2020年北京市高考數(shù)學(xué)真題試卷

2020年北京市高考數(shù)學(xué)真題試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1．已知集合A={-1,0,1,2}，B={x|0<x<3}A．{-1,0,1} B．{0,1} C．{-1,1,2} D．{1,2}2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標是(1,2)，則i?z=A．1+2i B．-2+i C．1-2i3．在(x-2)5的展開式中，A．-5 B．5 C．-10 D．104．某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（）．

A．6+3 B．6+23 C．12+3 5．已知半徑為1的圓經(jīng)過點(3，4)，則其圓心到原點的距離的最小值為（）．A．4 B．5 C．6 D．76．已知函數(shù)f(x)=2x-xA．(-1，1) BC．(0，1) D7．設(shè)拋物線的頂點為O，焦點為F，準線為l．P是拋物線上異于O的一點，過P作PQ⊥l于Q，則線段FQA．經(jīng)過點O B．經(jīng)過點PC．平行于直線OP D．垂直于直線OP8．在等差數(shù)列{an}中，a1=-9，a5=-1．記A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項9．已知α,β∈R，則“存在k∈Z使得α=A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．2020年3月14日是全球首個國際圓周率日（πDay）．歷史上，求圓周率π的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似．數(shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當正整數(shù)n充分大時，計算單位圓的內(nèi)接正6n邊形的周長和外切正6n邊形（各邊均與圓相切的正6n邊形）的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為2π的近似值．按照阿爾·卡西的方法，π的近似值的表達式是（）．A．3n(sin30C．3n(sin60二、填空題共5題，每小題5分，共25分11．函數(shù)f(x)=1x+1+12．若函數(shù)f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值為13．為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期整改、設(shè)企業(yè)的污水摔放量W與時間t的關(guān)系為W=f(t)，用-f(

給出下列四個結(jié)論：①在[t1②在t2③在t3時刻，甲、乙兩企業(yè)的④甲企業(yè)在[0，t1]，[其中所有正確結(jié)論的序號是．14．已知雙曲線C:x26-y23=1，則C的右焦點的坐標為15．已知正方形ABCD的邊長為2，點P滿足AP=12(AB+AC)，則|PD|=三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1

（Ⅰ）求證：BC1//平面A（Ⅱ）求直線AA1與平面A17．在△ABC中，a+b=11，再從條件①（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）sinC和△ABC條件①：c=7，條件②：cosA=注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．18．某校為舉辦甲、乙兩項不同活動，分別設(shè)計了相應(yīng)的活動方案：方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對活動方案是否支持，對學(xué)生進行簡單隨機抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對活動方案是否支持相互獨立．（Ⅰ）分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）從該校全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案的概率估計值記為p0，假設(shè)該校年級有500名男生和300名女生，除一年級外其他年級學(xué)生支持方案二的概率估計值記為p1，試比較p0與19．已知函數(shù)f(x)=12-（Ⅰ）求曲線y=f(x)（Ⅱ）設(shè)曲線y=f(x)在點(t，f(t20．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過點B(-4,0)的直線l交橢圓C于點M,N,直線MA,NA分別交直線x=-4于點P21．已知{an}①對于{an}中任意兩項ai,aj(i>j)②對于{an}中任意項an(n?3)，在{a(Ⅰ)若an=n(n=1,2,?)，判斷數(shù)列(Ⅱ)若an=2n-1(n=1,2,?)(Ⅲ)若{an}是遞增數(shù)列，且同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：

參考答案1．D2．B3．C4．D5．A6．D7．B8．B9．C10．A11．(0,+∞)12．π2（2kπ+π2,k∈Z均可）13．①②③14．(3,0)16．解：（Ⅰ）如下圖所示：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB//A1B∴AB//C1D1且AB=C1∵BC1?平面AD1E，AD1?平面（Ⅱ）以點A為坐標原點，AD、AB、AA1所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則E(0，2，1)A設(shè)平面AD1E的法向量為n=(x，y，z令z=-2，則x=2，y=1，則cos<因此，直線AA1與平面AD1E17．解：選擇條件①（Ⅰ）∵c=7∵∴（Ⅱ）∵由正弦定理得：aS選擇條件②（Ⅰ）∵∴由正弦定理得：a（Ⅱ）sinS18．解：（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為200200+400=該校女生支持方案一的概率為300300+100（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（1）僅有兩個男生支持方案一（2）僅有一個男生支持方案一，一個女生支持方案一所以3人中恰有2人支持方案一概率為：(1（Ⅲ）p19．解：（Ⅰ）因為f(x)=12-x2設(shè)切點為(x0，12-x0)，則-2x由點斜式可得切線方程為：y-11=-2(x-（Ⅱ）顯然t≠0因為y=f(x)在點(令x=0，得y=t2+12，令y所以S(t)=不妨設(shè)t>0(t<0時，結(jié)果一樣則S(所以S'(=3(由S'(t)>0，得t>2，由S所以S(t)在(0，2)所以t=2時，S(也是最小值為S(2)=20．解：(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為：x2由題意可得：4a2+1b故橢圓方程為：x2（Ⅱ）設(shè)M(x1,y1)，N(x與橢圓方程x28+y2即：(4k則：x1直線MA的方程為：y+1=令x=-4可得：y同理可得：yQ很明顯yPyQ<0注意到：yP而：(=2[=2×(64故yP從而|PB21．解：(Ⅰ)∵a2=2,a3(Ⅱ)∵?i,j∵?n∈N(Ⅲ)【解法一】首先，證明數(shù)列中的項數(shù)同號，不妨設(shè)恒為正數(shù)顯然an≠0(n?N第一種情況：若N0=1，即由①可知：存在m1，滿足am1=a22a1由N0=1可知a22a1第二種情況：若N0≥2，由①知存在實數(shù)m，滿足由N0的定義可知：m另一方面，am=aN0這與N0的定義矛盾，假設(shè)不成立同理可證得數(shù)列中的項數(shù)恒為負數(shù).綜上可得，數(shù)列中的項數(shù)同號.其次，證明a3=a22a1利用性質(zhì)②：取nak>al>0，而a3=ak?akal最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列假設(shè)數(shù)列{an}的前k(k其中a1>0,q>1，（由①可得：存在整數(shù)m，滿足am=ak2ak-由②得：存在s>t，滿足：ak+1=由as=a1qs-1由（**）和（*）式可得：a1結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性有：k≥2注意到s,t,k代入（**）式，從而ak總上可得，數(shù)列{an}的通項公式為：即數(shù)列{an}【解法二】假設(shè)數(shù)列中的項數(shù)均為正數(shù)：首先利用性質(zhì)②：取n=3，此時a由數(shù)列的單調(diào)性可知ak而a3=ak?此時必有k=2,l=1，即即a1,a2,然后利用性質(zhì)①：取i=3,j=2，則即數(shù)列中必然存在一項的值為a1q3，下面我們來證明否則，由數(shù)列的單調(diào)性可知a4在性質(zhì)②中，取n=4，則a4=ak