高考數(shù)學一輪復習知識點講解+真題測試專題9.1直線與直線方程(知識點講解)(原卷版+解析)

專題9.1直線與直線方程（知識點講解）【知識框架】【核心素養(yǎng)】（1）通過考查直線的斜率與傾斜角、考查直線方程的幾種形式，凸顯直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．（2）通過考查兩直線的平行與垂直的判斷、兩直線的平行與垂直的條件的應用、考查與充要條件、基本不等式、導數(shù)的幾何意義等相結合，以及考查直線與圓、直線與圓錐曲線的位置關系.凸顯直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學應用的核心素養(yǎng)．【知識點展示】知識點1．直線的傾斜角與斜率1．直線的傾斜角①定義．當直線l與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準，x軸的正方向與直線l向上的方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°.②范圍：傾斜角的范圍為．2．直線的斜率①定義．一條直線的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即，傾斜角是90°的直線沒有斜率．當直線與x軸平行或重合時,,.②過兩點的直線的斜率公式．經(jīng)過兩點的直線的斜率公式為.3.每一條直線都有唯一的傾斜角，但并不是每一條直線都存在斜率．傾斜角為90°的直線斜率不存在．4.直線的傾斜角、斜率k之間的大小變化關系：（1）當時，越大，斜率越大；（2）當時，越大，斜率越大.知識點2．直線的方程1.直線的點斜式方程：直線經(jīng)過點，且斜率為，則直線的方程為：.這個方程就叫做直線點斜式方程.特別地，直線過點，則直線的方程為：.這個方程叫做直線的斜截式方程.2.直線的兩點式方程直線過兩點其中，則直線的方程為：.這個方程叫做直線的兩點式方程.當時，直線與軸垂直，所以直線方程為：；當時，直線與軸垂直，直線方程為：.特別地，若直線過兩點，則直線的方程為：，這個方程叫做直線的截距式方程.3.直線的一般式方程關于的二元一次方程（A，B不同時為0）叫做直線的一般式方程.由一般式方程可得，B不為0時，斜率，截距.知識點3．兩條直線平行與垂直1．兩直線的平行關系(1)對于兩條不重合的直線，其斜率為，有.(2)對于兩條直線，有.2．兩條直線的垂直關系(1)對于兩條直線，其斜率為，有.(2)對于兩條直線，有.知識點4．距離問題1．兩點間的距離公式設兩點，則.2．點到直線的距離公式設點，直線，則點到直線的距離.3．兩平行線間的距離公式設兩條平行直線，則這兩條平行線之間的距離.知識點5．兩條直線的交點1.兩條直線相交：對于兩條直線，若，則方程組有唯一解，兩條直線就相交，方程組的解就是交點的坐標.2.兩條直線，聯(lián)立方程組，若方程組有無數(shù)組解，則重合．知識點6．對稱問題1.中點坐標公式2．兩條直線的垂直關系(1)對于兩條直線，其斜率為，有.(2)對于兩條直線，有.【常考題型剖析】題型一：直線的傾斜角與斜率例1.(2023·全國·高三專題練習）過點的直線的傾斜角為（

）A． B． C．1 D．例2.(2023·全國·高三專題練習）如圖，設直線，，的斜率分別為，，，則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．例3.（2023·北京·高考真題）為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期整改，設企業(yè)的污水排放量W與時間t的關系為，用的大小評價在這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關系如下圖所示.給出下列四個結論：①在這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；②在時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；③在時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標；④甲企業(yè)在這三段時間中，在的污水治理能力最強．其中所有正確結論的序號是____________________．【規(guī)律方法】1.求直線的斜率與傾斜角.若已知兩點的坐標，則直接利用斜率公式求斜率；若條件中給出一條直線，則求出直線上的兩點的坐標，然后利用斜率公式求斜率.求直線的傾斜角，則先求出直線的斜率，再利用求傾斜角.2.求直線的斜率與傾斜角的范圍.若斜率k是含參數(shù)的一個式子，則利用函數(shù)或不等式的方法求其范圍；若是給出圖形求斜率與傾斜角的范圍，則采用數(shù)開結合的方法求其范圍．3.從高考題看，對直線斜率的考查，越側重其應用.題型二：直線的方程例4.(2023·山東·高考真題）如下圖，直線的方程是（

）A． B．C． D．例5.(2023·全國·高三專題練習）過點且與直線垂直的直線的方程是（

）A． B．C． D．【規(guī)律方法】求直線方程的常用方法：1.直接法：根據(jù)已知條件靈活選用直線方程的形式，寫出方程．2.待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設出直線方程，再根據(jù)已知條件構造關于待定系數(shù)的方程(組)求系數(shù)，最后代入求出直線方程．3.直線在x(y)軸上的截距是直線與x(y)軸交點的橫(縱)坐標，所以截距是一個實數(shù)，可正、可負，也可為0，而不是距離．4.從高考命題看，側重于直線與圓、直線與圓錐曲線位置關系的考查.題型三：兩條直線平行與垂直例6.（2023·全國·高三專題練習）“”是“直線與直線垂直”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件例7.（2023·臺州市書生中學高二期中）已知直線：，直線：，若，則_________若，則________【易錯提醒】當直線方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件．題型四：距離問題例8.（2023·江蘇高考真題）在平面直角坐標系xOy中，P是曲線y=x+4x(x>0)上的一個動點，則點P到直線x例9.(2023·上?！じ呖颊骖}（文））已知平行直線，則的距離是_______________.【規(guī)律方法】兩種距離的求解思路(1)點到直線的距離的求法可直接利用點到直線的距離公式來求，但要注意此時直線方程必須為一般式．(2)兩平行線間的距離的求法①利用“轉化法”將兩條平行線間的距離轉化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離．②利用兩平行線間的距離公式(利用公式前需把兩平行線方程中x，y的系數(shù)化為相同的形式)．題型五：兩條直線的交點例10.(2023·全國·高三專題練習）直線，相交于點，其中.(1)求證：、分別過定點、，并求點、的坐標；(2)當為何值時，的面積取得最大值，并求出最大值.例11.（2023·全國高三專題練習）求過直線和的交點P，且與直線垂直的直線l的方程.【規(guī)律方法】1.兩直線交點的求法求兩直線的交點坐標，就是解由兩直線方程聯(lián)立組成的方程組，得到的方程組的解，即交點的坐標．2.求過兩直線交點的直線方程的方法求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標，再結合其他條件寫出直線方程．也可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程，這樣能簡化解題過程．3.涉及兩直線的交點問題，往往需借助于圖形，應用數(shù)形結合思想，探索解題思路，這也是解析幾何中分析問題、解決問題的重要特征.題型六：對稱問題例12.（2023·山東高考真題）直線關于點對稱的直線方程是（）A． B．C． D．例13.（浙江·高考真題（理））直線關于直線對稱的直線方程是（）A． B．C． D．例14.（2023·河北高考模擬（理））設點為直線：上的動點，點，，則的最小值為（）A． B． C． D．【規(guī)律方法】涉及對稱問題，主要有以下幾種情況：1．若點關于直線對稱，設對稱點是，則線段的中點在直線上且直線，由此可得一方程組，解這個方程組得：的值，從而求得對稱點的坐標.2．若直線關于點對稱，由于對稱直線必與直線平行，故可設對稱直線為.因為直線間的距離是點到直線的距離的二倍，則有，解這個方程可得的值（注意這里求出的有兩個），再結合圖形可求得對稱直線的方程．3．若直線關于直線對稱，則在直線上取兩點，求出這兩點關于直線對稱的兩點的坐標，再由兩點式便可得直線關于直線對稱的直線的方程．4.中心對稱問題的兩種類型及求解方法5.軸對稱問題的兩種類型及求解方法點關于直線對稱若兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱，由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到點P1關于l對稱的點P2的坐標(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)直線關于直線對稱①若直線與對稱軸平行，則在直線上取一點，求出該點關于軸的對稱點，然后用點斜式求解．②若直線與對稱軸相交，則先求出交點，然后再取直線上一點，求該點關于軸的對稱點，最后由兩點式求解專題9.1直線與直線方程（知識點講解）【知識框架】【核心素養(yǎng)】（1）通過考查直線的斜率與傾斜角、考查直線方程的幾種形式，凸顯直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．（2）通過考查兩直線的平行與垂直的判斷、兩直線的平行與垂直的條件的應用、考查與充要條件、基本不等式、導數(shù)的幾何意義等相結合，以及考查直線與圓、直線與圓錐曲線的位置關系.凸顯直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學應用的核心素養(yǎng)．【知識點展示】知識點1．直線的傾斜角與斜率1．直線的傾斜角①定義．當直線l與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準，x軸的正方向與直線l向上的方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°.②范圍：傾斜角的范圍為．2．直線的斜率①定義．一條直線的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即，傾斜角是90°的直線沒有斜率．當直線與x軸平行或重合時,,.②過兩點的直線的斜率公式．經(jīng)過兩點的直線的斜率公式為.3.每一條直線都有唯一的傾斜角，但并不是每一條直線都存在斜率．傾斜角為90°的直線斜率不存在．4.直線的傾斜角、斜率k之間的大小變化關系：（1）當時，越大，斜率越大；（2）當時，越大，斜率越大.知識點2．直線的方程1.直線的點斜式方程：直線經(jīng)過點，且斜率為，則直線的方程為：.這個方程就叫做直線點斜式方程.特別地，直線過點，則直線的方程為：.這個方程叫做直線的斜截式方程.2.直線的兩點式方程直線過兩點其中，則直線的方程為：.這個方程叫做直線的兩點式方程.當時，直線與軸垂直，所以直線方程為：；當時，直線與軸垂直，直線方程為：.特別地，若直線過兩點，則直線的方程為：，這個方程叫做直線的截距式方程.3.直線的一般式方程關于的二元一次方程（A，B不同時為0）叫做直線的一般式方程.由一般式方程可得，B不為0時，斜率，截距.知識點3．兩條直線平行與垂直1．兩直線的平行關系(1)對于兩條不重合的直線，其斜率為，有.(2)對于兩條直線，有.2．兩條直線的垂直關系(1)對于兩條直線，其斜率為，有.(2)對于兩條直線，有.知識點4．距離問題1．兩點間的距離公式設兩點，則.2．點到直線的距離公式設點，直線，則點到直線的距離.3．兩平行線間的距離公式設兩條平行直線，則這兩條平行線之間的距離.知識點5．兩條直線的交點1.兩條直線相交：對于兩條直線，若，則方程組有唯一解，兩條直線就相交，方程組的解就是交點的坐標.2.兩條直線，聯(lián)立方程組，若方程組有無數(shù)組解，則重合．知識點6．對稱問題1.中點坐標公式2．兩條直線的垂直關系(1)對于兩條直線，其斜率為，有.(2)對于兩條直線，有.【?？碱}型剖析】題型一：直線的傾斜角與斜率例1.(2023·全國·高三專題練習）過點的直線的傾斜角為（

）A． B． C．1 D．答案：A【解析】分析：利用斜率與傾斜角的關系即可求解.【詳解】過A、B的斜率為，則該直線的傾斜角為，故選：A．例2.(2023·全國·高三專題練習）如圖，設直線，，的斜率分別為，，，則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．答案：A【解析】分析：直接由斜率的定義判斷即可.【詳解】由斜率的定義可知，.故選：A．例3.（2023·北京·高考真題）為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期整改，設企業(yè)的污水排放量W與時間t的關系為，用的大小評價在這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關系如下圖所示.給出下列四個結論：①在這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；②在時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；③在時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標；④甲企業(yè)在這三段時間中，在的污水治理能力最強．其中所有正確結論的序號是____________________．答案：①②③【解析】分析：根據(jù)定義逐一判斷，即可得到結果【詳解】表示區(qū)間端點連線斜率的負數(shù)，在這段時間內(nèi)，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反數(shù)比乙的大，因此甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；①正確；甲企業(yè)在這三段時間中，甲企業(yè)在這段時間內(nèi)，甲的斜率最小，其相反數(shù)最大，即在的污水治理能力最強．④錯誤；在時刻，甲切線的斜率比乙的小，所以甲切線的斜率的相反數(shù)比乙的大，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；②正確；在時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水打標排放量以下，所以都已達標；③正確；故答案為：①②③【規(guī)律方法】1.求直線的斜率與傾斜角.若已知兩點的坐標，則直接利用斜率公式求斜率；若條件中給出一條直線，則求出直線上的兩點的坐標，然后利用斜率公式求斜率.求直線的傾斜角，則先求出直線的斜率，再利用求傾斜角.2.求直線的斜率與傾斜角的范圍.若斜率k是含參數(shù)的一個式子，則利用函數(shù)或不等式的方法求其范圍；若是給出圖形求斜率與傾斜角的范圍，則采用數(shù)開結合的方法求其范圍．3.從高考題看，對直線斜率的考查，越側重其應用.題型二：直線的方程例4.(2023·山東·高考真題）如下圖，直線的方程是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：由圖得到直線的傾斜角為30，進而得到斜率，然后由直線與軸交點為求解.【詳解】由圖可得直線的傾斜角為30°，所以斜率，所以直線與軸的交點為，所以直線的點斜式方程可得：，即．故選：D例5.(2023·全國·高三專題練習）過點且與直線垂直的直線的方程是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】分析：利用相互垂直的直線斜率之間的關系即可求解.【詳解】由題意可知，設所求直線的方程為，將點代入直線方程中，得，解得，所以所求直線的方程為，即.故選：B.【規(guī)律方法】求直線方程的常用方法：1.直接法：根據(jù)已知條件靈活選用直線方程的形式，寫出方程．2.待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設出直線方程，再根據(jù)已知條件構造關于待定系數(shù)的方程(組)求系數(shù)，最后代入求出直線方程．3.直線在x(y)軸上的截距是直線與x(y)軸交點的橫(縱)坐標，所以截距是一個實數(shù)，可正、可負，也可為0，而不是距離．4.從高考命題看，側重于直線與圓、直線與圓錐曲線位置關系的考查.題型三：兩條直線平行與垂直例6.（2023·全國·高三專題練習）“”是“直線與直線垂直”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件答案：B【解析】分析：由直線與直線垂直求出的值，再由充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】直線與直線垂直,則，解得：或，所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.故選：B.例7.（2023·臺州市書生中學高二期中）已知直線：，直線：，若，則_________若，則________答案：分析：根據(jù)直線平行和垂直得到的關系，再結合二倍角公式及弦化切得到答案.【詳解】若，則，此時，則兩條直線不重合，故；若，則，∴.故答案為：，.【易錯提醒】當直線方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件．題型四：距離問題例8.（2023·江蘇高考真題）在平面直角坐標系xOy中，P是曲線y=x+4x(x>0)上的一個動點，則點P到直線x答案：4.【解析】當直線x+y=0平移到與曲線y=x+4x相切位置時，切點Q即為點P到直線由y'=1?4x2即切點Q(2則切點Q到直線x+y=0的距離為2+3故答案為：4．例9.(2023·上?！じ呖颊骖}（文））已知平行直線，則的距離是_______________.答案：【解析】利用兩平行線間的距離公式得.【名師點睛】確定兩平行線間距離，關鍵是注意應用公式的條件，即的系數(shù)必須相同，本題較為容易，主要考查考生的基本運算能力.【規(guī)律方法】兩種距離的求解思路(1)點到直線的距離的求法可直接利用點到直線的距離公式來求，但要注意此時直線方程必須為一般式．(2)兩平行線間的距離的求法①利用“轉化法”將兩條平行線間的距離轉化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離．②利用兩平行線間的距離公式(利用公式前需把兩平行線方程中x，y的系數(shù)化為相同的形式)．題型五：兩條直線的交點例10.(2023·全國·高三專題練習）直線，相交于點，其中.(1)求證：、分別過定點、，并求點、的坐標；(2)當為何值時，的面積取得最大值，并求出最大值.答案：(1)證明見解析，，(2)時，取得最大值【解析】分析：（1）在直線的方程中令可得出定點的坐標，在直線的方程中令可得出定點的坐標，由此可得出結論；（2）聯(lián)立直線、的方程，可求得兩直線的交點的坐標，計算出和，利用三角形的面積公式可計算出的表達式，由的表達式可求得的最大值及其對應的的值.（1）在直線的方程中，令可得，則直線過定點，在直線的方程中，令可得，則直線過定點；（2）聯(lián)立直線、的方程，解得，即點.，，，所以，；且，因此，當時，取得最大值，即.例11.（2023·全國高三專題練習）求過直線和的交點P，且與直線垂直的直線l的方程.答案：分析：解法一：先取得兩直線的交點，再根據(jù)與直線垂直求解；解法二：根據(jù)直線l垂直于直線，設直線l的方程為，再將.與的交點代入求解；解法三：根據(jù)直線l過與的交點，設直線l的方程為，再根據(jù)與直線垂直求解.【詳解】解法一：由，解得直線的斜率為，直線的斜率為4.因此滿足條件的直線l的方程為：，即.解法二：直線l垂直于直線.設直線l的方程為.與的交點為，，解得從而.所以直線l的方程為.解法三：因為直線l過與的交點，設直線l的方程為，即，與直線垂直，，解得.直線l的方程為.【規(guī)律方法】1.兩直線交點的求法求兩直線的交點坐標，就是解由兩直線方程聯(lián)立組成的方程組，得到的方程組的解，即交點的坐標．2.求過兩直線交點的直線方程的方法求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標，再結合其他條件寫出直線方程．也可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程，這樣能簡化解題過程．3.涉及兩直線的交點問題，往往需借助于圖形，應用數(shù)形結合思想，探索解題思路，這也是解析幾何中分析問題、解決問題的重要特征.題型六：對稱問題例12.（2023·山東高考真題）直線關于點對稱的直線方程是（）A． B．C． D．答案：D分析：設對稱的直線方程上的一點的坐標為,則其關于點對稱的點的坐標為，代入已知直線即可求得結果.【詳解】設對稱的直線方程上的一點的坐標為，則其關于點對稱的點的坐標為，因為點在直線上，所以即.故選：D.例13.（浙江·高考真題（理））直線關于直線對