微分方程建模(溶液濃度)

數(shù)學(xué)建模系列講座之微分方程建模微分方程的應(yīng)用

描述實(shí)際對(duì)象的某些性質(zhì)隨變量(時(shí)間或空間)的演變過程.

分析演變過程的規(guī)律.預(yù)測未來性態(tài).微分方程建模的一般方法實(shí)際對(duì)象簡化假設(shè)發(fā)現(xiàn)規(guī)律列出方程求解結(jié)果解釋預(yù)測[例1]細(xì)菌的繁殖模型細(xì)菌的增長率與總數(shù)成正比.如果培養(yǎng)的細(xì)菌總數(shù)在24h內(nèi)由100增長為400,那么,培養(yǎng)到12h時(shí)的總數(shù)時(shí)多少?[解]瞬間都成立的事實(shí)，找到規(guī)律,列出微分方程:解得:找到題目中的特定瞬間信息:設(shè)y(t)表示t時(shí)刻細(xì)菌的總數(shù)，由題目告訴的任何幾個(gè)簡單的動(dòng)態(tài)模型設(shè)一容器內(nèi)原有100L鹽溶液,內(nèi)含有鹽10kg,現(xiàn)以3L/min的速度注入質(zhì)量濃度為0.01kg/L的淡鹽水,同時(shí)以2L/min的速度抽出混合均勻的鹽水.求容器內(nèi)鹽量變化的數(shù)學(xué)模型.

[例2]混合溶液的數(shù)學(xué)模型

[解]容器內(nèi)鹽的改變量=注入的鹽水中所含鹽量-抽出的鹽水中所含鹽量

容器內(nèi)鹽的改變量為dx注入的鹽水中所含鹽量為0.01

3dt

抽出的鹽水中所含鹽量為

列出微分方程:

方程的解為:設(shè)有一容器裝有某種質(zhì)量濃度的溶液,以流量V1注入質(zhì)量濃度為C1的溶液(指同一種類溶液,只是質(zhì)量濃度不同),假定溶液立即被攪勻,并以V2的流量流出這種混合溶液,試建立容器中質(zhì)量濃度與時(shí)間的數(shù)學(xué)模型.

一般的混合問題該模型還適用于討論氣體的混合以上兩個(gè)簡單例子的啟示:關(guān)鍵是建立一個(gè)yˊ

、y、t

的方程.應(yīng)注意題目的這些詞:改變/變化/增加/減少

可以表示為導(dǎo)數(shù)的最常見的量:

速率

增長(生物學(xué)/人口問題)

衰減(放射性/污染物的凈化)

“邊際的”(經(jīng)濟(jì)學(xué))根據(jù)規(guī)律列方程微元分析法模擬近似法利用數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中的定理或經(jīng)過實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的規(guī)律等來建立微分方程模型。利用已知的定理與規(guī)律尋找微元之間的關(guān)系式，與第一種方法不同的是對(duì)微元而不是直接對(duì)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用規(guī)律。在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科的實(shí)際問題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復(fù)雜的，建模時(shí)在不同的假設(shè)下去模擬實(shí)際的現(xiàn)象，建立能近似反映問題的微分方程，然后從數(shù)學(xué)上求解或分析所建方程及其解的性質(zhì)，再去同實(shí)際情況對(duì)比，檢驗(yàn)此模型能否刻畫、模擬某些實(shí)際現(xiàn)象。如何建立微分方程?微分方程模型反映的是變量之間的間接關(guān)系，因此，要得到直接關(guān)系，就得求微分方程。求解微分方程有三種方法：求精確解；求數(shù)值解（近似解）；定性理論方法。[例3]市場價(jià)格模型

對(duì)于純粹的市場經(jīng)濟(jì)來說,商品市場價(jià)格取決于市場供需之間的關(guān)系,市場價(jià)格能促使商品的供給與需求相等(這樣的價(jià)格稱為(靜態(tài))均衡價(jià)格).也就是說,如果不考慮商品價(jià)格形成的動(dòng)態(tài)過程,那么商品的市場價(jià)格應(yīng)能保證市場的供需平衡,但是,實(shí)際的市場價(jià)格不會(huì)恰好等于均衡價(jià)格,而且價(jià)格也不會(huì)是靜態(tài)的,應(yīng)是隨時(shí)間不斷變化的動(dòng)態(tài)過程.

試建立描述市場價(jià)格形成的動(dòng)態(tài)過程的數(shù)學(xué)模型.

[解]

假設(shè)在某一時(shí)刻t,商品的價(jià)格為p(t),它與該商品的均衡價(jià)格間有差別,此時(shí),存在供需差,此供需差促使價(jià)格變動(dòng).

對(duì)于新的價(jià)格,又有新的供需差,如此不斷調(diào)節(jié),就構(gòu)成市場價(jià)格形成的動(dòng)態(tài)過程.

假設(shè)價(jià)格p(t)

隨時(shí)間t的變化率與需求和供給之差成正比,并記f(p)

為需求函數(shù),g(p)

為供給函數(shù).有：

假設(shè)需求函數(shù)

假設(shè)供給函數(shù)

則微分方程為：

式中,k,a,b,c,d

均為正常數(shù).

其解為:結(jié)果討論(1)設(shè)靜態(tài)均衡價(jià)格為,則其應(yīng)滿足:這說明,市場價(jià)格逐步趨于均衡價(jià)格.即于是得

則價(jià)格函數(shù)可寫為:取極限得

結(jié)果討論當(dāng)時(shí),,p(t)單調(diào)下降向靠攏.當(dāng)時(shí),,p(t)單調(diào)增加向靠攏.這說明:初始價(jià)格高于均衡價(jià)格時(shí),動(dòng)態(tài)價(jià)格就要逐步降低,且逐步靠近均衡價(jià)格.否則,動(dòng)態(tài)價(jià)格就要逐步升高.

在巴基斯坦一個(gè)洞穴里，發(fā)現(xiàn)了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科學(xué)家把它帶到實(shí)驗(yàn)室，作碳14年代測定，分析表明，與的比例僅僅是活組織內(nèi)的6.24%，能否判斷此人生活在多少年前？[例4]古尸年代鑒定問題

年代測定：活體中的碳有一小部分是放射性同位素，這種放射性碳是由于宇宙射線在高層大氣中的撞擊引起的，經(jīng)過一系列交換過程進(jìn)入活組織內(nèi)，直到在生物體內(nèi)達(dá)到平衡濃度，這意味著在活體中，的數(shù)量與穩(wěn)定的的數(shù)量成定比，生物體死亡后，交換過程就停止了，放射性碳便以每年八千分之一的速度減少。背景設(shè)t為死后年數(shù)，年代測定的修訂：

1966年，耶魯實(shí)驗(yàn)室的Minze

Stuiver和加利福尼亞大學(xué)圣地亞哥分校的HansE.Suess在一份報(bào)告中指出：在2500到10000年前這段時(shí)間中測得的結(jié)果有差異，其根本原因在于那個(gè)年代，宇宙射線的放射性強(qiáng)度減弱了，偏差的峰值發(fā)生在大約6000年以前。他們提出了一個(gè)很成功的誤差公式，用來校正根據(jù)碳測定出的2300年到6000年前這期間的年代：

真正的年代＝第二次世界大戰(zhàn)比利時(shí)解放后，荷蘭保安機(jī)關(guān)開始搜捕納粹分子的合作者，發(fā)現(xiàn)一名三流畫家H.A.Vanmeegren曾將17世紀(jì)荷蘭著名畫家Jan.Vermeer的一批名貴油畫盜賣給德寇，于1945年5月29日通敵罪逮捕了此人。

Vanmeegren被捕后宣稱他從未出賣過荷蘭的利益，所有的油畫都是自己偽造的，為了證實(shí)這一切，在獄中開始偽造Vermeer的畫《耶穌在學(xué)者中間》。當(dāng)他的工作快完成時(shí)，又獲悉他可能以偽造罪被判刑，于是拒絕將畫老化，以免留下罪證。[例5]范.梅格倫（VanMeegren)偽造名畫案

為了審理這一案件，法庭組織了一個(gè)由化學(xué)家、物理學(xué)家、藝術(shù)史學(xué)家等參加的國際專門小組，采用了當(dāng)時(shí)最先進(jìn)的科學(xué)方法，動(dòng)用了X-光線透視等，對(duì)顏料成份進(jìn)行分析，終于在幾幅畫中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代物質(zhì)諸如現(xiàn)代顏料鈷藍(lán)的痕跡。這樣，偽造罪成立，Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在獄中心臟病發(fā)作而死去。

但是，許多人還是不相信其余的名畫是偽造的，因?yàn)椋?/p>

Vanmeegren在獄中作的畫實(shí)在是質(zhì)量太差，所找理由都不能使懷疑者滿意。直到20年后，1967年，卡內(nèi)基梅隆大學(xué)的科學(xué)家們用微分方程模型解決了這一問題。原理著名物理學(xué)家盧瑟夫（Rutherford）指出：

物質(zhì)的放射性正比于現(xiàn)存物質(zhì)的原子數(shù)。設(shè)時(shí)刻的原子數(shù)為，則有為物質(zhì)的衰變常數(shù)。初始條件半衰期碳-14鈾-238鐳-226鉛-210能測出或算出，只要知道就可算出這正是問題的難處，下面是間接確定的方法。年代。油畫中的放射性物質(zhì)白鉛（鉛的氧化物）是油畫中的顏料之一，應(yīng)用已有2000余年，白鉛中含有少量的鉛(Pb210)和更少量的鐳(Ra226)。白鉛是由鉛金屬產(chǎn)生的，而鉛金屬是經(jīng)過熔煉從鉛礦中提取來出的。當(dāng)白鉛從處于放射性平衡狀態(tài)的礦中提取出來時(shí)，Pb210的絕大多數(shù)來源被切斷，因而要迅速蛻變，直到Pb210與少量的鐳再度處于放射平衡，這時(shí)Pb210的蛻變正好等于鐳蛻變所補(bǔ)足的為止。鈾238鐳226鉛210釙210鉛206（放射性）（無放射性）假設(shè)（1）鐳的半衰期為1600年，我們只對(duì)17世紀(jì)的油畫感興趣，時(shí)經(jīng)300多年，白鉛中鐳至少還有原量的90%以上，所以每克白鉛中每分鐘鐳的衰變數(shù)可視為常數(shù)，用表示。（2）釙的半衰期為138天容易測定，鉛210的半衰期為22年，對(duì)要鑒別的300多年的顏料來說，每克白鉛中每分鐘釙的衰變數(shù)與鉛210的衰變數(shù)可視為相等。建模設(shè)時(shí)刻每克白鉛中含鉛210的數(shù)量為，為制造時(shí)刻每克白鉛中含鉛210的數(shù)量。為鉛210的衰變常數(shù)。則油畫中鉛210含量求解均可測出?？伤愠霭足U中鉛的衰變率，再于當(dāng)時(shí)的礦物比較，以鑒別真?zhèn)?。礦石中鈾的最大含量可能2~3%，若白鉛中鉛210每分鐘衰變超過3萬個(gè)原子，則礦石中含鈾量超過4%。測定結(jié)果與分析畫名釙210衰變原子數(shù)鐳226衰變原子數(shù)Emmaus的信徒們8.50.82洗足12.60.26讀樂譜的婦人10.30.3彈曼陀林的婦人8.20.17做花邊的人1.51.4歡笑的女孩5.26.0若第一幅畫是真品，鉛210每分鐘每克衰變不合理，為贗品。同理可檢驗(yàn)第2，3，4幅畫亦為贗品，而后兩幅畫為真品。[例6]人口預(yù)測模型

影響人口增長的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的遷移、自然災(zāi)害、戰(zhàn)爭等諸多因素.

如果一開始就把所有因素都考慮進(jìn)去,則無從下手.

因此,先把問題簡化,建立比較粗糙的模型,再逐步修改,得到較完善的模型.

英國人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家Malthus于1789年在《人口原理》一書中提出了聞名于世的Malthus人口模型.

Malthus的基本假設(shè)是:在人口自然增長過程中,凈相對(duì)增長(出生率與死亡率之差)是常數(shù),即單位時(shí)間內(nèi)人口的增長量與人口成正比,比例系數(shù)設(shè)為r.

在此假設(shè)下,推導(dǎo)并求解人口隨時(shí)間變化的數(shù)學(xué)模型.

Malthus人口模型[解]設(shè)時(shí)刻t

的人口為N(t),把N(t)當(dāng)作連續(xù)可微函數(shù)處理(因人口總數(shù)很大,可近似地這樣處理,此乃離散變量連續(xù)化處理).根據(jù)Malthus的假設(shè)可得:其解為:此式表明人口以指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間無限增長!

Malthus人口模型檢驗(yàn)

據(jù)統(tǒng)計(jì)1961年地球上的人口總數(shù)N0為3.06

109,而在以后7年中,人口總數(shù)以每年2%的速度增長.于是有:

上式非常準(zhǔn)確地反映了在1700~1961年間世界人口總數(shù).因?yàn)?這期間地球上的人口大約每35年翻一番,而上式斷定34.6年增加一倍.

按此模型計(jì)算,到2670年,地球上將有36000億人口.這是非?；闹嚨慕Y(jié)論.因此,這一模型應(yīng)該修改.

Logistic模型

地球上的各種資源只能供一定數(shù)量的人生活,隨著人口的增加,自然資源環(huán)境條件等因素對(duì)人口增長的限制作用越來越顯著.

如果當(dāng)人口較少時(shí),人口的自然增長率可以看作常數(shù)的話,那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量以后,這個(gè)增長率就要隨人口的增加而減小.

因此,應(yīng)對(duì)馬爾薩斯模型中關(guān)于凈增長率為常數(shù)的假設(shè)進(jìn)行修改.

Verhulst

假設(shè)

1838年,荷蘭生物數(shù)學(xué)家韋爾侯斯特(Verhulst)引入常數(shù)Nm,用來表示自然環(huán)境條件所能容許的最大人口數(shù).假定凈增長率隨著N(t)的增加而減小,即假設(shè)凈增長率等于:

當(dāng)時(shí),凈增長率趨于零.由Verhulst

假定,Malthus模型應(yīng)改為:

其解為:

Logistic模型模型分析模型分析即無論人口的初值如何,人口總數(shù)趨向于極限值Nm.說明N(t)

是時(shí)間t

的單調(diào)遞增函數(shù).說明在人口總數(shù)達(dá)到極限值一半以前是加速生長期,過這一點(diǎn)后,生長的速率逐漸變小,并且遲早會(huì)達(dá)到零,這是減速生長期.(4)用邏輯模型來預(yù)測世界未來人口總數(shù).某生物學(xué)家估計(jì)r=2.9%,又當(dāng)人口總數(shù)為3.06

109時(shí),人口每年以2%的速率增長,由Logistic模型得:即即世界人口總數(shù)極限值近100億.用該模型檢驗(yàn)美國從1790年到1950年的人口,發(fā)現(xiàn)模型計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際人口在1930年以前都非常吻合.但從1930年以后,誤差愈來愈大.其原因是在20世紀(jì)60年代美國的實(shí)際人口數(shù)已經(jīng)突破了20世紀(jì)初所設(shè)的極限人口.由此可見,該模型的缺點(diǎn)之一是Nm不易確定.事實(shí)上,一個(gè)國家經(jīng)濟(jì)越發(fā)達(dá),它所擁有的食物就越豐富,Nm的值也就越大.(4)(5)關(guān)于人口模型的討論,原則上也可以用于在自然環(huán)境下單一物種生存著的其他生物,如森林中的樹木、池塘中的魚等,Logistic模型有著廣泛的應(yīng)用.

問題

描述傳染病的傳播過程

分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律

預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻

預(yù)防傳染病蔓延的手段

按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型[例6]傳染病模型

已感染人數(shù)(病人)i(t)每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為

模型1假設(shè)若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為

2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為

,且使接觸的健康人致病建模

~日接觸率SI模型模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時(shí)刻

(日接觸率)tm

Logistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt

最大模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)SIS模型3）病人每天治愈的比例為

~日治愈率建模

~日接觸率1/

~感染期

~一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。模型3i0i0接觸數(shù)

=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)1-1/

i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01

>10ti

>11-1/

i0t

1di/dt

<0模型4傳染病