2023-2024學(xué)年河南省百師聯(lián)盟高二（下）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（6月份）（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年河南省百師聯(lián)盟高二（下）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（6月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若直線l的方向向量為(2,1,m)，平面α的法向量為(1,12,2)，且l⊥α，則m=A.2 B.3 C.4 D.52.某學(xué)校4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只能去1個小區(qū)，且每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法種數(shù)為(

)A.6 B.12 C.24 D.363.已知{an}為等比數(shù)列，公比q>0，a2+a3A.81 B.27 C.32 D.164.甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，破譯的概率分別為13,12A.16 B.23 C.565.如圖F1，F(xiàn)2是雙曲線C1：x2?y28=1與橢圓C2的公共焦點(diǎn)，點(diǎn)A是A.23 B.45 C.356.哈雷彗星大約每76年環(huán)繞太陽一周，因英國天文學(xué)家哈雷首先測定其軌道數(shù)據(jù)并成功預(yù)言回歸時間而得名.已知哈雷是1682年觀測到這顆彗星，則人們最有可能觀測到這顆彗星的時間為(

)A.2041年～2042年 B.2061年～2062年 C.2081年～2082年 D.2101年～2102年7.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在DB，ABA.3 B.22 C.28.若a=14ln4,b=2A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.a<c<b二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列結(jié)論正確的是(

)A.若隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布B(4,12)，則P(ξ=3)=14

B.若隨機(jī)變量η服從正態(tài)分布N(5,σ2)，P(η<2)=0.1，則P(2<η<8)=0.8

C.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，P(X=1)=1210.已知點(diǎn)M在圓x2+y2+2x?3=0上，點(diǎn)P(0,1)，A.存在點(diǎn)M，使得|MP|=1 B.∠MQP≤π4

C.存在點(diǎn)M，使得|MP|=|MQ| 11.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2，公差d=8，在{an}A.an=8n?6

B.當(dāng)k=3時，bn=2n

C.當(dāng)k=3時，b29不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)

D.12.設(shè)f′(x)是三次函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)，f′′(x)是f′(x)的導(dǎo)數(shù)，若方程f′′(x)=0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)(x0,f(x0))為三次函數(shù)y=f(x)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖像的對稱中心A.f(x)的拐點(diǎn)為(?b3,f(b3))

B.f(x)有極值點(diǎn)，則b2?3c>0

C.過f(x)的拐點(diǎn)有三條切線三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.在(x3?314.若函數(shù)f(x)=x3+ax2+2在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增，則15.已知數(shù)列{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列，且a2?16.已知點(diǎn)P在拋物線C：y2=2px(p>0)上，過P作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，點(diǎn)F為C的焦點(diǎn).若∠HPF=60°，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，則p=______．四、解答題：本題共5小題，共58分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知函數(shù)f(x)=1x+2lnx．

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

(2)求函數(shù)18.(本小題12分)

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2?a1=1，S5=3a5．

(Ⅰ)求{an}19.(本小題12分)

如圖，在四面體ABCD中，AD⊥平面ABC，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，AB=AC=2，BC=22，AD=2．

(1)證明：AC⊥BD；

(2)求平面BCD和平面DCM夾角的余弦值．20.(本小題12分)

已知橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，離心率為e=12且過點(diǎn)(0,3)．

(1)求橢圓方程；

(2)過左焦點(diǎn)21.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=ex?ax?1，a∈R．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)已知函數(shù)g(x)=(x?1)ln(x?1)?a，若f(x)≥g(x)答案解析1.【答案】C

【解析】解：∵直線l的方向向量為(2,1,m)，

平面α的法向量為(1,12,2)，且l⊥α，

∴l(xiāng)的方向向量為(2,1,m)與平面α的法向量為(1,12,2)平行，

∴(2,1,m)=λ(1,12,2)．

∴2=λ1=1【解析】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①將4人分為3組，有C42=6種分組方法，

②將分好的3組安排到3個小區(qū)，有A33=6種情況，

則有6×6=36種安排方法．

故選：D【解析】解：∵{an}為等比數(shù)列，公比q>0，a2+a3=12，a1?a5=81=a32，

∴{an}的各項(xiàng)都是正實(shí)數(shù)，∴a3【解析】解：甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，

設(shè)事件A表示甲能破譯密碼，事件B表示乙能破譯密碼，

則P(A)=13，P(B)=12，

密碼被破譯的對立事件是甲、乙同時不能破譯密碼，

∴密碼被破譯的概率為：

P=1?P(A?B?)=1?P(A?)P(B?【解析】解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2a2+y2b2=1,a>b>0，右焦點(diǎn)為F2c,0，

由題意F1，F(xiàn)2是雙曲線C1：x2?y28=1與橢圓C2的公共焦點(diǎn)可知，6.【答案】B

【解析】解：由題意，可將哈雷彗星的回歸時間構(gòu)造成一個首項(xiàng)是1682，公差為76的等差數(shù)列{an}，

則等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=1682+76(n?1)=76n+1606，

∴a5=76×5+1606=1986，a6=76×6+1606=2062，

∴可預(yù)測哈雷彗星在本世紀(jì)回歸的年份為2062年．

故選：【解析】解：在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在DB，AB1上，且BE=2ED,AF=2FB1，正方體的棱長為3，

依題意，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則D(0,0,0)，A(3,0,0)，B(3,3,0)，B1(3,3,3)，

因?yàn)锽E8.【答案】A

【解析】解：由題a=14ln4=12ln2，令f(x)=lnxx，x∈(0,+∞)，

所以f′(x)=1?lnxx2，由f′(x)=0，解得x=e，

所以當(dāng)x∈(0,e)，f′(x)>0，當(dāng)x∈(e,+∞)，f′(x)<0，

所以f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+∞)上單調(diào)遞減，

又2<52<e，所以f(2)<f(52)，即12ln2<25ln52，也即a<b，

又y極大=f(e)=【解析】解：對于A，若隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布B(4,12)，則P(ξ=3)=C43(12)3?(1?12)1=14，故選項(xiàng)A正確．

對于B，若隨機(jī)變量η服從正態(tài)分布N(5,σ2)，P(η<2)=0.1，則P(η>8)=0.1，

故P(2<η<8)=1?P(η<2)?P(η>8)=0.8，故選項(xiàng)B正確．

對于C，若P(X=1)=12，E(X)=12【解析】解：圓x2+y2+2x?3=0即(x+1)2+y2=4，圓心C(?1,0)，半徑r=2，又P(0,1)，

所以|CP|=2，因?yàn)辄c(diǎn)M在圓x2+y2+2x?3=0上，所以|MP|∈[2?2,2+2]，

所以存在點(diǎn)M，使得|MP|=1，故A對；

因?yàn)?1+1)2+22=8>4，所以點(diǎn)Q在圓外，又|CP|=2<r=2，點(diǎn)P在圓內(nèi)，

所以當(dāng)QM與圓C相切時，∠MQP取最大值，

此時∠MQP=π4，所以∠MQP≤π4，故B對；

對于D，設(shè)M(x,y)，若|MQ|=211.【答案】ABD

【解析】解：對于A，由題意得an=2+8(n?1)=8n?6，故A正確；

對于B，新數(shù)列的首項(xiàng)為2，公差為10?24=2，故bn=2+2(n?1)=2n，B正確；

對于C，由B選項(xiàng)可知b29=58，令8n?6=58，所以n=8，所以b29是數(shù)列{an}的第8項(xiàng)，C錯誤；

對于D，插入k個數(shù)，則a1=b1，a2=bk+2+2，a3=b2k+3+a，a4=b3k+4，…，

則等差數(shù)列{an}中的項(xiàng)在新的等差數(shù)列{bn}中對應(yīng)的下標(biāo)是以1為首項(xiàng)，k+1為公差的等差數(shù)列，則an=b1+(n?1)(k+1)【解析】解：A選項(xiàng)，f′(x)=3x2+2bx+c，f′(x)=6x+2b，

令f′(x)=0解得x=?b3，故f(x)的拐點(diǎn)為(?b3,f(?b3))，A正確；

B選項(xiàng)，f(x)有極值點(diǎn)，則f′(x)=3x2+2bx+c有變號零點(diǎn)，故Δ=4b2?12c>0，故b2?3c>0，B正確；

C選項(xiàng)，不妨設(shè)b=c=0，此時f(x)=x3，拐點(diǎn)為(0,0)，f′(x)=3x2，切點(diǎn)為(x0,y0)，y0=x03，

故切線方程為y=3x02x，將(0,0)代入y=3x02x，得x0=0，故過f(x)的拐點(diǎn)有1條切線，C錯誤；

D選項(xiàng)，b=?3，c=1時，f(x)=x3?3x2+x，

f′(x)=3x2?6x+1，

f′(x)=6x?6，

令f′(x)=6x?6=0【解析】解：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C5r?(x3)5?r(?3x)r=C5r?(13)5?r?(?3)r?x【解析】解：若函數(shù)f(x)=x3+ax2+2在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增，

則f′(x)=3x2+2ax≥0在[1,+∞)上恒成立，

則a≥?32x在[1,+∞)上恒成立，

而y=?32x15.【答案】12

【解析】解：∵數(shù)列{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列，

∴設(shè)其公比為q，則q>0，

由a2?a3=3，得a1q?a1q2=3，

則a1=3?q2+q，q>0，又an>0，解得a1【解析】解：如圖所示：

不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，聯(lián)立y2=2pxx=1，整理得x=1y=±2p，即P(1,2p)，

由題意得PH⊥y軸，則PH/?/x軸，則∠xFP=∠HPF=60°，

∴直線PF的傾斜角為60°，

又焦點(diǎn)F(p2,0)，則kPF=2p1?p2=3，整理得22p=3(2?p)，且2?p>0，故0<p<2，

∴217.【答案】解：(1)函數(shù)f(x)=1x+2lnx，可得f′(x)=?1x2+2x，

所以f′(1)=1且f(1)=1，即切線的斜率為k=1且切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，

所以切線方程為y?1=x?1，即x?y=0．

(2)由(1)知，f′(x)=2x?1x2,x>0，

當(dāng)x∈(0,12)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(12,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=1【解析】(1)先求切點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫出切線方程；

(2)求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的極值判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)．

18.【答案】解：(Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2?a1=1，S5=3a5，

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

由題意得a2?a1=d=15a1+10d=3(a1+4d)，解得a1=1d=1，

所以an=a【解析】(Ⅰ)由題意a2?a1=d=1519.【答案】解：(1)證明：∵AD⊥平面ABC，又AC?平面ABC，

∴AC⊥AD.∵AB=AC=2,BC=22，

∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB．

又AD∩AB=A，AD，AB?平面ABD，

∴AC⊥平面ABD．

又BD?平面ABD，

∴AC⊥BD．

(2)由題及(1)可知AB，AC，AD兩兩相互垂直，以AB，AC，AD所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則根據(jù)題意可得：D(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，M(1,0,0)，

∴BC=(?2,2,0),DC=(0,2,?2),CM=(1,?2,0)，

設(shè)平面BCD和平面DCM的法向量分別為m=(x,y,z),n=(a,b,c)，

則m⊥BCm【解析】(1)先證AC⊥平面ABD，再利用線面垂直的性質(zhì)定理即可得證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BCD和平面DCM的法向量，利用向量夾角公式即可求解．20.【答案】解：(1)根據(jù)題目所給已知條件：離心率為e=12且過點(diǎn)(0,3)，我們可以得到b=3，e=1?b2a2=12，所以解得a2=4，

進(jìn)一步我們可以得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1．

(2)由(1)知，F(xiàn)1(?1,0)．

根據(jù)直線MN的斜率是否存在分兩種情況進(jìn)行討論．

當(dāng)直線MN斜率為零時，不妨設(shè)M(?2,0)，N(2,0)，

則F1M=(?1,0),F1N=(3,0),F1M?F1N=?3,|MN|=4，

此時存在λ=?43，使|MN|=λF1M?F1N成立，

【解析】(1)根據(jù)題目條件得到a，b即可．

(2)聯(lián)立方程，根據(jù)弦長公式得到|MN|=12(m2+1)3m2+4=4?43m2+4，進(jìn)而得到最值．

21.【答案】解：(1)f′(x)=ex?a，

①若a≤0，f′(x)>0，f(x)在(?∞,+∞)上單調(diào)遞增；

②若a>0，當(dāng)x∈(?∞,lna)時，f′(x)<0，f(x)在(?∞,lna)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(lna,+∞)時，f′(x)>0，f(x)在(lna,+∞)上單調(diào)遞增．

綜