：本單元分為兩課時完成，本節(jié)課為第一課時，主要探究誘導公式二、三、四，并圍繞圓的對稱性提出要探討的相關問題，形成探討的思路．2．內容解析我們知道，隨意角的三角函數的定義是借助于單位圓得出的，之后又借助于圓的幾何性質得出了三角函數的部分性質，即同角三角函數的基本關系．圓有豐富的性質，對稱性是圓的重要性質，假如用三角函數表示單位圓上點的坐標，就可將這些對稱性表示為三角函數之間的關系，從而得到三角函數的誘導公式．角的基本構成元素就是頂點、始邊、終邊，在三角函數這一章的探討中，為了便利，使角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，因此變更的只有角的終邊．首先從形的角度，探討圓的對稱性，假設隨意角的終邊與單位圓的交點為，點關于圓心或特別直線的對稱點為，依據單位圓上這兩個點的對稱性，可以寫出以為終邊的角與角的關系．接下來從數的角度，利用三角函數的定義，建立對稱點坐標之間的關系，得到三角函數之間的關系即誘導公式．由此可見誘導公式的本質就是圓的對稱性的代數表示．對于，還可以從旋轉對稱的角度認知它們，與從軸對稱認知的本質一樣，而這樣認知與誘導公式一，及后續(xù)的兩角差的余弦公式的探討就一樣了．因此這種變式為后續(xù)利用旋轉對稱性探究兩角差的余弦作了鋪墊．可見，本單元是培育學生發(fā)覺和提出問題、分析和解決問題，發(fā)展學生直觀想象核心素養(yǎng)的很好的載體．在數學史上，求三角函數值曾經是一個重要而困難的問題．數學家制作了銳角三角函數值表，并通過公式，將隨意角轉化為銳角進行計算．現(xiàn)在，我們可以利用計算工具便利地求隨意角的三角函數值，所以利用這些公式的“求值”已不是重點，但是探討這些公式時運用的數學思想方法，在解決三角函數的各種問題中卻照舊有重要作用．在本單元中，利用誘導公式解決問題，重要的是視察計算對象的特征，選擇合適的誘導公式，確定恰當的求解路途，并實施計算求解問題．因此本單元是培育學生數學運算核心素養(yǎng)的很好的載體．因此本單元的教學重點是：利用圓的對稱性探究誘導公式，運用誘導公式進行簡潔三角函數式的求值、化簡與恒等式的證明．此外，為了使學生盡快熟悉并形成運用弧度制的習慣，在誘導公式中全部接受了弧度制．二、目標和目標解析1．目標（1）閱歷誘導公式的探究過程，積累應用類比、轉化、數形結合等方法探討三角函數性質的閱歷，提升直觀想象核心素養(yǎng)．（2）初步應用誘導公式解決問題，積累解題閱歷，提升數學運算核心素養(yǎng)．2．目標解析達成上述目標的標記是：（1）在平面直角坐標系中，給出隨意角的終邊與單位圓的交點，結合單位圓的特別對稱性——關于原點對稱和特別直線對稱，學生能分別畫出相應的對稱點，并利用圓的對稱性給出坐標間的關系，利用三角函數的定義，用角表示兩個點的坐標，并能求出以為終邊的角與角的坐標之間的關系，從而建立三角函數之間的關系，即誘導公式．（2）學生能利用誘導公式進行化簡、計算和證明．特別是在遇到比較困難的問題時，能依據運算對象的特點，選擇合適的公式，確定恰當的求解方案，并能正確求解．在解題的基礎上，能概括出利用誘導公式求解的一般程序．教學問題診斷分析本單元就單個學問點而言，比較好理解．但是公式比較多，當學生應用和記憶時會出現(xiàn)困難或者混淆．因此本節(jié)課的教學難點之一是：誘導公式的有效識記和應用．為破解這一難點，本節(jié)課的教學過程中要充分發(fā)揮單位圓的直觀作用，提高學生的直觀想象核心素養(yǎng)，理解誘導公式的本質：圓的對稱性的代數化，三角函數的性質．學生能主動地依托單位圓，想象著它的對稱性，就可以精確的記憶誘導公式．對于公式的應用，要提高學生分析問題的實力，即要形成確定的求解程序，提升學生的數學運算素養(yǎng)．學生在理解誘導公式時，總是有思維定勢，以為是銳角，于是導致解題時，通過角所在象限推斷誘導公式的符號出錯．所以本單元的其次個難點是：誘導公式中角可以是隨意角的理解．為破解這一難點，在推導誘導公式時要充分地應用變式．比如在推導公式二時，點的位置一般選在第一象限，獲得公式后，可以變更點的位置，讓學生視察：點的位置變更時，點與點的坐標之間的關系．并抽象概括出這兩點的坐標之間的關系與點的位置無關．因此公式中的角可以是隨意角．在此基礎上，配以具體題目，讓學生感受這種概括的正確性．四、教學支持條件分析本單位可利用作圖軟件，畫圖呈現(xiàn)如上所述的對稱性，并動態(tài)演示當點的位置變更時對稱點的坐標與它的坐標之間的關系不變．教學過程設計第一課時（一）創(chuàng)設情境，引出問題導入語：前面我們學習了三角函數，是借助于單位圓給出的，并依據定義得出了公式一，刻畫“周而復始”這種変化規(guī)律及其幾何意義．之后借助于單位圓的幾何特征，獲得了同一個角的三個三角函數之間的關系．我們知道，對稱性是圓的重要性質，而對稱性（如奇偶性）也是函數的重要性質．由此想到，我們可以利用圓的對稱性，探討三角函數的性質．問題1：如圖5.3-1，在直角坐標系內，設隨意角的終邊與單位圓交于點，作關于原點的對稱點．（1）以為終邊的角與角有什么關系？（2）角，的三角函數值之間有什么關系？師生活動：先由學生獨立完成問題1，然后展示，師生幫助一起完善和梳理思路．如圖5.3-2，以為終邊的角都是與角終邊相同的角，即．因此，只要探究角與的三角函數值之間的關系即可．設，．因為是點關于原點的對稱點，所以．依據三角函數的定義，得；．，，，，．設計意圖：初步感受如何將圓的一個特別的對稱性：在坐標系中關于原點對稱，代數化，并得到誘導公式二．并以此問題作為探討方法的示范，為進一步提出、分析、解決問題做好奠基工作．追問1：假如點在其次象限，那么點的坐標與點的坐標之間有什么關系？假如點在軸負半軸上呢？在其他位置呢？據此，公式二中的角的終邊可以在什么位置？師生活動：學生思索后給出解答：不論點在哪里，點的坐標與點的坐標之間的關系都不変，即公式二對隨意角都成立．追問2：探究公式二的過程，可以概括為哪些步驟？每一步蘊含的數學思想是什么？師生活動：學生思索后給出回答，老師進行歸納：第一步，依據圓的對稱性，建立角之間的聯(lián)系，從形的角度入手探討．其次步，建立坐標之間的關系．將形的關系代數化，并從不同的角度進行表示，體現(xiàn)了數形結合的思想方法．第三步，依據等量代換，得到三角函數之間的關系，即公式二，體現(xiàn)了聯(lián)系性．追問3：角還可以看作是角的終邊經過怎樣的變換得到的？師生活動：學生思索后給出回答：按逆時針方向旋轉角得到的．設計意圖：追問1旨在幫助學生理解角的隨意性，追問2旨在提煉方法，追問3則滲透圓的旋轉對稱性，為后面幾個公式的探究在方法上做好鋪墊．（二）類比探究，整體認知問題2：借助于平面直角坐標系，類比問題1你能說出單位圓上點的哪些特別對稱點？并依據如上問題1總結得到的求解步驟，嘗試求出相應的關系式．師生活動：首先由學生獨立思索，盡量多地寫出點的對稱點，然后展示溝通，之后再將之代數化，最終得到相應的誘導公式．學生的回答可能會超越教科書中的探討內容，假如是學生自己想到的，可以順其自然保留，但是不作進一步的要求．假如學生沒有想到，老師不須要增加．學生首先想到的應當是點關于坐標軸的對稱點；之后關于特別直線的對稱點，比如；老師啟發(fā)之后會想到經過兩次對稱得到的對稱點．學生可能的答案有單位圓上點的特別對稱點：第一類，點關于軸、軸的對稱點；其次類，點關于特別直線的對稱點，如，；第三類，點關于軸的對稱點，再關于特別直線的對稱點，或者點軸關于特別直線的對稱點，再關于坐標軸的對稱點等等．接下來，針對如上結論，從第一類到第三類依次解決，本課時可以先解決第一類．如圖5.3-3，作關于軸的對稱點，以為終邊的角都是與角終邊相同的角，即．因此，只要探究角與的三角函數值之間的關系即可．設，因為是點關于軸的對稱點，所以．依據三角函數的定義，得；．，，，，．如圖5.3-4，作關于軸的對稱點，以為終邊的角都是與角終邊相同的角，即．因此，只要探究角與的三角函數值之間的關系即可．設，因為是點關于軸的對稱點，所以．依據三角函數的定義，得；．，，，，．追問4：公式三和公式四中的角的終邊可以在什么位置？預設答案：角是隨意角．設計意圖：類比問題1，進一步探究發(fā)覺．這是個開放式的問題設計，給了學生自主的時空，激勵他們多角度視察思索，提出問題，并類比問題1進行分析，解決問題．強化將單位圓的對稱性代數化這種探討思路．（三）初步應用，建立程序例1利用公式求下列三角函數值：（1）°；（2）；（3）；（4）．追問5：題目中的角與哪個特別角接近？拆分之后應當選擇哪個誘導公式？師生活動：學生獨立完成之后展示溝通，留意展示其思索過程，老師幫助規(guī)范求解過程．設計意圖：引導學生有序地思索問題，有理地解決問題．問題3：由例1，你對公式一～四的作用有什么進一步的相識？你能自己歸納一下把隨意角的三角函數轉化為銳角三角函數的步驟嗎？師生活動：學生獨立思索總結，之后展示溝通．利用公式一～公式四，可以把隨意角的三角函數轉化為銳角三角函數，一般可按如下圖步驟進行：設計意圖：引導學生梳理求解過程，提煉解題閱歷，明確從負角轉化為銳角的程序，提高自覺地、理性地選擇運算公式的實力，提升數學運算素養(yǎng)．例2化簡：．追問6：本題與例1的異同是什么？由例1總結出的求解程序在此如何應用？師生活動：學生獨立完成，之后展示溝通，留意展示其思索過程，老師幫助規(guī)范求解過程．設計意圖：鞏固習題的學問和方法，提高學生分析實力和轉化實力．梳理小結，深化理解問題4：誘導公式與三角函數和圓之間有怎樣的關系？你學到了哪些基本學問，獲得了怎樣的探討問題的閱歷？師生活動：學生自主總結，展示溝通．（1）誘導公式是圓的對稱性的代數化，是三角函數的性質．（2）學到了三組誘導公式，探討方法是數形結合，留意聯(lián)系．設計意圖：幫助學生梳理基本學問，總結探討方法，為進一步的硏究鋪路奠基．（五）布置作業(yè)，深化探討（1）類比第一類問題的解決，即誘導公式二、