高中數(shù)學(xué)選擇性必修三課件：§8 2 第3課時(shí) 非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程(人教A版)

第3課時(shí)非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程第八章§8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用1.進(jìn)一步掌握一元線性回歸模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義.2.了解非線性回歸模型.3.會(huì)通過(guò)分析殘差和利用R2判斷回歸模型的擬合效果.學(xué)習(xí)目標(biāo)隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練內(nèi)容索引一、指數(shù)函數(shù)模型y＝αeβx(α＞0)二、冪函數(shù)模型y＝αxβ(α＞0)一、指數(shù)函數(shù)模型y＝αeβx(α＞0)例1

某景區(qū)的各景點(diǎn)從2010年取消門(mén)票實(shí)行免費(fèi)開(kāi)放后，旅游的人數(shù)不斷地增加，不僅帶動(dòng)了該市淡季的旅游，而且優(yōu)化了旅游產(chǎn)業(yè)的結(jié)構(gòu)，促進(jìn)了該市旅游向“觀光、休閑、會(huì)展”三輪驅(qū)動(dòng)的理想結(jié)構(gòu)快速轉(zhuǎn)變.下表是從2010年至2019年，該景點(diǎn)的旅游人數(shù)y(萬(wàn)人)與年份x的數(shù)據(jù)：第x年12345旅游人數(shù)(萬(wàn)人)300283321345372第x年678910旅游人數(shù)(萬(wàn)人)435486527622800該景點(diǎn)為了預(yù)測(cè)2022年的旅游人數(shù)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：由最小二乘法公式求得y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程

＝50.8x＋169.7；模型②：由散點(diǎn)圖的樣本點(diǎn)分布，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線y＝aebx的附近.解對(duì)y＝aebx取對(duì)數(shù)，得lny＝bx＋lna，設(shè)u＝lny，c＝lna，先建立u關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.a＝ec≈e5.46≈235.(2)根據(jù)下列表中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的決定系數(shù)R2，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)2022年該景區(qū)的旅游人數(shù)(單位：萬(wàn)人，精確到個(gè)位).③參考數(shù)據(jù)：e5.46≈235，e1.43≈4.2.解由表格中的數(shù)據(jù)，知30407>14607，2022年時(shí)，x＝13，預(yù)測(cè)旅游人數(shù)為反思感悟指數(shù)函數(shù)型y＝ebx＋a回歸問(wèn)題的處理方法(1)函數(shù)y＝ebx＋a的圖象，如圖所示.(2)處理方法：兩邊取對(duì)數(shù)得lny＝lnebx＋a，即lny＝bx＋a.令z＝lny，把原始數(shù)據(jù)(x，y)轉(zhuǎn)化為(x，z)，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.跟蹤訓(xùn)練1

已知某種細(xì)菌的適宜生長(zhǎng)溫度為10℃～25℃，為了研究該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量y(單位：個(gè))隨溫度x(單位：℃)變化的規(guī)律，收集數(shù)據(jù)如表：溫度x/℃12141618202224繁殖數(shù)量y/個(gè)2025332751112194對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理后，得到了一些統(tǒng)計(jì)量的值，如表所示：跟蹤訓(xùn)練1

已知某種細(xì)菌的適宜生長(zhǎng)溫度為10℃～25℃，為了研究該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量y(單位：個(gè))隨溫度x(單位：℃)變化的規(guī)律，收集數(shù)據(jù)如表：溫度x/℃12141618202224繁殖數(shù)量y/個(gè)2025332751112194對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理后，得到了一些統(tǒng)計(jì)量的值，如表所示：(1)請(qǐng)繪出y關(guān)于x的散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y＝bx＋a與y＝

哪一個(gè)更適合作為該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類(lèi)型(只做出判斷，不必說(shuō)明理由)；解繪出的散點(diǎn)圖如圖所示，根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y＝

更適合作為該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量y關(guān)于x的回歸方程類(lèi)型.(2)當(dāng)溫度為25℃時(shí)，該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量的預(yù)測(cè)值為多少？解∵y＝

，設(shè)k＝lny，則k＝c2x＋lnc1，先建立k關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.∴c1＝e0.2，y＝

＝e0.2x＋0.2，當(dāng)溫度為25℃時(shí)，該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量的預(yù)測(cè)值為e5.2≈181.二、冪函數(shù)模型y＝αxβ(α＞0)問(wèn)題2某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷(xiāo)售量y(單位：t)和年利潤(rùn)z(單位：千元)的影響.對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷(xiāo)售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問(wèn)題：①年宣傳費(fèi)x＝49時(shí)，年銷(xiāo)售量及年利潤(rùn)的預(yù)測(cè)值是多少？解由(2)知，當(dāng)x＝49時(shí)，解根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)測(cè)值最大.反思感悟冪函數(shù)型問(wèn)題的處理方法冪函數(shù)型y＝axn(n為常數(shù)，a，x，y均取正值)兩邊取常用對(duì)數(shù)lgy＝lg(axn)，即lgy＝nlgx＋lga，然后按線性回歸模型求出n，lga.跟蹤訓(xùn)練2某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件產(chǎn)品的非原料成本y(元)與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量x(千件)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如表數(shù)據(jù)：x12345678y1126144.53530.5282524根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖.(1)用反比例函數(shù)模型求y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程；先建立y關(guān)于u的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，(2)用樣本相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個(gè)模型哪一個(gè)擬合效果更好(精確到0.01)，并用其估計(jì)產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本.因?yàn)閨r1|＜|r2|，所以用反比例函數(shù)模型擬合效果更好，所以當(dāng)產(chǎn)量為10千件時(shí)，每件產(chǎn)品的非原料成本為21元.1.知識(shí)清單：(1)指數(shù)函數(shù)模型.(2)冪函數(shù)模型.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化思想.3.常見(jiàn)誤區(qū)：非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程轉(zhuǎn)化為經(jīng)驗(yàn)回歸方程時(shí)的轉(zhuǎn)化方法.課堂小結(jié)隨堂演練1234√1234解析由非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求解過(guò)程可知①正確；易知②正確；根據(jù)y與z正相關(guān)，y與x負(fù)相關(guān)，可知x與z負(fù)相關(guān)，③錯(cuò)誤.A.e5B.C.e7D.若x＝5，則預(yù)測(cè)y的值可能為1234√x1234yeE3e4e61234列表如下：x1234z13461234∴3.5＝b×2.5－0.5，解得b＝1.6，∴z＝1.6x－0.5，12343.若一函數(shù)模型為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，將y轉(zhuǎn)化為t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，需做變換t等于√1234課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1.數(shù)據(jù)顯示，某IT公司2021年上半年五個(gè)月的收入情況如下表所示：基礎(chǔ)鞏固1234月份23456月收入(萬(wàn)元)1.42.565.311121.3(1)你認(rèn)為哪個(gè)函數(shù)模型較好，并簡(jiǎn)單說(shuō)明理由；解畫(huà)出散點(diǎn)圖.1234由圖可知點(diǎn)(2,1.4)，(3,2.56)，(4,5.31)，(5,11)，(6,21.3)(2)試用你認(rèn)為較好的函數(shù)模型，分析大約從第幾個(gè)月份開(kāi)始，該公司的月收入會(huì)超過(guò)100萬(wàn)元？(參考數(shù)據(jù)lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)12341234∴l(xiāng)g2x>lg300，即xlg2>2＋lg3，故大約從第9月份開(kāi)始，該公司的月收入會(huì)超過(guò)100萬(wàn)元.28＝256<300；29＝512>300，故大約從第9月份開(kāi)始，該公司的月收入會(huì)超過(guò)100萬(wàn)元.2.抖音短視頻已成為很多人生活?yuàn)蕵?lè)中不可或缺的一部分，很多人喜歡將自己身邊的事情拍成短視頻發(fā)布到網(wǎng)上，某人將發(fā)布短視頻后1－8天的點(diǎn)擊量的數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步處理，得到下面的殘差圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.12341234(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)該選擇哪個(gè)模型？解由殘差圖可知，模型①效果更好.1234(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(在計(jì)算回歸系數(shù)時(shí)精確到0.01)1234(3)預(yù)測(cè)該短視頻發(fā)布后第10天的點(diǎn)擊量是多少？3.中國(guó)茶文化博大精深，已知茶水的口感與茶葉類(lèi)型以及水溫有關(guān).經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.某學(xué)習(xí)研究小組通過(guò)測(cè)量，得到了下面表格中的數(shù)據(jù)(室溫是20℃).1234泡制時(shí)間x/min01234水溫y/℃8579747165(1)小組成員根據(jù)上面表格中的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖(圖略)，并根據(jù)散點(diǎn)圖分布情況，考慮到茶水溫度降到室溫(即20℃)就不能再降的事實(shí)，決定選擇函數(shù)模型y＝kcx＋20(x≥0)來(lái)刻畫(huà).①令z＝ln(y－20)，求出z關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；解由已知得出x與z的關(guān)系，如下表：1234泡制時(shí)間x/min01234z4.24.14.03.93.8＝(－2)×0.2＋(－1)×0.1＋1×(－0.1)＋2×(－0.2)＝－1，1234②利用①的結(jié)論，求出y＝kcx＋20(x≥0，c>0)中的k與c.1234解由y＝kcx＋20(x≥0)，得y－20＝kcx(x≥0)，兩邊取對(duì)數(shù)得，ln(y－20)＝lnk＋xlnc，利用①的結(jié)論得，lnc＝－0.1，lnk＝4.2，∴c＝e－0.1≈0.9，k＝e4.2≈66.7.(2)你認(rèn)為該品種綠茶用85℃的水大約泡制多久后飲用，可以產(chǎn)生最佳口感？1234解由(1)得，y＝66.7×0.9x＋20(x≥0)，令y＝60，得x＝log0.90.6≈4.8.∴該品種綠茶用85℃的水泡制4.8min后飲用，口感最佳.12344.某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下一季度的前期廣告投入計(jì)劃，收集了近6個(gè)月廣告投入量x(單位：萬(wàn)元)和收益y(單位：萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)如下表：1234月份123456廣告投入量x/萬(wàn)元24681012收益y/萬(wàn)元14.2120.3131.831.1837.8344.67他們用兩種模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分別進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程并進(jìn)行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值：1234(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？并說(shuō)明理由；1234(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？并說(shuō)明理由；1234解應(yīng)該選擇模型①，因?yàn)槟Ｐ廷俚膸罱?jīng)驗(yàn)區(qū)域比模型②的帶狀區(qū)域窄，所以模型①的擬合精度高，回歸方程的預(yù)測(cè)精度高.1234(2)殘差絕對(duì)值大于2的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除：①剔除異常數(shù)據(jù)后，求出(1)中所選模型的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；1234解剔除異常數(shù)據(jù)，即3月份的數(shù)據(jù)后，得12341234②廣告投入量x＝18時(shí)，(1)中所選模型收益的預(yù)測(cè)值是多少？1234解把x＝18代入①中所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程，備用工具&資料1234②廣告投入量x＝18時(shí)，(1)中所選模型收益的預(yù)測(cè)值是多少？1234解剔除異常數(shù)據(jù)，即3月份的數(shù)據(jù)后，得解對(duì)y＝aebx取對(duì)數(shù)，得lny＝bx＋lna，