高一數(shù)學(xué)同步備好課之題型全歸納(人教A版必修第一冊(cè))專(zhuān)題61函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)及應(yīng)用(原卷版+解析)

專(zhuān)題61函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)及應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意義(1)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅就是A.(2)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T＝eq\f(2π,ω).(3)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π).(4)ωx＋φ稱(chēng)為相位．(5)x＝0時(shí)的相位φ稱(chēng)為初相．知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性質(zhì)題型一已知函數(shù)圖象求解析式1．如圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的圖象的一部分，求此函數(shù)的解析式．2．函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，則φ的值為()A．－eq\f(π,3)B.eq\f(π,3)C．－eq\f(π,6) D.eq\f(π,6)3．函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2)，且圖象如圖所示，求其解析式．4．如圖所示為函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0<|φ|<\f(π,2)))的圖象的一部分，則函數(shù)的一個(gè)解析式為()A．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)x＋\f(π,6))) B．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)x－\f(π,6)))C．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) D．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))5．下列函數(shù)中，圖象的一部分如圖所示的是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))C．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3))) D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))6．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的圖象如圖所示，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)))等于()A.eq\f(1,2)B．0C．2D．－27．已知函數(shù)f(x)＝|Acos(x＋φ)＋1|eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，|φ|<\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，則()A．A＝2，φ＝eq\f(π,6)B．A＝3，φ＝eq\f(π,6)C．A＝2，φ＝eq\f(π,3) D．A＝3，φ＝eq\f(π,3)8．已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)的圖象如圖所示，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(2,3)，則f(0)＝________.9．已知函數(shù)f(x)＝2cos(ωx－φ)(ω>0，φ∈[0，π])的部分圖象如圖所示．若Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\r(2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，\r(2)))，則f(0)＝________．10．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分圖象如圖所示，如果A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2)，則()A．A＝4B．ω＝1C．φ＝eq\f(π,6) D．B＝411．已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為()A．y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋4B．y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋4C．y＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋2 D．y＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋212．某函數(shù)部分圖象如圖所示，它的函數(shù)的解析式可能是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)x＋\f(3π,5)))B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)x－\f(2π,5)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)x＋\f(3π,5)))D．y＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)x＋\f(3π,5)))13．函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式為_(kāi)_____________．14．下圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上的圖象．為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象，只要將y＝sinx(x∈R)的圖象上所有的點(diǎn)()A．向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq\f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變B．向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變C．向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq\f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變D．向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變15．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)≤φ≤\f(π,2)))的圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的距離為2eq\r(2)，且過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，則函數(shù)解析式為f(x)＝______________.16．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的最小值是－5，圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)相差eq\f(π,4)，且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，求這個(gè)函數(shù)的解析式．17．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心到相鄰對(duì)稱(chēng)軸的距離為eq\f(π,4)，且圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，－3)).(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．18．已知定義在(－∞，＋∞)上的函數(shù)f(x)，對(duì)任意x∈R，恒有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝－f(x)成立．(1)求證：函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，并求出它的最小正周期；(2)若函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0＜φ＜\f(π,2)))在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，求出f(x)的解析式，并寫(xiě)出它的對(duì)稱(chēng)軸方程．19．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為eq\f(π,2)，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))，求f(x)的解析式．20．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的部分圖象如圖所示．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)如何由函數(shù)y＝sinx的圖象通過(guò)相應(yīng)的平移與伸縮變換得到函數(shù)f(x)的圖象，寫(xiě)出變換過(guò)程．21．函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分圖象如圖所示．(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式；(2)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,6)))時(shí)，求f(x)的取值范圍．22．函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，A>0，|φ|<\f(π,2)))的圖象如圖所示．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)y＝f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,6)))上的值域．23．如圖為函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一個(gè)周期內(nèi)的圖象．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)在x∈[－1，2]的值域．24．函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一段圖象如圖所示．(1)求f(x)的解析式；(2)把f(x)的圖象向左至少平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度，才能使得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)？25．已知曲線y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\r(2)))，由此點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)間的曲線與x軸交于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，若φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).(1)試求這條曲線的函數(shù)解析式；(2)寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．26．如圖為函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一個(gè)周期內(nèi)的圖象．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱(chēng)，求函數(shù)g(x)的解析式及g(x)的最小正周期．27．已知函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ－\f(π,6)))＋1(ω＞0,0＜φ＜π)為偶函數(shù)，且函數(shù)f(x)的圖象的兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為eq\f(π,2).(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))的值；(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．28．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的一系列對(duì)應(yīng)值如下表：x－eq\f(π,6)eq\f(π,3)eq\f(5π,6)eq\f(4π,3)eq\f(11π,6)eq\f(7π,3)eq\f(17π,6)y－1131－113(1)根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)f(x)的一個(gè)解析式；(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，若函數(shù)y＝f(kx)(k＞0)的最小正周期為eq\f(2π,3)，當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))時(shí)，方程f(kx)＝m恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．題型二三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用1．函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的對(duì)稱(chēng)中心是___________，對(duì)稱(chēng)軸方程是__________________．2．函數(shù)y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是()A．x＝－eq\f(π,2) B．x＝eq\f(π,2)C．x＝－eq\f(π,6) D．x＝eq\f(π,6)3．將函數(shù)f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq\f(1,2)倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則函數(shù)y＝g(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))4．若將函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的圖象上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位，則所得函數(shù)g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))5．在函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3)))的圖象的對(duì)稱(chēng)中心中，離原點(diǎn)最近的一個(gè)中心的坐標(biāo)是________．6．同時(shí)具有性質(zhì)“①最小正周期是π；②圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對(duì)稱(chēng)；③在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上單調(diào)遞增”的一個(gè)函數(shù)是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6))) B．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))7．在函數(shù)y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的一個(gè)周期上，當(dāng)x＝eq\f(π,6)時(shí)，有最大值2，當(dāng)x＝eq\f(2π,3)時(shí)，有最小值－2，則ω＝________.8．已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，以下命題中為假命題的是()A．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,12)對(duì)稱(chēng)B．x＝－eq\f(π,6)是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)C．函數(shù)f(x)的圖象可由g(x)＝sin2x的圖象向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度得到D．函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)))上是增函數(shù)9．函數(shù)f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的圖象為C，則以下結(jié)論中正確的是________．(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào))①圖象C關(guān)于直線x＝eq\f(π,12)對(duì)稱(chēng)；②圖象C關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))對(duì)稱(chēng)；③函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))內(nèi)是增函數(shù)；④由y＝3sin2x的圖象向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象C.10．函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝eq\f(π,6)，則φ的值為_(kāi)_______．11．函數(shù)f(x)＝cos(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))的圖象向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位后得到的函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)的圖象()A．關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0))對(duì)稱(chēng)B．關(guān)于直線x＝－eq\f(π,6)對(duì)稱(chēng)C．關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))對(duì)稱(chēng)D．關(guān)于直線x＝eq\f(π,12)對(duì)稱(chēng)12．已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，且f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，無(wú)最大值，則ω＝()A.eq\f(2,3)B.eq\f(14,3)C.eq\f(26,3)D.eq\f(38,3)13．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(3),2)sinxcosx＋eq\f(1,2)cos2x＋1.(1)求f(x)的振幅、最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；(2)求f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程和對(duì)稱(chēng)中心；(3)求f(x)的最小值及取得最小值時(shí)的x的取值集合．14．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，0))對(duì)稱(chēng)，且在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是單調(diào)函數(shù)，求φ和ω的值．15．將函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，再向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝sinx的圖象．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)當(dāng)x∈[0，3π]時(shí)，方程f(x)＝m有唯一實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．16．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期內(nèi)，當(dāng)x＝eq\f(π,12)時(shí)，f(x)取得最大值3；當(dāng)x＝eq\f(7,12)π時(shí)，f(x)取得最小值－3.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,6)))時(shí)，函數(shù)h(x)＝2f(x)＋1－m有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．17．已知函數(shù)f(x)＝2cos2ωx－1＋2eq\r(3)sinωxcosωx(0＜ω＜1)，直線x＝eq\f(π,3)是函數(shù)f(x)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)已知函數(shù)y＝g(x)的圖象是由y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，然后再向左平移eq\f(2π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，若geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝eq\f(6,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求sinα的值．18．設(shè)m為實(shí)常數(shù)，已知方程eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝m在開(kāi)區(qū)間(0,2π)內(nèi)有兩相異實(shí)根α，β.(1)求m的取值范圍；(2)求α＋β的值．專(zhuān)題61函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)及應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意義(1)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅就是A.(2)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T＝eq\f(2π,ω).(3)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π).(4)ωx＋φ稱(chēng)為相位．(5)x＝0時(shí)的相位φ稱(chēng)為初相．知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性質(zhì)題型一已知函數(shù)圖象求解析式1．如圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的圖象的一部分，求此函數(shù)的解析式．[解析]解法一：逐一定參法：由圖象知A＝3，T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)．∵點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))在函數(shù)圖象上，且是上升趨勢(shì)的零點(diǎn)，∴－eq\f(π,6)×2＋φ＝2kπ，得φ＝eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)．∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3)，∴y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).解法二：待定系數(shù)法由圖象知A＝3.∵圖象過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，0))，且由圖象的上升及下降趨勢(shì)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(πω,3)＋φ＝π，,\f(5πω,6)＋φ＝2π，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ω＝2，,φ＝\f(π,3).))∴y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).解法三：圖象變換法由A＝3，T＝π，點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))在圖象上，可知函數(shù)圖象由y＝3sin2x向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度而得，所以y＝3sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，即y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).2．函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，則φ的值為()A．－eq\f(π,3)B.eq\f(π,3)C．－eq\f(π,6) D.eq\f(π,6)[解析]由圖象知T＝eq\f(2π,ω)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,3)))＝π，所以ω＝2，2×eq\f(π,6)＋φ＝2kπ(k∈Z)，又因?yàn)椋璭q\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,3).故選A.3．函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2)，且圖象如圖所示，求其解析式．[解析]法一：(五點(diǎn)作圖原理法)由圖象知，振幅A＝3，T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，所以ω＝2，又由點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))，根據(jù)五點(diǎn)作圖原理(可判為“五點(diǎn)法”中的第一點(diǎn))－eq\f(π,6)×2＋φ＝0得φ＝eq\f(π,3)，所以f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).法二：(方程法)由圖象知，振幅A＝3，T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，所以ω＝2，又圖象過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝3sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＋φ))＝0，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋φ))＝0，－eq\f(π,3)＋φ＝kπ(k∈Z)，又因?yàn)閨φ|＜eq\f(π,2)，所以k＝0，φ＝eq\f(π,3)，所以f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).法三：(變換法)由圖象知，振幅A＝3，T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，所以ω＝2，且f(x)＝Asin(ωx＋φ)是由y＝3sin2x向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位而得到的，解析式為f(x)＝3sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).4．如圖所示為函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0<|φ|<\f(π,2)))的圖象的一部分，則函數(shù)的一個(gè)解析式為()A．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)x＋\f(π,6))) B．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)x－\f(π,6)))C．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) D．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))[解析]由圖象知A＝2，eq\f(T,2)＝eq\f(2π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，∴T＝π＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝2，∵圖象過(guò)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，2))，∴2＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)＋φ))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝1，∴eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，∴φ＝eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，又∵0<|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6).∴函數(shù)解析式y(tǒng)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).5．下列函數(shù)中，圖象的一部分如圖所示的是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))C．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3))) D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))[解析]由圖知T＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋\f(π,6)))＝π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝2.又x＝eq\f(π,12)時(shí)，y＝1，經(jīng)驗(yàn)證，可得D項(xiàng)解析式符合題目要求．[答案]D6．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的圖象如圖所示，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)))等于()A.eq\f(1,2)B．0C．2D．－2[解析]解法一：由圖可知，eq\f(3,2)T＝eq\f(5π,4)－eq\f(π,4)＝π，即T＝eq\f(2π,3)，∴ω＝eq\f(2π,T)＝3.∴y＝2sin(3x＋φ)，將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))代入上式得，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋φ))＝0，又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π，0))是圖象上升的趨勢(shì)的點(diǎn)，∴eq\f(3π,4)＋φ＝2kπ，k∈Z，則φ＝2kπ－eq\f(3π,4).∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,4)＋2kπ－\f(3π,4)))＝0.解法二：由圖可知，eq\f(3,2)T＝eq\f(5π,4)－eq\f(π,4)＝π，即T＝eq\f(2π,3).又由正弦圖象性質(zhì)可知，若f(x0)＝0，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(T,2)))＝0.∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝0.[答案]B7．已知函數(shù)f(x)＝|Acos(x＋φ)＋1|eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，|φ|<\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，則()A．A＝2，φ＝eq\f(π,6)B．A＝3，φ＝eq\f(π,6)C．A＝2，φ＝eq\f(π,3) D．A＝3，φ＝eq\f(π,3)[解析]由題圖知：A＝eq\f(3－（－1）,2)＝2，又f(0)＝|2cosφ＋1|＝2，所以cosφ＝eq\f(1,2)或cosφ＝－eq\f(3,2)(舍)，因?yàn)閨φ|<eq\f(π,2)，即－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，由圖象知φ>0，所以φ＝eq\f(π,3)，故選C.8．已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)的圖象如圖所示，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(2,3)，則f(0)＝________.[解析]由圖象可得最小正周期為eq\f(2π,3).所以f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))，注意到eq\f(2π,3)與eq\f(π,2)關(guān)于eq\f(7π,12)對(duì)稱(chēng)，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq\f(2,3).9．已知函數(shù)f(x)＝2cos(ωx－φ)(ω>0，φ∈[0，π])的部分圖象如圖所示．若Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\r(2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，\r(2)))，則f(0)＝________．[解析]由函數(shù)圖象可知函數(shù)f(x)的周期T＝eq\f(3π,2)－eq\f(π,2)＝π，ω＝eq\f(2π,T)＝2.又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝2cos(π－φ)＝－2cosφ＝eq\r(2)，則cosφ＝－eq\f(\r(2),2).因?yàn)棣铡蔥0，π]，所以φ＝eq\f(3π,4)，所以f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,4)))，則f(0)＝－eq\r(2).10．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分圖象如圖所示，如果A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2)，則()A．A＝4B．ω＝1C．φ＝eq\f(π,6) D．B＝4[解析]由圖象可知，A＝2，eq\f(1,4)T＝eq\f(5π,12)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,4)，T＝π，ω＝2.因?yàn)?×eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,6)，故選C.11．已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為()A．y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋4B．y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋4C．y＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋2 D．y＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋2[解析]由函數(shù)f(x)的最大值和最小值得A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，函數(shù)f(x)的周期為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))))×4＝4π，又ω＞0，所以ω＝eq\f(1,2)，又因?yàn)辄c(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，6))在函數(shù)f(x)的圖象上所以6＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(π,2)＋φ))＋4，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋φ))＝1，所以eq\f(π,4)＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－eq\f(π,4)，k∈Z，又|φ|＜eq\f(π,2)所以φ＝－eq\f(π,4)，所以f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))＋4.12．某函數(shù)部分圖象如圖所示，它的函數(shù)的解析式可能是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)x＋\f(3π,5)))B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)x－\f(2π,5)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)x＋\f(3π,5)))D．y＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)x＋\f(3π,5)))[解析]eq\f(T,4)＝eq\f(3π,4)－eq\f(π,3)＝eq\f(5π,12)，于是eq\f(2π,ω)＝eq\f(5π,3)，即ω＝eq\f(6,5)，排除A、D.不妨令該函數(shù)解析式為y＝Asin(ωx＋φ)，由題圖知A＝1，于是eq\f(6,5)·eq\f(π,3)＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，所以φ＝2kπ＋eq\f(3π,5)(k∈Z)，所以φ可以是eq\f(3π,5)，故選C.13．函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式為_(kāi)_____________．[解析]由題圖得A＝2，eq\f(T,2)＝eq\f(π,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq\f(π,2)，即T＝π.由ω>0，T＝eq\f(2π,ω)＝π得ω＝2.又當(dāng)x＝eq\f(π,3)時(shí)，ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，即2×eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝2kπ－eq\f(π,6)(k∈Z)，又|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,6).因此f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))(x∈R)．14．下圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上的圖象．為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象，只要將y＝sinx(x∈R)的圖象上所有的點(diǎn)()A．向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq\f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變B．向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變C．向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq\f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變D．向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變[解析]由圖象可知A＝1，T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝2.∵圖象過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ))＝0，∴eq\f(2π,3)＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，∴φ＝eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z.∴y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋2kπ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).故將函數(shù)y＝sinx先向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度后，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq\f(1,2)，縱坐標(biāo)不變，可得原函數(shù)的圖象．[答案]A15．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)≤φ≤\f(π,2)))的圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的距離為2eq\r(2)，且過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，則函數(shù)解析式為f(x)＝______________.[解析]由函數(shù)圖象上相鄰最高點(diǎn)和最低點(diǎn)距離為2eq\r(2)，得eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,2)))2＋1＋12)＝2eq\r(2).解得T＝4，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,2)，∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,2)＋φ)).又∵函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，∴f(2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)×2＋φ))＝－sinφ＝－eq\f(1,2).又∵－eq\f(π,2)≤φ≤eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6)，∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,2)＋\f(π,6))).16．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的最小值是－5，圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)相差eq\f(π,4)，且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，求這個(gè)函數(shù)的解析式．[解析]由題意知A＝5，eq\f(T,2)＝eq\f(π,4)，所以T＝eq\f(π,2)＝eq\f(2π,ω)，所以ω＝4，所以y＝5sin(4x＋φ)．又因?yàn)閳D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，所以eq\f(5,2)＝5sinφ，即sinφ＝eq\f(1,2)，所以φ＝eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)或φ＝eq\f(5π,6)＋2kπ(k∈Z)，又因?yàn)?<φ<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,6)，所以這個(gè)函數(shù)的解析式為y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6))).17．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心到相鄰對(duì)稱(chēng)軸的距離為eq\f(π,4)，且圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，－3)).(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．[解析](1)由函數(shù)f(x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心到相鄰對(duì)稱(chēng)軸的距離為eq\f(π,4)，可知函數(shù)f(x)的周期為π，所以ω＝eq\f(2π,π)＝2.又函數(shù)f(x)圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，－3))，|φ|<eq\f(π,2)，所以A＝3，2×eq\f(7π,12)＋φ＝eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，得φ＝eq\f(π,3)，所以f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).(2)由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，可得kπ－eq\f(5π,12)≤x≤kπ＋eq\f(π,12)，k∈Z，又x∈[0，π]，則可得單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，π)).18．已知定義在(－∞，＋∞)上的函數(shù)f(x)，對(duì)任意x∈R，恒有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝－f(x)成立．(1)求證：函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，并求出它的最小正周期；(2)若函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0＜φ＜\f(π,2)))在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，求出f(x)的解析式，并寫(xiě)出它的對(duì)稱(chēng)軸方程．[解析](1)因?yàn)閒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝－f(x)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)＋\f(π,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)是周期函數(shù)，它的最小正周期為π.(2)由(1)知f(x)的最小正周期為π，ω>0，所以eq\f(2π,ω)＝π，所以ω＝2.由題中圖象知A＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)．又2×eq\f(π,3)＋φ＝π，所以φ＝eq\f(π,3)，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).由2x＋eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,12)(k∈Z)，所以它的對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,12)(k∈Z)．19．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為eq\f(π,2)，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))，求f(x)的解析式．[解析]由最低點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))，得A＝2.在x軸上兩相鄰交點(diǎn)之間的距離為eq\f(π,2)，故eq\f(T,2)＝eq\f(π,2)，即T＝π，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2.由點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))在圖象上得2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(2π,3)＋φ))＝－2，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋φ))＝－1，故eq\f(4π,3)＋φ＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)，∴φ＝2kπ－eq\f(11π,6)(k∈Z)．又φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴φ＝eq\f(π,6).故f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).20．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的部分圖象如圖所示．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)如何由函數(shù)y＝sinx的圖象通過(guò)相應(yīng)的平移與伸縮變換得到函數(shù)f(x)的圖象，寫(xiě)出變換過(guò)程．[解析](1)由圖象知A＝1.f(x)的最小正周期T＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)－\f(π,6)))＝π，故ω＝eq\f(2π,T)＝2，將點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，1))代入f(x)的解析式得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝1，又|φ|＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6).故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).(2)變換過(guò)程如下：y＝sinx圖象上的eq\o(→,\s\up15(所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)1/2倍),\s\do15(縱坐標(biāo)不變))y＝sin2x的圖象，再把y＝sin2x的圖象,向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的圖象．21．函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分圖象如圖所示．(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式；(2)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,6)))時(shí)，求f(x)的取值范圍．[解析](1)由函數(shù)圖象得A＝1，eq\f(T,4)＝eq\f(2π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，所以T＝2π，則ω＝1.將點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，1))代入得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋φ))＝1，而－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,3)，因此函數(shù)的解析式為f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).(2)由于－π≤x≤－eq\f(π,6)，－eq\f(2π,3)≤x＋eq\f(π,3)≤eq\f(π,6)，所以－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))≤eq\f(1,2)，所以f(x)的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))).22．函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，A>0，|φ|<\f(π,2)))的圖象如圖所示．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)y＝f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,6)))上的值域．[解析](1)由圖象可知A＝1，eq\f(T,4)＝eq\f(2π,4ω)＝eq\f(7π,12)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,4)，所以ω＝2.又由圖象知2·eq\f(π,3)＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，所以φ＝2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，又|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,3)，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).(2)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,6)))時(shí)，2x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(2π,3)))，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).23．如圖為函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一個(gè)周期內(nèi)的圖象．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)在x∈[－1，2]的值域．[解析](1)由題圖，知A＝2，T＝7－(－1)＝8，所以ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,8)＝eq\f(π,4)，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋φ)).將點(diǎn)(－1，0)代入，得0＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋φ)).因?yàn)閨φ|＜eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,4)，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4))).(2)因?yàn)椋?≤x≤2，所以0≤eq\f(π,4)x＋eq\f(π,4)≤eq\f(3,4)π，所以0≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))≤1，所以0≤2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))≤2.所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0，2]．24．函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一段圖象如圖所示．(1)求f(x)的解析式；(2)把f(x)的圖象向左至少平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度，才能使得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)？[解析](1)A＝3，eq\f(2π,ω)＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π－\f(π,4)))＝5π，ω＝eq\f(2,5).由f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x＋φ))過(guò)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,10)＋φ))＝0.又∵|φ|<eq\f(π,2)，故φ＝－eq\f(π,10)，∴f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x－\f(π,10))).(2)由f(x＋m)＝3sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x＋m－\f(π,10)))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x＋\f(2m,5)－\f(π,10)))為偶函數(shù)(m＞0)，知eq\f(2m,5)－eq\f(π,10)＝kπ＋eq\f(π,2)，即m＝eq\f(5,2)kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z∵m＞0，∴mmin＝eq\f(3π,2).故把f(x)的圖象向左至少平移eq\f(3π,2)個(gè)單位長(zhǎng)度，才能使得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)．25．已知曲線y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\r(2)))，由此點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)間的曲線與x軸交于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，若φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).(1)試求這條曲線的函數(shù)解析式；(2)寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．[解析](1)依題意，得A＝eq\r(2)，T＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－\f(π,2)))＝4π，∵T＝eq\f(2π,|ω|)＝4π，ω＞0，∴ω＝eq\f(1,2).∴y＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋φ)).∵曲線上的最高點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\r(2)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(π,2)＋φ))＝1.∴φ＋eq\f(π,4)＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.∵－eq\f(π,2)＜φ＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,4).∴y＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,4))).(2)令2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(1,2)x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴4kπ－eq\f(3π,2)≤x≤4kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(3π,2)，4kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．令2kπ＋eq\f(π,2)≤eq\f(1,2)x＋eq\f(π,4)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，∴4kπ＋eq\f(π,2)≤x≤4kπ＋eq\f(5π,2)，k∈Z.∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4kπ＋\f(π,2)，4kπ＋\f(5π,2)))(k∈Z)．26．如圖為函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一個(gè)周期內(nèi)的圖象．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱(chēng)，求函數(shù)g(x)的解析式及g(x)的最小正周期．[解析](1)由圖，知A＝2，T＝7－(－1)＝8，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,8)＝eq\f(π,4)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋φ)).將點(diǎn)(－1,0)代入，得0＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋φ)).∵|φ|＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,4)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4))).(2)作出與f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱(chēng)的圖象(圖略)，可以看出g(x)的圖象相當(dāng)于將f(x)的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，∴g(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x－2＋\f(π,4)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x－\f(π,4)))，∴g(x)的最小正周期為eq\f(2π,\f(π,4))＝8.27．已知函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ－\f(π,6)))＋1(ω＞0,0＜φ＜π)為偶函數(shù)，且函數(shù)f(x)的圖象的兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為eq\f(π,2).(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))的值；(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．[解析](1)∵f(x)為偶函數(shù)，∴φ－eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴φ＝kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)．又0＜φ＜π，∴φ＝eq\f(2π,3)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,2)))＋1＝2cosωx＋1.又函數(shù)f(x)的圖象的兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為eq\f(π,2)，∴T＝eq\f(2π,ω)＝2×eq\f(π,2)，∴ω＝2，∴f(x)＝2cos2x＋1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,8)))＋1＝eq\r(2)＋1.(2)將f(x)的圖象向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的圖象，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))的圖象，所以g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))＝2coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))))＋1＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3)))＋1.當(dāng)2kπ≤eq\f(x,2)－eq\f(π,3)≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋eq\f(2π,3)≤x≤4kπ＋eq\f(8π,3)(k∈Z)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減．∴函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4kπ＋\f(2π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)．28．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的一系列對(duì)應(yīng)值如下表：x－eq\f(π,6)eq\f(π,3)eq\f(5π,6)eq\f(4π,3)eq\f(11π,6)eq\f(7π,3)eq\f(17π,6)y－1131－113(1)根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)f(x)的一個(gè)解析式；(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，若函數(shù)y＝f(kx)(k＞0)的最小正周期為eq\f(2π,3)，當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))時(shí)，方程f(kx)＝m恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解析](1)設(shè)f(x)的最小正周期為T(mén)，則T＝eq\f(11π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝2π，由T＝eq\f(2π,ω)，得ω＝1，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(B＋A＝3，,B－A＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝2，,B＝1，))令ω·eq\f(5π,6)＋φ＝eq\f(π,2)，即eq\f(5π,6)＋φ＝eq\f(π,2)，解得φ＝－eq\f(π,3)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＋1.(答案不唯一)(2)∵函數(shù)y＝f(kx)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx－\f(π,3)))＋1的最小正周期為eq\f(2π,3)，且k＞0，∴k＝3.令t＝3x－eq\f(π,3)，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，∴t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，如圖所示，當(dāng)sint＝s在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，s∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))，∴當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))時(shí)，由方程f(kx)＝m恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解得m∈[eq\r(3)＋1,3)，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[eq\r(3)＋1,3)．題型二三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用1．函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的對(duì)稱(chēng)中心是___________，對(duì)稱(chēng)軸方程是__________________．[解析]函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心：eq\f(1,2)x＋eq\f(π,6)＝kπ，k∈Z，∴x＝2kπ－eq\f(π,3)，k∈Z，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，0))(k∈Z)，對(duì)稱(chēng)軸方程：eq\f(1,2)x＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)，k