北師大版初中九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊第一章特殊平行四邊形2矩形的性質(zhì)與判定第1課時(shí)矩形的性質(zhì)課件

第一章特殊平行四邊形2矩形的性質(zhì)與判定第1課時(shí)矩形的性質(zhì)基礎(chǔ)過關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1矩形的定義1.(新考向·開放型試題)(2022甘肅中考)如圖,在四邊形ABCD

中,AB∥DC,AD∥BC,在不添加任何輔助線的前提下,要使四

邊形ABCD成為一個(gè)矩形,只需添加的一個(gè)條件是

.∠A=90°(答案不唯一)解析

(答案不唯一)添加的一個(gè)條件可以是∠A=90°.理由如

下:∵AB∥DC,AD∥BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形,又∵∠A=90°,∴平行四邊形ABCD是矩形.知識(shí)點(diǎn)2矩形邊、角的性質(zhì)2.如圖,在矩形ABCD中,AC=4,AB=2,則AD的長是

(

)

A.8

B.4

C.2

D.6C解析∵四邊形ABCD是矩形,∴∠B=90°,AD=BC.∵AC=4,AB=2,∴AD=BC=

=2

,故選C.3.(2024陜西寶雞陳倉期中)如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E,F分別

在AB,CD邊上,AF=CE.求證:AE=CF.

證明∵四邊形ABCD是矩形,∴BC=DA,AB=CD,∠B=∠D=

90°,在Rt△BCE和Rt△DAF中,

∴Rt△BCE≌Rt△DAF(HL),∴BE=DF,∵AB=CD,∴AB-BE=CD-DF,∴AE=CF.4.如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)M在邊DC上,AM=AB,且BN⊥AM,

垂足為點(diǎn)N.(1)求證:AN=DM.(2)若AD=3,AN=4,求矩形ABCD的面積.解析

(1)證明:在矩形ABCD中,∠D=90°,DC∥AB,∴∠BAN=

∠AMD.∵BN⊥AM,∴∠BNA=90°.在△ABN和△MAD中,

∴△ABN≌△MAD(AAS),∴AN=DM.(2)∵△ABN≌△MAD,∴BN=AD=3.在Rt△ANB中,AB2=AN2+BN2,AN=4,∴AB=

=5.∴S矩形ABCD=AD·AB=3×5=15.知識(shí)點(diǎn)3矩形對(duì)角線的性質(zhì)5.(2023湖北襄陽中考)如圖,矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,

下列結(jié)論一定正確的是

(

)A.AC平分∠BAD

B.AB=BCC.AC=BD

D.AC⊥BDC解析根據(jù)矩形的對(duì)角線相等,可得AC=BD.故選C.6.(教材變式·P13例1)(2024河南鄭州嵩陽中學(xué)月考)如圖,在

矩形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,E、F分別是AO、

AD的中點(diǎn),若AB=6cm,BC=8cm,則△AEF的周長=

cm.

9解析∵四邊形ABCD為矩形,∴∠ABC=90°,BD=AC,BC=

AD,在Rt△ABC中,AC=

=10cm,∵E、F分別是AO、AD的中點(diǎn),∴EF是△AOD的中位線,∴EF=

OD=

BD=

AC=

cm,∴AF=

AD=

BC=4cm,AE=

AO=

AC=

cm,∴△AEF的周長=AE+AF+EF=9cm.故答案為9.7.(2022湖北鄂州中考)如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC、BD

相交于點(diǎn)O,且∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD.(1)求證:DF=CF.(2)若∠CDF=60°,DF=6,求矩形ABCD的面積.

解析

(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴OC=

AC,OD=

BD,AC=BD,∴OC=OD,∴∠ACD=∠BDC,∵∠CDF=∠BDC,

∠DCF=∠ACD,∴∠CDF=∠DCF,∴DF=CF.(2)由(1)可知DF=CF,∵∠CDF=60°,∴△CDF是等邊三角形,

∴CD=DF=6,∵∠CDF=∠BDC=60°,OC=OD,∴△OCD是等

邊三角形,∴OD=CD=6,∴BD=2OD=12,∵四邊形ABCD是矩

形,∴∠BCD=90°,∴BC=

=

=6

,∴S矩形ABCD=BC·CD=6

×6=36

.知識(shí)點(diǎn)4直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)8.(新考法·刻度尺與直角三角形)(2023湖南株洲中考)一技術(shù)

人員用刻度尺(單位:cm)測量某三角形部件的尺寸.如圖所

示,已知∠ACB=90°,D為邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的刻度為

1、7,則CD=

(

)BA.3.5cm

B.3cm

C.4.5cm

D.6cm解析由題圖可得,AB=7-1=6(cm),∵∠ACB=90°,D為線段

AB的中點(diǎn),∴CD=

AB=3cm,故選B.9.(2023甘肅蘭州中考)如圖,在矩形ABCD中,E為BA延長線上

一點(diǎn),F為CE的中點(diǎn),以B為圓心,BF長為半徑的圓弧過AD與

CE的交點(diǎn)G,連接BG.若AB=4,CE=10,則AG=

(

)

A.2

B.2.5

C.3

D.3.5C解析∵四邊形ABCD為矩形,∴∠ABC=∠BAD=90°,在Rt△BCE中,F為斜邊CE的中點(diǎn),∴BF=

CE=5,∴BG=BF=5,在Rt△ABG中,AB=4,由勾股定理得AG=

=3.故選C.能力提升全練10.(2023遼寧丹東中考,9,★★☆)如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角

線AC與BD相交于點(diǎn)O,∠ABD=60°,AE⊥BD,垂足為點(diǎn)E,F是

OC的中點(diǎn),連接EF,若EF=2

,則矩形ABCD的周長是(

)A.16

B.8

+4

C.4

+8

D.8

+8D解析∵四邊形ABCD是矩形,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,∴∠ABC=90°,OA=OC=

AC,OB=OD=

BD,且AC=BD,∴OA=OB,∵∠ABD=60°,∴△AOB是等邊三角形,∴AB=OA=OC=

AC,∴AC=2AB,∵AE⊥BD于點(diǎn)E,∴E為OB的中點(diǎn),又∵F是OC的中點(diǎn),EF=2

,∴BC=2EF=2×2

=4

,∴AD=BC=4

,∵BC=

=

=

AB,∴

AB=4

,∴AB=CD=4,∴矩形ABCD的周長=AD+BC+AB+CD=4

+4

+4+4=8

+8.故選D.11.(2024河南鄭州一中月考,15,★★★)如圖,∠MEN=90°,矩

形ABCD的頂點(diǎn)B,C分別是∠MEN兩邊上的動(dòng)點(diǎn),已知BC=10,

CD=5,則點(diǎn)D,E之間距離的最大值是

.

解析如圖,取BC的中點(diǎn)F,連接EF、FD.∵∠MEN=90°,∴

EF=FC=

BC=5.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BCD=90°,∴FD=

=

=5

.∵EF+DF≥ED,∴當(dāng)D,E,F三點(diǎn)共線時(shí),ED取得最大值,∴ED的最大值=EF+DF=5+5

.

12.(2024山西太原三十六中月考,17,★★☆)如圖,將矩形ABCD沿對(duì)角線AC折疊,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,AE與CD交于點(diǎn)F.(1)求證:△DAF≌△ECF.(2)若∠FCE=40°,求∠CAB的度數(shù).

解析

(1)證明:根據(jù)折疊的性質(zhì)得BC=EC,∠B=∠E,∵四邊

形ABCD為矩形,∴AD=BC,∠D=∠B=∠E=90°,∴AD=EC,在△DAF和△ECF中,

∴△DAF≌△ECF(AAS).(2)∵△DAF≌△ECF,∴∠DAF=∠ECF=40°,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°,∴∠EAB=∠DAB-∠DAF=90°-40°=50°,根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠EAC=∠CAB,∴∠CAB=25°.13.(2023湖北隨州中考,18,★★☆)如圖,矩形ABCD的對(duì)角線

AC,BD相交于點(diǎn)O,DE∥AC,CE∥BD.(1)求證:四邊形OCED是菱形.(2)若BC=3,DC=2,求四邊形OCED的面積.

解析

(1)證明:∵DE∥AC,CE∥BD,∴四邊形OCED是平行四邊形,∵四邊形A