浙教版八年級數(shù)學下冊專題1.4二次根式的加減(知識解讀)(原卷版+解析)

專題1.4二次根式的加減（知識解讀）【學習目標】1.理解同類二次根式的定義；1.掌握合并化簡后被開方數(shù)相同的最簡二次根式的方法2.掌握二次根式的加減法則，會運用法則進行二次根式的加減運算3.能應(yīng)用運算律及乘法公式熟練地進行二次根式的混合運算【知識點梳理】知識點1：同類二次根式同類二次根式概念：化簡后被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。合并同類二次根式的方法：把根號外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開方數(shù)不變，合并的依據(jù)式乘法分配律，如知識點2：二次根式的加減二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并。二次根式加減運算的步驟：①化：將各個二次根式化成最簡二次根式；②找：找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；③合：合并被開方數(shù)相同的二次根式——將”系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變。知識點3：二次根式的混合運算二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）【典例分析】【考點1：同類二次根式】【典例1】（2021秋?嘉定區(qū)期末）下列各式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【變式1-1】（2022秋?社旗縣期中）下列式子中與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【變式1-2】（2022秋?閔行區(qū)校級期中）下列二次根式中與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【變式1-3】（2022春?東莞市期中）若最簡根式與是同類二次根式，則m＝．【考點2：二次根式的加減】【典例2-1】（2022春?東莞市期中）計算．【典例2-2】（2022春?富川縣期末）計算：﹣3+．【變式2-1】（2022秋?農(nóng)安縣期中）計算：﹣．【變式2-2】（2022秋?蒸湘區(qū)校級月考）計算：．【變式2-3】（2022秋?通州區(qū)期中）計算：3﹣+．【變式2-4】（2022春?東莞市期中）計算．【考點3：二次根式混合運算】【典例3】（2022秋?雁塔區(qū)月考）計算：×+（）0﹣|﹣2|；（2）（+1）（﹣1）+（1﹣）；（3）÷﹣×+；（4）﹣3+．【變式3-1】（2021秋?鎮(zhèn)海區(qū)期末）計算：×÷；（2）（﹣）×；（3）﹣+．【變式3-2】（2022秋?沙坪壩區(qū)校級期中）計算：（1）2+﹣3；（2）﹣4+÷．【考點4：二次根式化簡求值】【典例4】（2022春?廣州期中）已知x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值：（1）（x+y）2；（2）x2﹣y2．【變式4-1】（2022春?廣州期中）已知：x＝，y＝，求xy2﹣x2y的值．【變式4-2】（2022春?莆田期末）已知x＝+3，y＝﹣3，求下列各式的值（1）x2﹣2xy+y2，（2）x2﹣y2．【典例5-1】（2021秋?畢節(jié)市月考）先化簡，后求值：（a+）（a﹣）﹣a（a﹣2），其中a＝3．【典例5-2】（2021春?連山區(qū)期中）給出以下式子：（﹣）÷，先簡化，然后從﹣1，2，2+2三個數(shù)中，選個合適的數(shù)代入求值．【變式5-1】（2022秋?長泰縣期中）先化簡，再求值：，其中：．【變式5-2】（2021秋?丹江口市期末）（1）已知x＝+1，y＝﹣1，求x2y﹣xy2的值；（2）先化簡，再求值：，其中，m＝﹣2．【變式5-3】（2022春?隆安縣期末）先化簡，再求值：（x+）（x﹣）﹣x（x﹣6）+9，其中x＝﹣1．【考點5：二次根式應(yīng)用】【典例6】（2022春?海滄區(qū)校級期末）有一塊矩形木板，木工采用如圖沿虛線在木板上截出兩個面積分別為12dm2和27dm2的正方形木板．（1）求原矩形木板的面積；（2）如果木工想從剩余的木塊（陰影部分）中裁出長為1.5dm，寬為1dm的長方形木條，估計最多能裁出多少塊這樣的木條，請你計算說明理由．【變式6-1】（2022秋?新蔡縣校級月考）如圖，有一張面積為50cm2的正方形紙板，現(xiàn)將該紙板的四個角剪掉，制作一個有底無蓋的長方體盒子，剪掉的四個角是面積相等的小正方形，此小正方形的邊長為cm．（1）求長方體盒子的容積；（2）求這個長方體盒子的側(cè)面積．【變式6-2】（2022秋?社旗縣期中）高空拋物嚴重威脅著人們的“頭頂安全”，即便是常見小物件，一旦高空落下，也威力驚人，而且用時很短，常常避讓不及．據(jù)研究，高空物體自由下落到地面的時間t（單位：s）和高度h（單位：m）近似滿足公式（不考慮風速的影響，g≈9.8t/s2）．已知一幢大樓高78.4m，若一個雞蛋從樓頂自由落下，求落到地面所用時間．【變式6-3】（2022春?云南期末）某居民小區(qū)有塊形狀為矩形ABCD的綠地，長BC為米，寬AB為米，現(xiàn)在要矩形綠地中修建兩個形狀大小相同的長方形花壇（即圖中陰影部分），每個長方形花壇的長為米，寬為米．（1）求矩形ABCD的周長．（結(jié)果化為最簡二次根式）（2）除去修建花壇的地方，其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價為6元/平方米的地磚，要鋪完整個通道，則購買地磚需要花費多少元？【變式6-4】（2021春?城廂區(qū)期末）人教版初中數(shù)學教科書八年級下冊第16頁閱讀與思考給我們介紹了“海倫﹣秦九韶公式”，它是利用三角形的三條邊的邊長直接求三角形面積的公式：即如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記p＝，那么這個三角形的面積S＝．如圖，在△ABC中，a＝8，b＝4，c＝6．（1）求△ABC的面積；（2）設(shè)AB邊上的高為h1，AC邊上的高為h2，BC邊上的高為h3，求h1+h2+h3的值．專題1.4二次根式的加減（知識解讀）【學習目標】1.理解同類二次根式的定義；1.掌握合并化簡后被開方數(shù)相同的最簡二次根式的方法2.掌握二次根式的加減法則，會運用法則進行二次根式的加減運算3.能應(yīng)用運算律及乘法公式熟練地進行二次根式的混合運算【知識點梳理】知識點1：同類二次根式同類二次根式概念：化簡后被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。合并同類二次根式的方法：把根號外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開方數(shù)不變，合并的依據(jù)式乘法分配律，如知識點2：二次根式的加減二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并。二次根式加減運算的步驟：①化：將各個二次根式化成最簡二次根式；②找：找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；③合：合并被開方數(shù)相同的二次根式——將”系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變。知識點3：二次根式的混合運算二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）【典例分析】【考點1：同類二次根式】【典例1】（2021秋?嘉定區(qū)期末）下列各式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：＝3．A、＝3，3與3的被開方數(shù)不同，不是同類二次根式，不符合題意；B、＝2，2與3的被開方數(shù)相同，是同類二次根式，符合題意；C、＝，與3被開方數(shù)不同，不是同類二次根式，不符合題意；D、＝2，2與與3的被開方數(shù)不同，不是同類二次根式，不符合題意．故選：B．【變式1-1】（2022秋?社旗縣期中）下列式子中與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A、＝＝2，與是同類二次根式，符合題意；B、＝，與不是同類二次根式，不符合題意；C、（）2＝5，與不是同類二次根式，不符合題意；D、＝＝，與不是同類二次根式，不符合題意；故選：A．【變式1-2】（2022秋?閔行區(qū)校級期中）下列二次根式中與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：＝3，A、與3的被開方數(shù)不同，不是同類二次根式，不符合題意；B、＝2，2與3的被開方數(shù)不同，不是同類二次根式，不符合題意；C、＝4，4與3被開方數(shù)相同，是同類二次根式，符合題意；D、＝2，2與與3的被開方數(shù)不同，不是同類二次根式，不符合題意．故選：C．【變式1-3】（2022春?東莞市期中）若最簡根式與是同類二次根式，則m＝．【答案】2【解答】解：∵最簡二次根式與是同類二次根式，∴﹣2m+9＝5m﹣5，解得m＝2，故答案為：2【考點2：二次根式的加減】【典例2-1】（2022春?東莞市期中）計算．【解答】解：＝4﹣5+4﹣2＝﹣+2．【典例2-2】（2022春?富川縣期末）計算：﹣3+．【解答】解：原式＝4﹣+2＝．【變式2-1】（2022秋?農(nóng)安縣期中）計算：﹣．解答】解：原式＝2﹣2﹣3+3＝﹣．【變式2-2】（2022秋?蒸湘區(qū)校級月考）計算：．【解答】解：＝6＝10．【變式2-3】（2022秋?通州區(qū)期中）計算：3﹣+．【解答】解：原式＝6﹣3+＝．【變式2-4】（2022春?東莞市期中）計算．【解答】解：＝4﹣5+4﹣2＝﹣+2．【考點3：二次根式混合運算】【典例3】（2022秋?雁塔區(qū)月考）計算：（1）×+（）0﹣|﹣2|；（2）（+1）（﹣1）+（1﹣）；（3）÷﹣×+；（4）﹣3+．【解答】解：（1）×+（）0﹣|﹣2|＝2×2+1﹣（2﹣）＝4+1﹣2+＝5﹣1；（2）（+1）（﹣1）+（1﹣）＝5﹣1+﹣5＝﹣1；（3）÷﹣×+＝4﹣+2＝4+；（4）﹣3+＝2﹣3×+2＝2﹣+2＝+2．【變式3-1】（2021秋?鎮(zhèn)海區(qū)期末）計算：（1）×÷；（2）（﹣）×；（3）﹣+．【解答】解：（1）×÷＝＝＝4；（2）（﹣）×＝（3﹣）×2＝6﹣6；（3）﹣+＝﹣+＝﹣++＝﹣．【變式3-2】（2022秋?沙坪壩區(qū)校級期中）計算：（1）2+﹣3；（2）﹣4+÷．【解答】解：（1）2+﹣3＝10+2﹣9＝3；（2）﹣4+÷＝3﹣2+2＝3．【考點4：二次根式化簡求值】【典例4】（2022春?廣州期中）已知x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值：（1）（x+y）2；（2）x2﹣y2．【解答】解：（1）∵x＝+1，y＝﹣1，∴x+y＝2，∴（x+y）2＝（2）2＝12；（2）∵x＝+1，y＝﹣1，∴x+y＝2，x﹣y＝2，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2×2＝4．【變式4-1】（2022春?廣州期中）已知：x＝，y＝，求xy2﹣x2y的值．【解答】解：∵x＝，y＝，∴xy＝1，y﹣x＝2，∴xy2﹣x2y＝xy（y﹣x）＝1×2＝2．【變式4-2】（2022春?莆田期末）已知x＝+3，y＝﹣3，求下列各式的值（1）x2﹣2xy+y2，（2）x2﹣y2．【解答】解：（1）當x＝+3，y＝﹣3時，x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝[（+3）﹣（﹣3）]2＝62＝36；（2）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝[（+3）+（﹣3）][（+3）﹣（﹣3）]＝2×6＝12【典例5-1】（2021秋?畢節(jié)市月考）先化簡，后求值：（a+）（a﹣）﹣a（a﹣2），其中a＝3．【解答】解：原式＝a2﹣5﹣a2+2a＝2a﹣5，當a＝3時，原式＝2×3﹣5＝6﹣5＝1．【典例5-2】（2021春?連山區(qū)期中）給出以下式子：（﹣）÷，先簡化，然后從﹣1，2，2+2三個數(shù)中，選個合適的數(shù)代入求值．【解答】解：（﹣）÷＝[﹣]?＝（﹣）?＝?＝?＝，由題意得，x﹣2≠0，x+2≠0，x+1≠0，則x≠2，x≠﹣2，x≠﹣1，∴當時原式＝．【變式5-1】（2022秋?長泰縣期中）先化簡，再求值：，其中：．【解答】解：＝a2﹣3﹣a2+4a＝4a﹣3，當時，原式＝4×（+1）﹣3＝4+4﹣3＝4+1．【變式5-2】（2021秋?丹江口市期末）（1）已知x＝+1，y＝﹣1，求x2y﹣xy2的值；（2）先化簡，再求值：，其中，m＝﹣2．【解答】解：（1）x2y﹣xy2＝xy（x﹣y），原式＝＝1×2＝2；（2）原式＝＝＝，當m＝﹣2時，原式＝．【變式5-3】（2022春?隆安縣期末）先化簡，再求值：（x+）（x﹣）﹣x（x﹣6）+9，其中x＝﹣1．【解答】解：原式＝x2﹣3﹣x2+6x+9＝6x+6，當x＝﹣1時，原式＝6（x+1）＝6．【考點5：二次根式應(yīng)用】【典例6】（2022春?海滄區(qū)校級期末）有一塊矩形木板，木工采用如圖沿虛線在木板上截出兩個面積分別為12dm2和27dm2的正方形木板．（1）求原矩形木板的面積；（2）如果木工想從剩余的木塊（陰影部分）中裁出長為1.5dm，寬為1dm的長方形木條，估計最多能裁出多少塊這樣的木條，請你計算說明理由．【解答】解：（1）∵兩個正方形的面積分別為12dm2和27dm2，∴這兩個正方形的邊長分別為2dm和3dm，∴原矩形木板的面積為3（2+3）＝45（dm2）；（2）最多能裁出3塊這樣的木條．理由如下：∵2≈3.464，≈1.732，3.46÷1≈3（塊），1.73÷1.5≈1（塊），3×1＝3（塊）．∴從剩余的木塊（陰影部分）中裁出長為1.5dm，寬為1dm的長方形木條，最多能裁出3塊這樣的木條．【變式6-1】（2022秋?新蔡縣校級月考）如圖，有一張面積為50cm2的正方形紙板，現(xiàn)將該紙板的四個角剪掉，制作一個有底無蓋的長方體盒子，剪掉的四個角是面積相等的小正方形，此小正方形的邊長為cm．（1）求長方體盒子的容積；（2）求這個長方體盒子的側(cè)面積．【解答】解：（1）由題意可知：長方體盒子的容積為：（cm3），答：長方體盒子的容積為18cm3；（2）長方體盒子的側(cè)面積為：（cm2），答：這個長方體盒子的側(cè)面積為24cm2．【變式6-2】（2022秋?社旗縣期中）高空拋物嚴重威脅著人們的“頭頂安全”，即便是常見小物件，一旦高空落下，也威力驚人，而且用時很短，常常避讓不及．據(jù)研究，高空物體自由下落到地面的時間t（單位：s）和高度h（單位：m）近似滿足公式（不考慮風速的影響，g≈9.8t/s2）．已知一幢大樓高78.4m，若一個雞蛋從樓頂自由落下，求落到地面所用時間．【解答】解：將h＝78.4，g＝9.8代入公式t