高考數(shù)學(xué)大題精做專題10解析幾何中兩類曲線相結(jié)合問題(第五篇)(原卷版+解析)

備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第五篇解析幾何專題10解析幾何中兩類曲線相結(jié)合問題類型對應(yīng)典例圓與橢圓相結(jié)合問題典例1圓與拋物線相結(jié)合問題典例2橢圓與雙曲線相結(jié)合問題典例3橢圓與拋物線相結(jié)合問題典例4雙曲線與拋物線相結(jié)合問題典例5【典例1】【湖南省湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2020屆月考】已知橢圓：的右焦點為，離心率為，是橢圓上位于第一象限內(nèi)的任意一點，為坐標(biāo)原點，關(guān)于的對稱點為，，圓：.（1）求橢圓和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點作與圓相切于點，使得點，點在的兩側(cè).求四邊形面積的最大值.【典例2】【重慶市2019屆高三高考全真模擬】已知點，直線，為直角坐標(biāo)平面上的動點，過動點作的垂線，垂足為點，且滿足．（1）求動點的軌跡的方程；（2）若直線與（1）中的軌跡相切于點，，且與圓心為的圓，相交于，兩點，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求點的坐標(biāo).【典例3】【安徽省滁州市民辦高中2020屆月考】如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為和.（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明；（Ⅲ）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【典例4】【2020屆湖南省長沙市高三上學(xué)期期末】已知橢圖：的右頂點與拋物線：的焦點重合，橢圓的離心率為，過橢圓的右焦點且垂直于軸的直線截拋物線所得的弦長為.（1）求橢圓和拋物線的方程；（2）過點的直線與橢圓交于，兩點，點關(guān)于軸的對稱點為.當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)時，直線是否經(jīng)過一定點？請判斷并證明你的結(jié)論.【典例5】【湖北省黃石市2020屆高三模擬】已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點F與雙曲線的一個焦點重合，過焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點．（1）求拋物線C的方程；（2）記拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點為N，試問是否存在常數(shù)λ∈R，使得且都成立？若存在，求出實數(shù)λ的值；若不存在，請說明理由．【針對訓(xùn)練】1.【浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)2020屆月考】已知點，點是圓上的動點，為線段的中點，為線段上點，且，設(shè)動點的軌跡為曲線.（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）直線與曲線相交于、兩點，與圓相交于另一點，且點、位于點的同側(cè)，當(dāng)面積最大時，求的值.2.【2020屆江西省贛州市石城中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考】已知是拋物線的焦點，恰好又是雙曲線的右焦點，雙曲線過點，且其離心率為．（1）求拋物線和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線過點，且與拋物線交于，兩點，以為直徑作圓，設(shè)圓與軸交于點，，求的最大值．3.【上海市建平中學(xué)2019屆高三下學(xué)期3月月考】設(shè)是以為焦點的拋物線，是以直線與的漸近線，以為一個焦點的雙曲線.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若與在第一象限有兩個公共點，求的取值范圍，并求的最大值；（3）是否存在正數(shù)，使得此時的重心恰好在雙曲線的漸近線上？如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由.4.【2019年11月四川省攀枝花市一?！恳阎獧E圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且此拋物線的準(zhǔn)線被橢圓截得的弦長為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線交橢圓于、兩點，線段的中點為，直線是線段的垂直平分線，試問直線是否過定點？若是，請求出該定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．5.【黑龍江省2020屆仿真模擬】設(shè)直線與拋物線交于，兩點，與橢圓交于，兩點，直線，，，（為坐標(biāo)原點）的斜率分別為，，，，若.（1）是否存在實數(shù)，滿足，并說明理由；（2）求面積的最大值.6【廣東省廣州市2020屆高三模擬】已知雙曲線的焦點是橢圓：的頂點，且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)動點，在橢圓上，且，記直線在軸上的截距為，求的最大值.備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第五篇解析幾何專題10解析幾何中兩類曲線相結(jié)合問題類型對應(yīng)典例圓與橢圓相結(jié)合問題典例1圓與拋物線相結(jié)合問題典例2橢圓與雙曲線相結(jié)合問題典例3橢圓與拋物線相結(jié)合問題典例4雙曲線與拋物線相結(jié)合問題典例5【典例1】【湖南省湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2020屆月考】已知橢圓：的右焦點為，離心率為，是橢圓上位于第一象限內(nèi)的任意一點，為坐標(biāo)原點，關(guān)于的對稱點為，，圓：.（1）求橢圓和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點作與圓相切于點，使得點，點在的兩側(cè).求四邊形面積的最大值.【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)橢圓左焦點為，連接，，易知四邊形為平行四邊形，則，結(jié)合離心率為，可求得，即可求得橢圓和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，代入橢圓方程可得到的關(guān)系式，然后分別求得的面積的表達(dá)式，即可得到四邊形面積的表達(dá)式，結(jié)合的關(guān)系式，求面積的最大值即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓左焦點為，連接，，因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，又離心率為，所以，.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)，則，故.所以，所以，所以.又，，所以.故.由，得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立.【典例2】【重慶市2019屆高三高考全真模擬】已知點，直線，為直角坐標(biāo)平面上的動點，過動點作的垂線，垂足為點，且滿足．（1）求動點的軌跡的方程；（2）若直線與（1）中的軌跡相切于點，，且與圓心為的圓，相交于，兩點，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求點的坐標(biāo).【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)，得到，根據(jù)題意得到點的軌跡方程；（2）根據(jù)題意表示出切線，并且當(dāng)時，面積最大，得到圓心到的距離，構(gòu)造出關(guān)于，的關(guān)系式，求出點坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)，點，直線，過動點作的垂線，垂足為點，．，整理，得動點的軌跡的方程為．（2），所以求導(dǎo)得切點，所以切線斜率所以切線為整理得，，，，，則時，面積最大，此時圓心到直線的距離為．則有，解得，點的坐標(biāo)為．【典例3】【安徽省滁州市民辦高中2020屆月考】如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為和.（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明；（Ⅲ）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【思路引導(dǎo)】(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意知：，2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝2，c＝2.又a2＝b2＋c2，因此b＝2.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.由題意設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1(m＞0)，因為等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點，所以m＝2，因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則k1＝，k2＝.因為點P在雙曲線x2－y2＝4上，所以x－y＝4.因此k1·k2＝·＝＝1，即k1·k2＝1.(3)由于PF1的方程為y＝k1(x＋2)，將其代入橢圓方程得(2k＋1)x2－8kx＋8k－8＝0，顯然2k＋1≠0，顯然Δ＞0.由韋達(dá)定理得x1＋x2＝，x1x2＝.所以|AB|＝＝.同理可得|CD|＝.則，又k1·k2＝1，所以.故|AB|＋|CD|＝|AB|·|CD|.因此存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．【典例4】【2020屆湖南省長沙市高三上學(xué)期期末】已知橢圖：的右頂點與拋物線：的焦點重合，橢圓的離心率為，過橢圓的右焦點且垂直于軸的直線截拋物線所得的弦長為.（1）求橢圓和拋物線的方程；（2）過點的直線與橢圓交于，兩點，點關(guān)于軸的對稱點為.當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)時，直線是否經(jīng)過一定點？請判斷并證明你的結(jié)論.【思路引導(dǎo)】（1）利用橢圓的頂點與拋物線的焦點坐標(biāo)相同，橢圓的離心率，列出方程組，求出，，即可得到橢圓方程拋物線方程；（2）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)，，，，，，求得直線的方程，化簡整理，由直線恒過定點的求法，可得所求定點．【詳解】解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，可得，則：，代入，得，即，所以，則有，.所以橢圓的方程為，拋物線的方程為.（2）依題意，當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)其方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，，則，由，解得或，且，，根據(jù)橢圓的對稱性可知，若直線過定點，此定點必在軸上，設(shè)此定點為，因斜率，得，即，即，即，即，得，由的任意性可知.當(dāng)直線的斜率為0時，直線的方程即為，也經(jīng)過點，所以當(dāng)或時，直線恒過一定點.【典例5】【湖北省黃石市2020屆高三模擬】已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點F與雙曲線的一個焦點重合，過焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點．（1）求拋物線C的方程；（2）記拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點為N，試問是否存在常數(shù)λ∈R，使得且都成立？若存在，求出實數(shù)λ的值；若不存在，請說明理由．【思路引導(dǎo)】（1）由雙曲線方程求出焦點坐標(biāo)，結(jié)合題意可得p＝2，即得拋物線方程；（2）依題意設(shè)，聯(lián)立，消去，得．利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合，求得，再由求得的值，即可求得實數(shù)λ的值．【詳解】（1）由雙曲線，得，，則，即雙曲線的焦點坐標(biāo)為（﹣1，0），（1，0），由拋物線C：y2＝2px（p＞0），且其焦點與雙曲線的一個焦點重合，可得，p＝2．∴拋物線方程為y2＝4x；（2）依題意，F(xiàn)（1，0），設(shè)l：x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，消去x，得y2﹣4ty﹣4＝0．∴，…①且x1＝ty1+1，x2＝ty2+1，又，則（1﹣x1，﹣y1）＝λ（x2﹣1，y2），即y1＝﹣λy2，代入①得，，消去y2得，，且N（﹣1，0），|NA|2+|NB|2＝（x1+1）2+y12+（x2+1）2+y22＝x12+x22+2（x1+x2）+2+y12+y2224t（y1+y2）+8，＝（t2+1）（16t2+8）+4t?4t+8＝16t4+40t2+16．由16t4+40t2+16，解得或（舍），∴，故λ＝2或．【針對訓(xùn)練】1.【浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)2020屆月考】已知點，點是圓上的動點，為線段的中點，為線段上點，且，設(shè)動點的軌跡為曲線.（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）直線與曲線相交于、兩點，與圓相交于另一點，且點、位于點的同側(cè)，當(dāng)面積最大時，求的值.【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）根據(jù)中垂線的概念，可得，然后根據(jù)橢圓的定義，可得結(jié)果.（Ⅱ）根據(jù)面積最大，找到點，得到直線方程，然后聯(lián)立橢圓的方程，計算，同時利用圓的弦長公式計算，根據(jù)，可得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）由題可知：圓圓心，半徑為又為線段的中點，在上且所以為的中垂線，所以又所以點的軌跡為橢圓，設(shè)曲線的方程則由所以曲線的方程（Ⅱ）如圖假設(shè)點在軸上方，設(shè)點當(dāng)面積最大時，則軸所以點則直線方程為：，即點到直線的距離為所以所以所以2.【2020屆江西省贛州市石城中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考】已知是拋物線的焦點，恰好又是雙曲線的右焦點，雙曲線過點，且其離心率為．（1）求拋物線和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線過點，且與拋物線交于，兩點，以為直徑作圓，設(shè)圓與軸交于點，，求的最大值．【思路引導(dǎo)】（1）由雙曲線過點，且其離心率為．可得，，，聯(lián)立解得：，，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．可得，解得．可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為：．此時，．的方程為：．可得．②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，由題意可得：．聯(lián)立化為：．設(shè)，，，．利用根與系數(shù)的關(guān)系可得．設(shè)的半徑為，．過點作，垂足為．在中，，可得范圍，及其范圍，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）由雙曲線過點，且其離心率為．，，，聯(lián)立解得：，．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．由，可得，解得．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為：．此時，．的方程為：．可得，．．②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，由題意可得：．聯(lián)立，化為：．設(shè)，，，．則，．，．設(shè)的半徑為，則．過點作，垂足為．在中，．，則．綜上可得：的最大值為．3.【上海市建平中學(xué)2019屆高三下學(xué)期3月月考】設(shè)是以為焦點的拋物線，是以直線與的漸近線，以為一個焦點的雙曲線.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若與在第一象限有兩個公共點，求的取值范圍，并求的最大值；（3）是否存在正數(shù)，使得此時的重心恰好在雙曲線的漸近線上？如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由.【思路引導(dǎo)】（1）可知焦點坐標(biāo)在軸上，可設(shè)，再根據(jù)兩條漸近線與得出關(guān)系式，再由焦點是，結(jié)合即可求得雙曲線方程；（2）由與在第一象限內(nèi)有兩個公共點和，聯(lián)立雙曲線和拋物線方程，可得的取值范圍；設(shè)，用坐標(biāo)表示，利用韋達(dá)定理及配方法，可得的最大值；（3）由（2）及重心公式可得的重心，，即，，假設(shè)恰好在雙曲線的漸近線上，代入漸近線方程，即可求得結(jié)論．【詳解】（1）由題可知焦點為，故焦點在軸上，設(shè)雙曲線的方程為是以直線與為漸近線，，，，雙曲線方程為；（2）拋物線的焦點，，聯(lián)立雙曲線方程消得：，可得，與在第一象限內(nèi)有兩個公共點和，，設(shè)，則將代入得，函數(shù)的對稱軸為，，時，的最大值為9；（3）由（2）知的重心為，，，，假設(shè)恰好在雙曲線的漸近線上，代入可得，，或，，存在正數(shù)，使得此時的重心恰好在雙曲線的漸近線上4.【2019年11月四川省攀枝花市一模】已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且此拋物線的準(zhǔn)線被橢圓截得的弦長為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線交橢圓于、兩點，線段的中點為，直線是線段的垂直平分線，試問直線是否過定點？若是，請求出該定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．【思路引導(dǎo)】（1）由題意得出，由題意知點在橢圓上，由此得出關(guān)于、的方程組，求出、的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）解法一：由題意可知，直線的斜率不為零，然后分直線的斜率存在且不為零和直線的斜率不存在兩種情況討論，在第一種情況下，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由得出，并寫出直線的方程，由此可得出直線所過定點的坐標(biāo)；在第二種情況下可得出直線為軸，即可得出直線過定點，由此得出結(jié)論；解法二：由題意可知，直線的斜率不為零，然后分直線的斜率存在且不為零和直線的斜率不存在兩種情況討論，在第一種情況下，由點差法可得出直線的斜率為，可寫出直線的方程，即可得出直線所過定點的坐標(biāo)；在第二種情況下可得出直線為軸，即可得出直線過定點，由此得出結(jié)論.【詳解】（1）拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為.由于拋物線的準(zhǔn)線截橢圓所得弦長為，則點在橢圓上，則有，解得，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）法一：顯然點在橢圓內(nèi)部，故，且直線的斜率不為.當(dāng)直線的斜率存在且不為時，易知，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程并化簡得：.設(shè)，，則，解得.因為直線是線段的垂直平分線，故直線的方程為，即，即.令，此時，，于是直線過定點；當(dāng)直線的斜率不存在時，易知，此時直線，故直線過定點.綜上所述，直線過定點；法二：顯然點在橢圓內(nèi)部，故，且直線的斜率不為.當(dāng)直線的斜率存在且不為時，設(shè)，，則有，，兩式相減得，由線段的中點為，則，，故直線的斜率，因為直線是線段的垂直平分線，故直線的方程為，即，即.令，此時，，于是直線過定點；當(dāng)直線的斜率不存在時，易知，此時直線，故直線過定點綜上所述，直線過定點.5.【黑龍江省2020屆仿真模擬】設(shè)直線與拋物線交于，兩點