高中數(shù)學(xué)《求曲線的方程》導(dǎo)學(xué)案

2.1.2求曲線的方程

卜課前自主預(yù)習(xí)

R基礎(chǔ)導(dǎo)學(xué)

求曲線方程的一般步驟

自診小測(cè)

1.判一判(正確的打“，錯(cuò)誤的打“x”)

(1)在求曲線方程時(shí)，對(duì)于同一條曲線，坐標(biāo)系的建立不同，所得到的曲線方

程也不一樣.()

(2)化簡(jiǎn)方程“國(guó)=飆”為“y=x”是恒等變形.()

(3)按照求曲線方程的步驟求解出的曲線方程不用檢驗(yàn).()

答案(1)V(2)X(3)X

2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)

(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到原點(diǎn)距離為2的點(diǎn)M的軌跡方程是.

(2)直角坐標(biāo)平面xOy中，若定點(diǎn)A(l,2)與動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足夠應(yīng)=4,則點(diǎn)P

的軌跡方程是.

(3)已知點(diǎn)。(0,0),4(1,-2),動(dòng)點(diǎn)尸滿足|朋|=31P0|,則點(diǎn)P的軌跡方程是

答案(l)f+V=4(2)x+2y—4=0

(3)8』+2x+8y2—4y—5=0

卜課堂互動(dòng)探究

探究1直接法求曲線方程

例1A為定點(diǎn)，線段在定直線/上滑動(dòng).已知［8。=4,A到/的距離為

3,求△ABC的外心的軌跡方程.

［解］解法一(直接法)：建立平面直角坐標(biāo)系，使光軸與/重合，A點(diǎn)在y軸

上(如圖所示),則4(0,3).設(shè)外心P(x,y),

在3C的垂直平分線上，

二?B(x+2,0),C(x—2,0).

VP也在AB的垂直平分線上，

：.\PA\=\PB\,即d/+(y—3)2=產(chǎn)三.

化簡(jiǎn)，得x2—6y+5=0.這就是所求的軌跡方程.

解法二(參數(shù)法)：建立坐標(biāo)系，得A(0,3).

設(shè)8C邊的垂直平分線的方程為x=r,①

〃+21)■

則點(diǎn)3的坐標(biāo)為“+2,0),于是A8的中點(diǎn)是匕一，

從而AB的垂直平分線方程為y-1=胃干一等)?②

由①②式消去f,得x2—6y+5=0,即為所求.

拓展提升

求曲線方程分直接法和間接法，直接法的步驟如下：①建立適當(dāng)坐標(biāo)系；②

設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)M(x,>)；③寫出動(dòng)點(diǎn)M滿足的條件等式；④將條件等式坐標(biāo)化；

⑤驗(yàn)證滿足所求方程的點(diǎn)是否均在曲線上.

【跟蹤訓(xùn)練1】已知在直角三角形ABC中，NC為直角，點(diǎn)A(—l,0),點(diǎn)

8(1,0),求滿足條件的點(diǎn)。的軌跡方程.

解如圖，設(shè)C(x,y),貝!］

AC=(x-\-1,y),BC=(x—1,y).

為直角，

S.ACLBC,即亦反'=0.

.*.(%+l)(x—l)+y2=0,化簡(jiǎn)得f+yul.

VA,B,C三點(diǎn)要構(gòu)成三角形,

，A,B,C三點(diǎn)不共線，.'.yWO.

.。.點(diǎn)C的軌跡方程為/+9=1。工0).

探究2定義法求曲線方程

例2已知圓C：(x—l)2+y2=i,過(guò)原點(diǎn)。作圓的任意弦，求所作弦的中點(diǎn)

的軌跡方程.

［解］如圖，

設(shè)0Q為過(guò)0點(diǎn)的一條弦，P(x,y)為其中點(diǎn)，則CP_LOQ.

設(shè)M為。。的中點(diǎn)，則M的坐標(biāo)為色,0).

,/ZOPC=90°,

動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)*,0)為圓心，。。為直徑的圓上，

由圓的方程得Q-02+y2=((oaw1).

拓展提升

如果動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可依據(jù)定義結(jié)合條件寫出動(dòng)點(diǎn)

的軌跡方程.利用定義法求軌跡方程要善于抓住曲線的定義特征.

【跟蹤訓(xùn)練2】已知定長(zhǎng)為6的線段，其端點(diǎn)A,8分別在x軸、y軸上移

動(dòng)，線段A3的中點(diǎn)為M,求點(diǎn)M的軌跡方程.

解作出圖象如圖所示，

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知

所以M的軌跡是以原點(diǎn)。為圓心，以3為半徑的圓，

故點(diǎn)M的軌跡方程為f+y2=9.

探究3相關(guān)點(diǎn)法(代入法)求曲線的方程

例3已知△ABC,A(—2,0),B(0,-2),第三個(gè)頂點(diǎn)C在曲線y=3f—l上

移動(dòng)，求△4BC的重心的軌跡方程.

［解］設(shè)△ABC的重心為G(x,y),頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(xi,y).

C-2+0+xi

x=,

由重心坐標(biāo)公式得《

O-2+yi

［尸3，

fxi=3x+2,

所以℃

［yi=3y+2.

代入yi=3xj—1,得3y+2=3(3x+2)2—1,

所以y=9尤2+12X+3即為所求軌跡方程.

拓展提升

代入法的定義及解題步驟

(1)定義

若動(dòng)點(diǎn)P依賴于已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)M,借助于動(dòng)點(diǎn)M求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程

的方法通常叫代入法，又叫相關(guān)點(diǎn)法(動(dòng)點(diǎn)M叫相關(guān)動(dòng)點(diǎn)).

(2)求解步驟

①設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y),相關(guān)動(dòng)點(diǎn)M(xo,yo)；

②利用條件求出兩動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系

[xo=7(x，y)，

[yo=g(x,y)；

③代入相關(guān)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

④化簡(jiǎn)、整理，得所求軌跡方程.

其步驟可總結(jié)為“一設(shè)二找三代四整理”.

【跟蹤訓(xùn)練3】動(dòng)點(diǎn)M在曲線f+V=l上移動(dòng)，M和定點(diǎn)以3,0)連線的中

點(diǎn)為P,求P點(diǎn)的軌跡.

解設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(光，y),M(xo,yo).

因?yàn)槭瑸镸B的中點(diǎn)，且8(3,0),

"_xo+3

x2'(xo=2x—3,

所以〈貝M—

_義lyo=2y.

又因?yàn)镸在曲線f+y2=l上，所以(2x—3)2+4尸=1,

所以(無(wú)一,+尸；

因此點(diǎn)P的軌跡是以修，0)為圓心，T為半徑的圓.

f-----------------------1篇翩刈------------------------

1.求解曲線方程的步驟

(1)第一步在具體問(wèn)題中有兩種情況：①所研究的問(wèn)題中已給定了坐標(biāo)系，直

接在給定的坐標(biāo)系中求方程；②原題中沒(méi)有確定的坐標(biāo)系，需先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)

系，選取特殊點(diǎn)為原點(diǎn).

(2)第二步是求方程最重要的一步，要仔細(xì)分析曲線的特征，注意揭示隱含條

件，抓住曲線上任意點(diǎn)滿足的等量關(guān)系，列出幾何關(guān)系式，但在具體解題的過(guò)程

中經(jīng)常不出現(xiàn)這一步(被省略).

(3)第三步將幾何關(guān)系式轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的方程.

(4)化簡(jiǎn)過(guò)程中，注意運(yùn)算的合理性與準(zhǔn)確性，避免增解與漏解，第五步從理

論上講很有必要，但在沒(méi)有特殊情況的時(shí)候，常省略，有特殊情況時(shí)則不能省，

可以說(shuō)是對(duì)第四步的完善.

2.很多時(shí)候在求出曲線方程后，第五步直接省略了，沒(méi)將特殊情況進(jìn)行說(shuō)明，

該剔除的沒(méi)剔除，該補(bǔ)充的沒(méi)補(bǔ)充，因此出現(xiàn)錯(cuò)誤.

卜隨堂達(dá)標(biāo)自測(cè)

1.若點(diǎn)M到兩坐標(biāo)軸的距離的積為2019,則點(diǎn)M的軌跡方程是()

A.孫=2019B.q=一2019

C.盯=±2019D.xy=±2019(x>0)

答案C

解析設(shè)M(x,y),則由題意知|加'|=2019,所以孫=±2019.

2.下列各點(diǎn)中，在曲線X2—xy+2y+l=0上的點(diǎn)是()

A.(2,-2)B.(4,-3)C.(3,10)D.(-2,5)

答案C

解析依次把四個(gè)選項(xiàng)代入X2—xy+2y+l,當(dāng)x=3,y=10時(shí)，^—xy+ly

+1=0.故選C.

3.平面內(nèi)有兩定點(diǎn)A,8,月」AB|=4,動(dòng)點(diǎn)P滿足曲十兩=4,則點(diǎn)P的軌

跡是()

A.線段B.半圓C.圓D.直線

答案C

解析以A8的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則

A(—2,0),B(2,0).設(shè)尸(x,y),則應(yīng)+磅=2瓦=2(一九，一y).所以/+產(chǎn)=4.

4.若動(dòng)點(diǎn)P在曲線y=2f+l上移動(dòng)，連接點(diǎn)P與點(diǎn)。(0,-1),則線段產(chǎn)。

中點(diǎn)的軌跡方程是.

答案尸41

解析設(shè)尸(xi,yi),線段P。中點(diǎn)為M(x,y),

A2'(xi=2x,

因?yàn)?(0,-1),所以I,所以c,,

yi-1lyi=2y+l.

L2'

因?yàn)槭?xi,yi)在曲線y=2/+l上，所以yi=2x：+l,所以2y+1=2(2xA+1,

化簡(jiǎn)為y=4f,所以線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為y=4/.

5.設(shè)尸為y=f+l上的一動(dòng)點(diǎn)，A(0,-3),AQ=^AP,求點(diǎn)。的軌跡方程.

解設(shè)。(x,y),P{x\,yi),

->1-

?：AQ=^AP,

X=X5

■■|,+3='^,+3),"?[xi==3xy,+6,

又(xi,yi)在yuf+l上，

.,.3y+6=(3x)2+l=9x2+l,

，y=3f—|即為所求的軌跡方程.

卜課后課時(shí)精練

A級(jí)：基礎(chǔ)鞏固練

一'選擇題

1.已知點(diǎn)4—1,0),5(1,0),且礪?礪=0,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是()

A.x2+y2=1B.x2+y2=2

C./+產(chǎn)=D.x2+y2=2(x^±\/2)

答案A

解析設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y),則法=(—l—x,—y),礪=(l—x,—y).由法.礪=

0,得(一1一x)(l—x)+(—y)(—y)=0,即f+Vnl.

2.曲線,/(x,y)=0關(guān)于直線x—y—3=0對(duì)稱的曲線方程為()

A._/u—3,>)=oB.y(y+3,%)=o

C.fy-3,x+3)=0D.fiy+3,x—3)=0

答案D

解析在對(duì)稱曲線上任選一點(diǎn)(x,y),則它關(guān)于x—y—3=0對(duì)稱的點(diǎn)為。+3,

%—3).故所求曲線方程為心'+3,%—3)=0.

3.已知兩定點(diǎn)A(—2,0)、8(1,0),如果動(dòng)點(diǎn)P滿足照|=2|P8],則點(diǎn)P的軌

跡所圍成的圖形的面積等于()

A.兀B.4兀C.8兀D.9兀

答案B

解析設(shè)尸(匚y),由|Rl|=2|PB|,得

y](x+2)2+y2=2yl(x-l)2+y2,

整理，得/-4元+y2=0,

即(x—2)2+V=4,所以點(diǎn)P的軌跡是以(2,0)為圓心，以2為半徑的圓，故S

=4無(wú).

4.已知lg(x-2),lg|2y|,lg16x成等差數(shù)列，則動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程為()

A.y2=4x2—Sx(x>2)

B.V=4f+8xQ>2)

C.y=y4/_8x(x>2)

D.產(chǎn)74/+8X(X>2)

答案A

解析..」g(x—2),1g|2y|,1g16x成等差數(shù)列，

??.21g|2y|=lg(%-2)+lg16x,

...4y2=(x-2>16x,得y1=4x^—8X(A:>2).

5.已知A(—1,0),8(2,4),△ABC的面積為10,則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程是()

A.4x—3y—16=0或4x—3y+16=0

B.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0

C.4x—3y+16=0或4x—3y+24=0

D.4x—3y+16=0或4x—3y—24=0

答案B

v—0r—I—1

解析由兩點(diǎn)式，得直線A3的方程是音=干，即4x-3y+4=0,線段

AB的長(zhǎng)度|AB|='(2+1)2+42=5.設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),ffll|x5Xl4A~-g>，+4|=

10,即4x-3y-16=0或4x-3y+24=0.

6.已知定點(diǎn)尸i(一2,0)與尸2(2,0),動(dòng)點(diǎn)M滿足|M」FI|一|MF2|=4,則點(diǎn)M的軌

跡方程是()

A喘一叁=1B.，一方=0(x22)

C.y=0(|x|22)D.y=0(x?2)

答案D

解析假設(shè)M(x,y),根據(jù)-|MF2|=4,可以得到：^/(Jc+2)2+y2—

q(x—2)2+y2=4,兩邊平方，化簡(jiǎn)可以得到y(tǒng)=0,又因?yàn)榕f宙2|=4,且

所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一條射線，起點(diǎn)是(2,0),方向同光軸正方向.

二'填空題

7.設(shè)A為圓(x—1)2+丁=1上的動(dòng)點(diǎn)，RL是圓的切線，且|刑|=1,則動(dòng)點(diǎn)P

的軌跡方程是.

答案（x—1）2+產(chǎn)=2

解析圓(X—l)2+y2=1的圓心為3(1,0),半徑r=],

則|PB|2=|網(wǎng)2+月

，|P8|2=2.

,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(尤一l)2+y2=2.

8.過(guò)點(diǎn)P(0,l)的直線與曲線園一1=/71二于相交于A,B兩點(diǎn)，則線段

AB長(zhǎng)度的取值范圍是.

答案[2啦，4]

解析曲線氏|一1=71一(1一)02可化為尤21,(%—l)2+(y—1)2=1,或尤<—1,

(x+l)2+(y-1)2=1,圖象如圖所示，

線段45長(zhǎng)度的取值范圍是[2啦，4].

三'解答題

9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y),軸，垂足為M,點(diǎn)N與

點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱，且行礪;=4,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

解由已知得M(0,y),N(x,~y),則疏i(x,-2y),

故宓茄—(x,y>(x,—2y)=x1—2y2,

依題意知，x2~2y2=4,

因此動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為X2-2/=4.

10.已知圓O：/+y2=4,點(diǎn)4—3,5),點(diǎn)M在圓。上移動(dòng)，且點(diǎn)P滿足方

=g詢,求點(diǎn)p的軌跡方程.

解設(shè)P(x,y),M(xo,yo).

因?yàn)閊=(x+3,y—5),^#=(xo+3,5),

且帝=g就，

所以(x+3,y—5)=/xo+3,yo—5),

1+3=秒+1,

(xo=3x+6,

即[yo=3y—10.

因?yàn)辄c(diǎn)M(xo,yo)在圓。上，所以xo+yi=4,

即(3x+6)2+(3y-10)2=4,

1.直線/：y=Z(x—5)(Z#0)與圓O：f+y2=]6相交于A,B兩點(diǎn),。為圓

心，當(dāng)人變化時(shí)，求弦A3的中點(diǎn)M