選擇性必修第一冊模塊檢測B（解析版）

2020-2021年高二數(shù)學選擇性必修一尖子生同步培優(yōu)題典

選擇性必修第一冊模塊檢測B解析版

學校:姓名：班級：考號：

注：本檢測滿分150分。其中8道單選題，4道多選題，4道填空題，6道解答題。

一、單選題

1.在棱長為1的正方體ABCD-中,P是底面ABCD上（含邊界）一動點,滿足\P±AQ,

則線段AP長度的取值范圍（）

A.J',行B.",8C.口,行］D.［后,6］

【答案】A

【解析】

【分析】

利用線面垂直的判定定理可以證明，平面這樣可以確定P的軌跡，利用平面幾何的知

識求出AP的最值，選出答案.

【詳解】

因為CG，底面ABCQ,QBu底面ABC。，所以底面ABC。是正方形，所以有

CA±BD,C￡cC4=C,C￡,CAu平面CC]A,因此有平面CC]A,u平面CQA,

所以有3DLAC1，同理可證明出AC,因為5。門必=。，5D,D4］u平面5D4］，所

以AC1，平面所以點尸的軌跡就是線段2D,所以尸在3或。時AP最長為后，在瓦）中

點時AP最短為述.

2

故選：A

【點睛】

本題考查了空間點的軌跡問題，考查了線面垂直的判定定理，考查了推理論證能力.

22

2.已知雙曲線二-1=1（°>01>0）的焦距為2石，且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0平行,

ab

則雙曲線的方程為（）

222

X21Q2y2X3x3y2

A.-----y=1B.x-------=1C.-----------=1D.--------------=1

44164520

【答案】B

【解析】

【分析】

利用雙曲線二-=l（。＞0,b＞0）的焦距為2岔，且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0平

ab

行，求出幾何量mb,c,即可求出雙曲線的方程.

【詳解】

22

..?雙曲線二-：=1（。＞0,匕＞0）的焦距為26,且雙曲線的一條漸近線與直線2尤+y=0平行，

ab

.?心=-2,

a

??b'='-2a,

■:心=建+吩,

1?。=2,

2

雙曲線的方程為爐―21=1.

4

故選B.

【點睛】

本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查待定系數(shù)法的運用，確定雙曲線的幾何量是關(guān)鍵.

3.設(shè)點4（2,-3）,直線/過點P（l,l）且與線段AB相交，貝！1/的斜率左的取值范圍是

（）

333

A.左2—或左W-4B.-4＜k＜-C.—＜左＜4D.以上都不對

444

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，設(shè)直線/的方程為y—l=Mx—1）,即依—y+1—左=0,由一元二次不等式的幾何意義

可得（2左+3+1—左）（—3左+2+1—左）,,0,解可得上的取值范圍，即可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，設(shè)直線/的方程為y—l=Mx—1）,即區(qū)—y+1—左=。，

直線/過尸（U）且與線段A6相交，則4、B在/的兩側(cè)或在直線上，

則有（2k+3+1—k）（—3k+2+1—k\,0,即（左+4）（4左—3）..0,

3,

解得：左…一或匕,—4,

4

故選：A.

【點睛】

本題考查一元二次不等式表示平面區(qū)域的問題，注意直線與線段相交，即線段的2個端點在直線的

兩側(cè)或在直線上.

4.若圓。：/+/+2》—4y+3=0關(guān)于直線2a%+勿+6=0對稱，則由點（。3）向圓所作的切線

長的最小值是（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【解析】

【分析】

由題意圓C的圓心（一1,2）在直線2ax+勿+6=0上，可得—2a+26+6=0,即點（。力）在直線

x+y+3=0上，過點作圓C的切線，切點為E,則DE=JCD?_4=k斤-2，只需CD

最短，可得答案.

【詳解】

由將圓C的方程化為標準方程為：（x+iy+（y-2『=2,

圓心為（—1,2）,半徑為0,

因為圓C關(guān)于直線2ax+紗+6=0對稱，

所以圓心位于該直線上，將圓心坐標代入直線方程中，

有-2a+2b+6=0,即點（。力）在直線/：-工+y+3=0上,

設(shè)。（。8），過點作圓C的切線，切點為E

則DE=巧2_干=-2

要使得切線OE長最短，則只需CD最短.

CD的最小值為過點C作直線/：—x+y+3=0的垂線.

此時CD=口±泮1

=3\/2,CE=r=夜

V2

所以根據(jù)勾股定理，得DE=《CD2—CE2=4

故選：C

【點睛】

本題考查了求圓的切線長,解題關(guān)鍵是掌握圓的定義和圓切線的長的求法,，考查了分析能力和計算能

力,屬于中檔題.

5.已知圓C經(jīng)過原點。且圓心在X軸正半軸上，經(jīng)過點N(-2,0)且傾斜角為30。的直線/與圓C相

\MN\

切于點Q,點。在x軸上的射影為點p,設(shè)點以為圓C上的任意一點，則―=()

\MP\

A.4B.3c.2D.1

【答案】C

【解析】

分析：根據(jù)題干寫出直線方程，再利用直線與圓相切求出圓心坐標為(2,0),寫出圓的方程，得出P

點坐標，設(shè)并將圓的方程代入上\MVN\可求得值為2.

\MP\

詳解：由題可知直線/:y=?(x+2)，即x—6y+2=0，

|?+2|

設(shè)圓心C(a,0)(a>0),則(而解得a=2.

所以圓C的方程為：(x—2)2+)?=4,

將/：y=*(x+2)代入圓。的方程，可解得?=1,故尸(L0)，

則解(x+2)2+y2_x2+y2+4x+4

設(shè)M(x,y),

(x-1)2+y2x2+y2-2x+l

II2x2+y2+4x+4_8x+4

將圓C的方程V+/=4x代入得M途N‘

x?+—2x+12x+1

所以局\MN\=2'故選C.

點睛：已知直線方程/：At+為+C=0,和圓的方程C:(x—a了+⑶―⑨2=/，且設(shè)圓心(久切

到直線/的距離為d,則d<ro直線與圓相交；d=r。直線與圓相交.

6.設(shè)P為直線3x—4y+13=0上的動點，PA,依為圓C:(x—2y+(y—=1的兩條切線，人、

3為切點，則四邊形AP3C面積的最小值為()

A.V2B.2V2c.VwD.2M

【答案】B

【解析】

【分析】

作出圖形，求得|PA|的最小值，進而可求得四邊形APfiC面積的最小值.

【詳解】

如下圖所示：

易知圓心。(2,1),圓的半徑為1，由圓的幾何性質(zhì)可得AC，44,

由勾股定理得|PA|=J|PCf一1,當怛。取最小值時，|PA|最小，

|3x2-4xl+13|

\PC\的最小值為點C到直線3x—4y+13=0的距離d=5.一=3

=A/32-1=2A/2,

:.\IPA\Imi.n

由切線長定理得Q4=PB，又AC=6C,PC=PC,.?.△B4cM△PBC,

所以，四邊形APBC面積S=2s滓=2X||PA|X1>2A/2.

故選:B.

【點睛】

本題考查兩切線圍成的四邊形面積最值的計算，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

221Q

7.已知B，B是橢圓C：土+4=1的左、右焦點，離心率為二，點A的坐標為(1,—)，則/KA色

4廳22

的平分線所在直線的斜率為()

A.2B,1C.73D.72

【答案】A

【解析】

【分析】

由題得：片=4,結(jié)合e=g得出橢圓方程，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，過點片作角平分線的對稱點尸,

由中點坐標公式求出F］F的中點Q,即可求得的平分線所在直線的斜率.

【詳解】

2*4222

由題可知：/=4，c=a-b=4-Z?，

已知e=—,則e2=t=LL=L,得出廿=3，

2a244

22

所以橢圓方程為：—+^=1.

43

焦點耳(—1,0),與(1,0)而即：AF21X^.\AF2\=^,

又因為：|秋|=|A閶=2a=4得恒用=*

設(shè)：Nf；A層的角平分線所在直線為/,

則點入關(guān)于/的對稱的點為

所以：R在人工的延長線上，但|AF|=|A用=}則但閭=1

所以：網(wǎng)-)

設(shè)耳廠的中點為Q,有。［。，―；］,

3

得出AQ所在直線的斜率，2

kAQ=~=2'

即ZFtAF2的平分線所在直線的斜率為2.

本題主要考查橢圓的標準方程，利用了橢圓的幾何性質(zhì)、離心率和角平分線的性質(zhì)，以及中點坐標

公式和斜率公式相結(jié)合.

22

8.已知月，產(chǎn)2分別為雙曲線C：,—當=1的左，右焦點，過點工的直線與雙曲線C的右支交于

ab

A,B兩點,設(shè)點H%，%)，G(XG，〉G)分別為△"$△即8的內(nèi)心,若|%|=3|%|，則

雙曲線離心率的取值范圍為()

A.[2,+00)B.(1,V2]C.(1,2]D.(1,2)

【答案】D

【解析】

【分析】

結(jié)合圖形，由雙曲線的定義及內(nèi)切圓的性質(zhì)可得人片-4鳥=可口-羋，即5=a,同理可得

xG=a,從而可得4心，再由血|=3僅G|，可得FH=3FG,設(shè)直線A3的傾斜角為氏

在即△KFG和放△心切中，分別將“，EG用。表示代入即可求出直線的斜率，再結(jié)合

直線A6與雙曲線右支交于兩點，即可求出一＜3，進而可求出離心率的取值范圍.

a

【詳解】

不妨設(shè)直線的斜率大于0.如圖：

連接HG.HF2,GF2,設(shè)△△月月的內(nèi)切圓與三邊分別切于點。，E，F(xiàn)，則

人耳―Ag=(AE+Eg)=D「—Eg=片/—

所以2a=c+5一（。一%）,即x“=a,同理可得加=。，所以心,

00

設(shè)直線A5的傾斜角為8,在口尸G中，F(xiàn)G=FF2tan-=（c-a）tan-,

71—0710

在Rt/\FFH中，F(xiàn)H=FF(〃

22tan---=(?-)?tan~2~2

又W=3僅G|，所以FH=3FG,

gp(c-a)tan=3(c-a)tan—,解得tan—=，

23

ce

2tan—

所以tan9=--------%=布，即直線A3的斜率為6,

1-tan2—

2

由題意，直線與雙曲線右支交于兩點，故

a

【點睛】

本題主要考查了結(jié)合平面幾何知識求雙曲線的離心率的取值范圍，屬于難題.

二、多選題

9.如圖四棱錐尸-A5CD,平面上M>J_平面ABC。，側(cè)面上4D是邊長為2#的正三角形，底

面ABC。為矩形，CD=2日點。是的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

尸

A.CQ，平面上4D

B.PC與平面AQC所成角的余弦值為逑

3

C.三棱錐3-AC。的體積為6虛

D.四棱錐Q-A5C。外接球的內(nèi)接正四面體的表面積為24月

【答案】BD

【解析】

【分析】

取A。的中點。，的中點E，連接OE,OP,則由已知可得。尸，平面ABCD,而底面ABCD

為矩形，所以以。為坐標原點，分別以O(shè)D,OE,OP所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直

角坐標系，利用空間向量依次求解即可.

【詳解】

解：取A。的中點。，8c的中點E，連接OE,OP,

因為三角形為等邊三角形，所以O(shè)PLAD,

因為平面上40,平面ABCD,所以O(shè)PL平面ABCD,

因為所以O(shè)D,OE,OP兩兩垂直，

所以，如下圖，以。為坐標原點，分別以0。,02。尸所在的直線為》軸，V軸，z軸,

建立空間直角坐標系，則0(0,0,0),D(#,0,0),A(—JG,0,0),

P(0,0,3y/2),C(A/6,273,0),B(-y/6,2A0),

因為點。是尸。的中點，所以。(日,0,半)，

平面上4D的一個法向量為根=(0,1,0)，

,顯然m與QC不共線,

所以。。與平面B4D不垂直，所以A不正確;

PC=（瓜2省,-30）,AQ=（當,0,孚）,AC=（2瓜26,0），

設(shè)平面AQC的法向量為〃=（x,y,z）,則

一.八376342

n-AQ=-----xH--------z=。n

<22,

n-AC=2A/6X+2布y=0

令x=l,則y=-0,z=-6，

所以〃=（1,—0,一百），

設(shè)PC與平面AQC所成角為e,

ruun

n-PC276_1

則sin0=

6A/63

所以COS6=R2,所以B正確;

3

三棱錐5—ACQ的體積為

VB-ACQ=%-ABC=gS..,gOP

=ix-x2^x2V6x-x3V2=6,

322

所以C不正確；

設(shè)四棱錐Q—A3CD外接球的球心為V（0,、Q,a），則MQ=MD,

解得?=0,即M(0,0,0)為矩形A3CD對角線的交點，

所以四棱錐Q-ABCD外接球的半徑為3,

設(shè)四棱錐Q-A3CD外接球的內(nèi)接正四面體的棱長為x,

將四面體拓展成正方體，其中正四面體棱為正方體面的對角線,

故正方體的棱長為叱》,所以362,得J=24,

2

所以正四面體的表面積為4x^x2=24百，所以D正確.

4

故選：BD

【點睛】

此題考查線面垂直，線面角，棱錐的體積，棱錐的外接球等知識，綜合性強，考查了計算能力，屬

于較難題.

10.如圖，正三棱柱ABC—4旦。中，BCX1ABt,點。為AC中點，點E為四邊形5。。由內(nèi)

（包含邊界）的動點則以下結(jié)論正確的是（）

A.DA=1（741A-JB1A+BC）

B.若DE〃平面A5與4,則動點E的軌跡的長度等于巫AC

2

C.異面直線AO與8G，所成角的余弦值為亞

6

D.若點E到平面ACG4的距離等于且EB,則動點E的軌跡為拋物線的一部分

2

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根據(jù)空間向量的加減法運算以及通過建立空間直角坐標系求解，逐項判斷，進而可得到本題答案.

【詳解】

解析：對于選項A,=—4A+3C）,選項A錯誤;

對于選項B,過點D作A4的平行線交AG于點2.

以。為坐標原點，DA,DB,DD[分別為K%z軸的正方向建立空間直角坐標系Oxyz.

設(shè)棱柱底面邊長為。，側(cè)棱長為力,則A^.O.OjB]b,G[—,0,b

I2J12

~.八〃faV3八…（a6

所以BC]=——,—~a^，AB[=——-

2222

：.BCrAB1=0,

即------CL+/=0,解得b=*a.

12J2

阿1=受a.選項B正確.

因為〃平面A8與A，則動點E的軌跡的長度等于

/3〕

對于選項C,在選項A的基礎(chǔ)上，—,0,0j,Bo,0,Z）（0,0,0）,G——,0,----a

2

7）

所以D4=5,0,0,3G=15,一耳。，耳。）

2

BC]DA=-%所以異面直線叫沖所成角的余弦值

因為cos<Bq,DA>=1_

I||DA|a2

為逅，選項C正確.

6

對于選項D,設(shè)點E在底面ABC的射影為E1,作血/垂直于AC,垂足為F,若點E到平面ACQA

的距離等于立EB,即有=仍，又因為在ACE1產(chǎn)中，E1F=—E1C，得EB=E1C,

222

其中E1C等于點E到直線CC1的距離，故點E滿足拋物線的定義，另外點E為四邊形3CG4內(nèi)（包

含邊界）的動點，所以動點E的軌跡為拋物線的一部分，故D正確.

故選：BCD

【點睛】

本題主要考查立體幾何與空間向量的綜合應(yīng)用問題，其中涉及到拋物線定義的應(yīng)用.

11.以下四個命題表述正確的是()

A.直線(3+加卜+4丁-3+3機=0(機62恒過定點(-3,-3)

B.已知圓。：/+丁2=4,點P為直線5+5=1上一動點，過點尸向圓C引兩條切線協(xié)、PB,4、

B為切點,則直線A3經(jīng)過定點(1,2)

C.曲線G；/+V+2x=0與曲線。2；/+V-4x-8y+機=0恰有三條公切線，則加=4

D.圓式+/=4上存在4個點到直線l:x-y+s/2=0的距離都等于1

【答案】BC

【解析】

【分析】

根據(jù)直線與圓的相關(guān)知識對各選項逐個判斷即可解出.直線恒過定點(-3,3),判斷A錯誤；求出直

線方程制X-￡+2〉-4=0,判斷直線經(jīng)過定點(L2),3正確；根據(jù)兩圓外切，二條公切線，

可得C正確；根據(jù)圓心(0,0)到直線l:x-y+0=O的距離等于1,判斷。錯誤.

【詳解】

對于A，直線方程可化為機(％+3)+3x+4y—3=0,令x+3=0,則3x+4y—3=0,x=-3,

>=3,所以直線恒過定點(—3,3),4錯誤；

m?7

對于3,設(shè)點尸的坐標為(私”)，所以，-+以。尸為直徑的圓的方程為f+y2TM-“y=o,

兩圓的方程作差得直線A3的方程為：陽+〃y=4,消去"得，%(尤-/+2y-4=0,

令x-g=0,2j-4=0,解得x=l,y=2,故直線A3經(jīng)過定點(1,2),3正確；

對于C,根據(jù)兩圓有三條公切線，所以兩圓外切，曲線G.?/+丁2+2%=?；癁闃藴适降?

(x+l)2+y2=1

曲線C2:/一4x-8y+m=0化為標準式得，（了一2）2+（y-4了=20-m>0

所以，圓心距為5,因為有三條公切線，所以兩圓外切，即1+而二而=5,解得加=4,C正確；

對于。，因為圓心（0,0）到直線l:x-y+女=0的距離等于1,所以直線與圓相交，而圓的半徑為2,

故到直線距離為1的兩條直線，一條與圓相切，一條與圓相交，因此圓上有三個點到直線

l:x-y+后=0的距離等于1,。錯誤；

故選：BC.

【點睛】

本題主要考查直線系過定點的求法，以及直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.

22

12.已知點尸是雙曲線E:土-匕=1的右支上一點，耳耳雙曲線E的左、右焦點，△尸打鳥的面

169

積為20,則下列說法正確的有（）

onQH

A.點尸的橫坐標為§B.的周長為三

TT3

C./與2工小于gD.鳥的內(nèi)切圓半徑為3

【答案】ABCD

【解析】

【分析】

在焦點三角形中利用S兩&=5.2c|y/=—O=因三種表達形式，可判定ACZ）選項正

tan—

2

確，由兩點間的距離公式表示歸閭，利用雙曲線的定義表示|尸￡|,從而表示鳥的周長，即

可判定3選項正確.

【詳解】

22________

因為雙曲線E:二匕=1,所以c=J16+9=5

169

又因為S"向=g-2c|yJ=g-10-|y/=20,所以|力|=4

Y~丫2尤24220

將其代入E:二—匕=1得二—t=1,即》=一，所以選項A正確；

1691693

所以P的坐標為6,±4）由對稱性可知|*手―5+42=~,

1337

由雙曲線定義可知|P周=|和|+24=《+8=可

1337co

所以C"心=|P^|+|P^|+2c=y+y+10=y,所以選項8正確;

b29r-

q---7T=----7\—20由a09v37i

因為「"200f所以tan———<——tan—，

tan-tan-22036

即,〈工，所以/耳尸月=。(工，所以選項c正確;

26123

11QA3

因為?一=20,所以r=一,所以選項。正確.

SrMriFr2=n--r-CPrrFirF2=n--ro)

故選：ABCD

【點睛】

本題考查雙曲線的焦點三角形問題，主要涉及面積公式的變形應(yīng)用和雙曲線的定義使用，屬于難題.

三、填空題

13.在y軸上的截距為-6,且與y軸的夾角為30。的直線方程是.

【答案】＞=氐_6或＞=_島_6

【解析】

試題分析:因為與y軸相交成30。角，所以直線的傾斜角為60。或120。，所以直線的斜率為6或-6,

所以又與y軸上的截距為一6,所以直線方程為＞=0x-6或丁=-氐-6.

考點：直線的方程

14.數(shù)學家默拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心(外心是三角形三條邊的垂直平分

線的交點重心是三角形三條中線的交點，垂心是三角形三條高的交點)依次位于同一直線上，且重心

到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線，已知AABC的頂

點B(-l,0),C(0,3),AB=AC,則AABC的歐拉線方程為

【答案】x+3y-4=0

【解析】

【分析】

因為AB=AC,所以AABC外心，重心，乖心都位于線段的垂宜平分線上，由兩直線垂直斜

率的關(guān)系以及兩點的斜率公式得出線段的垂直平分線的斜率，由中點坐標公式得出的中點

坐標，最后由點斜式寫出方程.

【詳解】

因為AB=AC,所以AABC外心，重心，垂心都位于線段的垂直平分線上

設(shè)線段5C的垂直平分線的斜率為左，則左x左.=-1

k3-0=3,:.k=-L

ZBC

0-(-1)3

又因為BC的中點坐標為

311

所以A4BC的歐拉線方程為y—a=—3口+萬），即龍+3y-4=0

故答案為：x+3y—4=0

【點睛】

本題主要考查了兩直線垂直斜率間的關(guān)系，中點坐標公式，點斜式寫出直線方程，屬于中檔題.

15.如圖，拋物線。：丁=20%（。＞0）的焦點為R，準線4與*軸交于點M，過〃點且斜率為左

的直線/與拋物線C交于第一象限內(nèi)的A,3兩點，若貝（JcosNAEB=.

【解析】

【分析】

過點4作AE，/。，垂足為點E,拋物線的定義知|AE|=|”|,在RtZVU"中，利用題干條件和

333

三角函數(shù)可得tanNMAE1=—，sinZAFN=—,同理可得sin/BEr=—,由

444

cosZAFB=cos（7T-2ZAFN）即可得出答案.

【詳解】

如圖所示，過點A作AE，/°，垂足為點E.

由拋物線的定義知|4同=|人/|,

在RtAAME中,

-：\AM\=^\AF\,：.cosZMAE=|,

3

tanZMAE=—.

4

過點人作AN，％軸，垂足為點N,

EANEM/…L3

則sinZAFN==----=tan/MAE=—,

AFAE4

3

同理得sinNBBc=—,

4

...cosZAFB=cos（乃—2/AFN）=2sin2ZAFN-1=1.

故答案為：-

8

【點睛】

本題考查了拋物線的定義、直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)、直線的斜率等基礎(chǔ)知識與基本技能

方法的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

22

16.已知月，B分別為雙曲線亍-齊=1（。〉0力〉0）的左、右焦點，以百耳為直徑的圓與雙曲

線在第一象限和第三象限的交點分別為"，N,設(shè)四邊形耳轉(zhuǎn)〃的周長為夕，面積為S,且滿

足32S=P2,則該雙曲線的離心率為.

【答案】國

2

【解析】

【分析】

本題首先可根據(jù)題意繪出圖像并設(shè)出M點坐標為“（玉,％）,然后通過圓與雙曲線的對稱性得出

=SmBN，再根據(jù)“點M（玉,％）即在圓上，也在雙曲線上”聯(lián)立方程組得出V1=—,然后

C

根據(jù)圖像以及32s="可得s=202和p=8b,接下來利用雙曲線定義得出M4=2b+a以及

MF2=2b-a,最后根據(jù)〃耳2+班2=耳瑪2并通過化簡求值即可得出結(jié)果。

如圖所示，根據(jù)題意繪出雙曲線與圓的圖像，設(shè)

由圓與雙曲線的對稱性可知，點M與點N關(guān)于原點對稱，所以Sm&"=5巧&心

因為圓是以耳區(qū)為直徑，所以圓的半徑為。，

「22

工』=1

2

因為點"（石，x）在圓上，也在雙曲線上，所以有d/b,

222

K+v=c-

22

聯(lián)立化簡可得》2（。2-靖）-。2靖=ab,整理得62c2-42,2=人2y2+/%2,

1,2

4222

b=cyi,?=幺，所以S=2S邙E〃=2C?X2b,

c

因為32s=02,所以夕？=64廿，p=8b,

因為P=MR+MF、+NF1+NE,=21MF[+MF,,所以A/片+加工=46,

MF,+MF,=4b

因為A/片-A/8=2。，聯(lián)立《可得A/G=2b+〃，MF2-lb-a,

'-~MF2=2a一

因為EK為圓的直徑，所以*2+/招2=耳心2,

即(2Z?+a『+(2匕-=4<?,8b2+2a2=4c2>4b2+a2=2c2，

4c2-4a2+a~=2c2>2c2=3a2>;=?,所以離心率e=￡=^^。

a22a2

【點睛】

本題考查圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，主要考查雙曲線與圓的相關(guān)性質(zhì)，考查對雙曲線以及圓的定義的靈

活應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想以及方程思想，考查了學生的計算能力，體現(xiàn)了綜合性，是難題。

四、解答題

17.如圖，四棱錐S—的底面是正方形，即，平面4BCD,SD=2a,AD=叵a苴E是SD

上的點，且。E=4a(0<4<2)

(1)求證：對任意的Xw(0,2],都有

(2)設(shè)二面角CTE—O的大小為6?,直線BE與平面ABC。所成的角為9,若sino=cos。，

求彳的值

【答案】(1)證明見解析；(2)0.

【解析】

【分析】

(1)以。為原點，￡>AOC,OS的方向分別作為尤，》z軸的正方向建立空間直角坐標系，求出

AC,BE,證明AC.BE=0即可；

(2)利用向量法表示出sin。,cos。，即可建立方程求解.

【詳解】

(1)證法：以。為原點，的方向分別作為x,y,z軸的正方向建立如圖所示的空間直

角坐標系,

則D(0,0,0),A(0a,0,0),B?a,插a,0),C(0,缶,0),E(0,0,Aa),

AC=(—y/2ct,A/24Z,0),BE=(--x/zicz,—y/2,ci,Act)

?■AC-BE=2a2—2a?+0-Act=0,

即AC±BE；

(2)由(1)得￡A=(0a,O,—幾。),石。=(0,缶,—％a),BE=(—"z,—缶,/la).

設(shè)平面ACE的法向量為n=(x,y,z),則由〃_LEA,n_LEC得

n-EA=0yflx-^z-0

,即《

n,EC=042y-Az=0

取z=V^，^n=(2,7l,^/2)?

易知平面ABCD與平面ADE的一個法向量分別為DS=(0,0,2a)與

2

DC=(0,0a,0)sincp=弋產(chǎn)=,cos9=J"："=間.

3\DS\.\BE\\Dc\.\n\7^2

XA

sin(b=cos0,即/==/-----=2.

“2+4，2%+2

由于丸e(0,2],解得彳=0,即為所求.

【點睛】

本題考查空間直線垂直的證明，考查空間角的求解，屬于中檔題.

18.如圖1,在邊長為2的菱形ABC。中，ZJB4D=60°,DELAB于點E,將AAT石沿。石折起

到AA|DE的位置，使a。，BE,如圖2.

D

(1)求證：AE，平面3CDE；

BP

(2)在線段6。上是否存在點P,使平面AEP，平面A3。？若存在，求而的值；若不存在,

說明理由.

BP1

【答案】(1)證明見解析；(2)存在，且二=:

BD4

【解析】

【分析】

(1)^DIBE,EDLBE,由線面垂直的判定定理得到班1平血4。石，從而有BE^AE，又

\EVDE,再由線面垂直的判定定理證明。

(2)假設(shè)在線段5。上是否存在點P，使平面AEP，平面Af。，根據(jù)(1)建立空間直角坐標系,

設(shè)尸(無,y,z),8P=ZBD(0W44l),則(x-l,y,z)=從一1,也,0),所以41一尢四,0),若使平面

AEP，平面A0。，分別求得兩個平面的法向量，再通過兩個法向量數(shù)量積為零求解.

【詳解】

(1)證明：因為于點E，

所以AE^OE，

A^DIBE,EDLBE,且打小”=。，

3￡1平面4。七，

BE1A.EBEcDE=E,

4EL平面5CDE.

(2)假設(shè)在線段5。上是否存在點尸，使平面AEP，平面450.

根據(jù)(1)建立如圖所示空間直角坐標系:

圖2

則5（1,0,0）,D（0,Ao）,A（0,0,1）,AB=（1,0-1）,415=（o,A-i）,

設(shè)P（x,y,z）,BP=ABD^Q<2<1）,

則（%-1,%2）=/1（-1,也,0）,所以P（1-2,A/3A,0）,

所以嗎=（0,0,1）,9=（1_4后,0）,

設(shè)平面AEP一個法向量為："2=（七,%,zj,

m-5=。，即Z1=0

則《

m-EP=Q（T）%+后%=0，

令玉=A/3/1,yx=A-1,所以機=-1,0）,

設(shè)平面48。一個法向量為：n=（x2,y2,z2）,

n,A.B-02二0

則《―,即

=

n-\D-0—z20

令%=I*?=%=百，所以〃=,

因為平面4石尸，平面AB。，

所以777?〃=0，即32+2—1=0,

解得X=J.

4

所以在線段上是否存在點P，使平面4EP，平面入出。，且黑=〈

BD4

【點睛】

本題主要考查了線面垂直的判定定理和面面垂直問題，還考查了邏輯推理，探究問題的能力，屬于

中檔題.

19.對于半徑為廠的P及一個正方形給出如下定義：若P上存在到此正方形四條邊距離都相等

的點，則稱P是該正方形的“等距圓”。如圖1,在平面直角坐標系xQy中，正方形ABC。的頂點

A的坐標為（2,4）,頂點C、。在x軸上，且點。在點。的左側(cè).

(1)當r=40時，已知兩點6(0,-3),6(4,6),則可以成為正方形ABC。的“等距圓”的圓心

的是；

(2)如圖2,在正方形ABCD所在平面直角坐標系xOy中，正方形EFGH的頂點R的坐標為(6,

2),頂點E,H在>軸上，且點H在點E的上方.若P同時為上述兩個正方形的“等距圓”，且P

與所在直線相切，求圓心P的坐標；

(3)在(2)的條件下，將正方形ABC。繞著點。旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，線段HG上沒有

一個點能成為它的“等距圓”的圓心，寫出廠的取值范圍.(不必說明理由)

【答案】⑴⑵(5+2］，-2君)或(5-2日,2百)；(3)0<10或r>2&7+20.

【解析】

【分析】

(1)連接AC和BD，交于點A1，設(shè)。尸的圓心坐標是(x，y),列出圓心到M的關(guān)系式，把

6(0,—3),舄(4,6)代入，看是否成立即可得出結(jié)果；

(2)先求出為等腰直角三角形，得到乙(0,5),進而得出△LOW為等腰直角三角形，設(shè)

P(p,-p+5)據(jù)關(guān)系列出方程，即可求出圓心的坐標；

(3)連接￡歸，作。于點T，以。為圓心，。石為半徑作圓，交。T于點耳，交印)的

延長線于后2,作圖，可知當。<廠<。7-。與時和當時，線段HG上沒有一個點能成為它的

“等距圓”的圓心.

【詳解】

解：(1)連接AC和BD,交于點”，如圖1所示：

V四邊形ABCD是正方形，

.?.聞到正方形ABCD四條邊距離都相等，

eP一定通過點"，

VA(2,4),-.M(0,2)

設(shè)。P的圓心坐標是(x,y),

;.r=4友時，…+(丫-2)2=(4忘)2,

即：丁+(＞一2)2=32,

把々(0,—3),2(4,6)代入，鳥成立，

二可以成為正方形A3CD的“等距圓”的圓心的是巴，

故答案為：鳥；

(2)如圖